37 Kök ve Oran Testleri
Cauchy Yoğunlaştırma Testi ve \(p\)-Serileri bölümünde pozitif terimli serilerin yakınsaklığını, terimleri seyrekleştirip \(2^k\) indislerinde toplayarak sınadık ve bu yolla \(p\)-serilerinin tam sınıflandırmasını elde ettik. Karşılaştırma testlerinin de yoğunlaştırma testinin de ortak bir zayıflığı vardır: bunları uygulayabilmek için elimizde karşılaştırılacak bir seri bulunmalıdır. Yani “bu seri hangi bilinen seriye benziyor?” sorusunu her seferinde biz yanıtlamak zorundayız.
Bu bölümde tanıyacağımız iki test, o soruyu bizim yerimize yanıtlar. İkisi de karşılaştırma serisi olarak geometrik seriyi seçer ve serinin terimlerinin geometrik bir dizi gibi davranıp davranmadığını, terimlerin kendisinden okunabilen tek bir sayıyla ölçer. Fikir çok basittir. Eğer \(a_n\) kabaca \(r^n\) gibiyse, bu benzerliği iki ayrı biçimde yakalayabiliriz: ya \(n\)’inci kökünü alarak, \(\sqrt[n]{a_n} \approx r\); ya da ardışık terimlerin oranına bakarak, \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} \approx r\). Birinci ölçüt Cauchy kök testini (root test), ikincisi d’Alembert oran testini (ratio test) doğurur. Her iki testte de \(r < 1\) ise seri yakınsak, \(r > 1\) ise ıraksaktır; çünkü geometrik seri tam olarak bu eşikte davranış değiştirir.
Bu iki test yalnızca birbirinin farklı kılıkları değildir. Aralarında kesin bir güç sıralaması vardır ve bu sıralamayı, üst ve alt limitleri birbirine bağlayan dörtlü bir eşitsizlik zinciri belirler. Zincirin sonucu şudur: oran testinin karar verebildiği her durumda kök testi de karar verir ve aynı kararı verir; tersi doğru değildir. Buna karşın oran testi pratikte çoğu zaman daha kolay uygulanır; faktöriyeller ve çarpımsal ifadeler içeren serilerde ardışık terimlerin oranı büyük ölçüde sadeleşir. Yani “güçlü olan” ile “kullanışlı olan” burada aynı test değildir; ikisini de bilmek gerekir.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: üst limit yardımıyla ifade edilen kök testinin üç durumunun tam ispatı; testin \(L = 1\) durumunda neden hiçbir bilgi vermediği; oran testinin üst limitle kurulan yakınsaklık koşulu ile alt limitle kurulan ıraksaklık koşulu arasındaki kritik ayrım; pozitif her dizi için geçerli olan \[\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \;\le\; \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\] eşitsizlik zinciri ve tam ispatı; bunun bir sonucu olarak oranın limiti varken kökün limitinin de var olup aynı sayıya eşit olması; ve son olarak, oran testinin tümüyle çuvalladığı hâlde kök testinin sorunsuz karar verdiği somut bir seri.
37.1 Üst ve Alt Limit: Kullanacağımız İki Özellik
Bu bölümdeki bütün ispatlar üst limit (limit superior) ve alt limit (limit inferior) üzerine kuruludur; çünkü kök ve oran testleri, \(\sqrt[n]{a_n}\) ya da \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) dizisinin yakınsak olmasını istemez. Bu, testleri gereksiz varsayımlardan kurtarır ve uygulama alanlarını epeyce genişletir. Kullanacağımız özellikleri bir kez toplu hâlde yazalım.
\((x_n)\) bir reel dizi, \(L = \limsup\limits_{n \to \infty} x_n\) ve \(\ell = \liminf\limits_{n \to \infty} x_n\) olsun (bkz. Analiz 1). Dizi sınırsız olduğunda bu iki nicelik genişletilmiş anlamda, yani \(+\infty\) ve \(-\infty\) değerlerine de izin verilerek tanımlanır; bu anlamda her dizinin bir üst ve bir alt limiti vardır. Aşağıdaki maddelerdeki \(L < +\infty\), \(\ell > -\infty\) gibi koşullar da bu yüzden yazılmıştır.
Üst limit için.
- \(L < +\infty\) ise: \(L < r\) olan her \(r\) için, öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \(x_n < r\) olur. (Yani dizi, \(L\)’nin üstündeki her düzeyi sonlu sayıda terim dışında aşamaz.)
- \(L > -\infty\) ise: \(s < L\) olan her \(s\) için, \(x_n > s\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanır. Daha kuvvetlisi, \(x_{n_k} \to L\) olan bir \((x_{n_k})\) alt dizisi vardır (bkz. Analiz 1).
Alt limit için (aynı ifadelerin aynadaki görüntüsü).
- \(\ell > -\infty\) ise: \(s < \ell\) olan her \(s\) için, öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \(x_n > s\) olur.
- \(\ell < +\infty\) ise: \(r > \ell\) olan her \(r\) için, \(x_n < r\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanır.
Ayrıca her zaman \(\ell \le L\)’dir ve \((x_n)\) yakınsaktır ancak ve ancak \(\ell = L \in \mathbb{R}\)’dir; bu durumda ortak değer \(\lim x_n\)’dir.
Bu özelliklerin ilk maddesi “yeterince ileride bütün terimler”, ikinci maddesi ise “sonsuz çoklukta terim” der. Aradaki fark testlerin yapısını belirler: yakınsaklık koşulları bütün terimleri geometrik bir diziyle üstten bastırmayı gerektirdiği için birinci tip özellikle kurulur; ıraksaklık koşulları ise genel terimin sıfıra gitmediğini göstermeye yeteceğinden ikinci tip özellikle, yani bir alt diziyle kurulur.
Son olarak, seri testlerinin ikisinde de arka planda duran iki olguyu anımsayalım. Birincisi: \(0 \le r < 1\) için \(\sum_{n=0}^{\infty} r^n\) geometrik serisi yakınsaktır ve \(r \ge 1\) için ıraksaktır (Serilere Giriş). İkincisi: bir serinin yakınsak olması için genel teriminin sıfıra gitmesi gerekir; bu yüzden \(a_n \not\to 0\) ise seri ıraksaktır. Bu ikinci ölçüte kısaca genel terim testi diyeceğiz. Ayrıca bir serinin ilk sonlu sayıda terimini değiştirmek ya da atmak yakınsaklığı bozmaz; testlerin “yeterince büyük \(n\) için” biçimindeki koşulları bu yüzden yeterlidir.
37.2 Cauchy Kök Testi
Pozitif terimli bir seride \(a_n \le r^n\) eşitsizliğini kurabilirsek, karşılaştırma testiyle iş biter. Bu eşitsizlik \(\sqrt[n]{a_n} \le r\) ile aynı şeydir. Öyleyse doğal fikir şudur: \(\sqrt[n]{a_n}\) dizisinin ileride nereye yığıldığına bakalım. Bu dizinin yakınsak olmasını istemek gereksiz bir kısıtlama olur; bizi ilgilendiren, dizinin en büyük yığılma düzeyi, yani üst limitidir. Çünkü \(a_n \le r^n\) eşitsizliğinin yeterince büyük her \(n\) için geçerli olması, tam olarak \(\limsup \sqrt[n]{a_n}\) sayısının \(r\)’nin altında kalmasıyla ilgilidir.
Teorem 37.1 (Cauchy Kök Testi) Her \(n\) için \(a_n \ge 0\) olsun ve \[L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\] yazalım (burada \(L \in [0, +\infty]\)’dur). O hâlde:
- \(L < 1\) ise \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) serisi yakınsaktır.
- \(L > 1\) ise \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) serisi ıraksaktır.
- \(L = 1\) ise test sonuçsuzdur; seri yakınsak da olabilir ıraksak da.
İspat
Durum 1: \(L < 1\).
