35 Pozitif Terimli Seriler ve Karşılaştırma Testleri
Serilere Giriş bölümünde bir serinin yakınsaklığını, kısmi toplamlar dizisinin yakınsaklığı olarak tanımladık. Bu tanım kusursuzdur ama kullanışlı değildir: kısmi toplam \(s_n\) için kapalı bir formül yazamadığımız her seride — ki bu, karşımıza çıkan serilerin neredeyse tamamıdır — tanıma doğrudan başvurmak imkânsızdır. Elimizde teleskopik seriler, geometrik seri ve birkaç yapay örnek dışında kapalı formülü hesaplanabilen seri yoktur.
Bu yüzden analizde serilerin toplamını bulmak ile serinin yakınsak olup olmadığına karar vermek birbirinden kesin biçimde ayrılır. İkincisi çok daha kolaydır ve çoğu uygulamada zaten sorulan sorudur. Bu bölümden başlayarak, toplamı hiç hesaplamadan yakınsaklığa karar vermeyi sağlayan yakınsaklık testleri (convergence tests) kuracağız.
Bütün bu testlerin çıkış noktası tek ve çok basit bir gözlemdir: terimlerin hepsi negatif değilse, kısmi toplamlar dizisi artandır. Artan bir dizinin yakınsaklığı ise Analiz 1’den bildiğimiz tek bir koşula indirgenir — üstten sınırlı olmak (bkz. Analiz 1). Böylece bir serinin yakınsaklığı sorusu, bir sayı kümesinin sınırlılığı sorusuna dönüşür; sınırlılık ise eşitsizliklerle çalışıldığında çok daha esnektir. “Karşılaştırma” fikri tam olarak buradan doğar: terimleri daha büyük olan yakınsak bir seri bulabilirsek, kendi serimizin kısmi toplamları da sınırlı kalır.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: negatif olmayan ve pozitif terimli serilerin tanımı; böyle bir serinin yakınsaklığının kısmi toplamların üstten sınırlılığına denk olması; negatif olmayan terimli bir serinin ya yakınsadığı ya da \(+\infty\)’a ıraksadığı; harmonik serinin bu ölçütle ıraksaklığı; karşılaştırma testi (comparison test) ile kuyruk ve mutlak değerli biçimleri; sınırlı bir dizinin yakınsak bir seriyle terim terim çarpımı; ve eşitsizlik kurmayı gereksiz kılan pratik araç olan limit karşılaştırma testi (limit comparison test) ile asimptotik eşdeğerlik ilkesi.
35.1 Negatif Olmayan Terimli Seriler
Önce üzerinde çalışacağımız seri sınıfını adlandıralım.
Tanım 35.1 (Negatif Olmayan ve Pozitif Terimli Seriler) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) bir seri olsun.
Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k \ge 0\) ise bu seriye negatif olmayan terimli seri (series with non-negative terms) denir.
Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k > 0\) ise bu seriye pozitif terimli seri (series with positive terms) denir.
Pozitif terimli her seri aynı zamanda negatif olmayan terimli bir seridir; kuracağımız bütün teoremler negatif olmayan terimli seriler için geçerli olduğundan, pozitif terimli seriler için de geçerlidir. Uygulamada iki sınıf arasındaki fark, yalnızca limit karşılaştırma testinde paydaya yazacağımız terimin sıfırdan farklı olmasını istediğimizde ortaya çıkacaktır.
Bu sınıfın bütün gücü tek bir gözlemde saklıdır. \((s_n)\), serinin kısmi toplamlar dizisi olsun. Her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[s_{n+1} - s_n = a_{n+1} \ge 0\]
olduğundan \(s_{n+1} \ge s_n\), yani \((s_n)\) artan bir dizidir (bkz. Analiz 1). Artan diziler için yakınsaklık sorusunun yanıtı Analiz 1’de tamamen verilmişti: artan bir dizi yakınsaktır ancak ve ancak üstten sınırlıysa. Bu gözlemi bir teorem hâline getirelim.
Teorem 35.1 (Sınırlı Kısmi Toplam Ölçütü) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) negatif olmayan terimli bir seri ve \((s_n)\) onun kısmi toplamlar dizisi olsun. O hâlde
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k \ \text{yakınsaktır} \iff (s_n) \ \text{dizisi üstten sınırlıdır.}\]
Üstelik bu durumda serinin toplamı
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \sup \{ s_n : n \in \mathbb{N} \}\]
olur.
İspat
Önce her iki yönde de kullanacağımız şu olguyu belirtelim: \(a_k \ge 0\) olduğundan her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n + 0 = s_n,\]
yani \((s_n)\) artandır.
(\(\Rightarrow\)) Yakınsaksa sınırlıdır. Seri yakınsak olsun. Serinin yakınsaklığı, tanım gereği \((s_n)\) kısmi toplamlar dizisinin yakınsaklığı demektir. Yakınsak her dizi sınırlıdır (bkz. Analiz 1); özel olarak \((s_n)\) üstten sınırlıdır. Bu yönde artanlık kullanılmadı bile: yakınsaklıktan sınırlılığa geçiş her dizi için doğrudur.
(\(\Leftarrow\)) Sınırlıysa yakınsaktır. \((s_n)\) üstten sınırlı olsun. Yukarıda \((s_n)\)’nin artan olduğunu gördük. Monoton yakınsaklık teoremi (bkz. Analiz 1) gereği, üstten sınırlı ve artan bir dizi yakınsaktır ve limiti kendi terimlerinin supremumudur:
\[\lim_{n \to \infty} s_n = \sup \{ s_n : n \in \mathbb{N} \}.\]
\((s_n)\) yakınsak olduğundan seri de yakınsaktır ve toplamı bu supremuma eşittir.
\(\blacksquare\)
Teoremin iki yönü bir arada okunduğunda şu pratik sonucu verir: negatif olmayan terimli bir seride yakınsaklığı göstermek için tek bir üst sınır bulmak yeter. Kısmi toplamların hepsini aşan bir \(M\) sayısı bulabilirsek seri yakınsaktır; bu \(M\)’nin serinin toplamına yakın olması hiç gerekmez, ne kadar kaba olursa olsun bir üst sınır işi görür. Bu, testlerimizin neden bu kadar esnek olabileceğini açıklar.
Denklik ifadesinin değillemesi de aynı ölçüde kullanışlıdır.
Sonuç 35.1 (Iraksaklık Ölçütü) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) negatif olmayan terimli bir seri olsun. O hâlde bu seri ıraksaktır ancak ve ancak kısmi toplamlar dizisi üstten sınırsızdır.
İspat
Teorem 35.1’nde kurulan denkliğin her iki yanının değillenmesiyle elde edilir: “seri yakınsak değildir” ile “\((s_n)\) üstten sınırlı değildir” önermeleri denktir.
\(\blacksquare\)
Negatif olmayan terimli serilerin davranışı, genel serilere göre çok daha dardır. Genel bir seride kısmi toplamlar salınarak hiçbir yere gitmeyebilir; örneğin \(\sum_{k=1}^{\infty} (-1)^k\) serisinin kısmi toplamları \(-1\) ile \(0\) arasında sonsuza dek gidip gelir. Negatif olmayan terimli bir seride bu mümkün değildir: kısmi toplamlar geri dönemez.
Sonuç 35.2 (Yakınsar ya da Sonsuza Iraksar) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) negatif olmayan terimli bir seri olsun. O hâlde bu seri ya yakınsaktır ya da \(+\infty\)’a ıraksar; yani üçüncü bir olasılık yoktur.
İspat
\((s_n)\) kısmi toplamlar dizisi olsun. Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_{n+1} \ge 0\) olduğundan \(s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n\)’dir; yani \((s_n)\) artandır. Ayrıca her \(n \ge 1\) için
\[s_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n \ge a_1 \ge 0\]
olduğundan \((s_n)\) alttan da sınırlıdır. Şimdi iki durum vardır.
Durum 1: \((s_n)\) üstten sınırlıdır. Bu durumda Teorem 35.1 gereği seri yakınsaktır.
Durum 2: \((s_n)\) üstten sınırlı değildir. Artan ve üstten sınırsız bir dizi \(+\infty\)’a ıraksar (bkz. Analiz 1): her \(M > 0\) için \(s_{n_0} > M\) olan bir \(n_0\) vardır ve artanlık gereği \(n \ge n_0\) olan her \(n\) için \(s_n \ge s_{n_0} > M\) olur. Demek ki \(s_n \to +\infty\), yani seri \(+\infty\)’a ıraksar.
