13 Devresel Gruplar
Tek bir eleman tarafından doğurulan gruplar, grup dünyasının en yalın üyeleridir: bütün grup, \(a\)’nın kuvvetlerinden ibarettir. Bu bölümde devresel grupları tanımlıyor, her devresel grubun komutatif olduğunu görüyor ve temel ikiliği kuruyoruz: kuvvetlerin hepsi birbirinden farklıysa grup sonsuzdur; iki kuvvet çakışıyorsa grup sonludur ve çok düzenli bir biçimi vardır — \(\{1_G, a, a^2, \dots, a^{\tau-1}\}\).
13.1 Tanım ve İlk Özellik
Tanım 13.1 (Devresel Grup) Bir tek elemanı tarafından doğurulan gruba devresel grup denir. \(G\) devresel grubu \(a \in G\) tarafından doğuruluyorsa
\[G = \langle a \rangle = \{a^n : n \in \mathbb{Z}\} = \{\dots, a^{-2}, a^{-1}, 1_G, a, a^2, \dots\}\]
yazılır; \(a\)’ya \(G\)’nin bir doğurayı denir.
(Kuvvet çarpımı betimlemesi tek doğurayda kuvvet kümesine indirgenir: \(a^{m_1} a^{m_2} \cdots a^{m_k} = a^{m_1 + \cdots + m_k}\).)
Teorem 13.1 (Devresel Gruplar Komutatiftir) Her devresel grup komutatiftir.
İspat
\(G = \langle a \rangle\) olsun. \(G\)’nin herhangi iki elemanı \(a^m\) ve \(a^n\) biçimindedir; kuvvet kuralları ve \(\mathbb{Z}\)’de toplamanın komutatifliğiyle
\[a^m \cdot a^n = a^{m+n} = a^{n+m} = a^n \cdot a^m\]
\(\blacksquare\)
Bu basit teorem sık sık ters yönde iş görür: komutatif olmayan bir grup (\(S_3\) gibi) devresel olamaz.
13.2 Sonsuz ve Sonlu Devresel Gruplar
\(\langle a \rangle\) devresel grubunda iki durum söz konusudur.
Birinci durum: \(m \neq n\) olan her \(m, n \in \mathbb{Z}\) çifti için \(a^m \neq a^n\)’dir. Kuvvetlerin hepsi birbirinden farklı olduğundan grup sonsuzdur; \(\langle a \rangle\)’ya sonsuz devresel grup denir. Örnek: \(\langle \mathbb{Z}, + \rangle = \langle 1 \rangle\) (toplamsal yazışta kuvvetlerin yerini katlar alır: \(n \cdot 1 = n\)).
İkinci durum: \(a^m = a^n\) olacak biçimde \(m > n\) tam sayıları vardır. O zaman
\[a^m \cdot a^{-n} = a^n \cdot a^{-n} \implies a^{m-n} = 1_G, \qquad m - n \in \mathbb{N}\]
Yani \(a^t = 1_G\) koşulunu sağlayan en az bir doğal sayı \(t\) vardır. Bu doğal sayıların en küçüğüne \(\tau\) diyelim. Aşağıdaki teorem, grubun tamamını \(\tau\) ile betimler.
Teorem 13.2 (Sonlu Devresel Grubun Yapısı) \(\langle a \rangle\) devresel grubunda \(a^t = 1_G\) koşulunu sağlayan doğal sayılar bulunsun ve bunların en küçüğü \(\tau\) olsun. Bu takdirde
\[\langle a \rangle = \{1_G, a, a^2, \dots, a^{\tau - 1}\}\]
ve sağdaki \(\tau\) eleman birbirinden farklıdır; yani \(\langle a \rangle\) sonludur ve mertebesi \(\tau\)’dur.
