26 Cauchy Dizileri ve Reel Sayıların Tamlığı
Bir dizinin yakınsak olduğunu göstermenin şimdiye kadar iki yolu vardı: ya limiti tahmin edip \(\varepsilon\)–\(n_\varepsilon\) tanımını doğrulamak, ya da dizinin monoton ve sınırlı olduğunu görmek. Birinci yol limiti önceden bilmeyi, ikincisi monotonluğu gerektirir. Oysa çoğu dizi ne limitini ele verir ne de monotondur. Bu bölümde her iki engeli aşan bir ölçüt göreceğiz: Cauchy koşulu. Fikir basittir. Yakınsak bir dizinin terimleri limite yaklaşırken zorunlu olarak birbirlerine de yaklaşır; peki tersine, terimleri birbirine yaklaşan her dizi yakınsak mıdır? Reel sayılarda evet — ve bu “evet”, reel sayıların tamlığının bir başka yüzüdür.
Kavram, adını Fransız matematikçi Augustin-Louis Cauchy’den (1789–1857) alır. Bu bölümde şunları öğreneceğiz: Cauchy dizisinin tanımı ve olumsuzlaması; yakınsak dizilerin Cauchy, Cauchy dizilerinin sınırlı olduğu; \(\mathbb{R}\)’de her Cauchy dizisinin yakınsadığını söyleyen Cauchy ölçütü; ardışık terim farkları geometrik hızla küçülen “daralan” diziler; tam küme kavramı ve \(\mathbb{Q}\)’nun tam olmayışı; son olarak reel sayıların tamlığını beş farklı biçimde ifade eden büyük denklik teoremi.
26.1 Cauchy Dizisi
Yakınsaklık tanımında terimleri sabit bir \(a\) sayısıyla karşılaştırıyorduk: \(|a_n - a| < \varepsilon\). Cauchy koşulunda \(a\) ortadan kalkar; terimler birbirleriyle karşılaştırılır.
Tanım 26.1 (Cauchy Dizisi) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi olsun. Her \(\varepsilon > 0\) için, \(n, m \ge n_\varepsilon\) olan her \(n, m \in \mathbb{N}\) çifti için \(|a_n - a_m| < \varepsilon\) sağlanacak biçimde bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) varsa \((a_n)\)’ye Cauchy dizisi (Cauchy sequence) denir. Sembolik olarak:
\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N},\ \forall n, m \ge n_\varepsilon : \ |a_n - a_m| < \varepsilon.\]
Tanımı şöyle okuyalım: \(\varepsilon\) ne kadar küçük seçilirse seçilsin, dizinin bir yerden sonraki terimlerinin hepsi birbirine \(\varepsilon\)’dan yakındır; yani \(n_\varepsilon\)’dan sonraki bütün terimler genişliği \(\varepsilon\)’dan küçük bir şeride sığar. Şeridin nerede olduğu, yani limitin ne olduğu, tanımda hiç geçmez. \(n\) ve \(m\) indisleri birbirinden bağımsızdır; ispatlarda çoğu zaman \(m > n\) varsaymak işleri kolaylaştırır (\(|a_n - a_m| = |a_m - a_n|\) olduğundan bu bir kayıp değildir). Tanımın sık kullanılan bir başka yazılışı, \(m = n + p\) alınarak elde edilir.
Önerme 26.1 (Cauchy Koşulunun Denk Biçimi) \((a_n)\) dizisinin Cauchy dizisi olması için gerek ve yeter koşul şudur:
\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_\varepsilon \in \mathbb{N},\ \forall n \ge n_\varepsilon,\ \forall p \in \mathbb{N} : \ |a_{n+p} - a_n| < \varepsilon.\]
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \((a_n)\) Cauchy olsun, \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(n_\varepsilon\) tanımdaki gibi olsun. \(n \ge n_\varepsilon\) ve \(p \in \mathbb{N}\) için \(m = n + p \ge n \ge n_\varepsilon\) olduğundan \(|a_{n+p} - a_n| = |a_m - a_n| < \varepsilon\).
(\(\Leftarrow\) yönü) Koşul sağlansın, \(\varepsilon > 0\) verilsin ve \(n_\varepsilon\) koşuldaki gibi olsun. \(n, m \ge n_\varepsilon\) alalım. \(n = m\) ise \(|a_n - a_m| = 0 < \varepsilon\). \(n \ne m\) ise simetriden dolayı \(n < m\) varsayabiliriz; Önerme 9.3 (4) gereği \(p = m - n \in \mathbb{N}\)’dir ve \(|a_n - a_m| = |a_{n+p} - a_n| < \varepsilon\).
\(\blacksquare\)
Tanımın olumsuzlaması (Teorem 2.1) şudur: \((a_n)\) Cauchy dizisi değildir ancak ve ancak
\[\exists \varepsilon_0 > 0,\ \forall N \in \mathbb{N},\ \exists n, m \ge N : \ |a_n - a_m| \ge \varepsilon_0.\]
Yani bir “kötü” \(\varepsilon_0\) vardır: ne kadar ileri gidersek gidelim, birbirinden en az \(\varepsilon_0\) uzakta iki terim bulunur.
Örnek 26.1 (Bir Bölü n Dizisi Cauchy Dizisidir) \(a_n = \dfrac{1}{n}\) dizisinin bir Cauchy dizisi olduğunu tanımdan gösterelim.
Çözüm
\(m > n\) olsun. \(\dfrac{1}{m} < \dfrac{1}{n}\) olduğundan
\[|a_n - a_m| = \left| \frac{1}{n} - \frac{1}{m} \right| = \frac{1}{n} - \frac{1}{m} < \frac{1}{n}.\]
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Sonuç 12.2 ile \(\dfrac{1}{n_\varepsilon} < \varepsilon\) olan bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) seçelim. \(m > n \ge n_\varepsilon\) için
\[|a_n - a_m| < \frac{1}{n} \le \frac{1}{n_\varepsilon} < \varepsilon.\]
\(n = m\) durumu apaçıktır ve \(n > m\) durumu simetriktir. Demek ki her \(n, m \ge n_\varepsilon\) için \(|a_n - a_m| < \varepsilon\): \((1/n)\) bir Cauchy dizisidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 26.2 (Eksi Bir Üssü n Dizisi Cauchy Değildir) \(a_n = (-1)^n\) dizisinin Cauchy dizisi olmadığını gösterelim.
