28 Limit için Dizisel Ölçüt ve Cauchy Ölçütü
Önceki bölümde limiti \(\varepsilon\)–\(\delta\) tanımıyla kurduk ve tanımın bir limitin var olduğunu ispatlamak için elverişli, ama bir limitin olmadığını göstermek için hantal olduğunu gördük. Bu bölümde iki yeni araç geliştiriyoruz. İlki, Eduard Heine’nin adıyla anılan dizisel ölçüt (sequential criterion), sürekli değişen bir \(x\) yerine adım adım ilerleyen dizilerle çalışmamızı sağlar: bir fonksiyonun \(a\)’daki limiti, \(a\)’ya yakınsayan bütün dizilerin görüntü dizileriyle belirlenir. Böylece diziler için ispatladığımız her teorem, fonksiyon limitleri için de bir teoreme dönüşür ve limitin olmadığını göstermek çoğu zaman iki dizi bulmaya indirgenir. İkincisi, dizilerdeki Cauchy ölçütünün (Teorem 26.3) fonksiyon sürümü olan Cauchy ölçütü (Cauchy criterion), limitin değerini bilmeden var olup olmadığını sınamaya yarar.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: dizisel ölçüt ve iki yönlü ispatı; limitin var olmadığını gösteren dizisel ölçüt sonucu ve \(\sin(1/x)\) ile Dirichlet fonksiyonu örnekleri; dizisel ölçütle limit hesabı; fonksiyonlar için Cauchy ölçütü, ispatındaki “karışık dizi” hilesi ve olumsuzlamasıyla taban fonksiyonunun tam sayılardaki limitinin olmaması.
28.1 Dizisel Ölçüt (Heine Ölçütü)
Bir fonksiyonun \(a\) noktasındaki limiti, \(x\)’in \(a\)’ya “her yoldan” yaklaşmasını hesaba katar. Bir dizi ise \(a\)’ya belirli bir yoldan, adım adım yaklaşır. Aşağıdaki teorem bu iki bakışın aynı şeyi ölçtüğünü söyler: \(x\)’in her yoldan yaklaşmasını, \(a\)’ya yakınsayan bütün dizileri düşünerek yakalayabiliriz.
Teorem 28.1 (Dizisel Ölçüt (Heine Ölçütü)) \(f : A \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon ve \(a\), \(A\)’nın bir yığılma noktası olsun. Şu iki ifade denktir:
- \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
- \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan her \((x_n)\) dizisi için görüntü dizisi \((f(x_n))\), \(\ell\)’ye yakınsar.
Kısaca:
\[\lim_{x \to a} f(x) = \ell \iff \forall (x_n) \subseteq A \setminus \{a\}:\ \big(x_n \to a \Rightarrow f(x_n) \to \ell\big).\]
Buradaki \((x_n) \subseteq A \setminus \{a\}\) yazımı yerleşik bir kısaltmadır: bir dizi küme değildir, kastedilen “dizinin bütün terimleri \(A \setminus \{a\}\) içindedir”dir.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü.) \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olsun ve \((x_n)\), \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan herhangi bir dizi olsun. \(f(x_n) \to \ell\) olduğunu, yani her \(\varepsilon > 0\) için bir eşikten sonra \(|f(x_n) - \ell| < \varepsilon\) olduğunu göstermeliyiz.
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Fonksiyon limitinin tanımı (Tanım 27.1) gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki
\[x \in A,\ 0 < |x - a| < \delta \Longrightarrow |f(x) - \ell| < \varepsilon.\]
Şimdi bu \(\delta\)’yı dizi için bir “\(\varepsilon\)” gibi kullanalım: \(x_n \to a\) olduğundan dizi limitinin tanımı (Tanım 20.1) gereği öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \(|x_n - a| < \delta\). Ayrıca \(x_n \in A \setminus \{a\}\) olduğundan \(x_n \in A\) ve \(x_n \neq a\), yani \(0 < |x_n - a|\). İkisini birleştirirsek her \(n \ge N\) için
\[x_n \in A \quad \text{ve} \quad 0 < |x_n - a| < \delta,\]
dolayısıyla \(|f(x_n) - \ell| < \varepsilon\). Bu tam olarak \(f(x_n) \to \ell\) demektir.
(\(\Leftarrow\) yönü.) \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan her dizinin görüntü dizisi \(\ell\)’ye yakınsasın. Olmayana ergi ile \(\lim_{x \to a} f(x) \neq \ell\) varsayalım. Önceki bölümde yazdığımız olumsuzlama gereği öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) vardır ki her \(\delta > 0\) için
\[x \in A,\quad 0 < |x - a| < \delta \quad \text{ve} \quad |f(x) - \ell| \ge \varepsilon_0\]
olan bir \(x\) bulunur. Bu \(\delta\)’yı sırayla \(1, \tfrac12, \tfrac13, \dots\) alalım: her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\delta = \dfrac{1}{n}\) seçildiğinde öyle bir \(x_n \in A\) vardır ki
\[0 < |x_n - a| < \frac{1}{n} \qquad \text{ve} \qquad |f(x_n) - \ell| \ge \varepsilon_0.\]
Böylece bir \((x_n)\) dizisi kurduk. Özelliklerini inceleyelim.
