23 Monoton Yakınsaklık Teoremi ve e Sayısı
Şimdiye kadar bir dizinin yakınsak olduğunu göstermek için hep limitini önceden bilmemiz gerekti: \(\varepsilon\) verildi, \(|a_n - a| < \varepsilon\) eşitsizliğini sağlayan \(n_\varepsilon\) aradık. Oysa çoğu zaman elimizde limit adayı yoktur; dizi bir özyineleme bağıntısıyla verilmiştir ya da genel terimi limitini tahmin etmeye elvermez. Bu bölümün ana teoremi tam bu boşluğu doldurur: monoton ve sınırlı bir dizi, limitini hiç bilmesek de yakınsaktır. Teoremin arkasında reel sayıların tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) vardır; bir anlamda bu teorem, tamlığın diziler dilindeki ilk büyük meyvesidir.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: monoton yakınsaklık teoremi ve ispatı; limitin sınırlarla ilişkisi ve monoton dizilerde yakınsaklık ölçütü; sınırsız monoton dizilerin \(\pm\infty\)’a ıraksaması; analizin en ünlü sabiti olan \(e\) sayısının \(\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) dizisiyle tanımı ve \(2 < e < 3\) sınırları; \(e^x\)’in limit tanımı; son olarak özyineli dizilerin limitlerini bulmanın üç adımlı yöntemi.
23.1 Monoton Dizileri Hatırlayalım
Artan, azalan ve monoton dizi kavramlarını Diziler bölümünde tanımlamıştık (Tanım 19.4): \((a_n)\) dizisi her \(n < m\) için \(a_n \le a_m\) sağlıyorsa artan, \(a_n \ge a_m\) sağlıyorsa azalan; eşitsizlikler kesinse kesin artan ya da kesin azalan denir. Bu dört durumdan biri geçerliyse dizi monotondur. Monotonluğu denetlemenin pratik yolu ardışık terimleri karşılaştırmaktır (Önerme 19.2): her \(n\) için \(a_n \le a_{n+1}\) ise dizi artan, \(a_n \ge a_{n+1}\) ise azalandır. Pozitif terimli dizilerde bu karşılaştırma çoğu zaman \(\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\) oranını \(1\) ile kıyaslayarak yapılır.
\(a_n = \dfrac{1}{n}\) dizisi kesin azalandır: \(n < n + 1\) olduğundan \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\)’dir (Önerme 7.10). Bu dizinin alttan \(0\) ile sınırlı olduğunu da biliyoruz. Aşağıdaki teorem, yalnızca bu iki bilgiden dizinin yakınsak olduğunu çıkaracak; üstelik limitin \(\inf\{1/n : n \in \mathbb{N}\} = 0\) olduğunu söyleyecek.
23.2 Monoton Yakınsaklık Teoremi
Artan bir dizi düşünelim. Terimler hep yukarı gidiyor; eğer bir tavan varsa, terimlerin bu tavanın altında “sıkışıp” bir yere yığılması gerekir. Yığıldıkları yer, terimler kümesinin en küçük üst sınırı olmalıdır: daha aşağıda bir yer olamaz, çünkü terimler oraya kadar çıkıyor; daha yukarıda da olamaz, çünkü supremum zaten üst sınırdır. Bu sezgiyi tamlık aksiyomu kesinleştirir.
Teorem 23.1 (Monoton Yakınsaklık Teoremi) \((a_n)\) bir reel sayı dizisi olsun.
\((a_n)\) artan ve üstten sınırlıysa yakınsaktır ve
\[\lim_{n\to\infty} a_n = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}.\]
\((a_n)\) azalan ve alttan sınırlıysa yakınsaktır ve
\[\lim_{n\to\infty} a_n = \inf\{a_n : n \in \mathbb{N}\}.\]
İspat
(1) Artan durum. \((a_n)\) artan ve üstten sınırlı olsun. Dizinin görüntü kümesi \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) boş değildir (\(a_1 \in A\)) ve üstten sınırlıdır. Tamlık aksiyomu (Bölüm 10.4) gereği \(A\)’nın supremumu vardır; \(L = \sup A\) diyelim. Göstereceğimiz şey \(a_n \to L\) olduğudur.
\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(L\) en küçük üst sınır olduğundan \(L - \varepsilon\) bir üst sınır değildir; Teorem 10.1 gereği \(A\)’nın \(L - \varepsilon\)’dan büyük bir elemanı vardır. Bu eleman dizinin bir terimidir: \(L - \varepsilon < a_{n_\varepsilon}\) olacak biçimde bir \(n_\varepsilon \in \mathbb{N}\) bulunur.
Şimdi \(n \ge n_\varepsilon\) olsun. Dizi artan olduğundan \(a_{n_\varepsilon} \le a_n\); öte yandan \(L\) bir üst sınır olduğundan \(a_n \le L < L + \varepsilon\). İkisini birleştirelim:
\[L - \varepsilon < a_{n_\varepsilon} \le a_n \le L < L + \varepsilon \qquad (n \ge n_\varepsilon).\]
Yani \(n \ge n_\varepsilon\) için \(|a_n - L| < \varepsilon\)’dur. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan Tanım 20.1 gereği \(\lim a_n = L = \sup A\).
(2) Azalan durum. \((a_n)\) azalan ve alttan sınırlı olsun. \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) boş değil ve alttan sınırlıdır; tamlık aksiyomunun infimum biçimi (Teorem 10.3) gereği \(\ell = \inf A\) vardır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 10.2 gereği \(a_{n_\varepsilon} < \ell + \varepsilon\) olan bir \(n_\varepsilon\) vardır. \(n \ge n_\varepsilon\) için dizi azalan olduğundan \(a_n \le a_{n_\varepsilon}\), ve \(\ell\) alt sınır olduğundan \(\ell \le a_n\). Böylece
\[\ell - \varepsilon < \ell \le a_n \le a_{n_\varepsilon} < \ell + \varepsilon \qquad (n \ge n_\varepsilon),\]
yani \(|a_n - \ell| < \varepsilon\). Demek ki \(\lim a_n = \ell = \inf A\).
