12 Doğurulan Alt Gruplar
Bir grubun içinde belli elemanları — diyelim tek bir \(a\) elemanını — kapsayan en küçük alt grup hangisidir? Bu sorunun temiz yanıtı iki adımda kurulur: önce alt grupların kesişiminin yine alt grup olduğu gösterilir, sonra “verilen kümeyi kapsayan bütün alt grupların kesişimi” alınır. Bu bölümde bu inşayı yapıyor ve doğurulan alt grubun somut betimlemesini kanıtlıyoruz: o, doğurayların bütün kuvvet çarpımlarının kümesidir.
12.1 Alt Grupların Kesişimi
Teorem 12.1 (Alt Grupların Kesişimi Alt Gruptur) Bir \(G\) grubunun sonlu ya da sonsuz sayıda alt grubunun kesişimi de \(G\)’nin bir alt grubudur.
İspat
\(\dot{I}\) bir indis kümesi ve her \(i \in \dot{I}\) için \(H_i \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) olsun. Her alt grup \(1_G\)’yi içerdiğinden
\[1_G \in \bigcap_{i \in \dot{I}} H_i\]
ve kesişim boş değildir. Şimdi \(a, b \in \bigcap H_i\) alalım: her \(i\) için \(a, b \in H_i\)’dir ve \(H_i\) alt grup olduğundan tek koşullu ölçüt gereği \(a b^{-1} \in H_i\) olur. Bu her \(i\) için doğru olduğundan
\[a b^{-1} \in \bigcap_{i \in \dot{I}} H_i\]
Tek koşullu alt grup ölçütüne göre kesişim \(G\)’nin bir alt grubudur.
\(\blacksquare\)
12.2 Doğurulan Alt Grup
Tanım 12.1 (Doğurulan Alt Grup ve Doğuraylar) \(G\) bir grup ve \(\varnothing \neq M \subseteq G\) olsun. \(G\)’nin \(M\)’yi kapsayan bütün alt gruplarının kesişimine \(G\)’nin \(M\) tarafından doğurulan alt grubu denir:
\[G(M) = \bigcap_{M \subseteq H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G} H\]
\(M\)’nin elemanlarına \(G(M)\)’nin doğurayları denir. \(M = \{a\}\) tek elemanlıysa \(G(\{a\})\) yerine kısaca \(G(a)\) yazılır.
\(G(M) = G\) oluyorsa “\(G\) grubu \(M\) tarafından doğurulmuştur” denir; \(M\) ayrıca sonluysa \(G\)’ye sonlu doğuraylı grup denir.
Tanım gereği \(G(M)\); \(M\)’yi kapsayan alt grupların en küçüğüdür: hem kendisi böyle bir alt gruptur (kesişim teoremi) hem de \(M\)’yi kapsayan her alt grup, kesişimin bir çarpanı olduğundan \(G(M)\)’yi kapsar.
Kesişim tanımı zarif ama hesaba elverişsiz; elemanları tek tek betimleyen ikinci bir tanıma ihtiyacımız var.
Tanım 12.2 (Kuvvet Çarpımı) \(G\) grubunun \(a_1, a_2, \dots, a_k\) gibi sonlu sayıda elemanıyla kurulan
\[a_1^{m_1} a_2^{m_2} \cdots a_k^{m_k} \qquad (m_i \in \mathbb{Z})\]
biçimindeki çarpıma, bu elemanların bir kuvvet çarpımı denir. (Elemanlar tekrarlanabilir; kuvvetler negatif ya da sıfır olabilir.)
Teorem 12.2 (Doğurulan Alt Grubun Betimlenmesi) \(G(M)\); \(M\)’nin elemanlarının bütün kuvvet çarpımlarından oluşan küme ile çakışır.
İspat
\(M\)’nin elemanlarının bütün kuvvet çarpımlarının kümesine \(K\) diyelim; \(G(M) = K\) olduğunu iki kapsama ile gösterelim.