Çözüm
Olumsuzlamayı \(\varepsilon_0 = 1\) ile doğrulayalım. \(N \in \mathbb{N}\) verilsin; \(n = N\) ve \(m = N + 1\) alalım. Bu iki indis \(N\)’den büyük ya da eşittir ve ardışık terimler zıt işaretli olduğundan
\[|a_n - a_m| = |(-1)^N - (-1)^{N+1}| = |(-1)^N| \cdot |1 - (-1)| = 2 \ge 1 = \varepsilon_0.\]
Demek ki her \(N\) için birbirinden en az \(1\) uzakta iki terim vardır: dizi Cauchy değildir.
\(\blacksquare\)
26.2 Yakınsak Diziler Cauchy’dir
Cauchy koşulunun yakınsaklıkla ilişkisini iki adımda kuracağız. İlk adım kolaydır: yakınsak dizinin terimleri limite yakınsa birbirlerine de yakındır.
Teorem 26.1 (Yakınsak Her Dizi Cauchy Dizisidir) Yakınsak her reel sayı dizisi bir Cauchy dizisidir.
İspat
\((a_n)\) dizisi \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsasın ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Yakınsaklık tanımını (Tanım 20.1) \(\dfrac{\varepsilon}{2} > 0\) ile uygulayalım: \(k \ge N\) iken \(|a_k - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır. (\(\varepsilon\) yerine \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) seçmemizin nedeni, sonunda iki uzaklığı toplayacak olmamızdır.)
\(n, m \ge N\) olsun. Hem \(|a_n - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) hem \(|a_m - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) sağlanır. Mutlak değerin içine \(a\)’yı ekleyip çıkaralım ve üçgen eşitsizliğini (Teorem 8.2) kullanalım:
\[|a_n - a_m| = |(a_n - a) + (a - a_m)| \le |a_n - a| + |a - a_m| = |a_n - a| + |a_m - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]
Demek ki \(n_\varepsilon = N\) seçimi Cauchy tanımını sağlar.
\(\blacksquare\)
Bu teoremin en pratik kullanımı karşıt tersidir: Cauchy olmayan dizi ıraksaktır. Örneğin Örnek 26.2, \(((-1)^n)\) dizisinin ıraksaklığının yeni bir ispatıdır.
İkinci adım için, Cauchy dizilerinin yakınsak dizilerle paylaştığı bir özelliğe ihtiyacımız var.
Teorem 26.2 (Her Cauchy Dizisi Sınırlıdır) Her Cauchy dizisi sınırlıdır.
İspat
\((a_n)\) Cauchy olsun. Tanımda \(\varepsilon = 1\) alalım: \(n, m \ge N\) iken \(|a_n - a_m| < 1\) olan bir \(N \in \mathbb{N}\) vardır. Özel olarak \(m = N\) sabitlenirse her \(n \ge N\) için \(|a_n - a_N| < 1\) olur. Ters üçgen eşitsizliğiyle (Sonuç 8.3)
\[|a_n| - |a_N| \le |a_n - a_N| < 1, \qquad \text{yani} \qquad |a_n| < |a_N| + 1 \qquad (n \ge N).\]
Bu, dizinin kuyruğunu sınırlar. Baştaki sonlu tane terimi de hesaba katmak için
\[M = \max\{|a_1|, |a_2|, \dots, |a_{N-1}|, |a_N| + 1\}\]
alalım (sonlu tane sayının en büyüğü, Tanım 7.4). \(n < N\) ise \(|a_n|\) kümenin bir elemanıdır ve \(|a_n| \le M\); \(n \ge N\) ise \(|a_n| < |a_N| + 1 \le M\). Her \(n\) için \(|a_n| \le M\); mutlak değerli bu biçim sınırlılığa denk olduğundan (Tanım 19.3, Önerme 19.1) dizi sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
\(((-1)^n)\) dizisi sınırlıdır ama Cauchy değildir (Örnek 26.2). Yani “Cauchy \(\Rightarrow\) sınırlı” doğru, karşıtı yanlıştır. Öte yandan teorem, Cauchy olmadığını göstermenin hızlı bir yolunu verir: sınırsız dizi Cauchy olamaz.
26.3 Cauchy Ölçütü
Şimdi asıl soruya geliyoruz: Cauchy dizileri yakınsak mıdır? Yol şu: Cauchy dizisi sınırlıdır; sınırlı dizinin Bolzano–Weierstrass gereği yakınsak bir alt dizisi vardır; Cauchy koşulu ise dizinin geri kalanını bu alt dizinin peşinden sürükler.
Lemma 26.1 (Yakınsak Alt Dizisi Olan Cauchy Dizisi Yakınsaktır) \((a_n)\) bir Cauchy dizisi olsun. \((a_n)\)’nin \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsayan bir \((a_{n_k})\) alt dizisi varsa dizinin kendisi de \(a\)’ya yakınsar.
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Cauchy koşulunu \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) ile uygulayalım: \(n, m \ge N_1\) iken \(|a_n - a_m| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(N_1\) vardır. Alt dizinin yakınsaklığından \(k \ge K\) iken \(|a_{n_k} - a| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olan bir \(K\) vardır.
\(k = \max\{K, N_1\}\) sabitleyelim. Önerme 24.1 gereği \(n_k \ge k \ge N_1\)’dir; ayrıca \(k \ge K\). Şimdi \(n \ge N_1\) herhangi bir indis olsun. Hem \(n\) hem \(n_k\), \(N_1\)’den büyük ya da eşit olduğundan Cauchy koşulu \(|a_n - a_{n_k}| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) verir. Üçgen eşitsizliğiyle
\[|a_n - a| \le |a_n - a_{n_k}| + |a_{n_k} - a| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon.\]
Bu her \(n \ge N_1\) için doğrudur; Tanım 20.1 gereği \(a_n \to a\).
\(\blacksquare\)
Lemmanın söylediği şu: Cauchy dizisi “tek parçadır”; bir parçası bir yere gidiyorsa hepsi oraya gider. Buradan bölümün ana teoremi çıkar.