Bu iki durum bütün olasılıkları kapsadığından ispat tamamlanır.
\(\blacksquare\)
Sonuç 35.2 sayesinde negatif olmayan terimli serilerde şu kısaltmayı güvenle kullanabiliriz:
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k < \infty \quad \text{(seri yakınsaktır)}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} a_k = \infty \quad \text{(seri } +\infty \text{'a ıraksar)}.\]
Bu gösterim yalnızca negatif olmayan terimli seriler için anlamlıdır; çünkü yalnız orada “yakınsamak” ile “sonlu bir değere sahip olmak” aynı şeydir. Terimleri işaret değiştiren bir seride \(\sum a_k = \infty\) yazmak yanlıştır, zira seri hiçbir yere gitmiyor da olabilir.
Şimdi kurduğumuz ölçütü, serilerin en ünlü örneğine uygulayalım. Harmonik seri (harmonic series) \(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k}\)’nin ıraksaklığı, genel terimin sıfıra gitmesinin yakınsaklık için yeterli olmadığını gösteren temel örnektir.
Örnek 35.1 (Harmonik Serinin Kısmi Toplamları Sınırsızdır) Iraksaklık ölçütünü kullanarak
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots\]
harmonik serisinin ıraksak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Adım 1. Terimlerin işareti. Serinin genel terimi \(a_k = \dfrac{1}{k}\)’dir ve her \(k \ge 1\) için \(a_k > 0\)’dır. Demek ki seri pozitif terimlidir; özel olarak negatif olmayan terimlidir ve Sonuç 35.1 uygulanabilir. Öyleyse ıraksaklığı göstermek için kısmi toplamlar dizisinin üstten sınırsız olduğunu göstermek yeterlidir.
Adım 2. Kısmi toplamları ikinin kuvvetlerinde inceleyelim. \(s_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\) olsun. Terimleri ikinin kuvvetleriyle belirlenen bloklara ayırıp her bloktaki terimleri bloğun en küçük terimiyle aşağıdan sınırlayacağız. İlk birkaç adımı açıkça yazalım:
\[\begin{aligned} s_1 &= 1, \\[1mm] s_2 &= 1 + \frac{1}{2}, \\[1mm] s_4 &= 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) > 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \right) = 1 + \frac{2}{2}, \\[1mm] s_8 &= 1 + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right) \\[1mm] &> 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right) = 1 + \frac{3}{2}. \end{aligned}\]
Görülen düzen şudur: \(\left( \dfrac{1}{2^j + 1}, \ldots, \dfrac{1}{2^{j+1}} \right)\) bloğunda \(2^j\) tane terim vardır ve her biri en az \(\dfrac{1}{2^{j+1}}\)’dir; dolayısıyla bloğun toplamı en az \(2^j \cdot \dfrac{1}{2^{j+1}} = \dfrac{1}{2}\)’dir. Her yeni blok, toplamı en az \(\dfrac{1}{2}\) artırır.
Adım 3. Genel eşitsizliği tümevarımla kuralım. Her \(j \ge 0\) tam sayısı için
\[s_{2^{j+1}} - s_{2^j} = \sum_{i = 2^j + 1}^{2^{j+1}} \frac{1}{i} \ge \underbrace{2^j}_{\text{terim sayısı}} \cdot \frac{1}{2^{j+1}} = \frac{1}{2}\]
eşitsizliğini elde ettik; burada \(2^j + 1 \le i \le 2^{j+1}\) olan her \(i\) için \(\dfrac{1}{i} \ge \dfrac{1}{2^{j+1}}\) olmasını kullandık. Şimdi
\[s_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2} \qquad (k = 0, 1, 2, \ldots)\]
eşitsizliğini \(k\) üzerinden tümevarımla gösterelim (bkz. Analiz 1). \(k = 0\) için \(s_1 = 1 = 1 + \dfrac{0}{2}\) olduğundan eşitsizlik doğrudur. Eşitsizlik \(k\) için doğru olsun. O hâlde
\[s_{2^{k+1}} = s_{2^k} + \left( s_{2^{k+1}} - s_{2^k} \right) \ge \left( 1 + \frac{k}{2} \right) + \frac{1}{2} = 1 + \frac{k+1}{2}\]
olur; yani eşitsizlik \(k+1\) için de doğrudur. Tümevarım ilkesi gereği eşitsizlik her \(k \ge 0\) için geçerlidir.
Adım 4. Sınırsızlık. \(M > 0\) herhangi bir sayı olsun. Arşimet özelliği (bkz. Analiz 1) gereği \(\dfrac{k}{2} > M\), yani \(k > 2M\) olan bir \(k \in \mathbb{N}\) vardır. Bu \(k\) için
\[s_{2^k} \ge 1 + \frac{k}{2} > 1 + M > M\]
olur. Demek ki hiçbir \(M\) sayısı \((s_n)\) dizisinin üst sınırı olamaz; \((s_n)\) üstten sınırsızdır.
Sonuç. Sonuç 35.1 gereği harmonik seri ıraksaktır. Dahası, Sonuç 35.2 ile birlikte okunduğunda
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = +\infty\]
yazabiliriz.
\(\blacksquare\)
Harmonik seride \(a_k = \dfrac{1}{k} \to 0\)’dır, buna karşın seri ıraksaktır. Öyleyse “genel terim sıfıra gidiyorsa seri yakınsar” biçimindeki sezgi yanlıştır. Doğru olan tek yönlü gerektirmedir: bir seri yakınsaksa genel terimi sıfıra gider; tersi doğru değildir. Harmonik seri bu bölümde ıraksaklık karşılaştırmalarının değişmez ölçüsü olacak: bir serinin terimleri “\(\dfrac{1}{k}\) büyüklüğünde” ise seri ıraksar.
Kısmi toplamların büyüme hızı da kayda değer. Yukarıda kurduğumuz \(s_{2^k} \ge 1 + \dfrac{k}{2}\) eşitsizliği, \(s_n > 10\) olmasını ancak \(n = 2^{18}\) alındığında garanti eder; gerçekte ise \(s_n\) ilk kez \(n = 12\,367\)’de \(10\)’u aşar. Yavaşlık bundan sonra daha da artar: kısmi toplamın \(20\)’yi aşması için \(n\)’nin yüz milyonları bulması gerekir. Kısacası ıraksaklık sayısal deneyle fark edilebilecek bir şey değildir; ancak ispatla görülür.
35.2 Karşılaştırma Testi
Elimizde artık iki “ölçü serisi” var: yakınsaklığını Serilere Giriş bölümünde hesapladığımız geometrik seri \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\) (\(|q| < 1\) için yakınsak, \(|q| \ge 1\) için ıraksak) ve az önce ıraksaklığını gösterdiğimiz harmonik seri. Karşılaştırma testi, incelediğimiz seriyi bu bilinen serilerden biriyle terim terim kıyaslayarak sonuca varmayı sağlar.
Testin ispatında serinin Cauchy ölçütünü kullanacağız; onu hatırlatalım.
\(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsaktır ancak ve ancak her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki \(m > n \ge N_\varepsilon\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| < \varepsilon\]
olur. Bu ölçüt, kısmi toplamlar dizisine dizilerin Cauchy ölçütünün (bkz. Analiz 1) uygulanmasından başka bir şey değildir; çünkü \(s_m - s_n = \sum_{k=n+1}^{m} a_k\)’dır ve bir dizi yakınsaktır ancak ve ancak Cauchy dizisiyse (bkz. Analiz 1).
Teorem 35.2 (Karşılaştırma Testi) \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) serileri verilsin ve her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[0 \le a_k \le b_k\]
olsun. O hâlde:
- \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsaksa \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) de yakınsaktır.
- \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ıraksaksa \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) de ıraksaktır.
İspat
(1) \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak olsun. Seriler için Cauchy ölçütü gereği, verilen her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır ki \(m > n \ge N_\varepsilon\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} b_k \right| = \sum_{k=n+1}^{m} b_k < \varepsilon\]
olur; mutlak değeri düşürebildik, çünkü \(b_k \ge a_k \ge 0\) olduğundan bu sonlu toplam negatif değildir.
Şimdi aynı \(\varepsilon\) ve aynı \(N_\varepsilon\) ile çalışalım. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(0 \le a_k \le b_k\) olduğundan, \(m > n \ge N_\varepsilon\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| = \sum_{k=n+1}^{m} a_k \le \sum_{k=n+1}^{m} b_k < \varepsilon\]
elde ederiz. Burada ilk eşitlik \(a_k \ge 0\) olmasından, ortadaki eşitsizlik ise toplamın her teriminde \(a_k \le b_k\) olmasından gelir. Demek ki \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi de Cauchy ölçütünü sağlar; öyleyse yakınsaktır.
