14 Bir Elemanın Mertebesi
Sonlu devresel grup teorisi bize her elemana iliştirilebilen bir sayı armağan etti: elemanın kuvvetlerinin birime ilk döndüğü an. Bu bölümde eleman mertebesini tanımlayıp kalan sınıfı gruplarında ve permütasyon gruplarında hesaplıyoruz. Permütasyonlar için sonuç zarif bir formüle dönüşür: mertebe, yabancı devre uzunluklarının en küçük ortak katıdır. Yüksek kuvvet hesapları — \(S^{3045}\) gibi — bu formülle birkaç satıra iner.
14.1 Tanım
Tanım 14.1 (Bir Elemanın Mertebesi) \(G\) bir grup ve \(a \in G\) olsun. \(a\)’nın doğurduğu \(\langle a \rangle\) devresel alt grubu sonluysa bu alt grubun mertebesine — eşdeğer biçimde, \(a^t = 1_G\) koşulunu sağlayan doğal sayıların en küçüğüne — \(a\) elemanının (\(G\) grubundaki) mertebesi denir ve \(|a|_G\) veya kısaca \(|a|\) ile gösterilir.
\(\langle a \rangle\) sonsuz devresel grup ise \(a\)’nın mertebesi sonsuzdur denir.
Sonlu bir grupta her elemanın mertebesi sonludur: kuvvetler sonlu kümede sonsuza dek farklı kalamaz. Sonsuz bir grupta ise iki tür eleman bir arada yaşayabilir; örneğin \(\langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle\) grubunda \(|-1| = 2\) sonlu, \(|2|\) sonsuzdur.
Örnek 14.1 (\(S_4\)’te İki Mertebe) \(S = (1\,2)(3\,4)\) için \(S^2 = (1\,2)^2 (3\,4)^2 = I\) ve \(S \neq I\) olduğundan \(|S| = 2\)’dir.
\(T = (1\,2\,3)\) için \(T^2 = (1\,3\,2) \neq I\) ve \(T^3 = I\) olduğundan \(|T| = 3\)’tür.
Örnek 14.2 (\(\mathbb{Z}_{17}^{*}\)’da Mertebeler) \(\mathbb{Z}_{17}^{*} = \langle \mathbb{Z}_{17} - \{\bar{0}\}, \cdot \rangle\) grubunun mertebesi \(16\)’dır; elemanları \(\{\mp\bar{1}, \dots, \mp\bar{8}\}\) olarak yazalım. \(\bar{5}\), \(\bar{4}\) ve \(\bar{2}\)’nin mertebelerini bulunuz.
Çözüm
\(\bar{5}\): Kuvvetleri izleyelim (\(17\)’ye göre kalanlarla):
\[\bar{5}^2 = \overline{25} = \bar{8}, \quad \bar{5}^3 = \bar{5} \cdot \bar{8} = \overline{40} = \overline{6}, \quad \bar{5}^4 = \bar{5} \cdot \bar{6} = \overline{30} = -\bar{4}\]
\[\bar{5}^8 = (\bar{5}^4)^2 = (-\bar{4})^2 = \overline{16} = -\bar{1}\]
\(\bar{5}^8 = -\bar{1} \neq \bar{1}\) olduğundan mertebe \(8\)’i böler ama \(8\) olamaz; \(\bar{5}^{16} = (-\bar{1})^2 = \bar{1}\)’dir. Mertebe \(16\)’nın bir böleni olup \(1, 2, 4, 8\) olamayacağından (ilk kuvvetler \(\bar{1}\) vermedi) \(|\bar{5}| = 16\)’dır. Mertebesi grubun mertebesine eşit olduğundan \(\bar{5}\) bir doğuraydır:
\[\mathbb{Z}_{17}^{*} = \langle \bar{5} \rangle\]
\(\bar{4}\): \(\bar{4}^2 = \overline{16} = -\bar{1}\), dolayısıyla \(\bar{4}^4 = \bar{1}\); daha küçük kuvvetler birim vermediğinden \(|\bar{4}| = 4\).