\(L < 1\) olduğundan \(L\) ile \(1\) arasında bir sayı seçebiliriz: öyle bir \(r \in \mathbb{R}\) alalım ki \[L < r < 1\] olsun. (\(L < 1\) olduğundan \(L\) sonludur; kökler negatif olmadığından da \(L \ge 0\)’dır, yani \(L \in [0, 1)\). Böyle bir \(r\) gerçekten vardır; örneğin \(r = \dfrac{L+1}{2}\) alınabilir.)
Üst limitin birinci özelliği gereği, \(r > L\) olduğundan öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \[\sqrt[n]{a_n} < r\] olur. Her iki tarafın da negatif olmadığına dikkat ederek \(n\)’inci kuvvetini alalım; \(t \mapsto t^n\) fonksiyonu \([0, \infty)\) üzerinde artan olduğundan eşitsizliğin yönü korunur: \[a_n < r^n, \qquad n \ge N.\]
Şimdi \(0 \le r < 1\) olduğundan \(\sum_{n=N}^{\infty} r^n\) geometrik serisi yakınsaktır. Terimleri negatif olmayan seriler için karşılaştırma testi (Pozitif Terimli Seriler ve Karşılaştırma Testleri) gereği \(\sum_{n=N}^{\infty} a_n\) serisi de yakınsaktır. Bir serinin başına sonlu sayıda terim eklemek yakınsaklığı değiştirmediğinden \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{N-1} a_n + \sum_{n=N}^{\infty} a_n\] serisi de yakınsaktır.
Durum 2: \(L > 1\).
Burada amacımız genel terimin sıfıra gitmediğini göstermektir; bunun için bütün terimleri değil, sonsuz çoklukta terimi kontrol etmek yeter.
Üst limitin ikinci özelliği gereği, \(\big(\sqrt[n]{a_n}\big)\) dizisinin \(L\)’ye yakınsayan bir alt dizisi vardır (bkz. Analiz 1): öyle bir \(n_1 < n_2 < n_3 < \cdots\) indis dizisi vardır ki \[\sqrt[n_k]{a_{n_k}} \longrightarrow L \qquad (k \to \infty)\] olur. (\(L = +\infty\) durumunda genişletilmiş tanım gereği bu alt dizi \(+\infty\)’a ıraksar; aşağıdaki akıl yürütme aynen geçerlidir.)
\(L > 1\) olduğundan, yakınsamanın tanımını \(\varepsilon = L - 1 > 0\) ile uygulayarak öyle bir \(K \in \mathbb{N}\) buluruz ki her \(k \ge K\) için \[\sqrt[n_k]{a_{n_k}} > L - \varepsilon = 1\] olur. (\(L = +\infty\) ise \(\sqrt[n_k]{a_{n_k}} \to +\infty\) olduğundan yeterince büyük \(k\) için yine \(\sqrt[n_k]{a_{n_k}} > 1\)’dir.) Her iki tarafın \(n_k\)’inci kuvvetini alırsak, her \(k \ge K\) için \[a_{n_k} > 1\] elde ederiz.
Demek ki \((a_n)\) dizisinin, \(k \ge K\) indislerinden itibaren bütün terimleri \(1\)’den büyük olan bir alt dizisi vardır. Eğer \(a_n \to 0\) olsaydı, her alt dizisi de \(0\)’a yakınsardı (bkz. Analiz 1); özel olarak \(a_{n_k} \to 0\) olurdu. Oysa her \(k \ge K\) için \(a_{n_k} > 1\) olduğundan bu alt dizinin limiti en az \(1\)’dir ve \(0\) olamaz. Öyleyse \(a_n \not\to 0\)’dır ve genel terim testi gereği \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) ıraksaktır.
Durum 3: \(L = 1\).
Bu durumda testin hiçbir bilgi vermediğini göstermek için, \(L = 1\) değerini veren biri ıraksak biri yakınsak iki seri bulmak yeterlidir. Bunu Örnek 37.1’da yapıyoruz; orada harmonik seri \(\sum \frac{1}{n}\) (ıraksak) ile \(\sum \frac{1}{n^2}\) serisinin (yakınsak) ikisinin de \(L = 1\) verdiğini hesaplayacağız. Aynı \(L\) değeri hem yakınsak hem ıraksak seriden çıkabildiğine göre, \(L = 1\) bilgisi tek başına serinin davranışını belirleyemez.
\(\blacksquare\)
İspatın iki durumunun bakışımlı olmadığına dikkat edin. Yakınsaklık durumunda bütün terimleri (yeterince ileriden itibaren) bir geometrik diziyle üstten bastırdık; ıraksaklık durumunda ise yalnızca bir alt diziyi kullandık ve serinin toplamına değil, genel terimin sıfıra gitmemesine baktık. Bu yüzden kök testinin verdiği ıraksaklık her zaman “kaba” türdendir: seri ıraksarken terimleri bile sıfıra gitmez.
“\(L = 1\) ise test sonuçsuzdur” cümlesi, “\(L = 1\) ise seri şöyle davranır” biçiminde okunamaz. \(L = 1\), testin başarısızlık ilanıdır: seri hakkında hiçbir şey söylemez, başka bir yöntemle incelenmelidir.
Bunun yapısal bir nedeni vardır. Kök testi, seriyi geometrik serilerle karşılaştırır; oysa \(p\)-serileri \(\sum \frac{1}{n^p}\) ailesinin tamamı, \(p\) ne olursa olsun \(L = 1\) verir: \[\sqrt[n]{\frac{1}{n^p}} = \frac{1}{\big(\sqrt[n]{n}\big)^p} \longrightarrow \frac{1}{1^p} = 1\] (burada \(\sqrt[n]{n} \to 1\) özel limitini kullandık). Yani \(p\)-serilerinin hepsi geometrik ölçekte “sınırda” durur; oysa aralarından bir kısmı yakınsak, bir kısmı ıraksaktır. Geometrik seri gözlüğü bu ayrımı görecek çözünürlükte değildir. \(p\)-serilerini ayırt etmek için yoğunlaştırma testi gibi daha ince araçlar gerekir.
Şimdi bu sonuçsuzluk örneğini ayrıntılı yazalım.
Örnek 37.1 (Kök Testinin Sonuçsuz Kaldığı İki Seri) \(L = \limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\) değerinin hem ıraksak hem yakınsak bir seriden çıkabileceğini gösteriniz.
Çözüm
Birinci seri: harmonik seri. \(a_n = \dfrac{1}{n}\) alalım. Bu serinin ıraksak olduğunu biliyoruz. \(n\)’inci kökü hesaplayalım: \[\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{1}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}}.\] \(\sqrt[n]{n} \to 1\) olduğundan, limit aritmetiği (bkz. Analiz 1) gereği \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{1} = 1.\] Dizi yakınsak olduğundan üst limiti de aynıdır: \(L = 1\).
İkinci seri: \(\boldsymbol{p = 2}\) serisi. Şimdi \(a_n = \dfrac{1}{n^2}\) alalım. Bu seri \(p = 2 > 1\) olduğundan yakınsaktır. Kökü hesaplayalım: \[\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\frac{1}{n^2}} = \frac{1}{\big(\sqrt[n]{n}\big)^2} \longrightarrow \frac{1}{1^2} = 1,\] yani yine \(L = 1\).
Sonuç. Birinci seri ıraksak, ikincisi yakınsaktır; ikisi de \(L = 1\) vermektedir. Öyleyse \(L = 1\) bilgisi serinin davranışını belirlemez, kök testi bu durumda sonuçsuzdur.
\(\blacksquare\)
Testin gerçekten işe yaradığı durumlara geçelim. Kök testinin en rahat çalıştığı yer, genel terimin doğrudan bir \(n\)’inci kuvvet biçiminde verildiği serilerdir; orada \(n\)’inci kök almak ifadeyi tümüyle sadeleştirir.