\(\blacksquare\)
Teoremin gücü şuradadır: yakınsaklığı göstermek için limiti bilmek gerekmez; monotonluk ve sınırlılık yeter. Üstelik limit hakkında da bilgi verir: limit, terimler kümesinin supremumu ya da infimumudur. Buradan hemen kullanışlı bir sonuç çıkar.
Sonuç 23.1 (Limit ile Terimler Arasındaki Sıralama)
- \((a_n)\) artan ve üstten sınırlıysa, \(L = \lim_{k\to\infty} a_k\) olmak üzere her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n \le L\)’dir.
- \((a_n)\) azalan ve alttan sınırlıysa, \(\ell = \lim_{k\to\infty} a_k\) olmak üzere her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\ell \le a_n\)’dir.
Dizi kesin monotonsa eşitsizlikler de kesindir.
İspat
(1) Teorem 23.1 gereği \(L = \sup\{a_k : k \in \mathbb{N}\}\)’dir ve supremum kümenin bir üst sınırıdır; dolayısıyla her \(n\) için \(a_n \le L\). (2) aynı biçimde, \(\ell = \inf\{a_k : k \in \mathbb{N}\}\)’nin alt sınır olmasından çıkar. Dizi kesin artansa \(a_n < a_{n+1} \le L\) olduğundan \(a_n < L\)’dir; kesin azalan durum benzerdir.
\(\blacksquare\)
Örneğin \(a_n = 1 - \dfrac{1}{n}\) dizisi artan ve limiti \(1\)’dir; gerçekten de bütün terimler \(0, \tfrac12, \tfrac23, \tfrac34, \dots\) sayıları \(1\)’den küçüktür. \(a_n = 1 + \dfrac{1}{n}\) dizisi ise azalan ve limiti \(1\)’dir; terimleri \(2, \tfrac32, \tfrac43, \dots\) hep \(1\)’den büyüktür. Limit, artan dizide terimlerin “tavanı”, azalan dizide “tabanı”dır.
Örnek 23.1 (Bir Bölü Kök n Dizisi) \(a_n = \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) dizisinin yakınsak olduğunu monoton yakınsaklık teoremiyle gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
Alttan sınırlı. Her \(n\) için \(\sqrt{n} > 0\), dolayısıyla \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} > 0\) (Önerme 7.9). Demek ki \(0\) bir alt sınırdır.
Azalan. Önce \(0 < x < y\) iken \(\sqrt{x} < \sqrt{y}\) olduğunu görelim: aksi hâlde \(\sqrt{x} \ge \sqrt{y} > 0\) olur, iki tarafın karesi alınınca \(x \ge y\) çelişkisi çıkar. Buna göre \(n < n+1\) olduğundan \(\sqrt{n} < \sqrt{n+1}\) ve Önerme 7.10 ile
\[a_{n+1} = \frac{1}{\sqrt{n+1}} < \frac{1}{\sqrt{n}} = a_n.\]
Dizi kesin azalandır.
Yakınsak. Teorem 23.1 gereği dizi yakınsaktır ve limiti \(\ell = \inf\{1/\sqrt{n} : n \in \mathbb{N}\}\)’dir.
Limit. \(\ell = 0\) olduğunu gösterelim. \(0\) bir alt sınırdır, dolayısıyla \(\ell \ge 0\). \(\ell > 0\) olsaydı, Sonuç 12.2 gereği \(\dfrac{1}{n} < \ell^2\) olan bir \(n\) bulunurdu; kök alarak (yukarıdaki monotonluk özelliğiyle) \(\dfrac{1}{\sqrt{n}} < \ell\) elde edilirdi. Bu, \(\ell\)’nin alt sınır olmasıyla çelişir. Öyleyse \(\ell = 0\), yani
\[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0.\]
\(\blacksquare\)
Teoremin iki parçasını tek cümlede toplayalım: sınırlı bir dizi ya artan ya azalansa (yani monotonsa) yakınsaktır. Dikkat: bunun tersi, yani “yakınsak \(\Rightarrow\) monoton”, yanlıştır (\(\frac{(-1)^n}{n}\) dizisi yakınsaktır ama monoton değildir). Doğru olan, yakınsak dizilerin sınırlı olmasıdır; bunu monotonlukla birleştirince aşağıdaki ölçüt çıkar.
Sonuç 23.2 (Sınırlı ve Monoton Diziler Yakınsaktır) Sınırlı ve monoton her dizi yakınsaktır.
İspat
\((a_n)\) sınırlı ve monoton olsun. Sınırlı olduğundan hem üstten hem alttan sınırlıdır (Tanım 19.3). Dizi artansa Teorem 23.1’in (1) parçası, azalansa (2) parçası uygulanır; her iki durumda dizi yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Örneğin \(a_n = \dfrac{n}{n+1}\) dizisi artandır (\(a_{n+1} - a_n = \dfrac{1}{(n+1)(n+2)} > 0\)) ve \(0 < a_n < 1\) olduğundan sınırlıdır; dolayısıyla yakınsaktır. Limiti, \(a_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) yazılışından \(1\) olarak okunur.
Sonuç 23.3 (Monoton Dizilerde Yakınsaklık Ölçütü) Monoton bir dizinin yakınsak olması için gerek ve yeter koşul sınırlı olmasıdır.
İspat
\((a_n)\) monoton olsun. Yakınsaksa Teorem 20.2 gereği sınırlıdır; bu yön monotonluğu kullanmaz bile. Tersine, sınırlıysa Sonuç 23.2 gereği yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Bu ölçüt monoton dizilerde işi çok kolaylaştırır: yakınsaklık sorusu, “dizi sınırlı mı?” sorusuna indirgenir. Ancak monotonluk varsayımı vazgeçilmezdir.