Teorem 26.3 (Cauchy Ölçütü) Reel sayılarda her Cauchy dizisi yakınsaktır.
İspat
\((a_n)\) bir Cauchy dizisi olsun. Teorem 26.2 gereği sınırlıdır. Bolzano–Weierstrass teoremi (Teorem 24.5) gereği yakınsak bir \((a_{n_k})\) alt dizisi vardır; limitine \(a\) diyelim. Lemma 26.1 gereği \((a_n)\) dizisinin kendisi de \(a\)’ya yakınsar.
\(\blacksquare\)
Teorem 26.1 ile Teorem 26.3 birleşince yakınsaklığın tam bir karakterizasyonu elde edilir.
Sonuç 26.1 (Genel Yakınsaklık İlkesi) Bir reel sayı dizisi yakınsaktır ancak ve ancak Cauchy dizisiyse:
\[(a_n) \text{ yakınsak} \iff (a_n) \text{ Cauchy}.\]
İspat
(\(\Rightarrow\)) Teorem 26.1. (\(\Leftarrow\)) Teorem 26.3.
\(\blacksquare\)
Bir dizinin yakınsak olduğunu göstermek için artık limiti bilmek gerekmez: \(|a_n - a_m|\) farkını (çoğu zaman \(m > n\) alıp) \(n\)’ye bağlı ve \(0\)’a giden bir büyüklükle üstten sınırlamak yeter. Iraksaklığı göstermek içinse tek bir \(\varepsilon_0\) ve her \(N\) için birbirinden \(\varepsilon_0\) uzakta iki terim bulmak yeter. Bu ölçüt, Analiz 2’de serilerin yakınsaklığını incelerken temel araç olacaktır: bir serinin yakınsak olması, kısmi toplamlar dizisinin Cauchy olması demektir.
Ölçütün tipik uygulaması, ardışık terimler arasındaki farkın geometrik hızla küçüldüğü dizilerdir.
Örnek 26.3 (Daralan Diziler Cauchy Dizisidir) \((a_n)\) bir dizi, \(C > 0\) ve \(0 < r < 1\) sabitler olsun. Her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[|a_{n+1} - a_n| \le C r^n\]
sağlanıyorsa \((a_n)\)’nin bir Cauchy dizisi, dolayısıyla yakınsak olduğunu gösterelim.
Çözüm
Adım 1: Geometrik toplam. Her \(j \in \mathbb{N} \cup \{0\}\) için
\[1 + r + r^2 + \cdots + r^j = \frac{1 - r^{j+1}}{1 - r} < \frac{1}{1 - r}\]
olduğunu görelim. Eşitlik için \((1 - r)(1 + r + \cdots + r^j) = 1 - r^{j+1}\) özdeşliğini açalım: çarpım \((1 + r + \cdots + r^j) - (r + r^2 + \cdots + r^{j+1})\) olur ve ortadaki terimler sadeleşir. Eşitsizlik \(0 < r^{j+1}\) ve \(1 - r > 0\)’dan çıkar.
Adım 2: \(|a_m - a_n|\) tahmini. \(m > n\) olsun. Farkı ardışık farkların toplamı olarak yazalım (toplam açılıp sadeleştirilirse bu görülür):
\[a_m - a_n = (a_{n+1} - a_n) + (a_{n+2} - a_{n+1}) + \cdots + (a_m - a_{m-1}) = \sum_{k=n}^{m-1} (a_{k+1} - a_k).\]
Sonlu toplamlar için üçgen eşitsizliği (Teorem 9.7) ve hipotezle
\[|a_m - a_n| \le \sum_{k=n}^{m-1} |a_{k+1} - a_k| \le \sum_{k=n}^{m-1} C r^k = C r^n \left(1 + r + \cdots + r^{m-n-1}\right) < \frac{C r^n}{1 - r}.\]
Adım 3: Cauchy koşulu. \(0 < r < 1\) olduğundan \(r^n \to 0\)’dır (Teorem 22.8). \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(n \ge n_\varepsilon\) iken \(r^n < \dfrac{(1 - r)\varepsilon}{C}\) olan bir \(n_\varepsilon\) vardır. \(m > n \ge n_\varepsilon\) için Adım 2 ile
\[|a_m - a_n| < \frac{C r^n}{1 - r} < \frac{C}{1 - r} \cdot \frac{(1 - r)\varepsilon}{C} = \varepsilon.\]
\(m = n\) durumu apaçık, \(m < n\) durumu simetriktir. Demek ki \((a_n)\) Cauchy dizisidir; Teorem 26.3 ile yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Örnek 26.4 (Ardışık İki Terimin Ortalamasıyla Kurulan Dizi) \(a_1 = 0\), \(a_2 = 1\) ve \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_{n+2} = \dfrac{a_n + a_{n+1}}{2}\) olsun; her terim kendinden önceki iki terimin ortalamasıdır: \(0,\ 1,\ \tfrac{1}{2},\ \tfrac{3}{4},\ \tfrac{5}{8},\ \dots\) Dizinin yakınsak olduğunu gösterip limitini bulalım.
Çözüm
Dizi monoton değildir (terimler bir büyür bir küçülür), bu yüzden monoton yakınsaklık teoremi işe yaramaz; Cauchy ölçütünü kullanacağız.
Ardışık farklar. Özyineleme bağıntısından
\[a_{n+2} - a_{n+1} = \frac{a_n + a_{n+1}}{2} - a_{n+1} = \frac{a_n - a_{n+1}}{2} = -\frac{1}{2}\,(a_{n+1} - a_n).\]
Yani her ardışık fark bir öncekinin \(-\dfrac{1}{2}\) katıdır. \(a_2 - a_1 = 1\) olduğundan tümevarımla (Teorem 9.1)
\[a_{n+1} - a_n = \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}, \qquad |a_{n+1} - a_n| = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} = 2 \left(\frac{1}{2}\right)^n.\]
Yakınsaklık. Örnek 26.3’nin hipotezi \(C = 2\), \(r = \dfrac{1}{2}\) ile sağlanır; dizi Cauchy’dir ve yakınsaktır.