Örnek 37.2 (Kuvvet Biçiminde Bir Seri) \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2n}{3n+1} \right)^{n}\] serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \[a_n = \left( \frac{2n}{3n+1} \right)^{n}\] olsun. Her \(n \ge 1\) için \(\dfrac{2n}{3n+1} > 0\) olduğundan \(a_n > 0\)’dır ve kök testi uygulanabilir.
Genel terim tam olarak bir \(n\)’inci kuvvet olduğundan \(n\)’inci kök alma işlemi üsteli tümüyle silecektir: \[\sqrt[n]{a_n} = \sqrt[n]{\left( \frac{2n}{3n+1} \right)^{n}} = \frac{2n}{3n+1}.\]
Bu son ifadenin limitini almak için pay ve paydayı \(n\)’e bölelim: \[\lim_{n \to \infty} \frac{2n}{3n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{3 + \dfrac{1}{n}} = \frac{2}{3 + 0} = \frac{2}{3}.\] Burada \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olduğunu (bkz. Analiz 1) ve limit aritmetiğini (bkz. Analiz 1) kullandık.
\(\big(\sqrt[n]{a_n}\big)\) dizisi yakınsak olduğundan üst limiti de bu ortak değere eşittir: \[L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{2}{3} < 1.\]
Teorem 37.1 gereği seri yakınsaktır.
Not olarak şunu ekleyelim: ispatın verdiği bilgi biraz daha fazladır. \(r = \dfrac{7}{10}\) seçersek \(\dfrac{2}{3} < \dfrac{7}{10} < 1\) olduğundan, yeterince büyük \(n\) için \(a_n < \left( \dfrac{7}{10} \right)^{n}\) olur; yani serinin kuyruğu açıkça bir geometrik seriyle bastırılmıştır.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki örnekte, genel terimin üsteli \(n\) değil \(n^2\)’dir. \(n\)’inci kök alındığında üstel \(n^2 \cdot \dfrac{1}{n} = n\) olur ve karşımıza \(e\) sayısını tanımlayan meşhur dizi çıkar.
Örnek 37.3 (Üsteli Kare Olan Bir Seri) \[\sum_{n=1}^{\infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2}\] serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \[a_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2}\] olsun; her \(n \ge 1\) için \(a_n > 0\) olduğundan kök testi uygulanabilir.
Kökü alalım. Kuvvetin kuvveti kuralı gereği \[\sqrt[n]{a_n} = \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2} \right]^{\frac{1}{n}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n^2 \cdot \frac{1}{n}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n}.\]
Sağdaki dizi tam olarak \(e\) sayısını tanımlayan dizidir (bkz. Analiz 1, e Sayısı (Euler Sayısı)): \[\lim_{n \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} = e.\]
Öyleyse \[L = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = e \approx 2{,}71828 > 1\] olur ve Teorem 37.1 gereği seri ıraksaktır.
Bu sonucu doğrudan da görebiliriz. \(\big( 1 + \frac{1}{n} \big)^{n}\) dizisi artandır ve \(n \ge 1\) için değeri en az \(2\)’dir (bkz. Analiz 1 ile \(e\)’ye artarak yakınsar). Buna göre \[a_n = \left[ \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n} \right]^{n} \ge 2^{n} \longrightarrow +\infty\] olur; yani serinin terimleri sıfıra gitmek şöyle dursun, sonsuza ıraksar. Kök testinin ıraksaklık durumunun ispatındaki mantık tam da budur: \(L > 1\) olduğunda seri, terimleri sıfıra gitmediği için ıraksar.
\(\blacksquare\)
Bu son örnek, kök testinin ıraksaklık kısmının aslında biraz daha keskin bir biçimde de ifade edilebileceğini düşündürür. Gerçekten de ispatta \(L > 1\) varsayımını tam gücüyle kullanmadık; yalnızca sonsuz çoklukta \(n\) için \(\sqrt[n]{a_n} \ge 1\) olmasını kullandık.
Teorem 37.1’nin ikinci maddesinin ispatı şunu göstermiştir:
Eğer \(\sqrt[n]{a_n} \ge 1\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanıyorsa, \(\sum a_n\) ıraksaktır.
Çünkü bu durumda sonsuz çoklukta \(n\) için \(a_n \ge 1\) olur ve genel terim sıfıra gidemez. Bu ölçüt \(L > 1\) koşulundan daha geniştir: \(L = 1\) olduğu hâlde ölçütün işlediği seriler vardır. Örneğin \[a_n = \left( \frac{2 + (-1)^n}{3} \right)^{n}\] için \(\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{2 + (-1)^n}{3}\) olur; \(n\) tek iken bu sayı \(\dfrac{1}{3}\), \(n\) çift iken \(1\)’dir. Dolayısıyla \(L = 1\)’dir ve kök testi standart biçimiyle sonuçsuz kalır. Oysa çift indislerde \(a_n = 1\) olduğundan genel terim sıfıra gitmez ve seri ıraksar.
Ters yön ise doğru değildir: \(\sqrt[n]{a_n} < 1\) eşitsizliğinin her \(n\) için sağlanması yakınsaklık getirmez. Harmonik seride her \(n \ge 2\) için \(\sqrt[n]{1/n} < 1\)’dir, buna karşın seri ıraksaktır.
37.3 d’Alembert Oran Testi
Kök testinin uygulanması, \(\sqrt[n]{a_n}\) ifadesinin kolayca sadeleşmesine bağlıdır. Genel terimde faktöriyeller, çarpımlar ya da uzun ürünler varsa \(n\)’inci kök almak işe yaramaz; oysa ardışık iki terimin oranı böyle ifadelerde muazzam sadeleşir. Örneğin \(a_n = \dfrac{3^n}{n!}\) için \(\sqrt[n]{a_n}\) ifadesi \(\sqrt[n]{n!}\) içerir ve doğrudan hesaplanamaz; buna karşılık \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{3^n} = \frac{3}{n+1}\] olur ve her şey görünür hâle gelir. Oran testinin varlık nedeni budur.
Testin ifadesinde bir incelik vardır: yakınsaklık koşulu üst limitle, ıraksaklık koşulu ise alt limitle kurulur. Bunun nedeni ispatların yapısında saklıdır. Yakınsaklık için bütün oranların (yeterince ileride) \(1\)’in altında kalması gerekir; ıraksaklık içinse bütün oranların \(1\)’in üstünde kalması gerekir. Birincisi üst limitin, ikincisi alt limitin bilgisidir.
Teorem 37.2 (d’Alembert Oran Testi) Her \(n\) için \(a_n > 0\) olsun ve \[L = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}, \qquad \ell = \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\] yazalım. O hâlde:
- \(L < 1\) ise \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) serisi yakınsaktır.
- \(\ell > 1\) ise \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) serisi ıraksaktır.
- \(\ell \le 1 \le L\) ise test sonuçsuzdur.
İspat
Durum 1: \(L < 1\).
\(L < r < 1\) olacak biçimde bir \(r\) seçelim (oranlar pozitif olduğundan \(L \ge 0\)’dır; \(r = \dfrac{L+1}{2}\) işi görür).
Üst limitin birinci özelliği gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \[\frac{a_{n+1}}{a_n} < r,\] yani \(a_n > 0\) olduğundan \[a_{n+1} < r\, a_n, \qquad n \ge N\] olur. Bu eşitsizliği ardışık olarak kullanalım: \[\begin{aligned} a_{N+1} &< r\, a_N,\\ a_{N+2} &< r\, a_{N+1} < r^2 a_N,\\ a_{N+3} &< r\, a_{N+2} < r^3 a_N, \end{aligned}\] ve tümevarımla her \(k \ge 0\) için \[a_{N+k} \le r^{k} a_N\] elde ederiz (\(k = 0\) için eşitlik geçerlidir; \(k \ge 1\) için kesin eşitsizlik). Gerçekten, iddia \(k\) için doğruysa \(a_{N+k+1} < r\, a_{N+k} \le r \cdot r^k a_N = r^{k+1} a_N\) olur.