Dizi \(A \setminus \{a\}\) içindedir: her \(x_n \in A\) ve \(0 < |x_n - a|\) olduğundan \(x_n \neq a\).
Dizi \(a\)’ya yakınsar: \(\varepsilon > 0\) verilsin. Arşimet özelliği (Sonuç 12.2) gereği \(\dfrac{1}{N} < \varepsilon\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır. Her \(n \ge N\) için
\[|x_n - a| < \frac{1}{n} \le \frac{1}{N} < \varepsilon.\]
Demek ki \(x_n \to a\).
O hâlde hipotez gereği \(f(x_n) \to \ell\) olmalıdır. Ama bu, \(\varepsilon_0\) için öyle bir \(N'\) olmasını gerektirir ki her \(n \ge N'\) için \(|f(x_n) - \ell| < \varepsilon_0\); oysa kurduğumuz dizide her \(n\) için \(|f(x_n) - \ell| \ge \varepsilon_0\)’dır. Çelişki. Öyleyse varsayımımız yanlıştır ve \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\).
\(\blacksquare\)
Teoremin ikinci ifadesi “\(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan her dizi” der. Böyle dizilerin var olduğunu bilmek önemlidir; aksi hâlde koşul boş yere sağlanırdı. \(a\), \(A\)’nın yığılma noktası olduğundan her \(n\) için \(B^{*}(a, 1/n) \cap A \neq \varnothing\)’dir (Tanım 17.1); her birinden bir \(x_n\) seçersek, ispatın ikinci yarısındaki hesapla \(x_n \to a\) olan ve \(A \setminus \{a\}\) içinde kalan bir dizi elde ederiz. Yığılma noktası koşulu burada da tam bu iş için gereklidir.
Teoremin gücü şuradadır: dizilerde ispatladığımız her sonuç, artık fonksiyon limitleri için de bedavadır. Limitin tekliği bunun ilk örneğidir; dizi limiti tek olduğundan (Teorem 20.1) fonksiyon limiti de tektir — bu, Teorem 27.1’nin ikinci bir ispatıdır. Ama en sık kullanılan sonuç, limitin olmadığını göstermeye yarayan şu ölçüttür.
Sonuç 28.1 (Limitin Olmadığını Gösteren Dizisel Ölçüt) \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(a\), \(A\)’nın bir yığılma noktası olsun. Aşağıdakilerden biri sağlanıyorsa \(f\)’nin \(a\) noktasında limiti yoktur:
- \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan öyle iki \((x_n)\), \((y_n)\) dizisi vardır ki \(f(x_n) \to \ell_1\), \(f(y_n) \to \ell_2\) ve \(\ell_1 \neq \ell_2\).
- \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan öyle bir \((x_n)\) dizisi vardır ki \((f(x_n))\) görüntü dizisi ıraksaktır.
İspat
Olmayana ergi ile \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olan bir \(\ell \in \mathbb{R}\) bulunduğunu varsayalım.
Durum 1’de Teorem 28.1 (\(\Rightarrow\) yönü) gereği hem \(f(x_n) \to \ell\) hem \(f(y_n) \to \ell\) olmalıdır. Dizi limiti tek olduğundan (Teorem 20.1) \(\ell_1 = \ell\) ve \(\ell_2 = \ell\), yani \(\ell_1 = \ell_2\); bu, \(\ell_1 \neq \ell_2\) ile çelişir.
Durum 2’de yine Teorem 28.1 gereği \(f(x_n) \to \ell\) olmalıdır; oysa \((f(x_n))\) ıraksaktır. Çelişki.
Her iki durumda da böyle bir \(\ell\) yoktur.
\(\blacksquare\)
Bir limitin var olduğunu ve değerini ispatlamak için \(\varepsilon\)–\(\delta\) tanımı ya da (birazdan göreceğimiz gibi) dizisel ölçütle dizi teoremleri kullanılır. Bir limitin olmadığını göstermek içinse dizisel ölçüt çok daha pratiktir: \(a\)’ya yaklaşan ama görüntüleri farklı yerlere giden iki dizi bulmak yeter. Önceki bölümün son alıştırmasında \(|x|/x\) için uzun uzun uğraştığımız iş, şimdi iki satırdır: \(x_n = 1/n \to 0\) için \(f(x_n) = 1 \to 1\), \(y_n = -1/n \to 0\) için \(f(y_n) = -1 \to -1\); \(1 \neq -1\), limit yoktur.
Önce ölçütün “olumlu” kullanımına, yani bir limiti dizi teoremleriyle hesaplamaya bir örnek verelim.