(2) Bu, birinci maddenin karşıt tersidir. Gerçekten, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ıraksak olsun ve tersine \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\)’nın yakınsak olduğunu varsayalım. Her \(k\) için \(0 \le a_k \le b_k\) olduğundan, birinci madde gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olurdu. Bu, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\)’nın ıraksaklığıyla çelişir. Öyleyse \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
Teoremin ikinci ve daha kısa bir ispatı Teorem 35.1’ne dayanır. \(A_n = \sum_{k=1}^{n} a_k\) ve \(B_n = \sum_{k=1}^{n} b_k\) olsun; her \(k\) için \(a_k \le b_k\) olduğundan her \(n\) için \(A_n \le B_n\)’dir. \(\sum b_k\) yakınsaksa \((B_n)\) üstten sınırlıdır, o hâlde \((A_n)\) de üstten sınırlıdır ve \(\sum a_k\) yakınsaktır; \((A_n)\) üstten sınırsızsa \((B_n)\) de üstten sınırsızdır ve bu da ikinci maddeyi verir.
Testi kullanırken dikkat edilecek nokta, yakınsaklığın serinin sonlu sayıdaki ilk terimine duyarsız olmasıdır. Bir serinin başından sonlu sayıda terim atmak ya da başına sonlu sayıda terim eklemek toplamı değiştirir ama yakınsaklığı değiştirmez; çünkü kısmi toplamlar dizisi sabit bir sayı kadar ötelenmiş olur. Bu yüzden karşılaştırma testi, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yerine \(\sum_{k=p}^{\infty} a_k\) biçimindeki seriler için de aynen geçerlidir ve eşitsizliğin her \(k\) için değil, yalnızca yeterince büyük \(k\) için sağlanması yeter. Bu iki iyileştirmeyi ve mutlak değerli biçimi tek bir önermede toplayalım.
Önerme 35.1 (Karşılaştırma Testinin Kuyruk Biçimi) \(k_0 \in \mathbb{N}\) sabit bir sayı olsun.
- Her \(k \ge k_0\) için \(|a_k| \le b_k\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsaksa, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsaktır.
- Her \(k \ge k_0\) için \(a_k \ge b_k \ge 0\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) ıraksaksa, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ıraksaktır.
İspat
(1) Dikkat edilirse \(|a_k| \le b_k\) koşulu \(b_k \ge 0\) olmasını kendiliğinden gerektirir; dolayısıyla \(\sum b_k\) negatif olmayan terimli bir seridir (en azından \(k \ge k_0\) için).
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak olduğundan, Cauchy ölçütü gereği \(m > n \ge N_\varepsilon\) olan her \(m, n\) için
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} b_k \right| < \varepsilon\]
olacak biçimde bir \(N_\varepsilon \in \mathbb{N}\) vardır. Şimdi
\[N = \max \{ N_\varepsilon, \, k_0 \}\]
alalım. \(m > n \ge N\) olsun. Bu durumda toplamda geçen bütün indisler \(k \ge n+1 > N \ge k_0\) koşulunu sağlar; yani hipotezdeki eşitsizlik bu indislerin hepsinde geçerlidir. Üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) ile
\[\left| \sum_{k=n+1}^{m} a_k \right| \le \sum_{k=n+1}^{m} |a_k| \le \sum_{k=n+1}^{m} b_k = \left| \sum_{k=n+1}^{m} b_k \right| < \varepsilon\]
elde ederiz; ortadaki eşitlik, bu indislerin hepsinde \(b_k \ge |a_k| \ge 0\) olmasından, yani toplamın negatif olmamasından gelir. Demek ki \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi Cauchy ölçütünü sağlar ve yakınsaktır. Kısmi toplamların ilk \(k_0\) terimi bu akıl yürütmeye hiç girmedi: Cauchy ölçütü yalnızca serinin kuyruğuna bakar.
(2) Karşıt tersini gösterelim. \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olsun. Her \(k \ge k_0\) için \(0 \le b_k \le a_k\), yani \(|b_k| \le a_k\) olduğundan, birinci maddeyi \(a_k\) ile \(b_k\)’nın rollerini değiştirerek uygularsak \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak olurdu. Bu, hipotezle çelişir. Öyleyse \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
Birinci maddedeki \(|a_k| \le b_k\) biçimi özellikle değerlidir: \((a_k)\) dizisinin terimlerinin işareti hakkında hiçbir şey varsaymaz. Yani karşılaştırma testi, terimleri işaret değiştiren seriler için de bir yakınsaklık aracıdır; yeter ki terimlerin mutlak değerleri yakınsak bir serinin terimlerinin altında kalsın.
Karşılaştırma testinin yakınsaklık yönünde \(a_k \ge 0\) koşulu atılamaz. Örneğin \(a_k = -1\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k^2}\) alalım. Her \(k\) için \(a_k \le b_k\)’dır ve \(\sum b_k\) yakınsaktır (bunu birazdan göstereceğiz), ama \(\sum a_k = \sum (-1)\) ıraksaktır. Yani “terimleri yakınsak bir serinin terimlerinden küçüktür, öyleyse yakınsar” akıl yürütmesi, alttaki seri negatif değerlere kaçabiliyorsa geçersizdir. Önerme 35.1’nin birinci maddesinde eşitsizliğin \(|a_k| \le b_k\) biçiminde, yani mutlak değerle kurulmasının nedeni tam olarak budur.
İkinci bir karıştırma, eşitsizliğin yönünü testin yönüyle bir tutmaktır: \(a_k \le b_k\) olması ve \(\sum b_k\)’nın ıraksaması \(\sum a_k\) hakkında hiçbir şey söylemez. Gerçekten, \(a_k = \dfrac{(-1)^k}{k}\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alınırsa \(a_k \le b_k\) olur, \(\sum b_k\) ıraksar, ama \(\sum a_k\) yakınsaktır (alterne harmonik seri; yakınsaklığını Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık bölümünde göreceğiz). Iraksaklık ancak aşağıdan sınırlamayla taşınır: \(a_k \ge b_k \ge 0\) ve \(\sum b_k\) ıraksaksa \(\sum a_k\) ıraksar. Demek ki eşitsizliğin yönü ile serinin karakteri arasındaki bağ, ancak terimler negatif olmadığında ya da mutlak değerlerle çalışıldığında kurulabilir.
Karşılaştırma testi ancak elimizde karakteri önceden bilinen bir seri varsa işe yarar. Bu bölümde kullanacağımız ölçü serileri şunlardır:
| Seri | Karakter | Koşul |
|---|---|---|
| \(\sum q^k\) (geometrik) | yakınsak | \(\lvert q \rvert < 1\) |
| \(\sum q^k\) (geometrik) | ıraksak | \(\lvert q \rvert \ge 1\) |
| \(\sum \frac{1}{k}\) (harmonik) | ıraksak | — |
| \(\sum \frac{1}{k(k+1)}\) (teleskopik) | yakınsak, toplamı \(1\) | — |
| \(\sum \frac{1}{k^2}\) | yakınsak | — |
Pratik yol şudur: genel terimin baskın davranışını bulun. Payın ve paydanın en hızlı büyüyen terimlerini bırakıp gerisini atın; ortaya çıkan sadeleşmiş ifade, karşılaştırma serinizin genel terimidir. Sonra da bu tahmini bir eşitsizlikle doğrulayın.
Karşılaştırma testinin doğrudan bir sonucu olarak, yakınsak bir seriyi sınırlı bir diziyle terim terim çarpmanın yakınsaklığı bozmadığını görelim.
Sonuç 35.3 (Sınırlı Dizi ile Çarpım) \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) negatif olmayan terimli yakınsak bir seri ve \((a_k)\) sınırlı bir reel sayı dizisi olsun. O hâlde
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k\]
serisi yakınsaktır.
İspat
\((a_k)\) sınırlı olduğundan (bkz. Analiz 1), her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[|a_k| \le M\]
olacak biçimde bir \(M > 0\) sayısı vardır. Her \(k\) için \(b_k \ge 0\) olduğundan
\[|a_k b_k| = |a_k| \cdot |b_k| = |a_k| \, b_k \le M b_k\]
olur.
Öte yandan \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsak olduğundan, serilerde sabitle çarpım kuralı gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} M b_k\) serisi de yakınsaktır ve toplamı \(M \sum_{k=1}^{\infty} b_k\)’dır.
