1 İkili İşlem ve Cebirsel Yapılar
Soyut cebir, sayılarla yapageldiğimiz toplama ve çarpma gibi işlemlerin kendisini inceleme konusu yapar: bir kümede tanımlı bir işlem hangi kurallara uyarsa hangi yapı ortaya çıkar? Bu ilk bölümde en temel yapı taşlarını kuruyoruz — ikili işlem, cebirsel yapı, asosyatiflik, komutatiflik, birim eleman ve ters eleman. Bölümün iki küçük ama vazgeçilmez teoremi, birim elemanın ve tersin tek türlü belirli olduğunu söyler; ilerideki bütün grup teorisi bu iki teklik üzerine oturur.
1.1 İkili İşlem ve Cebirsel Yapı
Tanım 1.1 (İkili İşlem) \(M \neq \varnothing\) bir küme olsun. \(M \times M\) kümesini \(M\) içine resmeden bir
\[\circ : M \times M \longrightarrow M, \qquad (a, b) \longmapsto c \in M\]
fonksiyonu varsa, \(M\)’de bir ikili işlem tanımlanmıştır denir; \(\circ\) fonksiyonuna \(M\)’de tanımlanmış bir ikili işlem denir. \(\circ\big((a,b)\big) = c\) yazımı yerine kısaca
\[a \circ b = c\]
gösterimi kullanılır.
Tanımın gizli ama en önemli parçası, sonucun yine \(M\)’de olmasıdır: işlemin sonucu kümenin dışına çıkıyorsa o fonksiyon \(M\)’de bir ikili işlem değildir. Bu koşula kümenin işleme göre kapalı olması denir.
Tanım 1.2 (Cebirsel Yapı) İçinde en az bir ikili işlem tanımlanmış, boş olmayan bir kümeye bir cebirsel yapı denir. \(M\) kümesinde \(\circ\) gibi bir ikili işlem tanımlıysa bu cebirsel yapı \(\langle M, \circ \rangle\) ile gösterilir.
1.2 Asosyatiflik ve Komutatiflik
Tanım 1.3 (Asosyatif İşlem) \(M \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) ikili işlemi
\[\forall a, b, c \in M \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\]
koşulunu sağlıyorsa \(\circ\) işlemine \(M\)’de asosyatif (birleşmeli) bir işlem denir; \(M\), \(\circ\) işlemine göre asosyatiftir denir.
Tanım 1.4 (Komutatif İşlem) \(M \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) ikili işlemi
\[\forall a, b \in M \quad a \circ b = b \circ a\]
koşulunu sağlıyorsa \(\circ\) işlemine \(M\)’de komutatif (değişmeli) bir işlem denir.
1.3 Birim Eleman
Birim elemanı tek hamlede tanımlamak yerine, ileride işimize yarayacak daha ince bir ayrımla başlayalım: işlemin yalnızca bir yanında etkisiz kalan elemanlar.
Tanım 1.5 (Sol Birim, Sağ Birim ve Birim Eleman) \(\langle M, \circ \rangle\) bir cebirsel yapı olsun.
\[\exists\, e_1 \in M \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in M \quad e_1 \circ a = a\]
oluyorsa \(e_1\)’e bir sol birim elemanı;
\[\exists\, e_2 \in M \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in M \quad a \circ e_2 = a\]
oluyorsa \(e_2\)’ye bir sağ birim elemanı denir. Hem sol hem sağ birim olan bir \(e\) elemanına, yani
\[\forall a \in M \quad e \circ a = a \circ e = a\]
koşulunu sağlayan \(e \in M\)’ye \(\langle M, \circ \rangle\) yapısının bir birim elemanı denir.
Teorem 1.1 (Birim Elemanın Tekliği) Bir \(\langle M, \circ \rangle\) cebirsel yapısının birim elemanı varsa tek türlü belirlidir.
İspat
\(e\) ve \(e'\), \(\langle M, \circ \rangle\)’nin iki birim elemanı olsun. \(e\) birim eleman olduğundan her elemanı, bu arada \(e'\)’yü de değiştirmez:
\[e \circ e' = e' \circ e = e'\]
Aynı biçimde \(e'\) birim eleman olduğundan
\[e \circ e' = e' \circ e = e\]
olur. İki eşitliğin sol tarafları aynı olduğundan \(e = e'\) bulunur.