\(\bar{2}\): \(\bar{2}^4 = \overline{16} = -\bar{1}\), dolayısıyla \(\bar{2}^8 = \bar{1}\); \(1, 2, 4\). kuvvetler birim vermediğinden \(|\bar{2}| = 8\).
\(\blacksquare\)
Toplamsal gruplarda mertebe, \(na = 0_G\) yapan en küçük \(n \in \mathbb{N}\)’dir:
Örnek 14.3 (\(\langle \mathbb{Z}_{25}, + \rangle\)’da Bir Doğuray) \(\langle \mathbb{Z}_{25}, + \rangle\)’da \(\overline{11}\)’in mertebesini bulunuz.
Çözüm
\(n \cdot \overline{11} = \overline{11n} = \bar{0}\) olması, \(25 \mid 11n\) demektir. \(25\) ile \(11\) aralarında asal olduğundan \(25 \mid n\) gerekir; bunun en küçük doğal çözümü \(n = 25\)’tir:
\[|\overline{11}| = 25\]
Mertebe grubun mertebesine eşit olduğundan \(\mathbb{Z}_{25} = \langle \overline{11} \rangle\)’dir: \(\overline{11}\) bir doğuraydır. (Katları sırayla yazarak da görülebilir: \(\overline{11}, \overline{22}, \overline{8}, \overline{19}, \dots\) dizisi \(25\) adımda bütün sınıfları dolaşır.)
\(\blacksquare\)
14.2 Permütasyonların Mertebesi
Teorem 14.1 (Devrenin Mertebesi) \(S_n\)’de \(k\) uzunluğundaki bir devrenin mertebesi \(k\)’dır.
İspat
\(D = (a_1\,a_2\,\dots\,a_k)\) olsun. \(D^j\) kuvveti her \(a_i\)’yi devre içinde \(j\) adım öteler; \(0 < j < k\) için \(a_1 \mapsto a_{j+1} \neq a_1\) olduğundan \(D^j \neq I\)’dır. \(j = k\)’de ise her eleman tam tur atar: \(D^k = I\). En küçük doğal kuvvet \(k\) olduğundan \(|D| = k\)’dır.
\(\blacksquare\)
Teorem 14.2 (Mertebe EKOK Kuralı) \(S_n\)’de bir \(S\) substitüsyonunun mertebesi, \(S\)’nin ayrıldığı yabancı devrelerin uzunluklarının en küçük ortak katına eşittir:
\[S = D_1 D_2 \cdots D_r, \quad |D_i| = k_i \implies |S| = [k_1, k_2, \dots, k_r]\]
İspat
\(m = [k_1, \dots, k_r]\) diyelim.
\(S^m = I\): Her \(i\) için \(k_i \mid m\), diyelim \(m = k_i t_i\); o hâlde
\[D_i^m = (D_i^{k_i})^{t_i} = I\]
Yabancı devreler ikişer ikişer komutatif olduğundan kuvvet, çarpanlara dağıtılabilir:
\[S^m = (D_1 \cdots D_r)^m = D_1^m \cdots D_r^m = I\]
\(m\) en küçüktür: \(\ell \in \mathbb{N}\), \(S^\ell = I\) olsun:
\[I = S^\ell = D_1^\ell D_2^\ell \cdots D_r^\ell\]
\(D_1^\ell, \dots, D_r^\ell\) substitüsyonları da ikişer ikişer yabancıdır (her biri kendi devresinin elemanlarını oynatır). Yabancı substitüsyonların çarpımı birimse her biri birim olmak zorundadır; çünkü biri bir elemanı oynatsaydı, öbürleri o elemana dokunamayacağından çarpım da onu oynatırdı. O hâlde her \(i\) için \(D_i^\ell = I\), kuvvet aritmetiği teoremiyle \(k_i \mid \ell\)’dir. Bütün \(k_i\)’lerin ortak katı olan \(\ell\), EKOK tanımı gereği \(m\)’ye bölünür: \(m \mid \ell\), özel olarak \(m \leq \ell\). Demek ki \(|S| = m\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 14.4 (Hızlı Mertebe Okuma) \(S_8\)’de \(S = (2\,5)(1\,3\,7)(4\,6\,8)\) için uzunluklar \(2, 3, 3\)’tür:
\[|S| = [2, 3, 3] = 6\]
Örnek 14.5 (Yüksek Kuvvet Hesabı) \(S_8\)’de \(S = (1\,2\,7\,3)(6\,4)(3\,8\,7\,4\,5)\) substitüsyonu veriliyor (devreler yabancı değildir). \(S^{3045}\)’in yabancı devrelere ayrılışını bulunuz.