\((0, 1, 0, 1, \dots)\) dizisi, yani \(a_n = \dfrac{1 + (-1)^n}{2}\), sınırlıdır ama yakınsak değildir: terimler \(0\) ile \(1\) arasında gidip gelir ve hiçbir sayıya yaklaşmaz. (Kesin gerekçe: \((a_n)\) yakınsasaydı Teorem 21.1 gereği \(2a_n - 1 = (-1)^n\) dizisi de yakınsardı; oysa bu dizi ıraksaktır, bkz. Örnek 20.6.) Teorem bu diziye uygulanamaz, çünkü dizi monoton değildir. Genel olarak “sınırlı \(\Rightarrow\) yakınsak” yanlıştır; doğru olan “sınırlı ve monoton \(\Rightarrow\) yakınsak” ifadesidir.
23.3 Sınırsız Monoton Diziler
Peki monoton bir dizi sınırlı değilse ne olur? Artan bir dizinin üst sınırı yoksa terimler her tavanı aşar; dolayısıyla dizi \(+\infty\)’a ıraksar (Tanım 22.1). Böylece monoton dizilerin davranışı tamamen belirlenmiş olur.
Teorem 23.2 (Sınırsız Monoton Diziler Sonsuza Iraksar)
- Artan ve üstten sınırlı olmayan bir dizi \(+\infty\)’a ıraksar.
- Azalan ve alttan sınırlı olmayan bir dizi \(-\infty\)’a ıraksar.
İspat
(1) \((a_n)\) artan ve üstten sınırlı olmasın. \(M \in \mathbb{R}\) verilsin. Dizi üstten sınırlı olmadığından \(M\) bir üst sınır değildir; yani \(a_{n_M} > M\) olan bir \(n_M \in \mathbb{N}\) vardır. Dizi artan olduğundan her \(n \ge n_M\) için
\[a_n \ge a_{n_M} > M.\]
\(M\) keyfi olduğundan, Tanım 22.1 gereği \(\lim a_n = +\infty\).
(2) \((a_n)\) azalan ve alttan sınırlı olmasın. \(M \in \mathbb{R}\) verilsin. \(M\) bir alt sınır olmadığından \(a_{n_M} < M\) olan bir \(n_M\) vardır ve azalanlık gereği her \(n \ge n_M\) için \(a_n \le a_{n_M} < M\). Demek ki \(\lim a_n = -\infty\).
\(\blacksquare\)
Örneğin \(a_n = n^2\) dizisi artandır ve üstten sınırlı değildir (her \(M\) için Sonuç 12.1 gereği \(n > M\) olan bir \(n\) vardır, o zaman \(n^2 \ge n > M\)); teorem gereği \(n^2 \to +\infty\). Benzer biçimde \(a_n = -n\) azalan ve alttan sınırsızdır; \(-n \to -\infty\).
Sonuç 23.4 (Monoton Dizilerin Tam Sınıflandırması)
- Artan bir dizi ya yakınsaktır ya da \(+\infty\)’a ıraksar.
- Azalan bir dizi ya yakınsaktır ya da \(-\infty\)’a ıraksar.
Dolayısıyla monoton her dizinin genişletilmiş anlamda limiti vardır: dizi sınırlıysa limit bir reel sayı, sınırlı değilse \(+\infty\) ya da \(-\infty\)’dur.
İspat
\((a_n)\) artan olsun. Üstten sınırlıysa Teorem 23.1 gereği yakınsaktır; üstten sınırlı değilse Teorem 23.2 gereği \(+\infty\)’a ıraksar. Üçüncü bir seçenek yoktur. Azalan durum simetriktir. Son cümle için: artan bir dizi alttan zaten \(a_1\) ile sınırlıdır, dolayısıyla “sınırlı” ile “üstten sınırlı” aynı şeydir; azalan dizi içinse “sınırlı” ile “alttan sınırlı” aynıdır (Önerme 19.3).
\(\blacksquare\)
Bu sınıflandırma, monoton dizilerin diğer dizilerden ne kadar “uslu” olduğunu gösterir: \((-1)^n\) gibi salınan diziler ne yakınsar ne de sonsuza gider; monoton bir dizi ise bu iki davranıştan birini mutlaka sergiler.
23.4 e Sayısı
Monoton yakınsaklık teoreminin en ünlü uygulaması, analizin en önemli sabitlerinden birinin tanımıdır. \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisini düşünelim. Taban \(1\)’e yaklaşırken üs sonsuza gider; \(1^\infty\) biçimindeki bu belirsizlikte dizinin ne yapacağı açık değildir. İlk terimler \(2\), \(2{,}25\), \(2{,}37\), \(2{,}44\), \(\dots\) diye yavaşça büyür. Dizi artan mıdır, bir tavanı var mıdır? İkisine de “evet” yanıtı verebilirsek dizi yakınsar ve limitine bir ad verebiliriz.
Teorem 23.3 (e Dizisi Artan ve Sınırlıdır) \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisi kesin artandır ve her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n < 3\)’tür. Dolayısıyla dizi yakınsaktır.
İspat
Adım 1: Binom açılımı. Binom teoremi (Teorem 9.6) gereği
\[a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \frac{1}{n^k}.\]
\(k \ge 1\) için \(\displaystyle\binom{n}{k} = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}\) olduğundan
\[\binom{n}{k}\frac{1}{n^k} = \frac{1}{k!}\cdot\frac{n}{n}\cdot\frac{n-1}{n}\cdots\frac{n-k+1}{n} = \frac{1}{k!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right)\cdots\left(1 - \frac{k-1}{n}\right).\]
\(k = 0\) ve \(k = 1\) terimleri \(1\)’e eşittir. Böylece
\[a_n = 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right). \tag{1}\]
Burada \(1 \le j \le k - 1 \le n - 1\) olduğundan her çarpan \(1 - \dfrac{j}{n}\) sayısı \(0\) ile \(1\) arasındadır.