\(\blacksquare\)
1.4 Ters Eleman
Tanım 1.6 (Sol Ters, Sağ Ters ve Ters Eleman) \(\langle M, \circ \rangle\)’nin bir \(e\) birim elemanı bulunsun ve \(a \in M\) olsun.
\[a^{*} \circ a = e\]
olacak biçimde bir \(a^{*} \in M\) varsa \(a^{*}\)’ya \(a\)’nın bir sol tersi;
\[a \circ a^{**} = e\]
olacak biçimde bir \(a^{**} \in M\) varsa \(a^{**}\)’ya \(a\)’nın bir sağ tersi denir. Hem sol hem sağ ters olan bir \(b\) elemanına, yani
\[b \circ a = a \circ b = e\]
koşulunu sağlayan \(b \in M\)’ye \(a\)’nın bir ters elemanı (kısaca tersi) denir.
Ters elemanın tekliği, birim elemanınkinden farklı olarak bedava gelmez: işlemin asosyatif olması gerekir.
Teorem 1.2 (Ters Elemanın Tekliği) \(M\)’de asosyatif bir \(\circ\) ikili işlemi tanımlı ve \(\langle M, \circ \rangle\)’nin birim elemanı \(e\) olsun. Herhangi bir \(a \in M\) elemanının en çok bir tersi vardır; yani \(a\)’nın tersi varsa tek türlü belirlidir.
İspat
\(a'\) ve \(a''\), \(a\)’nın iki tersi olsun:
\[a' \circ a = a \circ a' = e \qquad (1)\]
\[a'' \circ a = a \circ a'' = e \qquad (2)\]
\((1)\)’deki \(a \circ a' = e\) eşitliğini soldan \(a''\) ile işleme sokalım:
\[a'' \circ (a \circ a') = a'' \circ e = a''\]
\((2)\)’deki \(a'' \circ a = e\) eşitliğini sağdan \(a'\) ile işleme sokalım:
\[(a'' \circ a) \circ a' = e \circ a' = a'\]
İşlem asosyatif olduğundan iki sol taraf eşittir:
\[a'' \circ (a \circ a') = (a'' \circ a) \circ a'\]
O hâlde \(a'' = a'\) olur; ters varsa tektir.
\(\blacksquare\)
1.5 Çözümlü Örnekler
Örnek 1.1 (Birim Elemanı Olmayan Bir Yapı) \(\mathbb{Q}\) kümesinde \(a \circ b = ab + 1\) işlemi tanımlanıyor. (Her \(a, b \in \mathbb{Q}\) için \(ab + 1 \in \mathbb{Q}\) olduğundan bu gerçekten bir ikili işlemdir.)
\(\circ\) işlemi \(\mathbb{Q}\)’da asosyatif midir?
\(\circ\) işlemi komutatif midir?
\(\langle \mathbb{Q}, \circ \rangle\) yapısının birim elemanı var mıdır?
Çözüm
a) İki tarafı ayrı ayrı açalım:
\[(a \circ b) \circ c = (ab + 1) \circ c = (ab+1)c + 1 = abc + c + 1\]
\[a \circ (b \circ c) = a \circ (bc + 1) = a(bc+1) + 1 = abc + a + 1\]
\(c \neq a\) olduğu her durumda iki sonuç farklıdır; örneğin \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\) için sol taraf \(5\), sağ taraf \(4\) çıkar. İşlem asosyatif değildir.
b) \(\mathbb{Q}\)’da çarpma komutatif olduğundan
\[a \circ b = ab + 1 = ba + 1 = b \circ a\]
olur; işlem komutatiftir.
c) Her \(a\) için \(e \circ a = a\) olacak sabit bir \(e\) arıyoruz. \(a \in \mathbb{Q} - \{0\}\) alalım:
\[e \circ a = ea + 1 = a \implies e = \frac{a - 1}{a}\]
Bulunan değer \(a\)’ya bağlı çıktı; oysa birim elemanın \(a\)’dan bağımsız tek bir eleman olması gerekir. O hâlde \(\langle \mathbb{Q}, \circ \rangle\)’nin birim elemanı yoktur.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.2 (Birimi ve Tersleri Olan Bir Yapı) \(\mathbb{Q}\) kümesinde \(a \circ b = \dfrac{ab}{2}\) işlemi tanımlanıyor.
\(\circ\) asosyatif midir?
\(\circ\) komutatif midir?
\(\langle \mathbb{Q}, \circ \rangle\)’nin birim elemanı var mıdır?