İspat
Her kuvvet listeye düşer. \(a^n \in \langle a \rangle\) olsun (\(n \in \mathbb{Z}\) herhangi bir tam sayı). \(n\)’yi \(\tau\)’ya bölelim: bölme algoritmasına göre
\[n = \tau q + r, \qquad 0 \leq r < \tau\]
olacak biçimde \(q, r\) tam sayıları tek türlü belirlidir. O hâlde
\[a^n = a^{\tau q + r} = (a^{\tau})^q \cdot a^r = 1_G^q \cdot a^r = a^r, \qquad 0 \leq r \leq \tau - 1\]
yani \(a^n \in \{1_G, a, \dots, a^{\tau-1}\}\)’dir. Ters kapsama açıktır.
Listedekiler birbirinden farklıdır. \(0 \leq r < s < \tau\) için \(a^r = a^s\) olsaydı
\[a^{s-r} = 1_G, \qquad 0 < s - r < \tau\]
olurdu; bu, \(\tau\)’nun en küçük seçilmesiyle çelişir.
İki gözlem birlikte \(|\langle a \rangle| = \tau\) verir.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.1 (Dördüncü Mertebeden Devresel Grup) \(S_4\)’te \(S = (1\,2\,3\,4)\) alalım:
\[S^2 = (1\,3)(2\,4), \qquad S^3 = (1\,4\,3\,2), \qquad S^4 = I\]
O hâlde \(\langle S \rangle = \{I, (1\,2\,3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4\,3\,2)\}\) dördüncü mertebeden devresel bir gruptur. Küçük gruplar sınıflandırmamızdaki iki tipten devresel olanın somut örneğidir.
Grubun ikinci bir doğurayı \((1\,4\,3\,2) = S^3 = S^{-1}\)’dir: tersinin kuvvetleri de aynı kümeyi tarar. Buna karşılık \(T = (1\,3)(2\,4)\) doğuray olamaz; çünkü \(T^2 = I\) olduğundan \(\langle T \rangle = \{I, T\}\) iki elemanda kapanır.
13.3 Kuvvet Hesabının Aritmetiği
Sonlu devresel grupta kuvvet hesabı, \(\tau\) modülüne göre aritmetiğe dönüşür:
Teorem 13.3 (Kuvvetler ve Bölünebilme) \(G = \langle a \rangle\), mertebesi \(\tau\) olan sonlu devresel grup olsun.
- \(s \in \mathbb{Z}\) için: \(a^s = 1_G \iff \tau \mid s\)
- \(m, n \in \mathbb{Z}\) için: \(a^m = a^n \iff m \equiv n \pmod{\tau}\)
İspat
1) (\(\Leftarrow\)) \(\tau \mid s\) ise \(s = \tau s'\) yazılır ve
\[a^s = (a^{\tau})^{s'} = 1_G^{s'} = 1_G\]
(\(\Rightarrow\)) \(a^s = 1_G\) olsun. Bölme algoritmasıyla \(s = \tau q + r\), \(0 \leq r < \tau\) yazalım:
\[1_G = a^s = (a^{\tau})^q \cdot a^r = a^r\]
\(r \neq 0\) olsaydı, \(a^r = 1_G\) ve \(0 < r < \tau\) birlikte \(\tau\)’nun en küçüklüğüyle çelişirdi. O hâlde \(r = 0\), yani \(\tau \mid s\)’dir.
2) \(a^m = a^n \iff a^{m-n} = 1_G \iff \tau \mid (m - n) \iff m \equiv n \pmod{\tau}\); ortadaki adımda 1) kullanıldı.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, sonlu devresel grupla \(\langle \mathbb{Z}_\tau, + \rangle\) arasındaki derin benzerliğin ilk işaretidir: kuvvetlerin üsleri, \(\tau\) modülüne göre kalan sınıfları gibi davranır.
Sonlu devresel grubun mertebesi \(\tau\), doğurayın kendine has bir niceliğidir: \(a^t = 1_G\) yapan en küçük doğal sayı. Bu sayı yalnız devresel gruplarda değil, herhangi bir grubun herhangi bir elemanı için tanımlanabilir ve grup teorisinin en çok kullanılan kavramlarından biridir: bir elemanın mertebesi.