Şimdi \(n \ge N\) için \(k = n - N\) yazalım: \[a_n \le r^{\,n-N} a_N = \big( a_N r^{-N} \big) r^{n}.\] \(C = a_N r^{-N} > 0\) sabitini tanımlarsak \[a_n \le C r^{n}, \qquad n \ge N\] olur.
\(0 < r < 1\) olduğundan \(\sum_{n=N}^{\infty} r^n\) yakınsaktır, dolayısıyla \(\sum_{n=N}^{\infty} C r^n\) de yakınsaktır. Karşılaştırma testi gereği \(\sum_{n=N}^{\infty} a_n\) yakınsar; başa sonlu sayıda terim eklemek durumu değiştirmediğinden \(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\) yakınsaktır.
Durum 2: \(\ell > 1\).
\(1 < \ell' < \ell\) olacak biçimde bir \(\ell'\) seçelim. (\(\ell = +\infty\) ise \(1\)’den büyük herhangi bir \(\ell'\) alınabilir.)
Alt limitin birinci özelliği gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \[\frac{a_{n+1}}{a_n} > \ell' > 1,\] yani \[a_{n+1} > \ell'\, a_n, \qquad n \ge N\] olur. Birinci durumdaki tümevarımın aynısını ters yönde uygulayarak her \(k \ge 0\) için \[a_{N+k} \ge (\ell')^{k} a_N,\] yani \(n \ge N\) için \[a_n \ge (\ell')^{\,n-N} a_N\] buluruz.
\(\ell' > 1\) olduğundan \((\ell')^{\,n-N} \to +\infty\)’dur (tabanı \(1\)’den büyük olan geometrik dizi sonsuza ıraksar) ve \(a_N > 0\) sabit olduğundan \(a_n \to +\infty\) olur. Özellikle \(a_n \not\to 0\)’dır; genel terim testi gereği seri ıraksaktır.
Daha zayıf ama yeterli bir gözlem de aynı sonucu verir: \(n \ge N\) için \(a_{n+1} > a_n > 0\) olduğundan \((a_n)_{n \ge N}\) kesin artandır, dolayısıyla her \(n \ge N\) için \(a_n \ge a_N > 0\)’dır ve genel terim sıfıra gidemez.
Durum 3: \(\ell \le 1 \le L\).
Testin bu aralıkta hiçbir bilgi vermediğini görmek için en basit alt duruma, oranın limitinin var olup \(1\)’e eşit olduğu (\(\ell = L = 1\)) duruma bakmak yeterlidir. Örnek 37.4’da bu değeri veren biri ıraksak biri yakınsak iki seri veriyoruz. Aynı \(\ell\) ve \(L\) değerleri iki karşıt davranıştan da çıkabildiğine göre, bu bilgi serinin davranışını belirleyemez.
\(\blacksquare\)
Testin üçüncü maddesinin nasıl okunması gerektiğine dikkat edelim. Karar verilebilen tek iki durum \(L < 1\) ve \(\ell > 1\)’dir. Geriye kalan her şey — \(\ell \le 1 \le L\) — sonuçsuzluk bölgesidir. Bu bölge \(\ell = L = 1\) durumundan çok daha geniştir; örneğin \(\ell = 0\), \(L = +\infty\) olan seriler de buraya düşer ve o serilerde oran testi tümüyle sessiz kalır.
Oran testinin en sık yapılan yanlış kullanımı, “\(L = \limsup \dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1\) ise seri ıraksar” biçimindeki uydurma kuraldır. Bu yanlıştır.
\(\limsup \dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1\) olması, yalnızca sonsuz çoklukta \(n\) için \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1\), yani \(a_{n+1} > a_n\) olduğunu söyler. Terimlerin sonsuz çoklukta indiste büyümesi ise ıraksaklık için hiçbir şey ifade etmez; bu terimler aradaki adımlarda çok daha hızlı küçülüyor olabilir. Örnek 37.7’da göreceğimiz seride \[\limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = +\infty\] olduğu hâlde seri yakınsaktır.
Kısacası: yakınsaklık için \(\limsup < 1\), ıraksaklık için \(\liminf > 1\). İkisi de “bütün oranlar yeterince ileride eşiğin bir tarafında” demektir; biri üstten, öteki alttan.
Örnek 37.4 (Oran Testinin Sonuçsuz Kaldığı İki Seri) Oranın limitinin var olup \(1\)’e eşit olması durumunda hem yakınsak hem ıraksak seri bulunabileceğini gösteriniz.
Çözüm
Birinci seri: harmonik seri. \(a_n = \dfrac{1}{n}\) olsun. Ardışık terimlerin oranı \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{1}{n+1}}{\dfrac{1}{n}} = \frac{n}{n+1} = \frac{1}{1 + \dfrac{1}{n}} \longrightarrow \frac{1}{1+0} = 1\] olur. Dizi yakınsak olduğundan \(\ell = L = 1\)’dir. Buna karşın harmonik seri ıraksaktır.
İkinci seri: \(\boldsymbol{p = 2}\) serisi. \(a_n = \dfrac{1}{n^2}\) olsun. Bu kez \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{1}{(n+1)^2}}{\dfrac{1}{n^2}} = \frac{n^2}{(n+1)^2} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{2} \longrightarrow 1^2 = 1\] olur, yani yine \(\ell = L = 1\)’dir. Oysa bu seri yakınsaktır.
Sonuç. \(\ell = L = 1\) değeri iki karşıt davranıştan da çıkabildiğine göre, \(\ell \le 1 \le L\) durumunda oran testi sonuçsuzdur.
Aslında bu hesap, kök testindeki gözlemin bir başka yüzüdür: bütün \(p\)-serileri için oranın limiti \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{p} \longrightarrow 1\] olduğundan, oran testi de \(p\)-serileri ailesinin tamamına karşı kördür.
\(\blacksquare\)
Şimdi testin gücünü gösteren iki örneğe geçelim. Her ikisinde de genel terimde faktöriyel bulunur; kök testiyle uğraşmak zahmetli olurdu, oran testiyle ise hesap birkaç satırda biter.
Örnek 37.5 (Faktöriyelli Yakınsak Bir Seri) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n}}{n!}\] serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_n = \dfrac{3^{n}}{n!}\) olsun. Her \(n \ge 1\) için \(a_n > 0\) olduğundan oran testi uygulanabilir.
Ardışık terimlerin oranını hesaplayalım. \((n+1)! = (n+1) \cdot n!\) ve \(3^{n+1} = 3 \cdot 3^{n}\) olduğundan \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!}}{\dfrac{3^{n}}{n!}} = \frac{3^{n+1}}{3^{n}} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = 3 \cdot \frac{1}{n+1} = \frac{3}{n+1}.\]
Buradan \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{n+1} = 0\] bulunur. Limit var olduğundan \(\ell = L = 0\)’dır ve \[L = 0 < 1\] olur. Teorem 37.2 gereği seri yakınsaktır.
Bu serinin toplamının \(e^{3} - 1\) olduğunu, üstel fonksiyonun kuvvet serisi açılımını ele aldığımızda göreceğiz; şimdilik bizi ilgilendiren yalnızca yakınsaklıktır.
Aynı sonuca kök testiyle ulaşmak isteseydik \(\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{3}{\sqrt[n]{n!}}\) ifadesiyle uğraşmak, yani \(\sqrt[n]{n!}\) dizisinin davranışını bilmek zorunda kalırdık. Oran testi bu bilgiyi hiç gerektirmeden sonucu verdi. Birazdan (Sonuç 37.1) tam tersi yönde ilerleyip bu hesaptan \(\sqrt[n]{n!} \to +\infty\) olduğunu çıkaracağız.