Limit. \(a_n\)’yi ardışık farkların toplamı olarak yazalım; Örnek 26.3’nin Adım 1’indeki geometrik toplam formülü \(r = -\dfrac{1}{2}\) için de geçerlidir (özdeşlik her \(r \ne 1\) için doğrudur):
\[a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k) = \sum_{k=1}^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k-1} = \frac{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}}{1 - \left(-\tfrac{1}{2}\right)} = \frac{2}{3} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right).\]
\(\left|\left(-\tfrac{1}{2}\right)^{n-1}\right| = \left(\tfrac{1}{2}\right)^{n-1} \to 0\) olduğundan (Teorem 22.8) Teorem 21.1 ile
\[\lim_{n\to\infty} a_n = \frac{2}{3}.\]
\(\blacksquare\)
Cauchy koşulu, \(|a_{n+1} - a_n| \to 0\) koşulundan daha güçlüdür; ikincisi yakınsaklık için yeterli değildir. \(a_n = \sqrt{n}\) dizisine bakalım. Payı ve paydayı eşlenikle çarparsak
\[|a_{n+1} - a_n| = \sqrt{n+1} - \sqrt{n} = \frac{(\sqrt{n+1} - \sqrt{n})(\sqrt{n+1} + \sqrt{n})}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n+1} + \sqrt{n}} < \frac{1}{\sqrt{n}} \to 0.\]
Ama \((\sqrt{n})\) sınırsızdır: \(M > 0\) verilince \(n > M^2\) için \(\sqrt{n} > M\) olur. Teorem 26.2 gereği sınırsız dizi Cauchy olamaz; dolayısıyla \((\sqrt{n})\) yakınsak değildir (artan ve sınırsız olduğundan \(+\infty\)’a ıraksar, Teorem 23.2). Cauchy koşulunda önemli olan, ardışık terimlerin değil, \(n_\varepsilon\)’dan sonraki bütün terim çiftlerinin birbirine yakın olmasıdır. Alıştırmalarda harmonik dizide de aynı olguyu göreceğiz.
26.4 Tam Kümeler
Cauchy ölçütü reel sayıların bir özelliğidir; her sayı kümesi için geçerli değildir. Bir dizinin terimleri birbirine yaklaşabilir, ama yaklaştıkları nokta içinde çalıştığımız kümede olmayabilir. Bu düşünce “delik” kavramını kesinleştirir.
Tanım 26.2 (Tam Küme) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun. \(A\) içindeki her Cauchy dizisi \(A\)’nın bir elemanına yakınsıyorsa — yani terimleri \(A\)’da olan her Cauchy dizisi yakınsak ve limiti \(A\)’da ise — \(A\)’ya tam küme (complete set) denir.
Sezgi: tam kümede “delik” yoktur; bir dizi bir yere gitmeye çalışıyorsa gittiği yer kümenin içindedir. Teorem 26.3 tam olarak \(\mathbb{R}\)’nin tam olduğunu söyler: \(\mathbb{R}\)’deki her Cauchy dizisi \(\mathbb{R}\)’nin bir elemanına yakınsar.
Karşı örnek: \((0, 1]\) aralığı tam değildir. \(\left(\dfrac{1}{n}\right)\) dizisinin bütün terimleri bu aralıktadır ve dizi Cauchy’dir (Örnek 26.1); ama limiti \(0\), aralığa ait değildir. Aralığın sol ucunda bir “delik” vardır. Bu örnek genel bir olguya işaret ediyor: tamlık, kümenin kendi limit noktalarını içermesiyle, yani kapalılıkla ilgilidir.
Önerme 26.2 (Kapalı Kümeler Tamdır) \(A \subseteq \mathbb{R}\) olsun.
- \(A\) kapalı ise tamdır.
- Tersine, \(A\) tam ise kapalıdır.
Dolayısıyla \(\mathbb{R}\)’nin bir alt kümesi tamdır ancak ve ancak kapalıysa.
İspat
(1) \(A\) kapalı olsun ve \((a_n)\), terimleri \(A\)’da olan bir Cauchy dizisi olsun. Cauchy ölçütü (Teorem 26.3) gereği \((a_n)\) bir \(a \in \mathbb{R}\) sayısına yakınsar. Kapalılığın dizisel karakterizasyonu (Teorem 21.10) gereği kapalı bir küme içindeki yakınsak dizinin limiti kümeye aittir: \(a \in A\). Demek ki \(A\)’daki her Cauchy dizisi \(A\)’nın bir elemanına yakınsar; \(A\) tamdır.
(2) \(A\) tam olsun. Teorem 21.10’yi kullanarak \(A\)’nın kapalı olduğunu göstermek için \(A\) içindeki yakınsak her dizinin limitinin \(A\)’da olduğunu görmeliyiz. \((a_n)\), \(A\)’da bir dizi ve \(a_n \to a\) olsun. Teorem 26.1 gereği \((a_n)\) Cauchy’dir; \(A\) tam olduğundan dizi \(A\)’nın bir elemanına yakınsar. Limit tek olduğundan (Teorem 20.1) bu eleman \(a\)’dır: \(a \in A\).
\(\blacksquare\)
Böylece \([a, b]\), \(\{a\}\), \([0, \infty)\) gibi kapalı kümeler tamdır; \((a, b)\), \((0, 1]\), \([a, b)\) gibi kapalı olmayan kümeler tam değildir. En önemli tam olmayan küme rasyonel sayılardır.
Örnek 26.5 (Rasyonel Sayılar Tam Değildir) \(\mathbb{Q}\) kümesinin tam olmadığını gösterelim.
Çözüm
Terimleri rasyonel olan ama limiti irrasyonel olan bir Cauchy dizisi bulmalıyız. \(\sqrt{2}\)’ye yakınsayan bir rasyonel dizi kuralım. Rasyonel sayıların yoğunluğu (Teorem 13.5) gereği her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[\sqrt{2} < q_n < \sqrt{2} + \frac{1}{n}\]
olan bir \(q_n \in \mathbb{Q}\) vardır. \(\sqrt{2} + \dfrac{1}{n} \to \sqrt{2}\) olduğundan (Teorem 21.1) sıkıştırma teoremi (Teorem 21.6) ile \(q_n \to \sqrt{2}\). Yakınsak olduğundan \((q_n)\) bir Cauchy dizisidir (Teorem 26.1) ve bütün terimleri \(\mathbb{Q}\)’dadır. Ama limiti \(\sqrt{2}\), Teorem 13.3 gereği rasyonel değildir. \(\mathbb{Q}\)’daki bu Cauchy dizisi \(\mathbb{Q}\)’nun hiçbir elemanına yakınsayamaz (limit tektir); demek ki \(\mathbb{Q}\) tam değildir. Aynı sonuç Önerme 26.2 ile de görülür: \(\mathbb{Q}\) kapalı değildir, çünkü \(\sqrt{2}\) bir değme noktasıdır ama \(\mathbb{Q}\)’ya ait değildir.