Adım 2: Kesin artan. \(a_{n+1}\) için aynı açılım
\[a_{n+1} = 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k!} \prod_{j=1}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n+1}\right)\]
verir. İki açılımı terim terim karşılaştıralım. \(2 \le k \le n\) olan her \(k\) ve \(1 \le j \le k-1\) olan her \(j\) için, \(j \ge 1\) ve \(n < n+1\) olduğundan \(\dfrac{j}{n+1} < \dfrac{j}{n}\)’dir; ayrıca \(j \le k - 1 \le n - 1 < n\) olduğundan \(1 - \dfrac{j}{n} > 0\)’dır. Dolayısıyla
\[0 < 1 - \frac{j}{n} < 1 - \frac{j}{n+1}.\]
Pozitif sayıların çarpımı sıralamayı koruduğundan \(a_{n+1}\)’in \(k\)-ıncı terimi \(a_n\)’in \(k\)-ıncı teriminden büyüktür. Üstelik \(a_{n+1}\)’in açılımında fazladan bir terim daha vardır: \(k = n+1\)’e karşılık gelen terim, pozitif sayıların çarpımı olduğundan pozitiftir. Öyleyse \(a_n < a_{n+1}\); dizi kesin artandır.
Adım 3: Üstten sınırlı. \((1)\)’deki her çarpan \(1\)’den küçük olduğundan çarpım da \(1\)’den küçüktür; buradan
\[a_n \le 1 + 1 + \sum_{k=2}^{n}\frac{1}{k!} = 2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots + \frac{1}{n!}.\]
Şimdi \(k \ge 1\) için \(k! \ge 2^{k-1}\) olduğunu tümevarımla görelim: \(k = 1\) için \(1! = 1 = 2^0\). \(k! \ge 2^{k-1}\) ise \((k+1)! = (k+1)\,k! \ge 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k\). Öyleyse \(\dfrac{1}{k!} \le \dfrac{1}{2^{k-1}}\) ve geometrik toplam formülüyle
\[a_n \le 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = 2 + \left(1 - \frac{1}{2^{n-1}}\right) < 3.\]
Sonuç. Dizi artan ve üstten \(3\) ile sınırlıdır; Teorem 23.1 gereği yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Artık limite bir ad verebiliriz.
Tanım 23.1 (e Sayısı (Euler Sayısı)) \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisinin limitine \(e\) sayısı (Euler’s number) denir:
\[e = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n.\]
Teorem 23.3 bu limitin var olduğunu garanti eder. \(e\) irrasyonel bir sayıdır ve yaklaşık değeri \(e \approx 2{,}71828\ldots\)’dir.
\(e\)’nin irrasyonel olduğunun ispatı bu notların kapsamı dışındadır; ama \(e\)’nin nerede olduğunu teoremin ispatından kolayca okuyabiliriz.
Sonuç 23.5 (e Sayısının Sınırları) \(2 < e < 3\)’tür.
İspat
\(a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n\) olsun. Teorem 23.1 gereği \(e = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\)’dir; dolayısıyla her \(n\) için \(a_n \le e\) (Sonuç 23.1). Özel olarak \(e \ge a_2 = \left(\tfrac32\right)^2 = \tfrac94 > 2\).
Üst sınır için Teorem 23.3’nin ispatındaki kestirimi bir adım inceltelim. \(k = 3\) için \(\dfrac{1}{3!} = \dfrac{1}{6}\)’dır; bu, kullandığımız \(\dfrac{1}{2^{2}} = \dfrac14\) sınırından küçüktür. \(k \ge 4\) için \(\dfrac{1}{k!} \le \dfrac{1}{2^{k-1}}\) sınırını koruyarak
\[a_n \le 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \sum_{k=4}^{n} \frac{1}{2^{k-1}} < 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{35}{12}\]
elde ederiz (buradaki son toplam \(\frac18 + \frac1{16} + \cdots + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac14 - \frac{1}{2^{n-1}} < \frac14\); \(n < 4\) için toplam boştur ve eşitsizlik yine doğrudur). Demek ki \(\dfrac{35}{12}\) bütün terimlerin bir üst sınırıdır; supremum en küçük üst sınır olduğundan \(e \le \dfrac{35}{12} < 3\).
\(\blacksquare\)
Örnek 23.2 (e Dizisinin İlk Terimleri) \(a_n = \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisinin ilk birkaç terimini hesaplayınız ve Teorem 23.3’nin söylediklerini gözlemleyiniz.
Çözüm
Terimleri doğrudan hesaplayalım:
\[a_1 = 2, \qquad a_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^2 = 2{,}25, \qquad a_3 = \left(\frac{4}{3}\right)^3 = \frac{64}{27} \approx 2{,}370, \qquad a_4 = \left(\frac{5}{4}\right)^4 = \frac{625}{256} \approx 2{,}441,\]
\[a_5 = \frac{7776}{3125} \approx 2{,}488, \qquad a_{10} = 1{,}1^{10} \approx 2{,}594, \qquad a_{100} \approx 2{,}705, \qquad a_{1000} \approx 2{,}717.\]
Terimler gerçekten artıyor; ama artış giderek yavaşlıyor ve hiçbir terim \(3\)’ü geçmiyor. Terimler yukarıdan \(e \approx 2{,}718\) değeriyle “sıkışmış” durumdadır: \(e\), terimler kümesinin supremumudur ve dizi bu supremuma yavaşça yaklaşır.
Yakınsama oldukça yavaştır: bin terim sonra bile ancak iki ondalık basamak doğrudur. \(e\)’yi hesaplamanın çok daha hızlı yolları vardır; örneğin ispattaki \(2 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \cdots\) toplamı \(e\)’ye çok hızlı yaklaşır. Bunu seriler konusunda göreceğiz.
\(\blacksquare\)
Üstel Fonksiyonun Limit Tanımı
\(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n\) dizisindeki \(1\)’in yerine herhangi bir \(x\) reel sayısı konursa ne olur? Sonuç yine yakınsak bir dizidir.