\(\blacksquare\)
Örnek 37.6 (Faktöriyelli Iraksak Bir Seri) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{5^{n}}\] serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Genel terim \(a_n = \dfrac{n!}{5^{n}}\) olsun; her \(n \ge 1\) için \(a_n > 0\)’dır.
Oranı hesaplayalım: \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{5^{n+1}}}{\dfrac{n!}{5^{n}}} = \frac{(n+1)!}{n!} \cdot \frac{5^{n}}{5^{n+1}} = (n+1) \cdot \frac{1}{5} = \frac{n+1}{5}.\]
\(n \to \infty\) iken \(\dfrac{n+1}{5} \to +\infty\) olduğundan \[\ell = \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = +\infty > 1\] olur (limit var olduğundan alt ve üst limit de bu değere eşittir). Teorem 37.2 gereği seri ıraksaktır.
Iraksaklık burada çok belirgindir: \(n \ge 5\) için oran \(\dfrac{n+1}{5} \ge \dfrac{6}{5} > 1\) olduğundan terimler artmaya başlar ve \(a_n \to +\infty\) olur. Bu, faktöriyelin her üstel diziden hızlı büyümesinin bir başka görünümüdür (bkz. Analiz 1); \(5\) sayısının yerine hangi sabit konursa konsun sonuç değişmez.
\(\blacksquare\)
37.4 Kök Testi Oran Testinden Güçlüdür
Şimdiye kadar iki test gördük ve ikisinin de aynı eşiği, \(1\) sayısını kullandığını fark ettik. Aralarındaki ilişkiyi belirsiz bırakmak yerine, tam olarak ölçelim. Aşağıdaki teorem, her pozitif dizi için oranların ve köklerin alt-üst limitlerini tek bir zincire dizer. Teoremin serilerle doğrudan bir ilgisi yoktur; saf bir dizi teoremidir. Ama sonuçları seriler için belirleyicidir.
Teorem 37.3 (Oran ile Kök Arasındaki Eşitsizlik Zinciri) \((a_n)\) terimleri pozitif olan bir dizi olsun. O hâlde \[\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \;\le\; \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\] eşitsizlikleri geçerlidir.
İspat
Ortadaki eşitsizlik, her dizi için alt limitin üst limiti aşamamasının doğrudan sonucudur (bkz. Analiz 1); ispatlanacak bir şey yoktur. Geriye iki uçtaki eşitsizlikler kalıyor. Önce sağdakini ayrıntısıyla yapalım, ardından soldakini aynı yöntemin aynadaki görüntüsüyle kuralım.
Sağdaki eşitsizlik: \(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le \limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\).
\(L = \limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) yazalım. Eğer \(L = +\infty\) ise eşitsizlik aşikârdır, çünkü hiçbir şey \(+\infty\)’u aşamaz. Öyleyse \(L < +\infty\) olduğunu varsayalım. Terimler pozitif olduğundan oranlar da pozitiftir, dolayısıyla \(L \ge 0\)’dır.
Şimdi \(r > L\) olan herhangi bir reel sayı alalım. Amacımız \[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le r\] olduğunu göstermek; bunu başarırsak, \(r > L\) keyfî olduğundan \(\limsup \sqrt[n]{a_n} \le L\) sonucu çıkar.
Adım 1: Oranların üstten bastırılması. \(r > L\) olduğundan, üst limitin birinci özelliği gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \[\frac{a_{n+1}}{a_n} < r\] olur.
Adım 2: Terimlerin geometrik olarak bastırılması. \(n > N\) olsun. Terimi, ardışık oranların çarpımı olarak teleskopik biçimde yazabiliriz (bütün terimler pozitif olduğu için bu bölmeler yapılabilir): \[a_n = a_N \cdot \frac{a_{N+1}}{a_N} \cdot \frac{a_{N+2}}{a_{N+1}} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}}.\] Sağdaki çarpımda \(n - N\) tane oran vardır ve Adım 1 gereği her biri \(r\)’den küçüktür. Pozitif sayıların çarpımında her çarpanı büyütmek çarpımı büyüteceğinden \[a_n < a_N\, r^{\,n-N} = \big( a_N r^{-N} \big)\, r^{n}.\] \(C = a_N r^{-N}\) yazalım; \(a_N > 0\) ve \(r > 0\) olduğundan \(C > 0\)’dır ve \(C\) sabit bir sayıdır (\(n\)’ye bağlı değildir). Böylece \[a_n < C r^{n}, \qquad n > N\] elde ettik.
Adım 3: Kök alma. \(n > N\) için her iki tarafın \(n\)’inci kökünü alalım; \(t \mapsto \sqrt[n]{t}\) fonksiyonu \([0, \infty)\) üzerinde artan olduğundan eşitsizlik korunur: \[\sqrt[n]{a_n} < \sqrt[n]{C}\; r.\]
Adım 4: Limite geçiş. \(C > 0\) sabit olduğundan \(\sqrt[n]{C} \to 1\)’dir (pozitif bir sabitin \(n\)’inci kökü \(1\)’e yakınsar). Dolayısıyla \(\big( \sqrt[n]{C}\, r \big)\) dizisi \(r\)’ye yakınsar. Üst limit, terim terim büyük olan dizinin üst limitini aşamayacağından ve yakınsak bir dizinin üst limiti kendi limitine eşit olduğundan \[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le \limsup_{n \to \infty} \Big( \sqrt[n]{C}\, r \Big) = \lim_{n \to \infty} \Big( \sqrt[n]{C}\, r \Big) = r\] bulunur.
Adım 5: \(r\)’yi \(L\)’ye yaklaştırma. Yukarıdaki eşitsizlik \(L\)’den büyük her \(r\) için geçerlidir. Öyleyse \(\limsup \sqrt[n]{a_n}\) sayısı, \((L, \infty)\) aralığının bir alt sınırıdır; bu aralığın infimumu \(L\) olduğundan \[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le L = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\] sonucuna varırız. (Somut olarak: \(r = L + \varepsilon\) alıp \(\varepsilon \to 0^{+}\) yapmak da aynı sonucu verir.)
Soldaki eşitsizlik: \(\liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \le \liminf\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\).
\(\ell = \liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) yazalım. Oranlar pozitif olduğundan \(\ell \ge 0\)’dır. Eğer \(\ell = 0\) ise, kökler de negatif olmadığından \(\liminf \sqrt[n]{a_n} \ge 0 = \ell\) olur ve iddia doğrudur. Öyleyse \(\ell > 0\) varsayalım.
\(0 < s < \ell\) olan herhangi bir \(s\) alalım ve \(\liminf \sqrt[n]{a_n} \ge s\) olduğunu gösterelim.
Adım 1’. \(s < \ell\) olduğundan, alt limitin birinci özelliği gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \[\frac{a_{n+1}}{a_n} > s\] olur.
Adım 2’. \(n > N\) için aynı teleskopik çarpımı yazalım: \[a_n = a_N \cdot \frac{a_{N+1}}{a_N} \cdots \frac{a_n}{a_{n-1}} > a_N\, s^{\,n-N} = \big( a_N s^{-N} \big) s^{n} = D\, s^{n},\] burada \(D = a_N s^{-N} > 0\) sabittir.
Adım 3’. \(n\)’inci kökü alırsak \[\sqrt[n]{a_n} > \sqrt[n]{D}\; s, \qquad n > N.\]
Adım 4’. \(D > 0\) sabit olduğundan yine \(\sqrt[n]{D} \to 1\)’dir ve sağdaki dizi \(s\)’ye yakınsar. Terim terim küçük olan dizinin alt limiti aşılamayacağından \[\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge \liminf_{n \to \infty} \Big( \sqrt[n]{D}\, s \Big) = s.\]
Adım 5’. Bu eşitsizlik \(0 < s < \ell\) olan her \(s\) için geçerlidir; \(s \to \ell^{-}\) limitine geçerek (\(\ell = +\infty\) ise \(s\)’yi istediğimiz kadar büyük seçerek) \[\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge \ell = \liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n}\] elde ederiz.