Başka örnekler de vardır. \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisinin bütün terimleri rasyoneldir ve dizi \(e\) sayısına yakınsar (Tanım 23.1, Teorem 23.3); \(e\)’nin irrasyonel olduğu bilindiğinden (ispatı Analiz 2’de) bu da \(\mathbb{Q}\)’dan “kaçan” bir Cauchy dizisidir. Monoton Yakınsaklık Teoremi ve e Sayısı bölümündeki \(a_1 = 2\), \(a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 2}{2a_n}\) dizisi de terimleri rasyonel olup \(\sqrt{2}\)’ye yakınsayan bir başka örnektir.
\(\blacksquare\)
Rasyonel sayılar sıralı bir cisimdir (Teorem 11.4); cebirsel aksiyomların ve sıralama aksiyomlarının hepsini sağlar. Onu \(\mathbb{R}\)’den ayıran şey tam olmamasıdır: \(\mathbb{Q}\)’da Cauchy dizileri yakınsamak zorunda değildir. Şaşırtıcı bir karşı örnek olarak “delikli” görünen tam sayılar kümesi tamdır.
Örnek 26.6 (Tam Sayılar Kümesi Tamdır) \(\mathbb{Z}\) kümesinin tam olduğunu gösterelim.
Çözüm
İspat, tam sayıların “ayrık” doğasına dayanır: iki farklı tam sayı arasındaki uzaklık en az \(1\)’dir. Gerçekten \(p, q \in \mathbb{Z}\) ve \(p \ne q\) ise Önerme 11.1 gereği \(p - q\) sıfırdan farklı bir tam sayıdır; Tanım 11.1 gereği ya \(p - q \in \mathbb{N}\) ya da \(q - p \in \mathbb{N}\), yani \(|p - q| \in \mathbb{N}\) ve Önerme 9.3 (1) ile \(|p - q| \ge 1\).
\((a_n)\), terimleri \(\mathbb{Z}\)’de olan bir Cauchy dizisi olsun. Tanımda \(\varepsilon = 1\) alalım: \(n, m \ge n_1\) iken \(|a_n - a_m| < 1\) olan bir \(n_1\) vardır. İki tam sayının uzaklığı \(1\)’den küçükse sıfır olmak zorundadır; dolayısıyla \(n, m \ge n_1\) için \(a_n = a_m\). Yani dizi \(n_1\)-inci terimden sonra sabittir: her \(n \ge n_1\) için \(a_n = a_{n_1}\).
Sabit kuyruklu bir dizi yakınsaktır: \(\varepsilon > 0\) ne olursa olsun \(n \ge n_1\) için \(|a_n - a_{n_1}| = 0 < \varepsilon\); dolayısıyla \(a_n \to a_{n_1} \in \mathbb{Z}\). Her Cauchy dizisi \(\mathbb{Z}\)’nin bir elemanına yakınsadığından \(\mathbb{Z}\) tamdır. (Aynı sonuç, \(\mathbb{Z}\)’nin kapalı bir küme olması ve Önerme 26.2 ile de elde edilir.)
\(\blacksquare\)
26.5 Reel Sayıların Tamlığı: Beş Denk Özellik
Bu kitabın diziler kısmı boyunca reel sayıların “deliksiz” oluşunu birçok farklı kılıkta gördük: supremumun varlığı, monoton dizilerin yakınsaklığı, iç içe aralıkların ortak noktası, sınırlı dizilerin yakınsak alt dizisi ve şimdi Cauchy dizilerinin yakınsaklığı. Bunlar aynı olgunun beş farklı ifadesidir; her biri diğerlerinden türetilebilir. Aşağıdaki teorem bu bölümün ve diziler kısmının kapanış taşıdır.
Teorem 26.4 (Reel Sayıların Tamlığının Beş Denk İfadesi) Reel sayılar için aşağıdaki beş özellik birbirine denktir; yani herhangi birinden diğerlerinin hepsi çıkarılabilir.
- Tamlık Aksiyomu. Üstten sınırlı ve boş olmayan her \(A \subseteq \mathbb{R}\) kümesinin bir supremumu vardır.
- Monoton Yakınsaklık. Sınırlı her monoton dizi yakınsaktır.
- İç İçe Aralıklar (Cantor). İç içe kapalı ve sınırlı aralıkların kesişimi boş değildir.
- Bolzano–Weierstrass. Sınırlı her dizinin yakınsak bir alt dizisi vardır.
- Cauchy Tamlığı. Her Cauchy dizisi yakınsaktır.
Reel sayılar bu özelliklerin hepsine sahiptir; rasyonel sayılar hiçbirine sahip değildir.
İspat
İspat, kitap boyunca kanıtladığımız sonuçları bir döngüde birleştirir. Önce nerede ne kanıtladığımızı listeleyelim:
| Yön | Nerede kanıtlandı |
|---|---|
| (1) \(\Rightarrow\) (2) | Monoton yakınsaklık teoremi Teorem 23.1 (Tamlık Aksiyomu’ndan) |
| (1) \(\Rightarrow\) (3) | Cantor’un iç içe aralıklar teoremi Teorem 10.5 (supremumla) |
| (2) \(\Rightarrow\) (4) | Her dizinin monoton bir alt dizisi vardır (Teorem 24.4, tamlık kullanılmaz); sınırlıysa (2) ile yakınsar — bu, Teorem 24.5’nin ispatıdır |
| (4) \(\Rightarrow\) (5) | Cauchy ölçütü Teorem 26.3 (sınırlılık + Bolzano–Weierstrass + Lemma 26.1) |
| (3) \(\Rightarrow\) (4) | Aşağıda, Adım A |
| (4) \(\Rightarrow\) (1) ve (5) \(\Rightarrow\) (1) | Aşağıda, Adım B ve C |
Bu oklar birleşince her özellikten her özelliğe bir yol vardır: (1) \(\Rightarrow\) (2) \(\Rightarrow\) (4) \(\Rightarrow\) (5) \(\Rightarrow\) (1) döngüsü ile (1) \(\Rightarrow\) (3) \(\Rightarrow\) (4). Geriye üç yönü kanıtlamak kalıyor. Bu ispatlarda kullanacağımız limit özellikleri (limit aritmetiği, sıralama, sıkıştırma, alt dizilerin ve kuyrukların yakınsaklığı) yalnızca limit tanımından çıkar, tamlık kullanmaz; dolayısıyla döngüde kısır döngü yoktur.