Örnek 28.1 (Dizisel Ölçütle Limit Hesabı) \(A = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\) ve \(f : A \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x + 3}\) olsun (\(x = -3\)’te payda sıfır olduğundan fonksiyon orada tanımsızdır; \(2\), \(A\)’nın bir yığılma noktasıdır). Dizisel ölçütle \(\lim_{x \to 2} f(x) = 1\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\((x_n)\), \(A \setminus \{2\}\) içinde \(2\)’ye yakınsayan herhangi bir dizi olsun. Teorem 28.1 gereği \(f(x_n) \to 1\) olduğunu göstermek yeter. Limit aritmetiği (Teorem 21.1) dizilere uygulanır:
\[x_n \to 2 \Longrightarrow x_n^2 = x_n \cdot x_n \to 2 \cdot 2 = 4 \Longrightarrow x_n^2 + 1 \to 5,\]
\[x_n \to 2 \Longrightarrow x_n + 3 \to 5.\]
Bölüm kuralının iki koşulu da sağlanır: payda dizisinin limiti \(5 \neq 0\)’dır ve her \(n\) için \(x_n \in A\), yani \(x_n \neq -3\) olduğundan \(x_n + 3 \neq 0\)’dır. Öyleyse
\[f(x_n) = \frac{x_n^2 + 1}{x_n + 3} \to \frac{5}{5} = 1.\]
Dizi keyfi olduğundan dizisel ölçüt \(\lim_{x \to 2} f(x) = 1\) verir. Hiç \(\delta\) aramadık; bütün \(\varepsilon\)–\(\delta\) işini dizi teoremleri bizim yerimize yaptı.
\(\blacksquare\)
Örnekteki akıl yürütme geneldir. \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ve \(\lim_{x \to a} g(x) = m\) ise, \(a\)’ya yakınsayan her \((x_n)\) için \(f(x_n) \to \ell\) ve \(g(x_n) \to m\)’dir; dizi aritmetiği \(f(x_n) + g(x_n) \to \ell + m\) ve \(f(x_n) g(x_n) \to \ell m\) verir; dizisel ölçüt de bunu \(\lim_{x \to a} (f + g)(x) = \ell + m\) ve \(\lim_{x \to a} (fg)(x) = \ell m\) diye geri çevirir. Bir sonraki bölümde bu sonuçları \(\varepsilon\)–\(\delta\) ile de ispatlayacağız (Teorem 29.2); dizisel ispatı bölüm sonu alıştırmalarında yazacağız.
Şimdi ölçütün asıl ünlü olduğu “olumsuz” kullanımına geçelim.
Aşağıdaki örnekte \(\sin\) fonksiyonunun liseden bilinen özelliklerini kullanıyoruz: \(\sin\), \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlıdır, \(|\sin t| \le 1\)’dir ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\sin\left(\tfrac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1\), \(\sin\left(\tfrac{3\pi}{2} + 2n\pi\right) = -1\)’dir. Bu fonksiyonların kesin tanımı Analiz 2’de kuvvet serileriyle yapılır; burada yalnızca örnek amacıyla kullanılırlar.
Örnek 28.2 (Sinüs Bir Bölü x Fonksiyonu) \(f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) olsun. \(\lim_{x \to 0} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right)\) limitinin var olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(0\), tanım kümesi \(A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\)’ın yığılma noktasıdır. Sonuç 28.1 (1) gereği \(0\)’a yakınsayan ama görüntüleri farklı limitlere giden iki dizi bulmak yeter. Fikir: \(\sin\) değerinin \(1\) olduğu yerleri ve \(-1\) olduğu yerleri ayrı ayrı yakalayan diziler seçmek.
Adım 1: Görüntüsü hep \(1\) olan dizi. \(\sin \theta = 1\) olması için \(\theta = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) alınabilir. \(\dfrac{1}{x_n}\) bu değere eşit olsun:
\[x_n = \frac{1}{\frac{\pi}{2} + 2n\pi} \qquad (n \in \mathbb{N}).\]
Her \(x_n > 0\), dolayısıyla \(x_n \in A \setminus \{0\}\). Payda \(+\infty\)’a ıraksar: \(2\pi > 1\) olduğundan her \(n\) için \(\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi > n\)’dir ve \(n \to +\infty\) olduğundan (Örnek 22.1 (a)) Teorem 22.4 gereği \(\dfrac{\pi}{2} + 2n\pi \to +\infty\). Pozitif terimli dizide ters alma (Teorem 22.3) \(x_n \to 0\) verir. Görüntü dizisi:
\[f(x_n) = \sin\left(\frac{1}{x_n}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + 2n\pi\right) = 1 \Longrightarrow f(x_n) \to 1.\]
Adım 2: Görüntüsü hep \(-1\) olan dizi. \(\sin \theta = -1\) olması için \(\theta = \dfrac{3\pi}{2} + 2n\pi\) alınabilir:
\[y_n = \frac{1}{\frac{3\pi}{2} + 2n\pi} \qquad (n \in \mathbb{N}).\]
Aynı gerekçeyle \(y_n \in A \setminus \{0\}\) ve \(y_n \to 0\); görüntü dizisi
\[f(y_n) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + 2n\pi\right) = -1 \Longrightarrow f(y_n) \to -1.\]
Adım 3: Sonuç. \(x_n \to 0\) ve \(y_n \to 0\) ama
\[\lim_{n \to \infty} f(x_n) = 1 \neq -1 = \lim_{n \to \infty} f(y_n).\]
Sonuç 28.1 gereği \(\lim_{x \to 0} \sin(1/x)\) yoktur. Grafik bunu görünür kılar: \(x\) sıfıra yaklaştıkça \(1/x\) sonsuza gider ve \(\sin(1/x)\), \(-1\) ile \(1\) arasında giderek sıklaşan salınımlar yapar; tek bir sayıya yerleşmez.
