16 Dönüm Noktaları
Bir önceki bölümde, Konveks ve Konkav Fonksiyonlar başlığı altında, bir fonksiyonun grafiğinin hangi yöne “büküldüğünü” ikinci türevin işaretinden okumayı öğrendik: \(f'' \ge 0\) olan aralıklarda grafik yukarı doğru bükülür (konveks), \(f'' \le 0\) olan aralıklarda aşağı doğru bükülür (konkav). Orada incelediğimiz \(f(x) = 3 + \sin x\) örneğinde (Örnek 15.2) bükülme yönünün \([0, 2\pi]\) aralığında bir kez değiştiğini görmüştük: \(f''(x) = -\sin x\) olduğundan \(f\), \((0, \pi)\) üzerinde konkav, \((\pi, 2\pi)\) üzerinde konvekstir; eğrilik tam \(x = \pi\) noktasında yön değiştirir ve \((\pi, 3)\) noktası bu değişimin gerçekleştiği yerdir.
İşte bu bölüm, o “yön değiştirme” noktalarının kendisini konu alıyor. Bunlara dönüm noktası (inflection point) diyoruz. Dönüm noktaları, bir grafiğin karakterini belirleyen az sayıdaki özel noktadan biridir: yerel ekstremumlar grafiğin nerede tepe ya da çukur yaptığını söylerken, dönüm noktaları grafiğin nerede bükülme yönünü değiştirdiğini söyler. İkisi birlikte, fonksiyonun kabaca nasıl bir eğri çizdiğini anlatmaya çoğu zaman yeter.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: dönüm noktasının kesin tanımını ve tanımın ikinci türevin varlığını gerektirmediğini; iki kez türevlenebilen fonksiyonlar için \(f''(x_0) = 0\) gerek koşulunu ve bunun Teorem 7.1 üzerinden nasıl ispatlandığını; bu koşulun yeter olmadığını; işaret değişimine ve üçüncü türeve dayanan iki yeter koşulu; bunları kapsayan genel bir tek mertebe ölçütünü; türevin bulunmadığı (hatta düşey teğetli) dönüm noktalarını; ve son olarak, dönüm noktasında teğetin eğriyi neden kestiğini.
Yöntem, ekstremum incelemesinde kullandığımızın tıpatıp aynısıdır; yalnızca bir mertebe yukarı kayar. Orada \(f'\)’nün sıfır yerlerini aday olarak toplayıp \(f'\)’nün işaretini incelemiştik; burada \(f''\)’nün sıfır yerlerini (ve \(f''\)’nün var olmadığı noktaları) aday olarak toplayıp \(f''\)’nün işaretini inceleyeceğiz. Bu paralellik yalnızca bir benzetme değildir: birazdan göreceğiniz gibi, \(f\) türevlenebilir olduğunda dönüm noktası aslında \(f'\) fonksiyonunun bir ekstremum noktasıdır.
16.1 Dönüm Noktası Kavramı
Sezgisel olarak dönüm noktası, eğriyi üzerinde yürüyerek geçen bir gözlemcinin direksiyonu sola çevirmekten sağa çevirmeye (ya da tersine) geçtiği noktadır. Bu sezgiyi konvekslik diliyle yazmak kolaydır: noktanın solunda fonksiyon konveks, sağında konkav olmalıdır — ya da tam tersi.
Tanım 16.1 (Dönüm Noktası) \(I \subseteq \mathbb{R}\) bir aralık, \(f : I \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon ve \(x_0\), \(I\)’nın bir iç noktası olsun. \(f\)’nin \(x_0\)’da sürekli olduğunu varsayalım. Eğer öyle bir \(\delta > 0\) varsa ki \((x_0 - \delta,\, x_0 + \delta) \subseteq I\) olsun ve
- \(f\), \((x_0 - \delta,\, x_0]\) üzerinde konveks, \([x_0,\, x_0 + \delta)\) üzerinde konkav;
ya da
- \(f\), \((x_0 - \delta,\, x_0]\) üzerinde konkav, \([x_0,\, x_0 + \delta)\) üzerinde konveks
ise, \(x_0\) noktasına \(f\)’nin bir dönüm noktası (inflection point) denir. Grafik üzerindeki \((x_0, f(x_0))\) noktasına da çoğu zaman aynı ad verilir. Kısaca: \(x_0\), eğriliğin yön değiştirdiği noktadır.
Tanımın üç ayrıntısına dikkat edelim.
Birincisi: tanım \(f''\)’nün varlığını gerektirmez. Tanımda geçen tek kavram konveksliktir ve konvekslik türevden bağımsız olarak, yalnızca kiriş eşitsizliğiyle tanımlanmıştı (Tanım 15.1, Tanım 15.2). Dolayısıyla bir fonksiyonun ikinci türevi hiçbir yerde bulunmasa bile dönüm noktası olabilir. Dahası, birinci türev bile gerekmez: bölümün ilerisinde \(f(x) = x^{1/3}\) fonksiyonunun \(0\)’da türevlenemediği hâlde orada bir dönüm noktası bulunduğunu göreceğiz. İkinci türev, dönüm noktalarını bulmak için kullandığımız bir araçtır; kavramın kendisinin parçası değildir.