Adım A: (3) \(\Rightarrow\) (4). \((a_n)\) sınırlı olsun: her \(n\) için \(a_n \in [-M, M] = I_1\). \(I_1\)’i ortasından iki kapalı aralığa bölelim; en az biri sonsuz çoklukta \(n\) indisi için \(a_n\)’yi içerir (ikisi de sonlu tane içerseydi \(I_1\) de sonlu tane içerirdi). Böyle bir parçayı \(I_2\) seçelim; \(I_2\)’yi bölüp aynı ölçütle \(I_3\)’ü seçelim ve devam edelim. Elde edilen \(I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots\) kapalı aralıkları iç içedir ve \(I_k\)’nin uzunluğu \(\dfrac{2M}{2^{k-1}}\)’dir. (3) gereği ortak bir \(a\) noktası vardır. Şimdi indisleri seçelim: \(a_{n_1} \in I_1\) olacak bir \(n_1\) alalım; \(I_{k+1}\) sonsuz çoklukta indis içerdiğinden \(n_{k+1} > n_k\) ve \(a_{n_{k+1}} \in I_{k+1}\) olan bir \(n_{k+1}\) vardır. Hem \(a\) hem \(a_{n_k}\) aynı \(I_k\) aralığında olduğundan
\[|a_{n_k} - a| \le \frac{2M}{2^{k-1}} = 4M \left(\frac{1}{2}\right)^k \to 0\]
(Teorem 22.8); sıkıştırma ile \(a_{n_k} \to a\). Yakınsak alt dizi bulundu.
Adım B: Ortak kuruluş. (4) \(\Rightarrow\) (1) ve (5) \(\Rightarrow\) (1) yönleri için aynı kuruluşu kullanacağız. \(A \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan, üstten sınırlı bir küme olsun; \(\sup A\)’nın var olduğunu göstereceğiz. Bir \(a_0 \in A\) seçip \(x_1 = a_0 - 1\) alalım; \(a_0 > x_1\) olduğundan \(x_1\) bir üst sınır değildir. \(y_1\) ise \(A\)’nın herhangi bir üst sınırı olsun. \(x_1 < a_0 \le y_1\)’dir.
Aralığı ikiye bölerek ilerleyelim: \([x_n, y_n]\) kurulmuş, \(x_n\) üst sınır değil, \(y_n\) üst sınır olsun. \(z = \dfrac{x_n + y_n}{2}\) orta noktası üst sınırsa \(x_{n+1} = x_n\), \(y_{n+1} = z\); değilse \(x_{n+1} = z\), \(y_{n+1} = y_n\) alalım. Her adımda “sol uç üst sınır değil, sağ uç üst sınır” özelliği korunur ve uzunluk yarılanır:
\[y_n - x_n = \frac{y_1 - x_1}{2^{n-1}}.\]
\(x_n\) üst sınır olmadığından \(x_n < a\) olan bir \(a \in A\) vardır ve \(a \le y_n\); dolayısıyla \(x_n < y_n\). Kuruluş gereği \((x_n)\) artan, \((y_n)\) azalandır ve her \(n \ge N\) için \(x_N \le x_n < y_n \le y_N\).
Uzunluklar sıfıra gider: \(n \ge 2\) için \(n - 1 \in \mathbb{N}\) olduğundan Bernoulli eşitsizliği (Teorem 9.5) \(2^{n-1} = (1 + 1)^{n-1} \ge 1 + (n - 1) = n\) verir; \(n = 1\) için ise \(2^{0} = 1 = n\) apaçıktır. Her iki durumda da \(2^{n-1} \ge n\), dolayısıyla
\[0 < y_n - x_n \le \frac{y_1 - x_1}{n} \to 0,\]
burada \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olması Teorem 10.4’e, yani Arşimet özelliğine dayanır (bu nokta için aşağıdaki nota bakınız).
Adım C: \((y_n)\) yakınsaktır. İki hipotezden hangisi elimizdeyse onu kullanalım.
(4) altında. \((y_n)\) sınırlıdır (\(x_1 < y_n \le y_1\)); (4) ile yakınsak bir \((y_{n_k})\) alt dizisi vardır, limitine \(s\) diyelim. Dizinin tamamının \(s\)’ye yakınsadığını görelim. Sabit bir \(n\) için Önerme 24.1 gereği \(k \ge n\) olan her \(k\)’de \(n_k \ge k \ge n\), dolayısıyla azalanlıktan \(y_{n_k} \le y_n\). Eşitsizlik alt dizinin yalnızca \(k \ge n\) kuyruğunda geçerlidir; ama bu kuyruğun limiti de \(s\)’dir (Teorem 24.3), dolayısıyla limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(s \le y_n\) ve bu her \(n\) için doğrudur. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(y_{n_K} < s + \varepsilon\) olan bir \(K\) vardır ve \(n \ge n_K\) için \(s \le y_n \le y_{n_K} < s + \varepsilon\). Demek ki \(y_n \to s\).
(5) altında. \(n, m \ge N\) için \(y_n\) ve \(y_m\) her ikisi de \([x_N, y_N]\) aralığındadır; dolayısıyla \(|y_n - y_m| \le y_N - x_N \le \dfrac{y_1 - x_1}{N}\). \(\varepsilon > 0\) verilince \(N > \dfrac{y_1 - x_1}{\varepsilon}\) seçilirse \(n, m \ge N\) için \(|y_n - y_m| < \varepsilon\): \((y_n)\) Cauchy’dir ve (5) ile bir \(s\) sayısına yakınsar.
