6 Kuvvetler ve Katlar
Bir grupta \(a \cdot a \cdot a\) gibi çarpımlar yazabilmek için önce ikiden çok elemanın çarpımının parantezlemeden bağımsız olduğunu bilmemiz gerekir. Bu bölümde önce \(n\)’li çarpımı tanımlayıp genel asosyatiflik ve genel komutatiflik kurallarını kaydediyor, sonra bir elemanın tam sayılı kuvvetlerini tanımlayarak lise cebirinden tanıdık kuvvet kurallarının grup ortamındaki karşılıklarını kanıtlıyoruz. Bölüm, toplamsal yazıştaki karşılıklar — katlar — ile kapanıyor. Bu aritmetik, devresel gruplar teorisinin tamamının dilidir.
6.1 n’li Çarpım
Tanım 6.1 (n’li Çarpım) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(a_1, a_2, \dots, a_n \in G\) olsun (\(n \geq 2\)). Bu elemanların (bu sıradaki) çarpımı tümevarımla tanımlanır:
- \(n = 2\) için \(a_1 a_2\) zaten tanımlıdır;
- \(n > 2\) için \(a_1 a_2 \cdots a_n = (a_1 a_2 \cdots a_{n-1}) \cdot a_n\).
Gösteriş: \(a_1 a_2 \cdots a_n = \prod_{\nu=1}^{n} a_\nu\); \(n = 1\) için \(\prod_{\nu=1}^{1} a_\nu = a_1\) olarak tanımlanır.
Teorem 6.1 (Genel Asosyatiflik) Bir grupta herhangi \(n\) (\(n \geq 3\)) elemanın çarpımında çarpanlar, sıraları bozulmadan istenildiği gibi paranteze alınabilir:
\[a_1 \cdots a_k \, a_{k+1} \cdots a_n = (a_1 \cdots a_k) \cdot (a_{k+1} \cdots a_n) \qquad (1 \leq k \leq n-1)\]
Teorem 6.2 (Genel Komutatiflik) \(a_1, \dots, a_n\) (\(n \geq 2\)), bir grubun ikişer ikişer komutatif elemanları olsun (\(a_i a_j = a_j a_i\)). \(i_1, \dots, i_n\), \(1, \dots, n\) sayılarının herhangi bir permütasyonu olmak üzere
\[a_1 a_2 \cdots a_n = a_{i_1} a_{i_2} \cdots a_{i_n}\]
İki teorem birlikte şunu söyler: ikişer ikişer komutatif elemanların çarpımında çarpanları istediğimiz sıraya sokabilir ve istediğimiz gibi paranteze alabiliriz. Her iki teorem de \(n\) üzerinde tümevarımla kanıtlanır; ispatlar kavramsal bir yenilik içermediğinden ayrıntılarını atlıyoruz.
6.2 Tam Sayılı Kuvvetler
Tanım 6.2 (Bir Elemanın Tam Sayılı Kuvvetleri) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup, \(a \in G\) ve \(n \in \mathbb{Z}\) olsun. \(a\)’nın \(n\). kuvveti \(a^n\) şöyle tanımlanır:
- \(n > 0\) için: \(a^1 = a\); \(n \geq 2\) için \(a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ tane}}\)
- \(n = 0\) için: \(a^0 = 1_G\)
- \(n < 0\), \(n = -n'\) (\(n' > 0\)) için: \(a^{-1}\), \(a\)’nın tersi olmak üzere \(a^{-n'} = (a^{-1})^{n'} = \underbrace{a^{-1} \cdot a^{-1} \cdots a^{-1}}_{n' \text{ tane}}\)
Teorem 6.3 (Kuvvetlerin Temel Özellikleri) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup, \(a, b \in G\) ve \(m, n \in \mathbb{Z}\) olsun.
- \((a^{-1})^{-1} = a\)
- \((a \cdot b)^{-1} = b^{-1} \cdot a^{-1}\); daha genel olarak \((a_1 a_2 \cdots a_k)^{-1} = a_k^{-1} \cdots a_2^{-1} a_1^{-1}\)
- \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\); daha genel olarak \(a^{m_1} a^{m_2} \cdots a^{m_k} = a^{m_1 + m_2 + \cdots + m_k}\)
- \((a^m)^n = a^{mn}\)
- \(a \cdot b = b \cdot a\) ise her \(n \in \mathbb{Z}\) için \((a b)^n = a^n b^n\); daha genel olarak \(a_1, \dots, a_k\) ikişer ikişer komutatif ise \((a_1 \cdots a_k)^n = a_1^n \cdots a_k^n\)
İspat
Kuralların tümü tanımdan tümevarımla çıkar; en öğretici üçünü kanıtlayalım.