\(\blacksquare\)
Aynı yöntem, hiçbir noktada limiti olmayan bir fonksiyon örneği verir. Bu fonksiyon, Alman matematikçi Peter Gustav Lejeune Dirichlet’nin (1805–1859) adıyla anılır ve analizde “kötü davranışlı” fonksiyonların başlıca örneğidir.
Örnek 28.3 (Dirichlet Fonksiyonu) \(D : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),
\[D(x) = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]
olsun. Her \(a \in \mathbb{R}\) için \(\lim_{x \to a} D(x)\) limitinin var olmadığını gösteriniz.
Çözüm
\(a \in \mathbb{R}\) keyfi olsun. \(a\)’ya yakınsayan, biri yalnızca rasyonel, öteki yalnızca irrasyonel sayılardan oluşan iki dizi kuracağız.
Adım 1: Rasyonel dizi. Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a < a + \dfrac{1}{n}\) olduğundan rasyonel sayıların yoğunluğu (Teorem 13.5) gereği
\[a < q_n < a + \frac{1}{n}\]
olan bir \(q_n \in \mathbb{Q}\) vardır. \(q_n > a\) olduğundan \(q_n \neq a\); yani \((q_n)\), \(\mathbb{R} \setminus \{a\}\) içindedir. \(a \to a\) ve \(a + \dfrac{1}{n} \to a\) olduğundan sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) \(q_n \to a\) verir. Her \(q_n\) rasyonel olduğundan
\[D(q_n) = 1 \Longrightarrow D(q_n) \to 1.\]
Adım 2: İrrasyonel dizi. Aynı biçimde irrasyonel sayıların yoğunluğu (Teorem 13.6) gereği her \(n\) için
\[a < r_n < a + \frac{1}{n}\]
olan bir \(r_n \notin \mathbb{Q}\) vardır. Yine \(r_n \neq a\), sıkıştırmayla \(r_n \to a\) ve her \(r_n\) irrasyonel olduğundan
\[D(r_n) = 0 \Longrightarrow D(r_n) \to 0.\]
Adım 3: Sonuç. \(q_n \to a\), \(r_n \to a\) ama \(\lim D(q_n) = 1 \neq 0 = \lim D(r_n)\). Sonuç 28.1 gereği \(\lim_{x \to a} D(x)\) yoktur. \(a\) keyfi olduğundan Dirichlet fonksiyonunun \(\mathbb{R}\)’nin hiçbir noktasında limiti yoktur.
\(\blacksquare\)
Dirichlet fonksiyonunun grafiği çizilemez: her aralıkta hem \(1\) hem \(0\) değerini sonsuz kez alır. Bu örnek, “limit” kavramının grafiğe bakarak değil, tanımla ve ölçütlerle incelenmesi gerektiğinin en iyi kanıtıdır. Süreklilik bölümünde bu fonksiyonun hiçbir noktada sürekli olmadığını, ama \(x \cdot D(x)\) fonksiyonunun yalnızca \(0\)’da sürekli olduğunu göreceğiz; ikincisinin limit hâlini bölüm sonu alıştırmalarında inceleyeceğiz.
28.2 Cauchy Ölçütü
Dizilerde Cauchy ölçütü (Teorem 26.3), limitin değerini bilmeden yakınsaklığa karar vermemizi sağlıyordu: terimler birbirine yeterince yaklaşıyorsa dizi yakınsaktır. Fonksiyonlar için de benzer bir ölçüt vardır: \(a\)’ya yakın noktalardaki fonksiyon değerleri birbirine yeterince yakınsa limit vardır. Önceki bölümde bir limitin varlığını göstermek için \(\ell\)’yi önceden tahmin etmek zorundaydık; bu ölçüt o zorunluluğu kaldırır.