Şimdi Önerme 35.1’nin birinci maddesini \(k_0 = 1\) ve karşılaştırma serisi \(\sum M b_k\) ile uygulayalım: her \(k\) için \(|a_k b_k| \le M b_k\) ve \(\sum M b_k\) yakınsak olduğundan \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k b_k\) yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, terimleri işaret değiştiren bir dizi için de geçerlidir; örneğin \(\sum \dfrac{\cos k}{2^k}\) serisi yakınsaktır, çünkü \((\cos k)\) sınırlıdır ve \(\sum \dfrac{1}{2^k}\) yakınsak bir geometrik seridir.
Karşılaştırma Testinin Uygulanışı
Şimdi testi somut serilerde çalıştıralım. İzleyeceğimiz yol her seferinde aynıdır: önce baskın davranışa bakarak bir aday karşılaştırma serisi seçmek, sonra istenen eşitsizliği yeterince büyük \(k\)’lar için kurmak.
Örnek 35.2 (Karesel Paydalı Bir Iraksak Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2 + 4}\]
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{k}{k^2 + 4}\) olsun. Her \(k \ge 1\) için \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Karşılaştırma serisini bulalım. Büyük \(k\) değerlerinde payın baskın terimi \(k\), paydanınki \(k^2\)’dir; yalnızca bunları bırakırsak
\[\frac{k}{k^2} = \frac{1}{k}\]
kalır. Bu, serimizi harmonik seriyle karşılaştırmamız gerektiğini söyler. Harmonik seri ıraksak olduğundan, ıraksaklığı göstermek için terimlerimizi harmonik serinin (bir sabit katının) terimleriyle aşağıdan sınırlamamız gerekir.
Adım 2. Eşitsizliği kuralım. \(k \ge 2\) için \(k^2 \ge 4\) olduğuna dikkat edelim. O hâlde
\[k^2 + 4 \le k^2 + k^2 = 2k^2 \qquad (k \ge 2)\]
olur. Paydayı büyütmek kesri küçültür: \(k^2 + 4\) yerine ondan büyük olan \(2k^2\)’yi yazarsak elde ettiğimiz kesir aslından küçük kalır, yani bir alt sınır buluruz. Buradan
\[\frac{k}{k^2 + 4} \ge \frac{k}{2k^2} = \frac{1}{2k} \qquad (k \ge 2)\]
elde ederiz. Demek ki her \(k \ge 2\) için
\[a_k \ge \frac{1}{2k} > 0\]
sağlanır.
Adım 3. Testi uygulayalım. Harmonik seri \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}\) ıraksaktır (Örnek 35.1). Sabitle çarpım kuralı gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{2k} = \dfrac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}\) serisi de ıraksaktır; gerçekten, bu seri yakınsak olsaydı \(2\) ile çarparak harmonik serinin yakınsaklığını elde ederdik.
Şimdi \(b_k = \dfrac{1}{2k}\) alalım. Her \(k \ge 2\) için \(a_k \ge b_k \ge 0\) ve \(\sum b_k\) ıraksaktır; Önerme 35.1’nin ikinci maddesi (\(k_0 = 2\) ile) gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^2 + 4}\]
serisi ıraksaktır. İlk terimi (\(k = 1\)) dışarıda bırakmış olmamız sonucu etkilemez: sonlu sayıda terim serinin karakterini değiştirmez.
\(\blacksquare\)
Örnek 35.3 (Geometrik Seriyle Yukarıdan Sınırlama) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{7^k + 1}\]
serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{1}{7^k + 1}\) pozitiftir.
Her \(k \in \mathbb{N}\) için paydada \(7^k + 1 > 7^k\) olduğundan, paydayı küçültmek kesri büyütür:
\[\frac{1}{7^k + 1} \le \frac{1}{7^k} = \left( \frac{1}{7} \right)^k.\]
Sağ taraf, oranı \(q = \dfrac{1}{7}\) olan bir geometrik serinin genel terimidir. \(|q| = \dfrac{1}{7} < 1\) olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{7} \right)^k = \frac{1/7}{1 - 1/7} = \frac{1}{6}\]
serisi yakınsaktır. Her \(k\) için \(0 \le a_k \le \left( \dfrac{1}{7} \right)^k\) olduğundan Teorem 35.2 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{7^k + 1}\) serisi yakınsaktır.
Karşılaştırma testi toplamın değerini vermez, ama bir üst sınır verir: kısmi toplamlar \(\dfrac{1}{6}\)’yı aşamayacağından
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{7^k + 1} \le \frac{1}{6}\]
olur.
\(\blacksquare\)
Önceki örnekte payda “kendiliğinden” büyüktü. Paydadan bir sayı çıkarıldığında işler dikkat ister: bu kez kesir büyür ve doğrudan geometrik seriyle sınırlayamayız. Çözüm, çıkarılan terimi paydanın kendisinin bir kesriyle yutmaktır.
Örnek 35.4 (Paydası Eksiltilmiş Üstel Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^k - 2}\]
serisinin yakınsak mı ıraksak mı olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{8}{3^k - 2}\) olsun. Her \(k \ge 1\) için \(3^k \ge 3 > 2\) olduğundan payda pozitiftir ve \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Karşılaştırma serisini bulalım. Büyük \(k\) değerlerinde paydadaki \(-2\) sabiti, üstel terim \(3^k\) yanında ihmal edilebilir. Terimler asimptotik olarak \(\dfrac{8}{3^k}\) gibi davranır; öyleyse oranı \(\dfrac{1}{3}\) olan geometrik seriyle karşılaştırmalıyız.
Adım 2. Eşitsizliği kuralım. Amacımız \(a_k \le b_k\) biçiminde bir üst sınır bulmak; bunun için paydayı aşağıdan sınırlamamız gerekir. \(k \ge 2\) için
\[3^k \ge 9 > 4, \qquad \text{yani} \qquad \frac{3^k}{2} \ge 2\]
olur. Öyleyse \(k \ge 2\) için paydadan \(2\) çıkarmak, \(\dfrac{3^k}{2}\) çıkarmaktan daha az zarar verir:
\[3^k - 2 \ge 3^k - \frac{3^k}{2} = \frac{3^k}{2}.\]
Paydayı daha küçük bir sayıyla değiştirmek kesri büyüttüğünden
\[\frac{8}{3^k - 2} \le \frac{8}{\dfrac{3^k}{2}} = \frac{16}{3^k} \qquad (k \ge 2)\]
elde ederiz. Demek ki her \(k \ge 2\) için \(0 < a_k \le \dfrac{16}{3^k}\)’dır.
Adım 3. Testi uygulayalım. Karşılaştırma serisi
\[\sum_{k=2}^{\infty} \frac{16}{3^k} = 16 \sum_{k=2}^{\infty} \left( \frac{1}{3} \right)^k\]
olup oranı \(q = \dfrac{1}{3}\) olan bir geometrik serinin sabit katıdır. \(|q| < 1\) olduğundan bu seri yakınsaktır. Her \(k \ge 2\) için terimlerimiz pozitif ve bu yakınsak serinin terimlerinden küçük ya da eşit olduğundan, Önerme 35.1 (\(k_0 = 2\) ile) gereği \(\sum_{k=2}^{\infty} \dfrac{8}{3^k - 2}\) serisi yakınsaktır.
Başa \(k = 1\) terimini eklemek yakınsaklığı değiştirmez; öyleyse
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{3^k - 2}\]
serisi yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki testte ihtiyacımız olacağı için, \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) serisinin karakterini şimdi belirleyelim. Bu seri, “karesel hızda küçülen” terimlerin ölçüsü olarak harmonik seri kadar sık kullanılır.
Örnek 35.5 (Kareler Serisinin Yakınsaklığı) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}\]
serisinin yakınsak olduğunu ve toplamının \(2\)’yi aşmadığını gösteriniz.
Çözüm
Seri pozitif terimlidir, dolayısıyla Teorem 35.1 uygulanabilir: kısmi toplamların üstten sınırlı olduğunu göstermek yeter.
Adım 1. Terimleri teleskopik bir ifadeyle sınırlayalım. \(k \ge 2\) için \(k^2 > k(k-1) > 0\) olduğundan
\[\frac{1}{k^2} \le \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \qquad (k \ge 2)\]
olur; son eşitlik \(\dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k} = \dfrac{k - (k-1)}{k(k-1)}\) hesabından gelir.