\(0\)’ın bu yapıda tersi var mıdır?
\(a \in \mathbb{Q} - \{0\}\) elemanının tersi var mıdır; varsa nedir?
Çözüm
a) \(\mathbb{Q}\)’da çarpmanın asosyatifliğinden
\[(a \circ b) \circ c = \frac{ab}{2} \circ c = \frac{abc}{4}, \qquad a \circ (b \circ c) = a \circ \frac{bc}{2} = \frac{abc}{4}\]
olur; işlem asosyatiftir.
b) \(a \circ b = \dfrac{ab}{2} = \dfrac{ba}{2} = b \circ a\); işlem komutatiftir.
c) \(e \circ a = \dfrac{ea}{2} = a\) eşitliğini her \(a\) için sağlayan tek rasyonel sayı \(e = 2\)’dir ve \(2 \in \mathbb{Q}\)’dur. Birim eleman \(2\)’dir.
d) \(x\)’in \(0\)’ın tersi olması için \(x \circ 0 = 2\) olması gerekir. Ama
\[x \circ 0 = \frac{x \cdot 0}{2} = 0 \neq 2\]
olduğundan böyle bir \(x\) yoktur: \(0\)’ın tersi yoktur.
e) \(x \circ a = 2\) denkleminden
\[\frac{xa}{2} = 2 \implies x = \frac{4}{a} \in \mathbb{Q} \qquad (a \neq 0)\]
bulunur; komutatiflikten \(a \circ \dfrac{4}{a} = 2\) de sağlanır. Sıfırdan farklı her \(a\)’nın tersi \(\dfrac{4}{a}\)’dır.
\(\blacksquare\)
1.6 Tanıdık Kümelerde Bir Tur
Aşağıdaki gözlemler, tanımları en bildik kümeler üzerinde sınar. \(\mathbb{Z}_{\text{ç}} = \{0, \mp 2, \mp 4, \dots\}\) çift tam sayıları, \(\mathbb{Z}_{\text{t}} = \{\mp 1, \mp 3, \mp 5, \dots\}\) tek tam sayıları göstersin.
\(M = \{0, 1, 2, \dots\}\) kümesi toplamaya göre kapalıdır; \(\langle M, + \rangle\) asosyatif ve komutatif bir cebirsel yapıdır, birimi \(0\)’dır. Ama \(0\)’dan farklı hiçbir elemanın tersi yoktur; \(0\)’ın tersi kendisidir.
\(M = \mathbb{Z} \cup \left\{ \frac{1}{n} : n = 2, 3, \dots \right\}\) kümesi \(\mathbb{Q}\)’daki çarpmaya göre kapalı değildir: \(2\) ve \(\frac{1}{3}\) kümededir ama \(2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\) kümede değildir.
\(\mathbb{R}^{+}\) ve \(\mathbb{R}^{-}\) kümeleri toplamaya göre kapalıdır ve işlem asosyatif ile komutatiftir; fakat \(0\) bu kümelerde olmadığından \(\langle \mathbb{R}^{+}, + \rangle\) ve \(\langle \mathbb{R}^{-}, + \rangle\)’nin birim elemanı yoktur.
\(\mathbb{Z}_{\text{t}}\) toplamaya göre kapalı değildir: iki tek sayının toplamı çifttir.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, + \rangle\) kapalı, asosyatif ve komutatiftir; birimi \(0\), her \(a\)’nın tersi \(-a \in \mathbb{Z}_{\text{ç}}\)’dir.
\(\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\) kapalı, asosyatif ve komutatiftir; birimi \(1\), her \(\alpha\)’nın tersi \(\frac{1}{\alpha} \in \mathbb{R}^{+}\)’dır.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle\) kapalı, asosyatif ve komutatiftir, birimi \(1\)’dir; ama \(\mp 1\) dışındaki hiçbir tek sayının tersi yoktur (\(1\) ile \(-1\) kendi kendisinin tersidir).
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, \cdot \rangle\) kapalı, asosyatif ve komutatiftir; fakat \(1\) çift olmadığından birim elemanı yoktur.
Bu tablo şunu gösteriyor: kapalılık, asosyatiflik, birim ve ters birbirinden bağımsız koşullardır — her biri diğerleri sağlanırken tek başına bozulabilir. Bir sonraki bölümde bu koşulların hangi bileşimlerinin hangi yapıları doğurduğunu adlandıracağız: yarı grup, monoid ve grup.