Her \(x \in \mathbb{R}\) için \(\left(1 + \dfrac{x}{n}\right)^n\) dizisi yakınsaktır. \(x > 0\) için ispat Teorem 23.3’ninkiyle aynı düzendedir: binom açılımı \(\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\prod_{j=1}^{k-1}\left(1 - \frac{j}{n}\right)\) verir, dizi artandır ve \(\sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}\) toplamı üstten sınırlıdır (\(k \ge 2x\) olan \(k\)’lardan itibaren \(\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \le \frac{1}{2}\cdot\frac{x^k}{k!}\) olduğundan kuyruk bir geometrik toplamla sınırlanır). \(x < 0\) durumu biraz daha fazla çaba ister ve ispatını burada vermiyoruz; bu limit, üstel fonksiyon incelenirken yeniden ele alınacaktır. Burada yalnızca sonucu kullanacağız.
Tanım 23.2 (Üstel Fonksiyonun Limit Tanımı) Her \(x \in \mathbb{R}\) için üstel fonksiyon (exponential function) şöyle tanımlanır:
\[e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.\]
\(x = 1\) için bu tanım Tanım 23.1 ile örtüşür; \(x = 0\) için sabit \(1\) dizisinin limiti \(e^0 = 1\)’dir. Rasyonel \(x\) için bu tanımın Tanım 13.2 ile verilen kuvvetle uyuştuğu gösterilebilir; bu yüzden \(e^x\) yazımı bir çelişki yaratmaz. Tanımı iki örnekte kullanalım.
Örnek 23.3 (Bir Eksi Bir Bölü n Dizisi) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(n \ge 2\) için terimi \(e\)’nin tanımındaki biçime dönüştürelim:
\[\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \left(\frac{n-1}{n}\right)^n = \frac{1}{\left(\dfrac{n}{n-1}\right)^n} = \frac{1}{\left(1 + \dfrac{1}{n-1}\right)^n}.\]
Paydayı, üssü \(n - 1\) olacak biçimde ayıralım:
\[\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^n = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\cdot\left(1 + \frac{1}{n-1}\right).\]
\(b_n = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\) diyelim (\(n \ge 2\)). \(b_n = a_{n-1}\)’dir; yani \((b_n)\) dizisi \(e\) dizisinin bir adım kaydırılmışıdır: \(b_2 = a_1, b_3 = a_2, \dots\). Bir dizinin ilk terimi atılınca ya da öne bir terim eklenince limit değişmez (Teorem 24.3); dolayısıyla \(b_n \to e\). İkinci çarpan için \(\dfrac{1}{n-1} \to 0\) olduğundan (yine kaydırılmış \(1/n\) dizisi) \(1 + \dfrac{1}{n-1} \to 1\). Limit aritmetiği (Teorem 21.1) ile
\[\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{n-1}\right)^n = e \cdot 1 = e, \qquad \lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{1}{n}\right)^n = \frac{1}{e}.\]
Bölme kuralını kullanabildik çünkü \(e \ne 0\). Sonuç, Tanım 23.2 ile de uyumludur: \(x = -1\) için \(e^{-1} = \dfrac{1}{e}\).
\(\blacksquare\)
Örnek 23.4 (Üstel Biçime Dönüştürme) \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{5}{2n}\right)^{n+2}\) limitini bulunuz.
Çözüm
Üssü \(n\) ile \(2\)’ye ayıralım ve tabanı \(1 + \dfrac{x}{n}\) biçiminde yazalım:
\[\left(1 - \frac{5}{2n}\right)^{n+2} = \left(1 + \frac{-5/2}{n}\right)^{n}\cdot\left(1 - \frac{5}{2n}\right)^{2}.\]
İlk çarpan Tanım 23.2 gereği \(e^{-5/2}\)’ye yakınsar. İkinci çarpan için \(\dfrac{5}{2n} \to 0\), dolayısıyla Teorem 21.1 ile \(\left(1 - \dfrac{5}{2n}\right)^2 \to 1^2 = 1\). Çarpım kuralıyla
\[\lim_{n\to\infty}\left(1 - \frac{5}{2n}\right)^{n+2} = e^{-5/2}\cdot 1 = e^{-5/2}.\]
\(\blacksquare\)
23.5 Özyineli Dizilerin Limiti
Bir dizi genel terimiyle değil de bir özyineleme bağıntısı ile verilmişse (Tanım 19.2), örneğin \(a_{n+1} = \dfrac{a_n + 5}{3}\) gibi, limitini tahmin etmek bile zor olabilir. Monoton yakınsaklık teoremi burada devreye girer: dizinin monoton ve sınırlı olduğunu (genellikle tümevarımla) gösterip yakınsaklığı garanti ederiz; sonra bağıntının iki yanında limite geçerek limiti bulan bir denklem elde ederiz. Limite geçerken şu basit ama önemli olguyu kullanırız.
\((a_n)\) dizisi \(a\)’ya yakınsıyorsa \((a_{n+1})\) dizisi de \(a\)’ya yakınsar. Sebebi basittir: \((a_{n+1}) = (a_2, a_3, a_4, \dots)\) dizisi, \((a_n)\)’in ilk terimi atılmış hâlidir; verilen \(\varepsilon\) için \((a_n)\)’de işe yarayan \(n_\varepsilon\) indisi \((a_{n+1})\) için de işe yarar. Bu olgu bir sonraki bölümde, “dizinin kuyruğu” kavramıyla birlikte tam olarak ispatlanacaktır (Teorem 24.3). Buna göre \(a_{n+1} = f(a_n)\) biçimindeki bir bağıntıda, \(f\)’nin limitle uyumlu olduğu durumlarda (toplama, çarpma, bölme, kök alma gibi işlemlerle kurulmuşsa) iki yanın limitini alarak \(a = f(a)\) denklemine ulaşırız.