Adım 2. Kısmi toplamları sınırlayalım. \(n \ge 2\) için
\[s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^2} = 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k^2} \le 1 + \sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right).\]
Sağdaki toplam teleskopiktir: ardışık terimler birbirini götürür ve geriye ilk ile son parça kalır,
\[\sum_{k=2}^{n} \left( \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k} \right) = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \cdots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n} \right) = 1 - \frac{1}{n}.\]
Öyleyse her \(n \ge 2\) için
\[s_n \le 1 + 1 - \frac{1}{n} = 2 - \frac{1}{n} < 2\]
olur. \(n = 1\) için de \(s_1 = 1 < 2\)’dir.
Adım 3. Sonuç. \((s_n)\) üstten \(2\) ile sınırlıdır. Teorem 35.1 gereği seri yakınsaktır ve toplamı \(\sup_n s_n \le 2\) olur:
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \le 2.\]
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki hesap toplam için yalnızca bir üst sınır verdi. Toplamın tam değeri \(\dfrac{\pi^2}{6} \approx 1{,}6449\)’dır; bu, Euler’in çözdüğü ünlü Basel problemidir ve elimizdeki araçlarla ulaşılamaz. Yakınsaklığı göstermek ile toplamı bulmak arasındaki uçurumun iyi bir örneğidir.
Karşılaştırma testinin ilginç bir kullanımı da, verilen bir serinin yakınsaklığından ondan türetilen başka serilerin yakınsaklığını çıkarmaktır. Burada karşılaştırma serisi, hazır bir ölçü serisi değil, serinin kendisidir.
Örnek 35.6 (Yakınsak Bir Seriden Türetilen Seriler) Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k > 0\) olsun ve \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) serisi yakınsak olsun. Buna göre
\[\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{1 + a_k}, \qquad \sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k^2}{1 + a_k^2}\]
serilerinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Birinci seri. \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olduğundan, yakınsak bir serinin genel terimi sıfıra gider:
\[\lim_{k \to \infty} a_k = 0.\]
Limit tanımını \(\varepsilon = 1\) için yazalım: öyle bir \(k_1 \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge k_1\) için
\[|a_k - 0| = a_k < 1\]
olur. Bu eşitsizliğin iki yanını pozitif olan \(a_k\) ile çarparsak, her \(k \ge k_1\) için
\[a_k^2 = a_k \cdot a_k < a_k \cdot 1 = a_k\]
elde ederiz. Demek ki her \(k \ge k_1\) için
\[0 < a_k^2 < a_k\]
sağlanır. \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olduğundan, Önerme 35.1’nin birinci maddesi (\(k_0 = k_1\) ile) gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2\) serisi yakınsaktır.
Buradaki tek incelik, eşitsizliğin bütün \(k\)’lar için değil, yalnızca \(k \ge k_1\) olan \(k\)’lar için geçerli olmasıdır; kuyruk biçimi tam da bu durum için hazırlanmıştı.
İkinci seri. Bu kez eşitsizlik hiçbir eşik gerektirmez. Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k > 0\) olduğundan \(1 + a_k > 1\)’dir ve
\[0 < \frac{a_k}{1 + a_k} < \frac{a_k}{1} = a_k\]
olur. \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olduğundan Teorem 35.2 gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k}{1 + a_k}\]
serisi yakınsaktır.
Üçüncü seri. Aynı biçimde, her \(k \in \mathbb{N}\) için \(1 + a_k^2 > 1\) olduğundan
\[0 < \frac{a_k^2}{1 + a_k^2} < a_k^2\]
olur. Birinci kısımda \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k^2\) serisinin yakınsak olduğunu gösterdik; Teorem 35.2 gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{a_k^2}{1 + a_k^2}\]
serisi de yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki ilk sonucun tersi geçerli değildir: \(\sum a_k^2\) yakınsak olduğu hâlde \(\sum a_k\) ıraksak olabilir. \(a_k = \dfrac{1}{k}\) alınırsa \(\sum a_k^2 = \sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak (Örnek 35.5) ama \(\sum a_k\) harmonik seri olduğundan ıraksaktır (Örnek 35.1). Kareyi almak terimleri küçültür; küçültülmüş serinin yakınsaması, aslını hiçbir şeye zorlamaz.
35.3 Limit Karşılaştırma Testi
Karşılaştırma testinin pratikteki tek zorluğu, istenen eşitsizliği elle kurmaktır. Yukarıdaki örneklerde \(k^2 + 4 \le 2k^2\) ya da \(3^k - 2 \ge \dfrac{3^k}{2}\) gibi küçük numaralar bulmamız gerekti; genel terim biraz karmaşıklaştığında bu numaralar zahmetli hâle gelir. Oysa aslında yaptığımız şey her seferinde aynıydı: iki terimin oranının sonlu ve sıfırdan farklı bir sayıya yaklaştığını fark etmek. Bu gözlemi doğrudan bir teoreme çevirirsek eşitsizlik kurma yükünden kurtuluruz.
Teorem 35.3 (Limit Karşılaştırma Testi) Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k \ge 0\) ve \(b_k > 0\) olsun ve
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = L\]
olsun; burada \(L\) ya negatif olmayan bir reel sayıdır ya da \(L = \infty\) yazımıyla \(\dfrac{a_k}{b_k}\) oranının \(+\infty\)’a ıraksadığı kastedilir. O hâlde:
- \(0 < L < \infty\) ise \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ile \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) serileri ya birlikte yakınsaktır ya da birlikte ıraksaktır.
- \(L = 0\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) yakınsaksa, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) da yakınsaktır.
- \(L = \infty\) ve \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) ıraksaksa, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) da ıraksaktır.
İspat
(1) \(L \in (0, \infty)\) olsun. Limit tanımını \(\varepsilon = \dfrac{L}{2} > 0\) değeri için yazalım: öyle bir \(k_0 \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge k_0\) için
\[\left| \frac{a_k}{b_k} - L \right| < \frac{L}{2},\]
yani
\[L - \frac{L}{2} < \frac{a_k}{b_k} < L + \frac{L}{2}, \qquad \text{yani} \qquad \frac{L}{2} < \frac{a_k}{b_k} < \frac{3L}{2}\]
olur. Her \(k\) için \(b_k > 0\) olduğundan bu eşitsizliği \(b_k\) ile çarpabiliriz ve yön değişmez:
\[\frac{L}{2} \, b_k < a_k < \frac{3L}{2} \, b_k \qquad (k \ge k_0). \qquad (\star)\]
Şimdi dört gerektirmeyi ayrı ayrı gösterelim.
\(\sum b_k\) yakınsaksa \(\sum a_k\) yakınsaktır. \(\sum b_k\) yakınsak olsun. Sabitle çarpım kuralı gereği \(\sum \dfrac{3L}{2} b_k\) serisi de yakınsaktır. \((\star)\)’ın sağ yarısından her \(k \ge k_0\) için \(0 \le a_k < \dfrac{3L}{2} b_k\) olduğundan, Önerme 35.1’nin birinci maddesi gereği \(\sum a_k\) yakınsaktır.
\(\sum a_k\) yakınsaksa \(\sum b_k\) yakınsaktır. \(\sum a_k\) yakınsak olsun. \((\star)\)’ın sol yarısından her \(k \ge k_0\) için \(0 \le \dfrac{L}{2} b_k < a_k\) olduğundan, aynı önerme gereği \(\sum \dfrac{L}{2} b_k\) serisi yakınsaktır. \(L > 0\) olduğundan bu seriyi \(\dfrac{2}{L}\) ile çarpabiliriz; öyleyse \(\sum b_k\) yakınsaktır.
\(\sum b_k\) ıraksaksa \(\sum a_k\) ıraksaktır. Bu, ikinci gerektirmenin karşıt tersidir: \(\sum a_k\) yakınsak olsaydı \(\sum b_k\) de yakınsak olurdu.
\(\sum a_k\) ıraksaksa \(\sum b_k\) ıraksaktır. Bu da birinci gerektirmenin karşıt tersidir: \(\sum b_k\) yakınsak olsaydı \(\sum a_k\) de yakınsak olurdu.
Dört gerektirme bir arada, iki serinin aynı karakterde olduğunu söyler.
(2) \(L = 0\) olsun ve \(\sum b_k\) yakınsak olsun. \(\dfrac{a_k}{b_k} \to 0\) olduğundan, limit tanımını \(\varepsilon = 1\) için yazalım: öyle bir \(k_0 \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge k_0\) için
\[\left| \frac{a_k}{b_k} \right| = \frac{a_k}{b_k} < 1\]
olur (\(a_k \ge 0\) ve \(b_k > 0\) olduğundan oran negatif değildir, mutlak değer düşer). Buradan \(b_k > 0\) ile çarparak, her \(k \ge k_0\) için
\[0 \le a_k < b_k\]
elde ederiz. \(\sum b_k\) yakınsak olduğundan Önerme 35.1’nin birinci maddesi (\(k_0\) ile) gereği \(\sum a_k\) yakınsaktır.