Üç eşitsizliği yan yana koyunca zincir tamamlanır.
\(\blacksquare\)
Zincirin söylediğini bir cümlede toparlayalım: kökler, oranlardan daha dar bir aralığa sıkışır. Oranların alt ve üst limitleri arasındaki \([\ell, L]\) aralığı, köklerin alt ve üst limitleri arasındaki aralığı içerir. Bu içerme, iki testin gücünü karşılaştırmak için gereken her şeyi verir; ama önce en temiz sonucunu yazalım.
Sonuç 37.1 (Oranın Limiti Varsa Kökün Limiti de Vardır) \((a_n)\) terimleri pozitif olan bir dizi olsun. Eğer \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\] limiti (genişletilmiş anlamda, \(L \in [0, +\infty]\) olarak) varsa, o hâlde \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n}\] limiti de vardır ve \(L\)’ye eşittir.
İspat
Oranların limiti var ve \(L\)’ye eşit olduğuna göre \[\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = L\] olur. Bu iki değeri Teorem 37.3’nin zincirine yerleştirelim: \[L \;\le\; \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \;\le\; L.\] Zincirin iki ucu da \(L\) olduğundan aradaki bütün eşitsizlikler eşitliğe dönüşür: \[\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L.\] Bir dizinin alt ve üst limiti eşit olduğunda dizi (genişletilmiş anlamda) yakınsaktır ve limiti bu ortak değerdir. Öyleyse \(\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = L\)’dir.
\(\blacksquare\)
Bu sonucun tersi doğru değildir: kökün limiti var olduğu hâlde oranın limiti olmayan diziler vardır. Örneğin \[a_n = \frac{2^{\,n + (-1)^{n}}}{3^{n}}\] dizisinde \(\sqrt[n]{a_n} \to \dfrac{2}{3}\)’tür, oysa ardışık terimlerin oranı \(\dfrac{1}{6}\) ile \(\dfrac{8}{3}\) değerleri arasında sonsuza dek gidip gelir ve limiti yoktur; bu hesabı alıştırmaların (d) şıkkında ayrıntısıyla yapacağız. Yani Sonuç 37.1 tek yönlü bir köprüdür: oranın limitinden kökünkine geçilir, ters yönde geçilmez.
Köprünün pratik bir yan ürünü vardır: zor bir \(\sqrt[n]{a_n}\) limitini, kolay bir \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) limitine çevirebiliriz. Bu, kök limitlerini hesaplamanın en kullanışlı tekniklerinden biridir.
\(\sqrt[n]{n!}\) dizisinin davranışını doğrudan görmek kolay değildir. Sonuç 37.1 ile birkaç satırda hallolur.
Birinci hesap. \(a_n = \dfrac{3^n}{n!}\) alalım. Örnek 37.5’de \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{3}{n+1} \to 0\) olduğunu bulmuştuk. Öyleyse \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{3^n}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{3}{\sqrt[n]{n!}} = 0,\] ki bu ancak \(\sqrt[n]{n!} \to +\infty\) ise olabilir. Demek ki \(\sqrt[n]{n!} \to +\infty\)’dur.
İkinci hesap (daha hassası). Bu kez \(a_n = \dfrac{n!}{n^n}\) alalım. Oran \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{n!} = (n+1) \cdot \frac{n^n}{(n+1)^{n+1}} = \frac{n^n}{(n+1)^n} = \frac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}}\] olur ve e Dizisi Artan ve Sınırlıdır gereği bu ifade \(\dfrac{1}{e}\)’ye yakınsar. Sonuç 37.1 gereği \[\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \frac{1}{e}.\] Yani \(\sqrt[n]{n!}\) dizisi kabaca \(\dfrac{n}{e}\) gibi büyür. Bu, Stirling formülünün en kolay elde edilen parçasıdır.
Şimdi asıl karşılaştırmayı yapabiliriz.
Önerme 37.1 (Kök Testi Oran Testinden Daha Güçlüdür) \((a_n)\) terimleri pozitif olan bir dizi olsun.
- Eğer oran testi yakınsaklık veriyorsa, yani \(\limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1\) ise, kök testi de yakınsaklık verir: \(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1\).
- Eğer oran testi ıraksaklık veriyorsa, yani \(\liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1\) ise, kök testi de ıraksaklık verir: \(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1\).
Yani oran testinin karar verdiği her seride kök testi de karar verir ve kararları çakışır. Bunun tersi doğru değildir: kök testinin karar verip oran testinin sessiz kaldığı seriler vardır.
İspat
Birinci madde. \(L = \limsup\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} < 1\) olsun. Teorem 37.3’nin sağdaki eşitsizliği gereği \[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \le L < 1\] olur. Bu, Teorem 37.1’nin birinci maddesinin koşuludur; kök testi de yakınsaklık verir.
İkinci madde. \(\ell = \liminf\limits_{n \to \infty} \dfrac{a_{n+1}}{a_n} > 1\) olsun. Teorem 37.3’nin soldaki eşitsizliği gereği \[\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge \ell > 1\] olur. Alt limit üst limiti aşamayacağından \[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} \ge \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1\] elde edilir; bu da Teorem 37.1’nin ikinci maddesinin koşuludur ve kök testi ıraksaklık verir.
Tersinin yanlışlığı. Örnek 37.7’da verilen seride \[\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0, \qquad \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = +\infty\] olduğundan \(\ell \le 1 \le L\) sağlanır ve oran testi sonuçsuz kalır; buna karşın aynı seride \(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} < 1\) olduğundan kök testi yakınsaklığı verir. Öyleyse iki test denk değildir; kök testi kesin olarak daha güçlüdür.
\(\blacksquare\)
Bu önermenin ispatındaki karşı örneği artık ayrıntısıyla kurmamız gerekiyor. Seri, iki farklı geometrik dizinin terimlerini sırayla iç içe geçirerek elde edilir; bu iç içe geçme, ardışık terimlerin oranını çılgınca salındırır ama \(n\)’inci kökleri terbiyeli tutar.
Örnek 37.7 (Oran Testinin Çuvalladığı Kök Testinin Karar Verdiği Bir Seri) \[\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{3^{3}} + \cdots\] serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Adım 1: Genel terimi açıkça yazmak. Seride tek indisli yerlerde \(2\)’nin kuvvetlerinin tersleri, çift indisli yerlerde \(3\)’ün kuvvetlerinin tersleri bulunuyor. Bunu formülleştirelim: her \(m \in \mathbb{N}\) için \[a_{2m-1} = \frac{1}{2^{m}}, \qquad a_{2m} = \frac{1}{3^{m}}.\] Doğruluğunu ilk terimlerde sınayalım: \(m = 1\) için \(a_1 = \dfrac{1}{2}\), \(a_2 = \dfrac{1}{3}\); \(m = 2\) için \(a_3 = \dfrac{1}{2^2}\), \(a_4 = \dfrac{1}{3^2}\); \(m = 3\) için \(a_5 = \dfrac{1}{2^3}\), \(a_6 = \dfrac{1}{3^3}\). Verilen sıralamayla tam olarak uyuşuyor. Bütün terimler pozitiftir.
Adım 2: Ardışık terimlerin oranı. İki ayrı geçiş türü vardır; ikisini de ayrı ayrı hesaplamalıyız.