\(a = f(a)\) denklemini çözmek limitin var olduğu bilindiğinde işe yarar. \(a_1 = 1\), \(a_{n+1} = 2a_n\) dizisini düşünelim: limite “geçersek” \(a = 2a\), yani \(a = 0\) çıkar. Oysa dizi \((1, 2, 4, 8, \dots)\) sonsuza ıraksar; \(0\) limit değildir. Denklem yalnızca “eğer limit varsa şu olmalı” der; varlığı ayrıca (monotonluk ve sınırlılıkla) göstermek gerekir.
- Sınırlılık. Dizinin (genellikle limit adayının kendisi olan) bir sınırın altında ya da üstünde kaldığını tümevarımla gösterin. Limit adayını, \(a = f(a)\) denklemini önceden çözerek bulabilirsiniz.
- Monotonluk. \(a_{n+1} - a_n\) farkının işaretini ya da \(a_{n+1}/a_n\) oranını inceleyin; çoğu zaman yine tümevarım gerekir.
- Limit. Teorem 23.1 ile yakınsaklığı sonuca bağlayın, bağıntıda limite geçin ve denklemi çözün. Birden çok kök çıkarsa, sınırlılık ve sıralama bilgisiyle (Teorem 21.3) doğru kökü seçin.
Örnek 23.5 (Doğrusal Bir Özyineleme) \(a_1 = 2\) ve \(a_{n+1} = \dfrac{a_n + 5}{3}\) ile tanımlanan dizinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
İlk terimler: \(a_1 = 2\), \(a_2 = \dfrac{7}{3} \approx 2{,}33\), \(a_3 = \dfrac{22}{9} \approx 2{,}44\). Dizi artıyor ve \(2{,}5\) civarına gidiyor gibi görünüyor.
Adım 1: Üstten sınırlı. İddia: her \(n\) için \(a_n \le 3\). \(n = 1\): \(a_1 = 2 \le 3\). \(a_k \le 3\) olsun; o zaman
\[a_{k+1} = \frac{a_k + 5}{3} \le \frac{3 + 5}{3} = \frac{8}{3} \le 3.\]
Tümevarım ilkesi (Teorem 9.1) gereği iddia her \(n\) için doğrudur.
Adım 2: Artan. İddia: her \(n\) için \(a_n < a_{n+1}\). \(n = 1\): \(a_1 = 2 < \dfrac{7}{3} = a_2\). \(a_k < a_{k+1}\) olsun; her iki yana \(5\) ekleyip \(3\)’e bölmek sıralamayı korur:
\[a_{k+1} = \frac{a_k + 5}{3} < \frac{a_{k+1} + 5}{3} = a_{k+2}.\]
Demek ki dizi kesin artandır.
Adım 3: Limit. Dizi artan ve üstten sınırlı olduğundan Teorem 23.1 gereği yakınsaktır; limiti \(a\) olsun. Kuyruk lemması gereği \(a_{n+1} \to a\) ve limit aritmetiği ile \(\dfrac{a_n + 5}{3} \to \dfrac{a + 5}{3}\). Limitin tekliğinden (Teorem 20.1)
\[a = \frac{a + 5}{3} \;\Longrightarrow\; 3a = a + 5 \;\Longrightarrow\; a = \frac{5}{2}.\]
Sonuç: \(\lim a_n = \dfrac{5}{2}\). (Adım 1’de sınır olarak \(3\) yerine limit adayı \(\frac52\) de kullanılabilirdi: \(a_k \le \frac52 \Rightarrow a_{k+1} \le \frac{5/2 + 5}{3} = \frac52\).)
\(\blacksquare\)
Örnek 23.6 (Kök İkiye Yakınsayan Bir Özyineleme) \(a_1 = 2\) ve \(a_{n+1} = \dfrac{a_n^2 + 2}{2a_n} = \dfrac{a_n}{2} + \dfrac{1}{a_n}\) ile tanımlanan dizinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
İlk terimler: \(a_1 = 2\), \(a_2 = \dfrac{3}{2}\), \(a_3 = \dfrac{17}{12} \approx 1{,}4167\), \(a_4 = \dfrac{577}{408} \approx 1{,}41422\). Dizi hızla \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421\)’e yaklaşıyor gibidir.
Adım 1: Pozitif terimler ve alt sınır. Her \(n\) için \(a_n > 0\): \(a_1 = 2 > 0\); \(a_k > 0\) ise \(a_{k+1} = \dfrac{a_k^2 + 2}{2a_k}\) kesrinde pay ve payda pozitiftir, dolayısıyla \(a_{k+1} > 0\). Daha iyisi, her \(n\) için \(a_n^2 \ge 2\)’dir: \(a_1^2 = 4 \ge 2\) ve genel olarak
\[a_{k+1}^2 - 2 = \left(\frac{a_k^2 + 2}{2a_k}\right)^2 - 2 = \frac{a_k^4 + 4a_k^2 + 4 - 8a_k^2}{4a_k^2} = \frac{(a_k^2 - 2)^2}{4a_k^2} \ge 0.\]
Bu, bağımsız olarak her \(k\) için doğrudur (pay bir tam karedir). Aynı sonuca aritmetik–geometrik ortalama eşitsizliğinden de ulaşılır: Teorem 7.1’nın \(ab \le \left(\frac{a+b}{2}\right)^2\) biçiminde \(a = a_k\) ve \(b = \frac{2}{a_k}\) alalım; o zaman \(2 = a_k \cdot \frac{2}{a_k} \le \left(\frac{a_k + 2/a_k}{2}\right)^2 = a_{k+1}^2\) olur. Pozitif olup karesi \(2\)’den küçük olmayan bir sayı \(\sqrt{2}\)’den küçük olamaz; demek ki her \(n\) için \(a_n \ge \sqrt{2}\). Dizi alttan sınırlıdır.