Çözüm
Önce \(S\)’nin kendisini yabancı devrelere ayıralım; çarpanlar sağdan sola uygulanır. Yörüngeleri izleyince
\[S = (1\,2\,7\,6\,4\,5)(3\,8)\]
bulunur. (Denetim örneği: en sağdaki devre \(3 \mapsto 8\) der, kalan çarpanlar \(8\)’e dokunmaz — \(S(3) = 8\); yine sağdaki devre \(8 \mapsto 7\), soldaki devre \(7 \mapsto 3\) der — \(S(8) = 3\).)
Uzunluklar \(6\) ve \(2\) olduğundan
\[|S| = [6, 2] = 6, \qquad S^6 = I\]
\(3045\)’i \(6\)’ya bölelim: \(3045 = 6 \cdot 507 + 3\). O hâlde
\[S^{3045} = (S^6)^{507} \cdot S^3 = S^3 = (1\,2\,7\,6\,4\,5)^3 (3\,8)^3\]
Altılı devrenin küpü, her elemanı üç adım öteler ve devreyi transpozisyonlara kırar; \((3\,8)^3 = (3\,8)\)’dir:
\[S^{3045} = (1\,6)(2\,4)(7\,5)(3\,8)\]
\(\blacksquare\)
14.3 Komutatif Elemanların Çarpımı
Teorem 14.3 (Komutatif Çarpımın Mertebesi) \(a\) ve \(b\), bir grubun komutatif iki elemanı olsun (\(ab = ba\)). \(|a| = m\), \(|b| = n\) ve \((m, n) = 1\) (aralarında asal) ise
\[|a \cdot b| = m \cdot n\]
Daha genel olarak \(a_1, \dots, a_k\) ikişer ikişer komutatif, mertebeleri \(n_1, \dots, n_k\) ikişer ikişer aralarında asal ise \(|a_1 a_2 \cdots a_k| = n_1 n_2 \cdots n_k\)’dır.
EKOK kuralı bu teoremin permütasyonlardaki yansımasıdır: yabancı devreler komutatiftir ve uzunlukları aralarında asalsa \([k_1, \dots, k_r] = k_1 \cdots k_r\) olur.
14.4 Alıştırma
Alıştırma 14.1 (Yüksek Kuvvet) \(S_9\)’da \(S = (1\,3\,8)(2\,7)(4\,9\,6\,5)\) substitüsyonu için \(S^{1012}\)’nin yabancı devrelere ayrılışını bulunuz.
Çözüm
Devreler zaten yabancıdır; uzunluklar \(3, 2, 4\):
\[|S| = [3, 2, 4] = 12, \qquad S^{12} = I\]
\(1012 = 12 \cdot 84 + 4\) olduğundan
\[S^{1012} = S^4 = (1\,3\,8)^4 (2\,7)^4 (4\,9\,6\,5)^4 = (1\,3\,8) \cdot I \cdot I = (1\,3\,8)\]
Üçlü devrenin dördüncü kuvveti kendisidir (\(D^4 = D^3 D = D\)); transpozisyonun ve dörtlü devrenin dördüncü kuvvetleri birimdir.
\(\blacksquare\)
Eleman mertebesi, devresel alt grupların boyunu ölçüyor. Sıradaki soru yapısal: bir devresel grubun bütün alt grupları nasıl görünür? Yanıt şaşırtıcı ölçüde eksiksizdir — hepsi devreseldir ve mertebeleri, grup mertebesinin bölenleriyle birebir eşleşir: devresel grubun alt grupları.