(3) \(L = \infty\) olsun ve \(\sum b_k\) ıraksak olsun. \(\dfrac{a_k}{b_k} \to \infty\) olduğundan, sonsuza ıraksama tanımını \(M = 1\) için yazalım: öyle bir \(k_0 \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(k \ge k_0\) için
\[\frac{a_k}{b_k} > 1\]
olur. \(b_k > 0\) ile çarparsak, her \(k \ge k_0\) için
\[a_k > b_k > 0\]
elde ederiz. \(\sum b_k\) ıraksak olduğundan Önerme 35.1’nin ikinci maddesi gereği \(\sum a_k\) ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
Testin çekiciliği açıktır: artık eşitsizlik kurmuyor, yalnızca bir dizi limiti hesaplıyoruz. Ve bu limit, çoğu zaman rasyonel ifadelerde pay ile paydanın en yüksek dereceli terimlerini karşılaştırmaktan ibarettir.
Teoremin ikinci ve üçüncü maddeleri tek yönlüdür; birinci maddenin aksine bir denklik vermezler.
\(L = 0\) olduğunda \(\sum b_k\) ıraksaksa hiçbir şey söylenemez. Gerçekten:
- \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\), \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alalım. \(\dfrac{a_k}{b_k} = \dfrac{1}{k} \to 0\)’dır ve \(\sum b_k\) ıraksaktır; ama \(\sum a_k\) yakınsaktır (Örnek 35.5).
- \(a_k = \dfrac{1}{k}\), \(b_k = \dfrac{1}{\sqrt{k}}\) alalım. \(\dfrac{a_k}{b_k} = \dfrac{1}{\sqrt{k}} \to 0\)’dır. Her \(k \ge 1\) için \(\dfrac{1}{\sqrt{k}} \ge \dfrac{1}{k}\) olduğundan Teorem 35.2 gereği \(\sum b_k\) ıraksaktır; ve \(\sum a_k\) harmonik seri olduğundan yine ıraksaktır.
İki durum da gerçekleştiğine göre, \(L = 0\) ile ıraksak bir \(\sum b_k\)’nın birleşimi hiçbir sonuç vermez.
\(L = \infty\) olduğunda \(\sum b_k\) yakınsaksa yine hiçbir şey söylenemez.
- \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\), \(b_k = \dfrac{1}{2^k}\) alalım. \(\dfrac{a_k}{b_k} = \dfrac{2^k}{k^2} \to \infty\)’dur (üstel büyüme kuvvet büyümesini yener, Büyüme Hızları) ve \(\sum b_k\) yakınsaktır; ama \(\sum a_k\) da yakınsaktır.
- \(a_k = \dfrac{1}{k}\), \(b_k = \dfrac{1}{2^k}\) alalım. \(\dfrac{a_k}{b_k} = \dfrac{2^k}{k} \to \infty\)’dur ve \(\sum b_k\) yakınsaktır; ama \(\sum a_k\) ıraksaktır.
Kısacası: \(L = 0\) yalnızca yakınsaklık taşır, \(L = \infty\) yalnızca ıraksaklık taşır. Ters yönde kullanılmak istenirse test sessiz kalır.
Limit Karşılaştırma Testinin Uygulanışı
Testi kullanırken izlenecek yol üç adımlıdır: genel terimin baskın davranışını okuyup \(b_k\)’yı seçmek, \(\dfrac{a_k}{b_k}\) limitini hesaplamak, sonucu \(\sum b_k\)’nın bilinen karakteriyle birleştirmek.
Örnek 35.7 (Karesel Paydalı Bir Yakınsak Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k^2 + 3k - 1}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{1}{2k^2 + 3k - 1}\) olsun. \(k \ge 1\) için \(2k^2 + 3k - 1 \ge 2 + 3 - 1 = 4 > 0\) olduğundan \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Karşılaştırma serisini seçelim. Büyük \(k\) değerlerinde paydaya \(k^2\) terimi hâkimdir. Öyleyse
\[b_k = \frac{1}{k^2}\]
alalım; her \(k\) için \(b_k > 0\)’dır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) serisinin yakınsak olduğunu biliyoruz (Örnek 35.5).
Adım 2. Limiti hesaplayalım.
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{1}{2k^2 + 3k - 1} \cdot \frac{k^2}{1} \right) = \lim_{k \to \infty} \frac{k^2}{2k^2 + 3k - 1}.\]
Pay ve paydayı \(k^2\)’ye bölelim:
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{1}{2 + \dfrac{3}{k} - \dfrac{1}{k^2}} = \frac{1}{2 + 0 - 0} = \frac{1}{2};\]
burada limit aritmetiğini (bkz. Analiz 1) ve \(\dfrac{1}{k} \to 0\) olmasını (bkz. Analiz 1) kullandık.
Adım 3. Sonuç. \(0 < L = \dfrac{1}{2} < \infty\) olduğundan Teorem 35.3’nin birinci maddesi gereği \(\sum a_k\) ile \(\sum b_k\) aynı karakterdedir. \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2k^2 + 3k - 1}\]
serisi de yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Örnek 35.8 (Harmonik Davranışlı Bir Rasyonel Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k + 2}{k^2 - k + 1}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_k = \dfrac{k+2}{k^2 - k + 1}\) olsun. Payda \(k^2 - k + 1 = \left( k - \dfrac{1}{2} \right)^2 + \dfrac{3}{4} > 0\) olduğundan her \(k \ge 1\) için \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Karşılaştırma serisini seçelim. Payın baskın terimi \(k\), paydanınki \(k^2\)’dir; oranları \(\dfrac{k}{k^2} = \dfrac{1}{k}\)’dir. Öyleyse
\[b_k = \frac{1}{k}\]
alalım. \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k}\) harmonik seridir ve ıraksaktır (Örnek 35.1).
Adım 2. Limiti hesaplayalım.
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = \lim_{k \to \infty} \left( \frac{k+2}{k^2 - k + 1} \cdot \frac{k}{1} \right) = \lim_{k \to \infty} \frac{k^2 + 2k}{k^2 - k + 1}.\]
Pay ve paydayı \(k^2\)’ye bölerek
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{1 + \dfrac{2}{k}}{1 - \dfrac{1}{k} + \dfrac{1}{k^2}} = \frac{1 + 0}{1 - 0 + 0} = 1\]
buluruz.
Adım 3. Sonuç. \(0 < L = 1 < \infty\) olduğundan Teorem 35.3 gereği iki seri aynı karakterdedir. Harmonik seri ıraksak olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k+2}{k^2 - k + 1}\]
serisi de ıraksaktır.
\(\blacksquare\)
Limit karşılaştırma testi yalnızca rasyonel ifadelerde işe yaramaz. Genel terimde trigonometrik ya da köklü ifadeler geçtiğinde, doğrudan eşitsizlik kurmak çoğu zaman çok zahmetliyken limit hesabı kolaydır. Şimdi böyle üç örnek yapalım.
Örnek 35.9 (Sinüslü Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \sin \frac{1}{k}\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \sin \dfrac{1}{k}\) olsun. Her \(k \ge 1\) için \(0 < \dfrac{1}{k} \le 1 < \pi\) olduğundan \(\sin \dfrac{1}{k} > 0\)’dır; seri pozitif terimlidir.
Adım 1. Karşılaştırma serisini seçelim. Küçük \(x\) değerlerinde \(\sin x \approx x\) olduğunu biliyoruz; \(k\) büyüdükçe \(\dfrac{1}{k}\) küçüldüğüne göre \(\sin \dfrac{1}{k}\) terimleri \(\dfrac{1}{k}\) gibi davranmalıdır. Öyleyse
\[b_k = \frac{1}{k} > 0\]
alalım.
Adım 2. Limiti hesaplayalım.
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{\sin \dfrac{1}{k}}{\dfrac{1}{k}}.\]
\(x_k = \dfrac{1}{k}\) dizisi sıfırdan farklı terimlere sahiptir ve \(x_k \to 0\)’dır. Fonksiyon limiti için dizisel ölçüt (bkz. Analiz 1) ile
\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]
temel limitinden (bkz. Analiz 1)
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{\sin x_k}{x_k} = 1\]
elde ederiz.