Adım 2: Azalan. Ardışık terimlerin farkı
\[a_n - a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{2} - \frac{1}{a_n} = \frac{a_n}{2} - \frac{1}{a_n} = \frac{a_n^2 - 2}{2a_n} \ge 0,\]
çünkü pay Adım 1 gereği negatif değil, payda pozitiftir. Dolayısıyla \(a_{n+1} \le a_n\); dizi azalandır.
Adım 3: Limit. Dizi azalan ve alttan sınırlı olduğundan Teorem 23.1 gereği yakınsaktır; limiti \(a\) olsun. Her \(n\) için \(a_n \ge \sqrt{2}\) olduğundan Teorem 21.3 gereği \(a \ge \sqrt{2} > 0\); özellikle \(a \ne 0\) ve bağıntıda limite geçerken bölme kuralı kullanılabilir:
\[a = \frac{a^2 + 2}{2a} \;\Longrightarrow\; 2a^2 = a^2 + 2 \;\Longrightarrow\; a^2 = 2.\]
\(a > 0\) olduğundan \(a = \sqrt{2}\)’dir.
Bu özyineleme, \(\sqrt{2}\)’yi hesaplamak için Babillilerden beri kullanılan yöntemdir ve her adımda doğru basamak sayısı yaklaşık ikiye katlanır.
\(\blacksquare\)
Örnek 23.7 (İç İçe Karekökler) \(a_1 = \sqrt{2}\) ve \(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n}\) ile tanımlanan dizinin, yani
\[\sqrt{2},\quad \sqrt{2 + \sqrt{2}},\quad \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}},\quad \dots\]
dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
Çözüm
Limit adayı. Limit \(a\) varsa \(a = \sqrt{2 + a}\), yani \(a^2 - a - 2 = (a - 2)(a + 1) = 0\) olmalıdır; terimler pozitif olduğundan aday \(a = 2\)’dir. Sınır olarak \(2\)’yi deneyelim.
Adım 1: \(0 < a_n < 2\). \(n = 1\): \(0 < \sqrt{2} < 2\) (çünkü \(2 < 4\)). \(0 < a_k < 2\) olsun. O zaman \(2 < 2 + a_k < 4\) ve karekökün monotonluğuyla (bkz. Örnek 23.1) \(\sqrt{2} < \sqrt{2 + a_k} < \sqrt{4} = 2\); yani \(0 < a_{k+1} < 2\). Tümevarımla her \(n\) için \(0 < a_n < 2\).
Adım 2: Artan. \(a_{n+1} > a_n\) olduğunu göstermek istiyoruz; iki yan da pozitif olduğundan bu, karelerin karşılaştırılmasına denktir:
\[\begin{aligned} a_{n+1}^2 > a_n^2 &\iff 2 + a_n > a_n^2 \\ &\iff a_n^2 - a_n - 2 < 0 \iff (a_n - 2)(a_n + 1) < 0 \end{aligned}\]
Adım 1 gereği \(a_n - 2 < 0\) ve \(a_n + 1 > 0\), dolayısıyla çarpım negatiftir. Demek ki \(a_{n+1} > a_n\); dizi kesin artandır.
Adım 3: Limit. Artan ve üstten \(2\) ile sınırlı olan dizi Teorem 23.1 gereği yakınsaktır; limiti \(a\) olsun. \(2 + a_n \to 2 + a\) ve karekök limitle uyumlu olduğundan (Teorem 21.5) \(a_{n+1} = \sqrt{2 + a_n} \to \sqrt{2 + a}\). Kuyruk lemmasıyla \(a = \sqrt{2 + a}\), yani \((a-2)(a+1) = 0\). \(a_n > 0\) olduğundan \(a \ge 0\) (Teorem 21.3) ve tek olası değer \(a = 2\)’dir:
\[\lim_{n\to\infty} a_n = 2.\]
\(\blacksquare\)
Üç örnekte de aynı şablonu izledik: sınırlılık, monotonluk, limit denklemi. Şablon, genel terimini hiç bilmediğimiz dizilerde bile limiti tam olarak vermektedir; bu, monoton yakınsaklık teoreminin gündelik hesaplardaki gücüdür.
23.6 Alıştırmalar
Alıştırma 23.1 (Monoton Diziler ve e Sayısı Alıştırmaları)
\(a_n = \dfrac{3n + 1}{n + 2}\) dizisinin monoton ve sınırlı olduğunu gösteriniz; limitini bulunuz.
\(a_1 = 3\) ve \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(a_n + \dfrac{3}{a_n}\right)\) ile tanımlanan dizinin yakınsak olduğunu gösteriniz ve limitini bulunuz.
\(s_n = 1 + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{3^2} + \cdots + \dfrac{1}{n^2}\) dizisinin yakınsak olduğunu gösteriniz.
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{2n}\right)^n\) ve \(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n}\right)^n\) limitlerini bulunuz.
\((a_n)\) artan, \((b_n)\) azalan, her \(n\) için \(a_n \le b_n\) ve \(b_n - a_n \to 0\) olsun. İki dizinin de yakınsak olduğunu ve limitlerinin eşit olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Ardışık terimlerin farkını hesaplayalım:
\[a_{n+1} - a_n = \frac{3n + 4}{n + 3} - \frac{3n + 1}{n + 2} = \frac{(3n+4)(n+2) - (3n+1)(n+3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{(3n^2 + 10n + 8) - (3n^2 + 10n + 3)}{(n+2)(n+3)} = \frac{5}{(n+2)(n+3)} > 0.\]
Dizi kesin artandır. Sınırlılık için terimi \(a_n = \dfrac{3(n+2) - 5}{n+2} = 3 - \dfrac{5}{n+2}\) biçiminde yazalım: \(\dfrac{5}{n+2} > 0\) olduğundan \(a_n < 3\); ayrıca \(a_n \ge a_1 = \dfrac43\). Artan ve üstten sınırlı olduğundan Teorem 23.1 gereği yakınsaktır. Limit için \(0 < \dfrac{5}{n+2} < \dfrac{5}{n}\) ve \(\dfrac{5}{n} \to 0\) olduğundan (Örnek 20.1 ve Teorem 21.1) sıkıştırma teoremiyle (Teorem 21.6) \(\dfrac{5}{n+2} \to 0\); yine Teorem 21.1 ile
\[\lim_{n\to\infty} a_n = 3 - 0 = 3.\]
\(3\) aynı zamanda terimler kümesinin supremumudur; Sonuç 23.1 ile uyumlu olarak hiçbir terim \(3\)’e ulaşmaz.