Teorem 28.2 (Fonksiyon Limiti için Cauchy Ölçütü) \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(a\), \(A\)’nın bir yığılma noktası olsun. \(\lim_{x \to a} f(x)\) limiti vardır ancak ve ancak her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) bulunur ki \(a\)’nın \(\delta\) yarıçaplı delinmiş komşuluğundaki \(A\)’ya ait her \(x, x'\) çifti için \(|f(x) - f(x')| < \varepsilon\) olur:
\[\forall \varepsilon > 0\ \ \exists \delta > 0\ \ \forall x, x' \in A \cap B^{*}(a, \delta):\quad |f(x) - f(x')| < \varepsilon.\]
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü.) \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Limit tanımını \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) için uygulayalım: öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\) ve \(0 < |x - a| < \delta\) olan her \(x\) için \(|f(x) - \ell| < \dfrac{\varepsilon}{2}\). Şimdi \(x, x' \in A \cap B^{*}(a, \delta)\) herhangi iki nokta olsun; ikisi de bu koşulu sağlar. Üçgen eşitsizliğiyle (Teorem 8.2)
\[|f(x) - f(x')| = |(f(x) - \ell) + (\ell - f(x'))| \le |f(x) - \ell| + |f(x') - \ell| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]
Cauchy koşulu sağlanır. (\(\varepsilon/2\) seçmemizin nedeni, iki hatanın toplamının tam \(\varepsilon\) olmasıdır.)
(\(\Leftarrow\) yönü.) Cauchy koşulu sağlansın. Limitin var olduğunu dizisel ölçütle (Teorem 28.1) göstereceğiz; bunun için \(a\)’ya yakınsayan her dizinin görüntü dizisinin aynı sayıya yakınsadığını kanıtlamalıyız. İspat üç adımdan oluşur.
Adım 1: Her görüntü dizisi Cauchy dizisidir. \((x_n)\), \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan herhangi bir dizi olsun. \(\varepsilon > 0\) verilsin ve Cauchy koşulundaki \(\delta > 0\) alınsın. \(x_n \to a\) olduğundan öyle bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır ki her \(n \ge N\) için \(|x_n - a| < \delta\); \(x_n \neq a\) olduğundan aslında \(0 < |x_n - a| < \delta\), yani \(x_n \in A \cap B^{*}(a, \delta)\). O hâlde her \(n, m \ge N\) için \(x_n\) ve \(x_m\) bu delinmiş komşuluktadır ve Cauchy koşulu
\[|f(x_n) - f(x_m)| < \varepsilon\]
verir. Bu, \((f(x_n))\) dizisinin bir Cauchy dizisi olması demektir (Tanım 26.1).
Adım 2: Her görüntü dizisi yakınsaktır. \(\mathbb{R}\)’de her Cauchy dizisi yakınsaktır (Teorem 26.3). Öyleyse \((f(x_n))\) bir \(L\) sayısına yakınsar. Ama dikkat: bu \(L\), şimdilik seçtiğimiz \((x_n)\) dizisine bağlı olabilir. Dizisel ölçütü uygulayabilmek için bütün dizilerin aynı \(L\)’yi vermesi gerekir.
Adım 3: Limit diziden bağımsızdır (karışık dizi hilesi). \((x_n)\) ve \((y_n)\), \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan iki dizi olsun; Adım 2 gereği \(f(x_n) \to L\) ve \(f(y_n) \to L'\) diyelim. İki diziyi dönüşümlü olarak iç içe geçirelim:
\[(z_n) = (x_1,\ y_1,\ x_2,\ y_2,\ x_3,\ y_3,\ \dots), \qquad z_{2k-1} = x_k,\quad z_{2k} = y_k.\]
Her \(z_n\), \(A \setminus \{a\}\) içindedir. \((z_n)\)’nin tek indisli alt dizisi \((x_k)\) ve çift indisli alt dizisi \((y_k)\) aynı \(a\) limitine yakınsadığından Teorem 24.2 gereği \(z_n \to a\). Öyleyse Adım 1–2, \((z_n)\)’ye de uygulanır: \((f(z_n))\) bir \(L''\) sayısına yakınsar. Şimdi \((f(x_k)) = (f(z_{2k-1}))\) dizisi \((f(z_n))\)’nin bir alt dizisidir; yakınsak bir dizinin her alt dizisi aynı limite yakınsadığından (Teorem 24.1) \(f(x_k) \to L''\). Dizi limiti tek olduğundan (Teorem 20.1) \(L = L''\). Aynı biçimde \((f(y_k)) = (f(z_{2k}))\) de \((f(z_n))\)’nin alt dizisidir, dolayısıyla \(L' = L''\). Sonuç: \(L = L'\).
Demek ki \(a\)’ya yakınsayan her dizinin görüntü dizisi aynı \(L\) sayısına yakınsar. (\(a\) yığılma noktası olduğundan böyle en az bir dizi vardır, dolayısıyla \(L\) gerçekten tanımlıdır.) Dizisel ölçütün (\(\Leftarrow\)) yönü \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) verir; limit vardır.