Tek indisten çift indise geçiş (\(n = 2m-1\), yani \(n\) tek): \[\frac{a_{2m}}{a_{2m-1}} = \frac{\dfrac{1}{3^{m}}}{\dfrac{1}{2^{m}}} = \frac{2^{m}}{3^{m}} = \left( \frac{2}{3} \right)^{m}.\]
Çift indisten tek indise geçiş (\(n = 2m\), yani \(n\) çift; bir sonraki terim \(a_{2m+1} = a_{2(m+1)-1} = \dfrac{1}{2^{m+1}}\)’dir): \[\frac{a_{2m+1}}{a_{2m}} = \frac{\dfrac{1}{2^{m+1}}}{\dfrac{1}{3^{m}}} = \frac{3^{m}}{2^{m+1}} = \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right)^{m}.\]
Toparlarsak, \(m \in \mathbb{N}\) için \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \begin{cases} \left( \dfrac{2}{3} \right)^{m}, & n = 2m-1 \ \ (n \text{ tek}), \\[3mm] \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{2} \right)^{m}, & n = 2m \ \ (n \text{ çift}). \end{cases}\]
Adım 3: Oranın alt ve üst limiti. İki alt diziyi ayrı ayrı inceleyelim.
Tek indisli oranlar: \(\dfrac{2}{3} < 1\) olduğundan \(\left( \dfrac{2}{3} \right)^{m} \to 0\)’dır (bkz. Analiz 1). Bu alt dizi, oran dizisinin alabildiği en küçük değerlere iner.
Çift indisli oranlar: \(\dfrac{3}{2} > 1\) olduğundan \(\dfrac{1}{2} \left( \dfrac{3}{2} \right)^{m} \to +\infty\)’dur (tabanı \(1\)’den büyük olan geometrik dizi sonsuza ıraksar).
Oran dizisinin her terimi bu iki alt diziden birine aittir; dolayısıyla dizinin her yığılma değeri bu iki alt diziden birinin yığılma değeridir, yani yalnızca \(0\) ya da \(+\infty\) olabilir. İkisi de gerçekleştiğine göre genişletilmiş yığılma değerleri kümesi tam olarak \(\{0, +\infty\}\)’dur ve \[\liminf_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 0, \qquad \limsup_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = +\infty\] olur (bkz. Analiz 1).
Şimdi Teorem 37.2’ne bakalım: \(\ell = 0 \le 1 \le +\infty = L\) olduğundan üçüncü maddedeyiz. Oran testi bu seri hakkında hiçbir sonuç vermez. Üstelik burada \(L > 1\) olması ıraksaklığa da tanıklık etmez; nitekim birazdan serinin yakınsak olduğunu göreceğiz.
Adım 4: \(n\)’inci kökler. Aynı iki durumu kökler için tekrarlayalım.
\(n = 2m-1\) (tek) ise \(a_n = \dfrac{1}{2^{m}}\) ve \[\sqrt[n]{a_n} = \left( 2^{-m} \right)^{\frac{1}{2m-1}} = 2^{-\frac{m}{2m-1}}.\] \(m \to \infty\) iken \[\frac{m}{2m-1} = \frac{1}{2 - \dfrac{1}{m}} \longrightarrow \frac{1}{2}\] olduğundan, \(t \mapsto 2^{-t}\) fonksiyonunun sürekliliği gereği \[\sqrt[n]{a_n} \longrightarrow 2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071.\]
\(n = 2m\) (çift) ise \(a_n = \dfrac{1}{3^{m}}\) ve \[\sqrt[n]{a_n} = \left( 3^{-m} \right)^{\frac{1}{2m}} = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}5774.\] Dikkat: bu alt dizi yalnızca yakınsak değil, doğrudan sabittir; her çift indiste değeri \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)’tür.
Adım 5: Kökün alt ve üst limiti. Kök dizisinin terimleri yine iki alt diziye ayrılıyor; biri \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\)’ye, öteki sabit olarak \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)’e eşit. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}} < \dfrac{1}{\sqrt{2}}\) olduğundan \[\liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{\sqrt{3}}, \qquad \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{\sqrt{2}}.\]
Adım 6: Karar. Kök testinin baktığı sayı üst limittir: \[L_{\text{kök}} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = \frac{1}{\sqrt{2}} < 1.\] Teorem 37.1 gereği seri yakınsaktır.
Adım 7: Zincirin sınanması. Elde ettiğimiz dört sayıyı Teorem 37.3’nin verdiği sıraya yerleştirelim: \[0 \;\le\; \frac{1}{\sqrt{3}} \;\le\; \frac{1}{\sqrt{2}} \;\le\; +\infty.\] Zincir gerçekten sağlanıyor ve dıştaki iki eşitsizlik kesindir; yani teoremin eşitsizlikleri genel olarak eşitliğe indirgenemez. Bu seride ne oranın ne de kökün limiti vardır: her iki dizinin de iki ayrı yığılma değeri bulunur. Sonuç 37.1 bu yüzden buraya uygulanamaz; köprünün girişinde oranın limitinin var olması istenir, oysa burada oran \(0\) ile \(+\infty\) arasında salınmaktadır. Yine de kök testinin baktığı tek sayı olan üst limit sonlu ve \(1\)’in altında kaldığından, kök testi karar verebilmiştir.
Adım 8: Bir kontrol. Serinin yakınsaklığını doğrudan da doğrulayabiliriz. Seriyi ikişer ikişer gruplayarak \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{m=1}^{\infty} \left( \frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{3^{m}} \right) = \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{2^{m}} + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{3^{m}} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}\] buluruz (terimler pozitif olduğundan gruplama ve iki yakınsak seriyi ayırma serbesttir). Gerçekten yakınsak ve toplamı \(\dfrac{3}{2}\)’dir. Kök testinin verdiği yanıt doğrudur.
\(\blacksquare\)
Bu örnek, iki testin neden farklı davrandığını da açıklıyor. Oran testi yerel bir bilgiye, komşu iki terimin karşılaştırmasına bakar; terimler iki ayrı kalıba göre sıralanmışsa bu yerel bilgi sürekli zıplar ve hiçbir şey söylemez. Kök testi ise \(a_n\)’nin kendisini bir bütün olarak geometrik ölçekte ölçer; ara sıçramalar \(n\)’inci kök alınırken yumuşar. Zincir eşitsizliği tam olarak bu “yumuşama”nın niceliksel ifadesidir.
- Genel terimde faktöriyel, çarpım ya da \(c^n \cdot n!\) türü ifadeler varsa oran testiyle başlayın. Ardışık terimlerin oranında faktöriyeller sadeleşir ve hesap birkaç satıra iner (Örnek 37.5, Örnek 37.6).
- Genel terim baştan bir \(n\)’inci kuvvet biçimindeyse (\((c_n)^n\), \(n^n\), \(c^{n^2}\) gibi) kök testiyle başlayın. \(n\)’inci kök almak üsteli doğrudan siler (Örnek 37.2, Örnek 37.3).
- Terimler indise göre iki (ya da daha çok) farklı kalıba ayrılıyorsa oran testine hiç girmeyin. Oran, kalıplar arası geçişlerde salınır ve test çöker; kök testi bu durumda genellikle sağ kalır (Örnek 37.7).
- Oran testi karar verdiyse kök testini denemek gereksizdir; Önerme 37.1 gereği aynı kararı verecektir. Tersi geçerli değildir: kök testinin denenmesi her zaman anlamlıdır.
- İki test de \(1\) verirse geometrik karşılaştırma tükenmiştir. \(p\)-serileri, \(\sum \dfrac{1}{n \ln n}\) gibi seriler hep bu durumdadır. O zaman karşılaştırma ya da yoğunlaştırma testine, ya da bir sonraki bölümde göreceğimiz Kummer ve Raabe testlerine geçmek gerekir.
- Bir son not: her iki test de \(a_n \ge 0\) varsayımına dayanır. İşaretleri değişen serilerde bu testler doğrudan uygulanamaz; ancak \(|a_n|\) terimlerine uygulanarak mutlak yakınsaklık sınanabilir. Bunu mutlak yakınsaklık konusunda ele alacağız.