Her iki durumda da \(x_n = y_n - (y_n - x_n) \to s - 0 = s\) (Teorem 21.1).
Adım D: \(s = \sup A\). (S1) \(s\) üst sınırdır: \(a \in A\) olsun. Her \(n\) için \(y_n\) üst sınır olduğundan \(a \le y_n\); limitlerde sıralama (Teorem 21.3) ile \(a \le s\). (S2) \(s\)’den küçük hiçbir sayı üst sınır değildir: \(c < s\) olsun. \(x_n \to s\) olduğundan \(\varepsilon = s - c > 0\) için \(x_n > s - \varepsilon = c\) olan bir \(n\) vardır. \(x_n\) üst sınır olmadığından \(a > x_n > c\) olan bir \(a \in A\) vardır; yani \(c\) üst sınır değildir. Tanım 10.4 gereği \(s = \sup A\). Böylece (4) \(\Rightarrow\) (1) ve (5) \(\Rightarrow\) (1) kanıtlandı.
\(\blacksquare\)
Adım A’da \(\left(\tfrac{1}{2}\right)^k \to 0\), Adım B’de \(\dfrac{1}{n} \to 0\) olduğunu, yani \(\mathbb{N}\)’nin üstten sınırsızlığını (Arşimet özelliği) kullandık; bunu ise Teorem 10.4’de Tamlık Aksiyomu ile kanıtlamıştık. (4) \(\Rightarrow\) (1) yönünde bu bir sorun değildir, çünkü Bolzano–Weierstrass özelliği Arşimet özelliğini kendi başına verir: \(\mathbb{N}\) üstten sınırlı olsaydı \((n)\) dizisi sınırlı olur, (4) ile yakınsak bir \((n_k)\) alt dizisi bulunur, yakınsak dizi Cauchy olduğundan (\(\varepsilon = 1\)) büyük \(k\) için \(|n_{k+1} - n_k| < 1\) gerekirdi; oysa farklı iki doğal sayının farkı en az \(1\)’dir (Önerme 9.3). Çelişki. Aynı akıl yürütme (2) için de işler: \((n)\) artan ve sınırlı olsaydı (2) ile yakınsar, dolayısıyla Cauchy olurdu.
(3) \(\Rightarrow\) (4) (Adım A) ve (5) \(\Rightarrow\) (1) yönlerinde ise Arşimet özelliği ayrıca varsayılmalıdır: iç içe aralıklar özelliği de Cauchy tamlığı da tek başına \(\mathbb{N}\)’nin sınırsızlığını vermez (Arşimet olmayan ama bu iki özelliği sağlayan sıralı cisimler vardır; bu incelik ileri kurslara aittir). Reel sayılarda Arşimet özelliği zaten sağlandığından, teoremin “reel sayılar için” ifadesi tamamen doğrudur.
Teoremin mesajı şudur: reel sayıları rasyonel sayılardan ayıran tek şey tamlıktır ve bu tamlık, hangi araçla bakarsak bakalım aynı şeydir. \(\mathbb{Q}\)’da beş özelliğin hiçbiri doğru değildir: \(\{q \in \mathbb{Q} : q > 0,\ q^2 < 2\}\) kümesinin rasyonel supremumu yoktur (Sonuç 13.1); \(\sqrt{2}\)’ye yakınsayan rasyonel dizi monoton seçilebilir ama \(\mathbb{Q}\)’da yakınsamaz; \(\sqrt{2}\)’yi sıkıştıran rasyonel uçlu kapalı aralıkların \(\mathbb{Q}\)’daki kesişimi boştur; aynı dizinin \(\mathbb{Q}\)’da yakınsak alt dizisi yoktur; ve \(\mathbb{Q}\)’daki Cauchy dizileri yakınsamak zorunda değildir (Örnek 26.5).
26.6 Alıştırmalar
Alıştırma 26.1 (Cauchy Dizileri Alıştırmaları)
\(a_n = \dfrac{2n + 1}{n + 3}\) dizisinin Cauchy dizisi olduğunu doğrudan tanımla gösteriniz.
\(h_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{n}\) harmonik dizisinin Cauchy dizisi olmadığını gösteriniz; buradan dizinin \(+\infty\)’a ıraksadığını çıkarınız. Ardışık farkların \(\dfrac{1}{n+1} \to 0\) olduğuna dikkat ediniz.
\((a_n)\) ve \((b_n)\) Cauchy dizileriyse \((a_n + b_n)\) ve \((a_n b_n)\) dizilerinin de Cauchy olduğunu, Cauchy ölçütünü kullanmadan doğrudan tanımdan gösteriniz.
\(A = [0, \infty)\) ve \(B = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) kümelerinin tam olup olmadığını belirleyiniz.
\(a_1 = 1\) ve \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2 + a_n}\) olsun. Dizinin yakınsak olduğunu gösterip limitini bulunuz.
Çözüm
a) Önce \(a_n = \dfrac{2(n + 3) - 5}{n + 3} = 2 - \dfrac{5}{n + 3}\) yazalım. \(m > n\) için
\[|a_n - a_m| = \left| \frac{5}{m + 3} - \frac{5}{n + 3} \right| = \frac{5}{n + 3} - \frac{5}{m + 3} < \frac{5}{n + 3} < \frac{5}{n}.\]
\(\varepsilon > 0\) verilsin; Teorem 10.4 ile \(n_\varepsilon > \dfrac{5}{\varepsilon}\) olan bir \(n_\varepsilon\) seçelim. \(m > n \ge n_\varepsilon\) için \(|a_n - a_m| < \dfrac{5}{n} \le \dfrac{5}{n_\varepsilon} < \varepsilon\). \(n = m\) durumu apaçık, \(n > m\) durumu simetrik olduğundan dizi Cauchy’dir. (Elbette \(a_n \to 2\) olduğundan Teorem 26.1 da aynı sonucu verir; burada istenen tanımdan doğrulamaydı.)