\(\blacksquare\)
Teoremin değeri, limitin değerini hiç anmamasıdır: sağ taraftaki koşulda \(\ell\) geçmez. Bu, dizilerdeki Cauchy ölçütünün fonksiyonlara yansımasıdır ve ispatın kalbi de yine reel sayıların tamlığıdır (Adım 2). Uygulamada teoremin en sık kullanılan biçimi olumsuzlamasıdır.
Sonuç 28.2 (Limitin Olmadığını Gösteren Cauchy Ölçütü) \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(a\), \(A\)’nın bir yığılma noktası olsun. Öyle bir \(\varepsilon_0 > 0\) varsa ki her \(\delta > 0\) için \(a\)’nın \(\delta\) yarıçaplı delinmiş komşuluğunda görüntüleri en az \(\varepsilon_0\) uzak olan iki nokta bulunuyorsa, yani
\[\exists \varepsilon_0 > 0\ \ \forall \delta > 0\ \ \exists x_\delta, x'_\delta \in A \cap B^{*}(a, \delta):\quad |f(x_\delta) - f(x'_\delta)| \ge \varepsilon_0\]
ise \(f\)’nin \(a\) noktasında limiti yoktur.
İspat
Verilen ifade, Teorem 28.2’daki Cauchy koşulunun Teorem 2.1 ile alınmış olumsuzlamasıdır: “\(\forall \varepsilon\ \exists \delta\ \forall x, x'\ (\dots < \varepsilon)\)” ifadesinin olumsuzu “\(\exists \varepsilon_0\ \forall \delta\ \exists x, x'\ (\dots \ge \varepsilon_0)\)”dır. Cauchy koşulu sağlanmadığından, teoremin “ancak ve ancak” kısmı gereği limit yoktur.
\(\blacksquare\)
Sözle: öyle bir “kötü uzaklık” \(\varepsilon_0\) vardır ki \(a\)’ya ne kadar yaklaşırsak yaklaşalım, fonksiyon değerleri birbirinden en az \(\varepsilon_0\) uzak kalan iki nokta hep bulunur. Bu ölçütü ve dizisel ölçütü aynı örnek üzerinde karşılaştıralım.
Örnek 28.4 (Taban Fonksiyonunun Tam Sayılarda Limiti Yoktur) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \lfloor x \rfloor\) taban fonksiyonu olsun (Tanım 12.1). Her \(k \in \mathbb{Z}\) için \(\lim_{x \to k} \lfloor x \rfloor\) limitinin var olmadığını iki yöntemle gösteriniz.
Çözüm
Önce hatırlatma: Teorem 12.3 gereği \(\lfloor x \rfloor\), \(p \le x < p + 1\) koşulunu sağlayan tek \(p \in \mathbb{Z}\) sayısıdır. Dolayısıyla \(k \le x < k + 1\) ise \(\lfloor x \rfloor = k\), \(k - 1 \le x < k\) ise \(\lfloor x \rfloor = k - 1\)’dir. \(k\) noktasının \(\mathbb{R}\)’nin yığılma noktası olduğu açıktır.
Yöntem 1: Cauchy ölçütüyle. Sonuç 28.2’yi uygulayacağız. \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}\) seçelim. \(\delta > 0\) keyfi olsun. Delinmiş komşulukta kalmak ve aynı zamanda tam sayı sınırlarını aşmamak için
\[\eta = \frac{\min\{\delta, 1\}}{2}\]
alalım; \(0 < \eta < \delta\) ve \(\eta < 1\)’dir. İki nokta seçelim:
- \(x_\delta = k + \eta\): \(|x_\delta - k| = \eta < \delta\), ve \(k < x_\delta < k + 1\) olduğundan \(f(x_\delta) = k\).
- \(x'_\delta = k - \eta\): \(|x'_\delta - k| = \eta < \delta\), ve \(k - 1 < x'_\delta < k\) olduğundan \(f(x'_\delta) = k - 1\).
İkisi de \(B^{*}(k, \delta)\) içindedir ve görüntüleri arasındaki uzaklık
\[|f(x_\delta) - f(x'_\delta)| = |k - (k - 1)| = 1 \ge \frac{1}{2} = \varepsilon_0.\]
\(\delta\) keyfi olduğundan Cauchy koşulu sağlanmaz; Sonuç 28.2 gereği limit yoktur.
Yöntem 2: Dizisel ölçütle. Sonuç 28.1 (1)’i uygulayacağız; \(k\)’ya sağdan ve soldan yaklaşan iki dizi seçelim.
Sağdan yaklaşan dizi: \(x_n = k + \dfrac{1}{n}\). Her \(n\) için \(x_n \neq k\) ve \(x_n \to k\) (Örnek 20.1 ve limit aritmetiği). \(n \ge 1\) için \(k < x_n \le k + 1\), hatta \(n \ge 2\) için \(k < x_n < k + 1\); dolayısıyla \(n \ge 2\) için \(f(x_n) = k\) ve \(f(x_n) \to k\) (sonlu tane başlangıç terimi limiti etkilemez: \((f(x_n))\) dizisinin \(1\)-kuyruğu sabit \(k\) dizisidir, Teorem 24.3).