1) \(a^{-1} \cdot a = a \cdot a^{-1} = 1_G\) eşitliği, ters tanımına göre \(a\)’nın \(a^{-1}\)’in tersi olduğunu söyler; ters tek türlü belirli olduğundan \((a^{-1})^{-1} = a\)’dır.
2) \(x = (ab)^{-1}\) diyelim: \(x \cdot (ab) = 1_G\). Asosyatiflikle \((x a) b = 1_G\), yani \(xa\), \(b\)’nin sol tersidir: \(xa = b^{-1}\). Buradan sağdan \(a^{-1}\) uygulayarak \(x = b^{-1} a^{-1}\) bulunur. Genelleştirme \(k\) üzerinde tümevarımla yapılır.
5) Üç durumu ayıralım.
\(n > 0\): \(n = 1\) için eşitlik açıktır. \(n \geq 2\) için
\[(ab)^n = \underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{n} = \underbrace{(a a \cdots a)}_{n}\underbrace{(b b \cdots b)}_{n} = a^n b^n\]
Ortadaki adımda \(a\) ile \(b\)’nin komutatifliği sayesinde genel komutatiflik ve genel asosyatiflik kuralları kullanıldı.
\(n = 0\): \((ab)^0 = 1_G = 1_G \cdot 1_G = a^0 b^0\).
\(n < 0\), \(n = -n'\): Önce \(ab = ba\)’dan \((ab)^{-1} = (ba)^{-1}\), yani \(b^{-1}a^{-1} = a^{-1}b^{-1}\) olduğunu not edelim: tersler de komutatiftir. O hâlde
\[(ab)^{-n'} = \big[(ab)^{-1}\big]^{n'} = (b^{-1}a^{-1})^{n'} = (a^{-1}b^{-1})^{n'}\]
\[= (a^{-1})^{n'} (b^{-1})^{n'} = a^{-n'} b^{-n'} = a^n b^n\]
Ortadaki adımda pozitif kuvvet durumu (\(n' > 0\)) uygulandı.
\(\blacksquare\)
\(ab \neq ba\) ise \((ab)^n = a^n b^n\) eşitliği genel olarak yanlıştır. Örneğin \((ab)^2 = abab\)’dir; bunun \(a^2 b^2 = aabb\)’ye eşit olması, ortadaki \(ba\)’nın \(ab\)’ye çevrilebilmesini — yani tam da komutatifliği — gerektirir.
4. kuralın iki kullanışlı özel hâli, \(m = -1\) ve \(n = -1\) değerleriyle elde edilir:
\[a^{-n} = (a^{-1})^n = (a^n)^{-1}\]
Yani “önce ters alıp sonra kuvvet almak” ile “önce kuvvet alıp sonra ters almak” aynı sonucu verir.
6.3 Toplamsal Yazış: Katlar
Komutatif gruplarda işlem çoğu zaman \(+\) ile yazılır; \(\langle G, + \rangle\) yapısına toplam grubu denir. Bu yazışta birim eleman \(0_G\) ile gösterilir ve sıfır elemanı adını alır; \(a\)’nın tersi \(-a\) ile gösterilir. Kuvvetin karşılığı ise kattır:
Tanım 6.3 (Bir Elemanın Tam Sayılı Katları) \(\langle G, + \rangle\) komutatif bir grup, \(a \in G\) ve \(n \in \mathbb{Z}\) olsun. \(a\)’nın \(n\) katı \(na\) şöyle tanımlanır:
- \(n > 0\) için: \(1a = a\); \(n \geq 2\) için \(na = \underbrace{a + a + \cdots + a}_{n \text{ tane}}\)
- \(n = 0\) için: \(0a = 0_G\)
- \(n < 0\), \(n = -n'\) (\(n' > 0\)) için: \((-n')a = n'(-a) = \underbrace{(-a) + (-a) + \cdots + (-a)}_{n' \text{ tane}}\)
Kuvvet kurallarının katlara çevirisi şöyledir; her biri, çarpımsal kardeşinin birebir kopyasıdır:
- \(-(-a) = a\)
- \(-(a + b) = (-a) + (-b)\); genel olarak \(-(a_1 + \cdots + a_k) = (-a_1) + \cdots + (-a_k)\)
- \(ma + na = (m + n)a\); genel olarak \(m_1 a + \cdots + m_k a = (m_1 + \cdots + m_k)a\)
- \(n(ma) = (nm)a\)
- \(n(a + b) = na + nb\) (grup komutatif olduğundan bu kural her zaman geçerlidir)
Artık grup elemanlarıyla serbestçe hesap yapabiliyoruz. Sıradaki doğal soru şu: bir grubun içindeki hangi alt kümeler, aynı işlemle kendi başlarına grup oluşturur? Bu sorunun yanıtı — alt gruplar — dersin bundan sonraki bütün bölümlerinin zeminidir: alt gruplar.