37.5 Alıştırmalar
Alıştırma 37.1 (Kök ve Oran Testleri Üzerine) Aşağıdaki serilerin yakınsaklığını inceleyiniz; her şıkta hangi testi neden seçtiğinizi belirtiniz.
a) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{n^{2}}{2^{n}}\)
b) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!}\)
c) \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n^{2}}\)
d) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{2^{\,n + (-1)^{n}}}{3^{n}}\)
e) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{3^{n}\, n!}{n^{n}}\)
f) \(\sum_{n=1}^{\infty} \left( \dfrac{2 + (-1)^{n}}{3} \right)^{n}\)
Çözüm
a) Genel terim \(a_n = \dfrac{n^2}{2^n} > 0\)’dır. Terimde faktöriyel yok ama üstel bir çarpan var; iki test de rahat çalışır. Oran testiyle: \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{n+1}{n} \right)^{2} = \frac{1}{2} \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{2} \longrightarrow \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.\] Limit var olduğundan \(L = \dfrac{1}{2} < 1\)’dir ve Teorem 37.2 gereği seri yakınsaktır.
Kök testi de aynı sonucu verir: \(\sqrt[n]{n} \to 1\) olduğundan \(\sqrt[n]{a_n} = \dfrac{\big( \sqrt[n]{n} \big)^{2}}{2} \to \dfrac{1}{2}\)’dir. Sonuç 37.1’in söylediği tam olarak budur; iki limit zorunlu olarak eşit çıkar.
b) \(a_n = \dfrac{(n!)^{2}}{(2n)!} > 0\)’dır. Faktöriyeller var; oran testi doğal seçimdir. \((2n+2)! = (2n+2)(2n+1)(2n)!\) olduğunu kullanalım: \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\big((n+1)!\big)^{2}}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = \frac{(n+1)^{2} (n!)^{2}}{(2n+2)(2n+1)(2n)!} \cdot \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} = \frac{(n+1)^{2}}{(2n+2)(2n+1)}.\] \(2n+2 = 2(n+1)\) olduğundan bu ifade \[\frac{(n+1)^{2}}{2(n+1)(2n+1)} = \frac{n+1}{2(2n+1)} = \frac{1 + \dfrac{1}{n}}{4 + \dfrac{2}{n}} \longrightarrow \frac{1}{4}\] olur. \(L = \dfrac{1}{4} < 1\) olduğundan seri yakınsaktır.
c) \(a_n = \left( \dfrac{n}{n+1} \right)^{n^{2}} > 0\)’dır. Terim bir \(n^2\)’inci kuvvet olduğundan kök testi biçilmiş kaftandır: \[\sqrt[n]{a_n} = \left( \frac{n}{n+1} \right)^{n} = \frac{1}{\left( \dfrac{n+1}{n} \right)^{n}} = \frac{1}{\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}} \longrightarrow \frac{1}{e}\] (bkz. Analiz 1). \(L = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}368 < 1\) olduğundan Teorem 37.1 gereği seri yakınsaktır.
d) \(a_n = \dfrac{2^{\,n + (-1)^{n}}}{3^{n}} > 0\)’dır. Önce oran testini deneyelim: \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{2^{\,n+1+(-1)^{n+1}}}{3^{n+1}} \cdot \frac{3^{n}}{2^{\,n+(-1)^{n}}} = \frac{2^{\,1 + (-1)^{n+1} - (-1)^{n}}}{3} = \frac{2^{\,1 - 2(-1)^{n}}}{3},\] çünkü \((-1)^{n+1} = -(-1)^n\) olduğundan üstel \(1 - 2(-1)^n\)’dir. Buna göre \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \begin{cases} \dfrac{2^{-1}}{3} = \dfrac{1}{6}, & n \text{ çift}, \\[3mm] \dfrac{2^{3}}{3} = \dfrac{8}{3}, & n \text{ tek}. \end{cases}\] Öyleyse \(\ell = \dfrac{1}{6}\) ve \(L = \dfrac{8}{3}\)’tür; \(\ell \le 1 \le L\) olduğundan oran testi sonuçsuzdur.
Kök testine geçelim: \[\sqrt[n]{a_n} = \frac{2^{\,\frac{n + (-1)^{n}}{n}}}{3} = \frac{2^{\,1 + \frac{(-1)^{n}}{n}}}{3}.\] \(\left| \dfrac{(-1)^n}{n} \right| = \dfrac{1}{n} \to 0\) olduğundan üstel \(1\)’e yakınsar ve \(t \mapsto 2^{t}\) sürekli olduğundan \[\sqrt[n]{a_n} \longrightarrow \frac{2^{1}}{3} = \frac{2}{3}.\] \(L_{\text{kök}} = \dfrac{2}{3} < 1\) olduğundan seri yakınsaktır. Bu şık, Önerme 37.1’nın “tersi doğru değildir” kısmının bir başka örneğidir. Dahası, burada \(\big(\sqrt[n]{a_n}\big)\) dizisinin limiti var (\(\tfrac{2}{3}\)) ama \(\big(\tfrac{a_{n+1}}{a_n}\big)\) dizisinin limiti yoktur; yani Sonuç 37.1’in tersinin geçersiz olduğunu gösteren dizi tam olarak budur.
e) \(a_n = \dfrac{3^{n} n!}{n^{n}} > 0\)’dır. Faktöriyel var; oran testi: \[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3^{n+1} (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^{n}}{3^{n} n!} = 3 (n+1) \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n+1}} = 3 \cdot \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} = \frac{3}{\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right)^{n}}.\] e Dizisi Artan ve Sınırlıdır gereği payda \(e\)’ye yakınsar, dolayısıyla \[\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{3}{e} \approx 1{,}104 > 1.\] Limit var olduğundan \(\ell = L = \dfrac{3}{e} > 1\)’dir ve Teorem 37.2 gereği seri ıraksaktır. Terimler aslında sonsuza gider.
Aynı sonucu Sonuç 37.1 ile kök testinden de okuyabiliriz: \(\sqrt[n]{a_n} \to \dfrac{3}{e} > 1\). Buradan ayrıca \(\dfrac{3 \sqrt[n]{n!}}{n} \to \dfrac{3}{e}\), yani yukarıda anılan \(\dfrac{\sqrt[n]{n!}}{n} \to \dfrac{1}{e}\) sonucu bir kez daha çıkar.
f) \(a_n = \left( \dfrac{2 + (-1)^{n}}{3} \right)^{n} > 0\)’dır. Kök testini deneyelim: \[\sqrt[n]{a_n} = \frac{2 + (-1)^{n}}{3} = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & n \text{ tek}, \\[3mm] 1, & n \text{ çift}. \end{cases}\] Öyleyse \(\limsup\limits_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_n} = 1\)’dir ve kök testi standart biçimiyle sonuçsuz kalır.
Yine de seriyi karara bağlayabiliriz. \(n\) çift iken \(a_n = 1^{n} = 1\)’dir; yani \((a_n)\) dizisinin sonsuz çoklukta terimi \(1\)’e eşittir. Bu durumda \(a_n \to 0\) olamaz ve genel terim testi gereği seri ıraksaktır. Bu, kök testinin ıraksaklık ölçütünün keskinleştirilmiş biçimidir: \(\sqrt[n]{a_n} \ge 1\) eşitsizliği sonsuz çoklukta \(n\) için sağlanıyorsa seri ıraksar.
Oran testi burada da işe yaramaz. Tek \(n\) için \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{1}{(1/3)^{n}} = 3^{n} \to +\infty\), çift \(n\) için \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n} = \dfrac{(1/3)^{n+1}}{1} \to 0\) olduğundan \(\ell = 0\), \(L = +\infty\)’dur.
\(\blacksquare\)
Kök ve oran testleri, pozitif terimli serilerin büyük bir bölümünü hızla karara bağlar; ama ikisi de aynı ölçeği, geometrik seriyi kullandığından \(L = 1\) sınırında birlikte susarlar. Oysa bu sınırda duran seriler arasında hem yakınsak hem ıraksak olanlar vardır ve aralarındaki farkı görecek daha ince testler kurulabilir. Bir sonraki bölümde bu testlerin genel çatısını ve iki önemli örneğini inceleyeceğiz: Kummer ve Raabe Testleri.