b) Bu, Örnek 23.6’nin \(3\) için sürümüdür. Pozitiflik ve alt sınır: \(a_1 = 3 > 0\); \(a_k > 0\) ise \(a_{k+1} = \frac12\left(a_k + \frac{3}{a_k}\right) > 0\). Ayrıca
\[a_{k+1}^2 - 3 = \frac{1}{4}\left(a_k + \frac{3}{a_k}\right)^2 - 3 = \frac{a_k^2 + 6 + 9/a_k^2 - 12}{4} = \frac{1}{4}\left(a_k - \frac{3}{a_k}\right)^2 = \frac{(a_k^2 - 3)^2}{4a_k^2} \ge 0,\]
ve \(a_1^2 = 9 \ge 3\); dolayısıyla her \(n\) için \(a_n^2 \ge 3\), yani \(a_n \ge \sqrt{3}\). Azalan:
\[a_n - a_{n+1} = a_n - \frac{a_n}{2} - \frac{3}{2a_n} = \frac{a_n^2 - 3}{2a_n} \ge 0.\]
Limit: Azalan ve alttan sınırlı dizi yakınsaktır; limiti \(a \ge \sqrt{3} > 0\) (Teorem 21.3). Bağıntıda limite geçince \(a = \frac12\left(a + \frac{3}{a}\right)\), yani \(2a^2 = a^2 + 3\), \(a^2 = 3\); \(a > 0\) olduğundan \(a = \sqrt{3}\). İlk terimler \(3,\ 2,\ 1{,}75,\ 1{,}7321, \dots\) bunu doğrular (\(\sqrt{3} \approx 1{,}73205\)).
c) \(s_{n+1} - s_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} > 0\) olduğundan dizi kesin artandır. Üst sınır için \(k \ge 2\) iken \(k^2 > k(k-1)\), dolayısıyla
\[\frac{1}{k^2} < \frac{1}{k(k-1)} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}.\]
Bu eşitsizlikleri \(k = 2, \dots, n\) için toplarsak sağ taraf iç içe sadeleşir:
\[s_n = 1 + \sum_{k=2}^n \frac{1}{k^2} < 1 + \sum_{k=2}^{n}\left(\frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}\right) = 1 + \left(1 - \frac{1}{n}\right) < 2.\]
Artan ve üstten \(2\) ile sınırlı olan \((s_n)\) dizisi Teorem 23.1 gereği yakınsaktır. (Limitin değeri \(\dfrac{\pi^2}{6} \approx 1{,}645\)’tir; bunu Euler bulmuştur ve ispatı çok daha ileri araçlar ister. Burada yalnızca yakınsaklığı gösterdik.)
d) İlk limit için tabanı \(1 + \dfrac{x}{n}\) biçiminde yazalım: \(1 + \dfrac{1}{2n} = 1 + \dfrac{1/2}{n}\). Tanım 23.2 gereği
\[\lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{1}{2n}\right)^n = e^{1/2} = \sqrt{e}.\]
İkinci limit için \(\dfrac{n+2}{n} = 1 + \dfrac{2}{n}\), dolayısıyla
\[\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+2}{n}\right)^n = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = e^2.\]
Aynı sonucun bir parçasına yalnızca Tanım 23.1 ile de ulaşılabilir: \(n = 2m\) çift iken \(\left(1 + \frac{2}{n}\right)^n = \left[\left(1 + \frac{1}{m}\right)^{m}\right]^2\) olduğundan çift indisli terimler Teorem 21.1 gereği \(e^2\)’ye yakınsar. Bu, dizinin yalnızca bir alt dizisinin limitidir; alt dizilerin limiti ile dizinin kendi limiti arasındaki ilişkiyi bir sonraki bölümde inceleyeceğiz (Teorem 24.1).
e) \((b_n)\) azalan olduğundan her \(n\) için \(b_n \le b_1\), dolayısıyla \(a_n \le b_n \le b_1\): \((a_n)\) artan ve üstten sınırlıdır, Teorem 23.1 gereği bir \(a\) sayısına yakınsar. Benzer biçimde \((a_n)\) artan olduğundan \(a_1 \le a_n \le b_n\): \((b_n)\) azalan ve alttan sınırlıdır, bir \(b\) sayısına yakınsar. Limit aritmetiği ile
\[b - a = \lim_{n\to\infty}(b_n - a_n) = 0,\]
yani \(a = b\). Üstelik Sonuç 23.1 gereği her \(n\) için \(a_n \le a = b \le b_n\); ortak limit bütün \([a_n, b_n]\) aralıklarında yer alır. Bu, iç içe aralıklar teoreminin (Teorem 10.5) diziler diliyle yeniden ispatıdır; bir sonraki bölümde bu bakış açısını ayrıntılı ele alacağız.
\(\blacksquare\)
Monoton yakınsaklık teoremi, tamlık aksiyomunun dizilere yansımasıdır: monoton bir dizi ya bir reel sayıya yakınsar ya da sonsuza gider, arada kalmaz. Peki monoton olmayan diziler için ne söylenebilir? Sınırlı bir dizi yakınsamak zorunda değildir; ama içinden monoton (ve dolayısıyla yakınsak) bir parça ayıklanabilir. Bu fikir bizi alt dizilere ve analizin temel taşlarından Bolzano–Weierstrass teoremine götürür: Alt Diziler ve Bolzano–Weierstrass Teoremi.