2 Yarı Grup, Monoid ve Grup

Önceki bölümde kapalılık, asosyatiflik, birim ve ters koşullarının birbirinden bağımsız olduğunu gördük. Şimdi bu koşulları katman katman ekleyerek cebirin temel yapı hiyerarşisini kuruyoruz: yalnız asosyatiflik varsa yarı grup, birim de eklenirse monoid, her elemanın tersi de varsa grup. Bu dersin geri kalanının kahramanı gruptur; yarı grup ve monoid ise grubun hangi koşuldan vazgeçilince nasıl zayıfladığını gösteren ara duraklardır.

2.1 Yarı Grup ve Monoid

Tanım 2.1 (Tek İşlemli Cebirsel Yapı) İçinde bir tane ikili işlem tanımlanmış cebirsel yapıya tek işlemli cebirsel yapı denir.

Tanım 2.2 (Yarı Grup) İçinde asosyatif bir ikili işlem tanımlanmış tek işlemli cebirsel yapıya yarı grup denir. Yarı grubun işlemi ayrıca komutatif ise yapıya komutatif (abelyen) yarı grup denir.

Tanım 2.3 (Monoid) Birim elemanı olan yarı gruba monoid denir. Monoidin işlemi komutatif ise yapıya komutatif (abelyen) monoid denir.

Tanımları aksiyom listeleri hâlinde yazmak, bir yapıyı denetlerken neyi sırayla kontrol edeceğimizi netleştirir. \(M \neq \varnothing\) kümesinde bir \(\circ\) işlemi verilsin.

Yarı grup aksiyomları:

\[\textbf{I.} \ \forall a, b \in M \quad a \circ b \in M \qquad \text{(kapalılık)}\]

\[\textbf{II.} \ \forall a, b, c \in M \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c) \qquad \text{(asosyatiflik)}\]

Monoid aksiyomları: I ve II’ye ek olarak

\[\textbf{III.} \ \exists\, e \in M \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in M \quad e \circ a = a \circ e = a \qquad \text{(birim eleman)}\]

Komutatif yapılar için listeye \(\forall a, b \in M\) için \(a \circ b = b \circ a\) koşulu eklenir; bu durumda III’te tek taraflı \(e \circ a = a\) koşulu yeterlidir, çünkü komutatiflik diğer tarafı bedavaya getirir.

2.2 Grup Kavramı

Tanım 2.4 (Grup) \(G \neq \varnothing\) kümesinde aşağıdaki dört koşulu sağlayan bir \(\circ\) ikili işlemi tanımlanmış olsun:

\[\textbf{I.} \ \forall a, b \in G \quad a \circ b \in G\]

\[\textbf{II.} \ \forall a, b, c \in G \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\]

\[\textbf{III.} \ \exists\, e \in G \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in G \quad e \circ a = a \circ e = a\]

\[\textbf{IV.} \ \forall a \in G \ \ \exists\, a^{*} \in G \ \text{ öyle ki } \ a^{*} \circ a = a \circ a^{*} = e\]

Bu durumda \(\langle G, \circ \rangle\) tek işlemli cebirsel yapısına bir grup denir; \(G\), \(\circ\) işlemine göre bir gruptur denir.

Tanım 2.5 (Komutatif (Abelyen) Grup) \(\langle G, \circ \rangle\) grubundaki \(\circ\) işlemi komutatif ise gruba komutatif grup veya abelyen grup denir.

Grup, birimli ve her elemanı tersinir bir monoiddir: yarı grup \(\subset\) monoid \(\subset\) grup zinciri, her adımda bir aksiyom ekler. Birim elemanın ve terslerin teklik teoremleri önceki bölümde kanıtlandığından, bir grupta \(e\) ve her \(a\)’nın tersi otomatik olarak tek türlü belirlidir; bu gerçeğe sık sık başvuracağız.

2.3 Tanıdık Yapıların Sınıflandırması

Örnek 2.1 (Sayı Kümelerinin Sınıflandırması) Aşağıdaki yapıların her birinin yarı grup mu, monoid mi, grup mu olduğunu belirleyiniz. (\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\); \(\mathbb{Z}_{\text{ç}}\) çift, \(\mathbb{Z}_{\text{t}}\) tek tam sayılar.)

\[\langle \mathbb{N}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{N}, \cdot \rangle, \quad \langle \mathbb{Z}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{Z}, \cdot \rangle, \quad \langle \mathbb{Q}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{Q} - \{0\}, \cdot \rangle\]

\[\langle \mathbb{R}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle, \quad \langle \mathbb{R}^{+}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{R}^{-}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\]

\[\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, + \rangle, \quad \langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle, \quad \langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, \cdot \rangle\]

Çözüm

Hepsinde işlem, alışılmış toplama ya da çarpma olduğundan asosyatiflik ve komutatiflik hazırdır; ayırt edici sorular kapalılık, birim ve terslerdir.

\(\langle \mathbb{N}, + \rangle\): kapalı, ama \(0 \notin \mathbb{N}\) olduğundan birim yok — komutatif yarı grup. Grup olamaz.
\(\langle \mathbb{N}, \cdot \rangle\): kapalı, birimi \(1\); ama örneğin \(x \cdot 2 = 1\) denkleminin \(\mathbb{N}\)’de çözümü olmadığından \(2\)’nin tersi yok — komutatif monoid.
\(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\): birimi \(0\), her \(a\)’nın tersi \(-a\) — komutatif grup.
\(\langle \mathbb{Z}, \cdot \rangle\): birimi \(1\); \(\mp 1\) dışındakilerin tersi yok — komutatif monoid.
\(\langle \mathbb{Q}, + \rangle\), \(\langle \mathbb{R}, + \rangle\): komutatif grup.
\(\langle \mathbb{Q} - \{0\}, \cdot \rangle\), \(\langle \mathbb{R} - \{0\}, \cdot \rangle\): sıfır atıldığı için her elemanın tersi kümededir — komutatif grup. (Sıfırdan farklı iki sayının çarpımı sıfırdan farklı olduğundan kapalılık da korunur.)
\(\langle \mathbb{R}^{+}, + \rangle\) ve \(\langle \mathbb{R}^{-}, + \rangle\): birim eleman yok — birer komutatif yarı grup.
\(\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\): birimi \(1\), tersler \(\frac{1}{\alpha}\) — komutatif grup.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, + \rangle\): birimi \(0\), tersler \(-a\) — komutatif grup.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle\): birimi \(1\); \(\mp 1\) dışında ters yok — komutatif monoid.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, \cdot \rangle\): birim eleman yok (\(1\) çift değildir) — komutatif yarı grup.

\(\blacksquare\)

Tablonun dengesine dikkat edin: aynı küme bir işleme göre grupken (\(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\)) öbür işleme göre yalnızca monoid kalabilir (\(\langle \mathbb{Z}, \cdot \rangle\)). Yapı, kümenin değil küme ile işlemin birlikte özelliğidir.

Bir sonraki bölümde soyut tanımın ete kemiğe büründüğü daha zengin örnekleri inceleyeceğiz: üçlüler kümesi üzerinde kurulan gruplar ve sıfırdan farklı kompleks sayıların çarpma grubu — grup örnekleri.