20 Normal Alt Gruplar
Sol ve sağ kalan sınıflarının çakıştığı alt gruplar, grup teorisinde ayrıcalıklı bir role sahiptir: yalnız onların kalan sınıfları üzerinde tutarlı bir çarpma tanımlanabilir. Bu bölümde normal alt grubu tanımlıyor, en kullanışlı normallik ölçütünü — indeksin \(2\) olmasını — kanıtlıyor ve iki uyarı örneği veriyoruz: normal olmayan alt gruplar gerçekten vardır ve normallik zincirleme aktarılmaz.
20.1 Tanım
Tanım 20.1 (Normal Alt Grup) \(\langle G, \cdot \rangle\) bir grup ve \(H\), \(G\)’nin bir alt grubu olsun. Her \(a \in G\) için
\[aH = Ha\]
oluyorsa \(H\)’ye \(G\)’nin bir normal alt grubu denir ve \(H \trianglelefteq G\) ile gösterilir.
\(aH = Ha\) eşitliği, her \(h \in H\) için \(a h = h a\) olması demek değildir; iki kümenin çakışması demektir. Yani her \(h \in H\)’ye karşılık \(a h = h' a\) olacak biçimde bir \(h' \in H\) vardır — ama \(h'\), \(h\)’den farklı olabilir. Normallik, eleman eleman değişmeden çok daha zayıf bir koşuldur.
Örnek 20.1 (Trivial Alt Gruplar Normaldir) Her \(G\) grubunda iki trivial alt grup da normaldir:
- \(G \trianglelefteq G\): her \(a\) için \(aG = G = Ga\)’dır (\(aG = G\) eşitliği için: kapalılıktan \(aG \subseteq G\); tersine her \(g \in G\), \(g = a(a^{-1}g) \in aG\) yazılır).
- \(\{1_G\} \trianglelefteq G\): her \(a\) için \(a\{1_G\} = \{a\} = \{1_G\}a\)’dır.
Örnek 20.2 (Normal Olmayan Bir Alt Grup) \(S_3\)’ün \(H = \{I, (2\,3)\}\) alt grubu normal değildir: \((1\,2) \in S_3\) için
\[(1\,2)H = \{(1\,2),\ (1\,2)(2\,3)\} = \{(1\,2),\ (1\,2\,3)\}\]
\[H(1\,2) = \{(1\,2),\ (2\,3)(1\,2)\} = \{(1\,2),\ (1\,3\,2)\}\]
\((1\,2)H \neq H(1\,2)\) olduğundan \(H \not\trianglelefteq S_3\)’tür. (Aynı biçimde \(\{I, (1\,2)\}\) ve \(\{I, (1\,3)\}\) de normal değildir.)
Komutatif gruplarda bu sorun hiç doğmaz: \(aH = \{ah\} = \{ha\} = Ha\) her zaman sağlanır. Komutatif bir grubun her alt grubu normaldir.
20.2 İndeks 2 Ölçütü
Teorem 20.1 (İndeksi 2 Olan Alt Gruplar Normaldir) Bir grupta indeksi \(2\) olan her alt grup normaldir.
İspat
\(H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) ve \([G : H] = 2\) olsun.
\(a \in G - H\) alalım. Sol bölmelemede yalnız iki sınıf vardır ve biri \(H\)’dir; \(a \notin H\) olduğundan ikinci sınıf \(aH\)’dir ve
\[G = H \cup aH, \qquad H \cap aH = \varnothing \implies aH = G - H\]
Aynı akıl yürütme sağ bölmeleme için \(Ha = G - H\) verir. O hâlde
\[aH = G - H = Ha \qquad (a \in G - H)\]
\(a \in H\) için ise \(aH = H = Ha\) zaten sağlanır. Her iki durumda da \(aH = Ha\) olduğundan \(H \trianglelefteq G\)’dir.
\(\blacksquare\)
Sonuç 20.1 (\(A_n \trianglelefteq S_n\)) Alterne grup, simetrik grubun normal alt grubudur.
İspat
\[[S_n : A_n] = \frac{|S_n|}{|A_n|} = \frac{n!}{n!/2} = 2\]
olduğundan indeks 2 ölçütü uygulanır.