b) \(n \in \mathbb{N}\) için \(h_{2n} - h_n\) farkına bakalım:
\[h_{2n} - h_n = \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots + \frac{1}{2n}.\]
Sağda \(n\) tane terim vardır ve her biri en küçük terim olan \(\dfrac{1}{2n}\)’den büyük ya da eşittir; dolayısıyla
\[h_{2n} - h_n \ge n \cdot \frac{1}{2n} = \frac{1}{2}.\]
Olumsuzlamayı \(\varepsilon_0 = \dfrac{1}{2}\) ile doğrulayalım: \(N\) verilsin, \(n = N\) ve \(m = 2N\) alalım; her ikisi de \(N\)’den büyük ya da eşittir ve \(|h_m - h_n| \ge \dfrac{1}{2}\). Demek ki \((h_n)\) Cauchy değildir ve Sonuç 26.1 gereği ıraksaktır. Dizi artandır (\(h_{n+1} - h_n = \dfrac{1}{n+1} > 0\)); artan ve ıraksak bir dizi Sonuç 23.3 gereği sınırsızdır, dolayısıyla Teorem 23.2 ile \(h_n \to +\infty\). Oysa ardışık farklar \(\dfrac{1}{n+1} \to 0\)’dır: ardışık terimlerin yaklaşması Cauchy olmak için yetmez.
c) Toplam. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(n, m \ge N_1\) için \(|a_n - a_m| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) ve \(n, m \ge N_2\) için \(|b_n - b_m| < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olsun. \(n, m \ge \max\{N_1, N_2\}\) için üçgen eşitsizliğiyle
\[|(a_n + b_n) - (a_m + b_m)| \le |a_n - a_m| + |b_n - b_m| < \varepsilon.\]
Çarpım. Teorem 26.2 gereği her iki dizi sınırlıdır: her \(n\) için \(|a_n| \le M\) ve \(|b_n| \le M\) olacak bir \(M > 0\) vardır. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(n, m \ge N_1\) için \(|a_n - a_m| < \dfrac{\varepsilon}{2M}\) ve \(n, m \ge N_2\) için \(|b_n - b_m| < \dfrac{\varepsilon}{2M}\) olsun. \(a_n b_n - a_m b_m = a_n(b_n - b_m) + b_m(a_n - a_m)\) yazılırsa \(n, m \ge \max\{N_1, N_2\}\) için
\[|a_n b_n - a_m b_m| \le |a_n|\,|b_n - b_m| + |b_m|\,|a_n - a_m| < M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} + M \cdot \frac{\varepsilon}{2M} = \varepsilon.\]
d) \(A = [0, \infty)\) kapalıdır: tümleyeni \((-\infty, 0)\) açık bir aralıktır (Önerme 15.3). Önerme 26.2 gereği \(A\) tamdır.
\(B = \mathbb{Q} \cap [0, 1]\) tam değildir. \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) sayısı irrasyoneldir (rasyonel olsaydı \(\sqrt{2} = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) de rasyonel olurdu, Önerme 11.6; bu Teorem 13.3 ile çelişir) ve \(0 < \dfrac{\sqrt{2}}{2} < 1\)’dir (\(1 < \sqrt{2} < 2\) olduğundan). Teorem 13.5 ile her \(n\) için \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} < q_n < \dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{4n}\) olan bir \(q_n \in \mathbb{Q}\) seçelim; \(\dfrac{\sqrt{2}}{2} + \dfrac{1}{4} < 1\) olduğundan her \(q_n \in B\). Sıkıştırma ile \(q_n \to \dfrac{\sqrt{2}}{2}\); dizi yakınsak olduğundan Cauchy’dir, ama limiti \(B\)’de değildir. Demek ki \(B\) tam değildir; Önerme 26.2 gereği kapalı da değildir.
e) Terimler pozitiftir. \(a_1 = 1 > 0\) ve \(a_n > 0\) ise \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2 + a_n} > 0\) (Önerme 7.9); tümevarımla her \(n\) için \(a_n > 0\), dolayısıyla \(2 + a_n > 2\).
Ardışık farklar daralır. Paydaları eşitleyerek
\[a_{n+2} - a_{n+1} = \frac{1}{2 + a_{n+1}} - \frac{1}{2 + a_n} = \frac{a_n - a_{n+1}}{(2 + a_{n+1})(2 + a_n)},\]
ve paydadaki çarpanların her biri \(2\)’den büyük olduğundan
\[|a_{n+2} - a_{n+1}| \le \frac{1}{4}\,|a_{n+1} - a_n|.\]
\(a_2 = \dfrac{1}{3}\) ve \(|a_2 - a_1| = \dfrac{2}{3}\) olduğundan tümevarımla \(|a_{n+1} - a_n| \le \dfrac{2}{3} \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n-1} = \dfrac{8}{3} \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\). Örnek 26.3’nin hipotezi \(C = \dfrac{8}{3}\), \(r = \dfrac{1}{4}\) ile sağlanır: dizi Cauchy’dir ve bir \(a\) sayısına yakınsar. Limitlerde sıralama ile \(a \ge 0\).
Limit. Teorem 24.3 gereği \(a_{n+1} \to a\); \(2 + a_n \to 2 + a \ne 0\) olduğundan Teorem 21.1 (bölüm) ile özyineleme bağıntısında limite geçebiliriz:
\[a = \frac{1}{2 + a} \implies a^2 + 2a - 1 = 0 \implies (a + 1)^2 = 2 \implies a = -1 \pm \sqrt{2}.\]
\(a \ge 0\) olduğundan \(a = \sqrt{2} - 1\) (varlığı için Teorem 13.1). Dizi monoton olmadığı hâlde (\(a_1 = 1 > a_2 = \tfrac{1}{3} < a_3 = \tfrac{3}{7}\)) Cauchy ölçütü sayesinde yakınsaklığını kanıtlayabildik.
\(\blacksquare\)
Cauchy ölçütüyle birlikte diziler kuramının araç çantası tamamlandı: yakınsaklığı tanımla, monotonlukla, üst–alt limitle ya da Cauchy koşuluyla denetleyebiliyoruz ve bütün bu araçların aynı kaynaktan, reel sayıların tamlığından beslendiğini biliyoruz. Sıradaki adım, “yaklaşma” fikrini indisleri sonsuza giden dizilerden, bir noktaya yaklaşan reel değişkenlere taşımaktır: Fonksiyon Limiti: ε–δ Tanımı.