\(K \subseteq G(M)\): \(a_1^{m_1} \cdots a_k^{m_k} \in K\) olsun (\(a_i \in M\)). \(M \subseteq G(M)\) ve \(G(M)\) bir gruptur; grup, elemanlarının terslerini ve çarpımlarını içerdiğinden her \(a_i^{m_i}\)’yi, dolayısıyla bunların çarpımını da içerir:
\[a_1^{m_1} \cdots a_k^{m_k} \in G(M)\]
\(G(M) \subseteq K\): Önce \(M \subseteq K\)’dir: her \(a \in M\) için \(a = a^1\) bir kuvvet çarpımıdır. Şimdi \(K\)’nin bir alt grup olduğunu görelim: \(K \neq \varnothing\) ve \(K \subseteq G\)’dir; iki kuvvet çarpımı için
\[\big(a_1^{m_1} \cdots a_k^{m_k}\big)\big(b_1^{n_1} \cdots b_l^{n_l}\big)^{-1} = a_1^{m_1} \cdots a_k^{m_k}\, b_l^{-n_l} \cdots b_2^{-n_2}\, b_1^{-n_1}\]
sağ taraf yine \(M\)’nin elemanlarının bir kuvvet çarpımıdır, yani \(K\)’dedir. Tek koşullu ölçüt gereği \(K \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir. \(M\)’yi kapsayan bir alt grup bulduk; \(G(M)\), böyle alt grupların kesişimi olduğundan
\[G(M) \subseteq K\]
İki kapsama birlikte \(G(M) = K\) verir.
\(\blacksquare\)
12.3 İlk Örnekler
Örnek 12.1 (\(\mathbb{Z}_{13}^{*}\)’da Doğurulan Alt Gruplar) \(13\) asal olduğundan \(\mathbb{Z}_{13}^{*} = \langle \mathbb{Z}_{13} - \{\bar{0}\}, \cdot \rangle\) bir gruptur; elemanlarını \(\{\mp\bar{1}, \mp\bar{2}, \dots, \mp\bar{6}\}\) biçiminde yazmak hesabı kısaltır (\(\overline{12} = -\bar{1}\) gibi).
\(\bar{4}\) tarafından doğurulan alt grubu bulunuz.
\(\bar{2}\) tarafından doğurulan alt grubu bulunuz.
Çözüm
Tek elemanla doğurulan alt grup, o elemanın bütün kuvvetlerinin kümesidir.
a) Kuvvetleri sırayla hesaplayalım:
\[\bar{4}^0 = \bar{1}, \quad \bar{4}^1 = \bar{4}, \quad \bar{4}^2 = \overline{16} = \bar{3}, \quad \bar{4}^3 = \bar{4} \cdot \bar{3} = \overline{12} = -\bar{1}\]
\(-\bar{1}\)’e ulaştık; sonraki üç kuvvet öncekilerin işaretlisidir:
\[\bar{4}^4 = -\bar{4}, \quad \bar{4}^5 = -\bar{3}, \quad \bar{4}^6 = \bar{1}\]
Kuvvetler bundan sonra dönmeye başlar (negatif kuvvetler de aynı kümede kalır: \(\bar{4}^{-1} = \bar{4}^{5}\)). O hâlde
\[\mathbb{Z}_{13}^{*}(\bar{4}) = \{\mp\bar{1}, \mp\bar{3}, \mp\bar{4}\}\]
altı elemanlı bir alt gruptur.
b) Aynı hesap:
\[\bar{2}^1 = \bar{2}, \quad \bar{2}^2 = \bar{4}, \quad \bar{2}^3 = \overline{8} = -\bar{5}, \quad \bar{2}^4 = \overline{16} = \bar{3}, \quad \bar{2}^5 = \bar{6}, \quad \bar{2}^6 = \overline{12} = -\bar{1}\]
\[\bar{2}^7 = -\bar{2}, \quad \bar{2}^8 = -\bar{4}, \quad \bar{2}^9 = \bar{5}, \quad \bar{2}^{10} = -\bar{3}, \quad \bar{2}^{11} = -\bar{6}, \quad \bar{2}^{12} = \bar{1}\]
On iki kuvvet, grubun on iki elemanının tamamını verdi:
\[\mathbb{Z}_{13}^{*}(\bar{2}) = \mathbb{Z}_{13}^{*}\]
Yani \(\mathbb{Z}_{13}^{*}\) grubu \(\bar{2}\) tarafından doğurulmuştur.
\(\blacksquare\)
Örnek 12.2 (\(S_3\)’te Bir Transpozisyonun Doğurdukları) \(S_3\)’te \((1\,2)\) tarafından doğurulan alt grup:
\[(1\,2)^0 = I, \qquad (1\,2)^1 = (1\,2), \qquad (1\,2)^2 = I\]
Kuvvetler iki değer arasında salınır:
\[S_3\big((1\,2)\big) = \{I, (1\,2)\}\]
Aynı grupta bir eleman bütün grubu doğurabiliyor (\(\bar{2}\)), bir başkası küçücük bir alt grupta takılıp kalabiliyor (\(\bar{4}\) ya da \((1\,2)\)). Tek elemanla doğurulan bu gruplar o kadar temel ki kendilerine ayrılmış bir ada ve ayrıntılı bir teoriye sahipler: devresel gruplar.