\(\blacksquare\)
20.3 Normallik Geçişken Değildir
Normalliğin iki incelikli davranışını kaydedelim. Birincisi zararsızdır:
Örnek 20.3 (Normallik Ara Alt Gruba İner) \(K \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\) ve \(K \trianglelefteq G\) ise \(K \trianglelefteq H\)’dir.
Çözüm
\(K \trianglelefteq G\) olduğundan her \(a \in G\) için \(aK = Ka\)’dır; özel olarak her \(a \in H \subseteq G\) için de \(aK = Ka\) sağlanır. \(K\), \(H\)’nin alt grubu olduğundan \(K \trianglelefteq H\) çıkar.
\(\blacksquare\)
İkincisi bir tuzaktır: \(K \trianglelefteq H\) ve \(H \trianglelefteq G\) olsa bile \(K \trianglelefteq G\) gerekmez.
Örnek 20.4 (Normallik Zincirleme Aktarılmaz) \(S_4\) içinde şu üç kümeye bakalım:
\[G = \{I,\ (1\,3),\ (2\,4),\ (1\,2)(3\,4),\ (1\,3)(2\,4),\ (1\,4)(2\,3),\ (1\,2\,3\,4),\ (1\,4\,3\,2)\}\]
\[H = \{I,\ (1\,3),\ (2\,4),\ (1\,3)(2\,4)\}, \qquad K = \{I,\ (1\,3)\}\]
\(G\), \(S_4\)’ün \(8\) elemanlı bir alt grubudur (bir karenin simetri grubu) ve \(K \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} H \underset{\text{a.g.}}{\subseteq} G\)’dir. \(K \trianglelefteq H\) olduğu hâlde \(K \not\trianglelefteq G\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\([H : K] = \dfrac{|H|}{|K|} = \dfrac{4}{2} = 2\) olduğundan indeks 2 ölçütüyle \(K \trianglelefteq H\)’dir.
Öte yandan \((1\,2)(3\,4) \in G\) için sol ve sağ sınıfları karşılaştıralım:
\[(1\,2)(3\,4)\,K = \{(1\,2)(3\,4),\ (1\,2)(3\,4)(1\,3)\} = \{(1\,2)(3\,4),\ (1\,4\,3\,2)\}\]
\[K\,(1\,2)(3\,4) = \{(1\,2)(3\,4),\ (1\,3)(1\,2)(3\,4)\} = \{(1\,2)(3\,4),\ (1\,2\,3\,4)\}\]
(Birinci çarpımda önce \((1\,3)\), sonra \((1\,2)(3\,4)\) uygulanır: \(1 \mapsto 3 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 4 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 1 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 2 \mapsto 1\); sonuç \((1\,4\,3\,2)\). İkincisinde önce \((1\,2)(3\,4)\): \(1 \mapsto 2 \mapsto 2\), \(2 \mapsto 1 \mapsto 3\), \(3 \mapsto 4 \mapsto 4\), \(4 \mapsto 3 \mapsto 1\); sonuç \((1\,2\,3\,4)\).)
İki küme farklı olduğundan \(K\), \(G\)’nin normal alt grubu değildir: normallik geçişken değildir.
\(\blacksquare\)
20.4 Basit Gruplar
Tanım 20.2 (Basit Grup) Trivial alt gruplarından başka hiçbir normal alt grubu bulunmayan gruba basit grup denir.
Örnek 20.5 (Asal Mertebeli Gruplar Basittir) Mertebesi asal olan her grup basittir: \(|G| = p\) asalsa Lagrange teoreminden her alt grubun mertebesi \(1\) veya \(p\)’dir; yani \(G\)’nin trivial olanlardan başka alt grubu — normal olsun olmasın — yoktur.
Basit gruplar, sonlu grup teorisinin “asal sayılarıdır”: her sonlu grup, basit gruplardan katmanlar hâlinde kurulur. Bu katmanların harcını da tam olarak normal alt gruplar sağlar — bir normal alt grup, kalan sınıflarından yeni ve daha küçük bir grup üretmeye izin verir. Bu inşa, dersin dönüm noktalarından biridir: bölüm grupları.