Soldan yaklaşan dizi: \(y_n = k - \dfrac{1}{n}\). Yine \(y_n \neq k\) ve \(y_n \to k\). Her \(n \ge 1\) için \(k - 1 \le y_n < k\), dolayısıyla \(f(y_n) = k - 1\) ve \(f(y_n) \to k - 1\).
Sonuç: \(x_n \to k\), \(y_n \to k\) ama \(\lim f(x_n) = k \neq k - 1 = \lim f(y_n)\). Sonuç 28.1 gereği \(\lim_{x \to k} \lfloor x \rfloor\) yoktur.
İki yöntem aynı olguyu iki dille anlatır: \(k\)’nın hemen sağında fonksiyon \(k\), hemen solunda \(k - 1\) değerini alır; aradaki \(1\) birimlik sıçrama, hangi \(\delta\) seçilirse seçilsin kapanmaz.
\(\blacksquare\)
\(a \notin \mathbb{Z}\) ise \(\lim_{x \to a} \lfloor x \rfloor = \lfloor a \rfloor\)’dır: \(p = \lfloor a \rfloor\) için \(p < a < p + 1\) olduğundan \(\delta = \min\{a - p, p + 1 - a\} > 0\) seçilirse \(|x - a| < \delta\) olan her \(x\) yine \((p, p+1)\) aralığında kalır ve \(\lfloor x \rfloor = p\) olur; bu, sabit fonksiyon örneğindeki gibi (bkz. Örnek 27.1) limiti \(p\) yapar. Yani taban fonksiyonu yalnızca tam sayılarda “kötü”dür. Tek yönlü limitler bölümünde \(k\)’da sağdan limitin \(k\), soldan limitin \(k - 1\) olduğunu kesin olarak ifade edeceğiz.
28.3 Alıştırmalar
Alıştırma 28.1 (Dizisel Ölçüt ve Cauchy Ölçütü Alıştırmaları)
\(\lim_{x \to 0} \cos\left(\dfrac{1}{x}\right)\) limitinin var olmadığını dizisel ölçütle gösteriniz. (\(\cos(2n\pi) = 1\) ve \(\cos\big((2n+1)\pi\big) = -1\) özelliklerini kullanabilirsiniz.)
\(f : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{|x|}{x}\) fonksiyonunun \(0\)’da limiti olmadığını Cauchy ölçütünün olumsuzlamasıyla gösteriniz.
\(D\) Dirichlet fonksiyonu olmak üzere \(g(x) = x \cdot D(x)\) olsun. \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\) olduğunu, ama \(a \neq 0\) için \(\lim_{x \to a} g(x)\) limitinin var olmadığını gösteriniz.
\(f, g : A \to \mathbb{R}\) ve \(a\), \(A\)’nın yığılma noktası olsun. \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ve \(\lim_{x \to a} g(x) = m\) ise \(\lim_{x \to a} \big(f(x) + g(x)\big) = \ell + m\) ve \(\lim_{x \to a} f(x) g(x) = \ell m\) olduğunu dizisel ölçütle ispatlayınız.
\(f : \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{1}{x - 1}\) fonksiyonunun \(1\)’de limiti olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) \(x_n = \dfrac{1}{2n\pi}\) ve \(y_n = \dfrac{1}{(2n+1)\pi}\) alalım. İkisi de sıfırdan farklıdır. \(2\pi > 1\) olduğundan her \(n\) için \(2n\pi > n\) ve \((2n+1)\pi > n\)’dir; \(n \to +\infty\) olduğundan (Örnek 22.1 (a)) Teorem 22.4 gereği iki payda da \(+\infty\)’a ıraksar, dolayısıyla Teorem 22.3 gereği \(x_n \to 0\), \(y_n \to 0\). Görüntüler:
\[\cos\left(\frac{1}{x_n}\right) = \cos(2n\pi) = 1 \to 1, \qquad \cos\left(\frac{1}{y_n}\right) = \cos\big((2n+1)\pi\big) = -1 \to -1.\]
\(1 \neq -1\) olduğundan Sonuç 28.1 gereği limit yoktur.
b) \(\varepsilon_0 = 1\) seçelim ve \(\delta > 0\) keyfi olsun. \(x_\delta = \dfrac{\delta}{2}\) ve \(x'_\delta = -\dfrac{\delta}{2}\) noktaları \(B^{*}(0, \delta)\) içindedir ve tanım kümesindedir. \(f(x_\delta) = 1\), \(f(x'_\delta) = -1\) olduğundan
\[|f(x_\delta) - f(x'_\delta)| = |1 - (-1)| = 2 \ge 1 = \varepsilon_0.\]
Sonuç 28.2 gereği \(f\)’nin \(0\)’da limiti yoktur. (Önceki bölümün son alıştırmasıyla karşılaştırınız: aynı sonuç, çok daha kısa.)