Adım 3. Sonuç. \(0 < L = 1 < \infty\) olduğundan Teorem 35.3 gereği seri harmonik seriyle aynı karakterdedir. Harmonik seri ıraksak olduğundan \(\sum_{k=1}^{\infty} \sin \dfrac{1}{k}\) serisi ıraksaktır.
Genel terimin sıfıra gitmesinin (\(\sin \dfrac{1}{k} \to 0\)) burada da hiçbir şeyi kurtarmadığına dikkat ediniz.
\(\blacksquare\)
Örnek 35.10 (Kosinüslü Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \cos \frac{1}{k} \right)\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = 1 - \cos \dfrac{1}{k}\) olsun. Her \(k \ge 1\) için \(0 < \dfrac{1}{k} \le 1 < 2\pi\) olduğundan \(\cos \dfrac{1}{k} < 1\)’dir; yani \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Genel terimi tanınır hâle getirelim. Yarım açı özdeşliği
\[1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2}\]
kullanılırsa
\[a_k = 2 \sin^2 \frac{1}{2k}\]
olur. Küçük \(x\) için \(\sin x \approx x\) olduğundan \(a_k \approx 2 \left( \dfrac{1}{2k} \right)^2 = \dfrac{1}{2k^2}\) beklenir. Öyleyse
\[b_k = \frac{1}{k^2} > 0\]
seçelim.
Adım 2. Limiti hesaplayalım.
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{2 \sin^2 \dfrac{1}{2k}}{\dfrac{1}{k^2}} = 2 k^2 \sin^2 \frac{1}{2k} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin \dfrac{1}{2k}}{\dfrac{1}{2k}} \right)^2;\]
son eşitlikte \(2k^2 = \dfrac{1}{2} \cdot (2k)^2\) olmasını kullandık. \(y_k = \dfrac{1}{2k}\) dizisi sıfırdan farklıdır ve \(y_k \to 0\)’dır; dizisel ölçüt (bkz. Analiz 1) ve Sinüs x Bölü x Limiti gereği \(\dfrac{\sin y_k}{y_k} \to 1\)’dir. Limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) ile
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = \frac{1}{2} \cdot 1^2 = \frac{1}{2}.\]
Adım 3. Sonuç. \(0 < L = \dfrac{1}{2} < \infty\) ve \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak olduğundan (Örnek 35.5), Teorem 35.3 gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( 1 - \cos \frac{1}{k} \right)\]
serisi yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Örnek 35.11 (Küp Köklerin Farkından Oluşan Bir Seri) \[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt[3]{k^3 + 1} - k \right)\]
serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
\(a_k = \sqrt[3]{k^3 + 1} - k\) olsun. Küp kök fonksiyonu artandır ve \(k^3 + 1 > k^3\) olduğundan \(\sqrt[3]{k^3+1} > \sqrt[3]{k^3} = k\), yani \(a_k > 0\)’dır.
Adım 1. Genel terimi sadeleştirelim. İfade \(\infty - \infty\) belirsizliğindedir; küplerin farkı özdeşliğiyle paydaya taşıyalım. \(A = \sqrt[3]{k^3 + 1}\) ve \(B = k\) olsun. O hâlde
\[A - B = \frac{A^3 - B^3}{A^2 + AB + B^2} = \frac{(k^3 + 1) - k^3}{A^2 + AB + B^2} = \frac{1}{\sqrt[3]{(k^3+1)^2} + k \sqrt[3]{k^3 + 1} + k^2}.\]
Paydadaki üç terimin her biri \(k^2\) mertebesindedir; öyleyse
\[b_k = \frac{1}{k^2} > 0\]
seçelim.
Adım 2. Limiti hesaplayalım.
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{k^2}{\sqrt[3]{(k^3+1)^2} + k \sqrt[3]{k^3+1} + k^2} = \frac{1}{\dfrac{\sqrt[3]{(k^3+1)^2}}{k^2} + \dfrac{\sqrt[3]{k^3+1}}{k} + 1}.\]
Şimdi paydadaki iki kesri ayrı ayrı inceleyelim:
\[\frac{\sqrt[3]{k^3+1}}{k} = \sqrt[3]{\frac{k^3+1}{k^3}} = \sqrt[3]{1 + \frac{1}{k^3}} \longrightarrow 1, \qquad \frac{\sqrt[3]{(k^3+1)^2}}{k^2} = \left( \sqrt[3]{1 + \frac{1}{k^3}} \right)^2 \longrightarrow 1.\]
Burada \(\dfrac{1}{k^3} \to 0\) olmasını ve küp kök fonksiyonunun sürekliliğini kullandık. Limit aritmetiği gereği
\[L = \lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = \frac{1}{1 + 1 + 1} = \frac{1}{3}.\]
Adım 3. Sonuç. \(0 < L = \dfrac{1}{3} < \infty\) ve \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak olduğundan Teorem 35.3 gereği
\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \sqrt[3]{k^3 + 1} - k \right)\]
serisi yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Asimptotik Eşdeğerlik
Son üç örnekte ortak bir kalıp göze çarpar: genel terimin karmaşık görünüşünü bir kenara bırakıp onun “gerçekte ne kadar büyük olduğunu” belirledik ve seriyi bu büyüklüğün serisiyle karşılaştırdık. Bu kalıbı bir kavram olarak adlandırmak, hem dili hem hesabı kısaltır.
Tanım 35.2 (Asimptotik Eşdeğerlik) \((a_k)\) ve \((b_k)\) dizileri verilsin ve yeterince büyük \(k\) için \(b_k \ne 0\) olsun. Eğer
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = 1\]
ise, \((a_k)\) ile \((b_k)\) dizileri asimptotik olarak eşdeğerdir (asymptotically equivalent) denir ve
\[a_k \sim b_k\]
yazılır.
Sezgisel olarak bu, “\(k\) büyüdükçe \(a_k\) ile \(b_k\) arasındaki göreli fark sıfıra gider” demektir. Örneğin \(\sin \dfrac{1}{k} \sim \dfrac{1}{k}\), \(1 - \cos \dfrac{1}{k} \sim \dfrac{1}{2k^2}\) ve \(\dfrac{k+2}{k^2 - k + 1} \sim \dfrac{1}{k}\)’dir; bu üç eşdeğerlik, yukarıdaki örneklerde hesapladığımız limitlerin bir başka söylenişidir (limit \(L\) çıktığında sabiti karşılaştırma terimine katmak yeter).
Önerme 35.2 (Asimptotik Eşdeğer Serilerin Karakteri) Her \(k \in \mathbb{N}\) için \(a_k \ge 0\) ve \(b_k > 0\) olsun. Eğer \(a_k \sim b_k\) ise (Tanım 35.2), yani
\[\lim_{k \to \infty} \frac{a_k}{b_k} = 1\]
ise, \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) ile \(\sum_{k=1}^{\infty} b_k\) serileri aynı karakterdedir: ya ikisi de yakınsaktır ya da ikisi de ıraksaktır.
İspat
Hipotez, Teorem 35.3’nin birinci maddesindeki limitin \(L = 1\) değerini aldığını söyler. \(0 < 1 < \infty\) olduğundan teoremin birinci maddesi doğrudan uygulanır ve iki serinin aynı karakterde olduğu elde edilir.
Ayrıntıya inersek: \(\varepsilon = \dfrac{1}{2}\) için öyle bir \(k_0\) vardır ki her \(k \ge k_0\) için
\[\frac{1}{2} \, b_k < a_k < \frac{3}{2} \, b_k\]
olur. Sağdaki eşitsizlik, \(\sum b_k\) yakınsaksa \(\sum a_k\)’nın da yakınsak olmasını; soldaki eşitsizlik, \(\sum a_k\) yakınsaksa \(\sum b_k\)’nın da yakınsak olmasını verir. Iraksaklık ifadeleri bu iki gerektirmenin karşıt tersleridir.
\(\blacksquare\)
\(a_k \sim b_k\) olması iki serinin toplamlarının eşit olmasını gerektirmez, yalnızca yakınsak/ıraksak olma durumlarının aynı olmasını gerektirir. Örneğin \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\) ve \(b_k = \dfrac{1}{k(k+1)}\) için \(\dfrac{a_k}{b_k} = \dfrac{k+1}{k} \to 1\)’dir; iki seri de yakınsaktır ama toplamları \(\dfrac{\pi^2}{6}\) ve \(1\) olup birbirinden farklıdır.
Ayrıca \(a_k \sim b_k\) ilişkisi, terimlerin negatif olmama koşuluyla birlikte kullanılmalıdır. İşaret değiştiren serilerde asimptotik eşdeğerlik aynı karakteri garanti etmez; buna Mutlak ve Şartlı Yakınsaklık bölümünde döneceğiz.
Yöntemi özetleyelim: genel terimin baskın davranışını okuyup bir aday \(b_k\) seçeriz, \(\dfrac{a_k}{b_k}\) limitini hesaplarız ve limit sıfırdan farklı ve sonluysa seri \(\sum b_k\) ile aynı karakterdedir. Limit \(0\) ya da \(\infty\) çıkarsa yalnızca tek bir yön elde ederiz; gerekirse başka bir \(b_k\) denenir.
35.4 Alıştırmalar
Alıştırma 35.1 (Pozitif Terimli Seriler Üzerine)
\(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{2k+1}{k^3 + k}\) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{k^2 + 1}}\) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k \, 2^k}\) serisinin yakınsak olduğunu karşılaştırma testiyle gösteriniz ve toplamı için bir üst sınır veriniz.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \tan \dfrac{1}{k}\) serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
\(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k!}{k^k}\) serisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
Her \(k\) için \(a_k \ge 0\) olsun ve \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olsun. \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sqrt{a_k}}{k}\) serisinin de yakınsak olduğunu gösteriniz.
Her \(k\) için \(a_k \ge 0\) olsun ve \(\sum_{k=1}^{\infty} a_k\) yakınsak olsun. \(\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k}\) serisi de yakınsak olmak zorunda mıdır?
Çözüm
a) \(a_k = \dfrac{2k+1}{k^3 + k}\) olsun; her \(k \ge 1\) için \(a_k > 0\)’dır. Payın baskın terimi \(2k\), paydanınki \(k^3\) olduğundan oranları \(\dfrac{2k}{k^3} = \dfrac{2}{k^2}\)’dir. Karşılaştırma serisi olarak \(b_k = \dfrac{1}{k^2}\) alalım. O hâlde
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{2k+1}{k^3+k} \cdot k^2 = \frac{2k^3 + k^2}{k^3 + k} = \frac{2 + \dfrac{1}{k}}{1 + \dfrac{1}{k^2}} \longrightarrow \frac{2 + 0}{1 + 0} = 2.\]
\(0 < L = 2 < \infty\) ve \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak olduğundan (Örnek 35.5), Teorem 35.3 gereği verilen seri yakınsaktır.
b) \(a_k = \dfrac{1}{\sqrt{k^2+1}}\) olsun; \(a_k > 0\)’dır. Paydanın baskın terimi \(\sqrt{k^2} = k\) olduğundan \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alalım:
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{k}{\sqrt{k^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2}}} \longrightarrow 1.\]
\(0 < L = 1 < \infty\) ve harmonik seri ıraksak olduğundan (Örnek 35.1) verilen seri ıraksaktır.
Bu sonuç doğrudan karşılaştırmayla da görülebilir: \(k \ge 1\) için \(\sqrt{k^2 + 1} \le \sqrt{k^2 + k^2} = k\sqrt{2}\) olduğundan \(a_k \ge \dfrac{1}{k \sqrt{2}}\)’dir ve \(\sum \dfrac{1}{k\sqrt{2}}\) ıraksaktır.
c) Her \(k \ge 1\) için \(k \ge 1\) olduğundan
\[0 < \frac{1}{k \, 2^k} \le \frac{1}{2^k} = \left( \frac{1}{2} \right)^k\]
olur. Sağ taraf, oranı \(q = \dfrac{1}{2}\) olan geometrik serinin genel terimidir ve \(|q| < 1\) olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2} \right)^k = \frac{1/2}{1 - 1/2} = 1\]
serisi yakınsaktır. Teorem 35.2 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k \, 2^k}\) yakınsaktır ve kısmi toplamları \(1\)’i aşamayacağından
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k \, 2^k} \le 1\]
olur.
d) \(a_k = \tan \dfrac{1}{k}\) olsun. Her \(k \ge 1\) için \(0 < \dfrac{1}{k} \le 1 < \dfrac{\pi}{2}\) olduğundan \(\tan \dfrac{1}{k} > 0\)’dır ve tanımlıdır. \(b_k = \dfrac{1}{k}\) alalım. \(x_k = \dfrac{1}{k} \to 0\) ve \(x_k \ne 0\) olduğundan, dizisel ölçüt (bkz. Analiz 1) ile
\[\frac{a_k}{b_k} = \frac{\tan x_k}{x_k} = \frac{\sin x_k}{x_k} \cdot \frac{1}{\cos x_k} \longrightarrow 1 \cdot \frac{1}{1} = 1\]
buluruz; burada Sinüs x Bölü x Limiti ve kosinüsün sürekliliğinden \(\cos x_k \to \cos 0 = 1\) olması kullanıldı. \(0 < L = 1 < \infty\) ve harmonik seri ıraksak olduğundan verilen seri ıraksaktır.
e) \(a_k = \dfrac{k!}{k^k}\) olsun; \(a_k > 0\)’dır. Genel terimi çarpanlarına ayıralım:
\[a_k = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots k}{k \cdot k \cdot k \cdots k} = \frac{1}{k} \cdot \frac{2}{k} \cdot \frac{3}{k} \cdots \frac{k}{k}.\]
Bu çarpımda \(k \ge 2\) için ilk iki çarpan \(\dfrac{1}{k}\) ve \(\dfrac{2}{k}\), kalan çarpanların her biri ise \(1\)’den küçük ya da eşittir. Öyleyse kalan çarpanları \(1\) ile değiştirerek
\[0 < a_k \le \frac{1}{k} \cdot \frac{2}{k} = \frac{2}{k^2} \qquad (k \ge 2)\]
elde ederiz. \(\sum \dfrac{2}{k^2} = 2 \sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsak olduğundan (Örnek 35.5), Önerme 35.1 (\(k_0 = 2\) ile) gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{k!}{k^k}\) serisi yakınsaktır.
f) \(\sqrt{a_k} \ge 0\) ve \(\dfrac{1}{k} > 0\) olduğundan terimler negatif değildir. İki negatif olmayan sayı için aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliği
\[\sqrt{uv} \le \frac{u + v}{2}\]
biçimindedir; bu, \(\left( \sqrt{u} - \sqrt{v} \right)^2 \ge 0\) eşitsizliğinin açılmasından çıkar. Şimdi \(u = a_k\) ve \(v = \dfrac{1}{k^2}\) alalım:
\[\frac{\sqrt{a_k}}{k} = \sqrt{a_k \cdot \frac{1}{k^2}} \le \frac{1}{2} \left( a_k + \frac{1}{k^2} \right).\]
\(\sum a_k\) yakınsaktır (hipotez) ve \(\sum \dfrac{1}{k^2}\) yakınsaktır (Örnek 35.5); yakınsak iki serinin toplamı ve sabit katı yine yakınsak olduğundan
\[\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{2} \left( a_k + \frac{1}{k^2} \right)\]
serisi yakınsaktır. Her \(k\) için \(0 \le \dfrac{\sqrt{a_k}}{k} \le \dfrac{1}{2} \left( a_k + \dfrac{1}{k^2} \right)\) olduğundan Teorem 35.2 gereği \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{\sqrt{a_k}}{k}\) serisi yakınsaktır.
g) Hayır, zorunlu değildir. \(a_k = \dfrac{1}{k^2}\) alalım. \(a_k \ge 0\)’dır ve \(\sum_{k=1}^{\infty} \dfrac{1}{k^2}\) yakınsaktır (Örnek 35.5). Buna karşın
\[\sqrt{a_k} = \frac{1}{k}\]
olduğundan \(\sum_{k=1}^{\infty} \sqrt{a_k}\) harmonik seridir ve ıraksaktır (Örnek 35.1).
Bu örnek, (f) şıkkındaki \(\dfrac{1}{k}\) çarpanının süs olmadığını gösterir: karekök almak terimleri büyüttüğünden yakınsaklık kaybolabilir, ancak \(\dfrac{1}{k}\) ile çarpmak bu büyümeyi tam olarak dengeler.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde kurduğumuz bütün testler, elimizde karakteri bilinen bir ölçü serisi bulunmasına dayanıyordu; şimdiye dek listemizde yalnızca geometrik seri, harmonik seri ve \(\sum \frac{1}{k^2}\) var. Bir sonraki bölümde, azalan terimli serilerde çok az terime bakarak karar vermeyi sağlayan güçlü bir araç kuracak ve onunla bütün bir seri ailesinin karakterini bir çırpıda belirleyeceğiz: Cauchy Yoğunlaştırma Testi ve \(p\)-Serileri.