c) \(0\)’daki limit. Her \(x\) için \(D(x) \in \{0, 1\}\) olduğundan \(|g(x)| = |x| \cdot D(x) \le |x|\). Dizisel ölçütle: \((x_n)\), \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) içinde \(0\)’a yakınsayan herhangi bir dizi olsun. \(|g(x_n)| \le |x_n|\) ve \(|x_n| \to 0\) (Teorem 20.3); \(0 \le |g(x_n)| \le |x_n|\) sıkıştırmasıyla (Teorem 21.6) \(|g(x_n)| \to 0\), dolayısıyla \(g(x_n) \to 0\) (sıfır limiti için mutlak değer denkliği, Önerme 20.3). Teorem 28.1 gereği \(\lim_{x \to 0} g(x) = 0\).
Aynı sonuç \(\varepsilon\)–\(\delta\) ile de bir satırdır: \(\delta = \varepsilon\) alınırsa \(0 < |x| < \delta\) için \(|g(x) - 0| \le |x| < \varepsilon\).
\(a \neq 0\)’daki limit. Örnek 28.3’ndaki dizileri kullanalım: \(q_n \in \mathbb{Q}\), \(r_n \notin \mathbb{Q}\), ikisi de \(a\)’dan farklı ve \(a\)’ya yakınsak. O zaman
\[g(q_n) = q_n \cdot 1 = q_n \to a, \qquad g(r_n) = r_n \cdot 0 = 0 \to 0.\]
\(a \neq 0\) olduğundan görüntü limitleri farklıdır; Sonuç 28.1 gereği \(\lim_{x \to a} g(x)\) yoktur. Demek ki \(g\)’nin limiti yalnızca \(0\) noktasında vardır.
d) \((x_n)\), \(A \setminus \{a\}\) içinde \(a\)’ya yakınsayan herhangi bir dizi olsun. Dizisel ölçütün (\(\Rightarrow\)) yönü ile \(f(x_n) \to \ell\) ve \(g(x_n) \to m\). Dizilerde limit aritmetiği (Teorem 21.1) gereği
\[f(x_n) + g(x_n) \to \ell + m \qquad \text{ve} \qquad f(x_n)\, g(x_n) \to \ell m.\]
Yani \((f + g)(x_n) \to \ell + m\) ve \((fg)(x_n) \to \ell m\). Dizi keyfi olduğundan dizisel ölçütün (\(\Leftarrow\)) yönü \(\lim_{x \to a} (f + g)(x) = \ell + m\) ve \(\lim_{x \to a} (fg)(x) = \ell m\) verir. Burada \(\varepsilon\)–\(\delta\) hiç kullanılmadı; bütün yük dizi teoremlerine bindi.
e) \(x_n = 1 + \dfrac{1}{n}\) alalım: \(x_n \neq 1\) ve \(x_n \to 1\). Görüntü dizisi
\[f(x_n) = \frac{1}{x_n - 1} = \frac{1}{1/n} = n\]
olup sınırsızdır; yakınsak diziler sınırlı olduğundan (Teorem 20.2) \((f(x_n))\) ıraksaktır. Sonuç 28.1 (2) gereği \(\lim_{x \to 1} f(x)\) yoktur.
Cauchy ölçütüyle de görülebilir: \(\varepsilon_0 = 1\) ve keyfi \(\delta > 0\) için \(\eta = \dfrac{\min\{\delta, 1\}}{2}\) alalım; \(0 < \eta < \delta\) ve \(\eta \le \dfrac12\)’dir. \(x_\delta = 1 + \eta\) ve \(x'_\delta = 1 + \dfrac{\eta}{2}\) noktaları \(1\)’den farklıdır, \(B^{*}(1, \delta)\) içindedir ve
\[|f(x_\delta) - f(x'_\delta)| = \left| \frac{1}{\eta} - \frac{2}{\eta} \right| = \frac{1}{\eta} \ge 2 \ge 1 = \varepsilon_0.\]
\(\delta\) keyfi olduğundan Sonuç 28.2 gereği limit yoktur.
\(\blacksquare\)
Bu bölümle birlikte fonksiyon limitleri için üç eşdeğer bakış açımız oldu: \(\varepsilon\)–\(\delta\) tanımı, diziler ve Cauchy koşulu. Bundan sonra limitin “hesap kurallarını” kuracağız: limiti olan bir fonksiyon o noktanın yakınında sınırlıdır; toplam, çarpım ve bölümün limiti limitlerin toplamı, çarpımı ve bölümüdür; polinom ve rasyonel fonksiyonların limiti yerine koymayla bulunur; bileşke fonksiyonun limiti ise ek bir koşulla iç ve dış limitlerden hesaplanır. Bu bölümün alıştırmalarında dizisel ölçütle gördüğümüz sonuçların tam \(\varepsilon\)–\(\delta\) ispatları ve daha fazlası için: Limitin Özellikleri: Sınırlılık, Cebirsel İşlemler ve Bileşke.