İkincisi: süreklilik şartı gereklidir. Bir fonksiyon \((x_0 - \delta, x_0]\) üzerinde konveks, \([x_0, x_0 + \delta)\) üzerinde konkav olabilir ama \(x_0\)’da sıçrama yapabilir; böyle bir noktada “eğrilik yön değiştirdi” demek anlamlı olmaz, çünkü eğri zaten kopmuştur. Bu yüzden tanıma \(x_0\)’da süreklilik koşulunu koyduk.
Üçüncüsü: \(x_0\) bir iç nokta olmalıdır. Aralığın uç noktasında “iki yan” bulunmadığı için eğriliğin yön değiştirmesinden söz edilemez.
Bazı kaynaklar dönüm noktası tanımına, \(x_0\)’da eğrinin bir teğetinin bulunması koşulunu da ekler; teğetin düşey olmasına izin verilir. Bu koşul, tanımı biraz daraltır ama uygulamada karşılaştığımız fonksiyonların hemen hepsi için aynı noktaları verir. Bu bölümde Tanım 16.1 ile çalışacağız; teğetin varlığından yalnızca teğetin eğriyi kestiğini tartışırken (Sonuç 16.1) yararlanacağız.
Konvekslik ile ikinci türevin işareti arasındaki bağı (Teorem 15.4) hatırlarsak, tanımı \(f''\) diliyle şöyle okuyabiliriz: \(f\) iki kez türevlenebilir olduğunda \(x_0\)’ın bir dönüm noktası olması, \(f''\)’nün \(x_0\)’ın solunda ve sağında zıt işaretli olması demektir. Bölümün geri kalanı bu okumanın sonuçlarını çıkarmaktan ibarettir.
16.2 Gerek Koşul: İkinci Türev Sıfırlanır
Bir dönüm noktasında \(f''\) solda bir işaretli, sağda öteki işaretlidir. \(f''\) bu noktada varsa, “pozitiften negatife geçerken” değeri ne olabilir? Sezgi \(0\) diyor. Bunu kesinleştirelim. İspatın fikri çok zariftir: dönüm noktasında \(f'\) fonksiyonu artmaktan azalmaya (ya da tersine) geçer, yani \(f'\)’nün orada bir yerel ekstremumu vardır; Teorem 7.1 da yerel ekstremumda türevin sıfırlanmasını söyler. \(f'\)’nün türevi \(f''\) olduğundan sonuç kendiliğinden gelir.
Teorem 16.1 (Dönüm Noktası için Gerek Koşul) \(f\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda türevlenebilir ve \(x_0\) noktasında iki kez türevlenebilir olsun. Eğer \(x_0\), \(f\)’nin bir dönüm noktası ise
\[f''(x_0) = 0\]
olur.
İspat
Tanım 16.1 gereği bir \(\delta > 0\) vardır ki, iki durumdan biri gerçekleşir. İspatı birinci durum için yazalım; ikincisi \(f\) yerine \(-f\) alınarak aynen elde edilir (çünkü \(-f\)’nin konveksliği \(f\)’nin konkavlığıdır ve \((-f)'' = -f''\) olduğundan \((-f)''(x_0) = 0\) ile \(f''(x_0) = 0\) aynı şeydir).
Durum: \(f\) solda konveks, sağda konkav. Yani \(f\), \(J^- = (x_0 - \delta,\, x_0]\) üzerinde konveks ve \(J^+ = [x_0,\, x_0 + \delta)\) üzerinde konkavdır.
Adım 1: \(f'\) solda artan, sağda azalandır. \(f\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda türevlenebilir olduğundan, konveks fonksiyonların birinci türev ölçütünü uygulayabiliriz (Teorem 15.3): bir aralıkta türevlenebilen bir fonksiyon o aralıkta konvekstir ancak ve ancak türevi orada artandır. Buna göre \(f'\), \(J^-\) üzerinde artan ve \(J^+\) üzerinde azalandır.
Adım 2: \(f'\)’nün \(x_0\)’da yerel maksimumu vardır. \(J^-\) üzerinde \(f'\) artan olduğundan, \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f'(x) \le f'(x_0)\) olur (çünkü \(x < x_0\) ve \(x_0\) da \(J^-\)’ye aittir). Benzer biçimde \(J^+\) üzerinde \(f'\) azalan olduğundan, \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f'(x) \le f'(x_0)\)’dır. Demek ki \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) komşuluğundaki her \(x\) için
\[f'(x) \le f'(x_0);\]
yani \(g = f'\) fonksiyonunun \(x_0\)’da bir yerel maksimumu vardır (Tanım 7.1). İkinci durumda, yani \(f\) solda konkav sağda konveks iken, aynı akıl yürütme \(f'\) için bir yerel minimum verir.
Adım 3: Fermat teoremi. \(f\), \(x_0\)’da iki kez türevlenebilir olduğundan \(g = f'\) fonksiyonu \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \(g'(x_0) = f''(x_0)\)’dır. Ayrıca \(x_0\), tanım kümesinin bir iç noktasıdır ve Adım 2’ye göre \(g\)’nin orada yerel ekstremumu vardır. Teorem 7.1 gereği
\[g'(x_0) = 0, \qquad \text{yani} \qquad f''(x_0) = 0.\]
İspat tamamlanmıştır.
\(\blacksquare\)
\(f\) tüm \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) komşuluğunda iki kez türevlenebilirse, ispatın ilk adımı doğrudan ikinci türevin işaretinden okunabilir. Bu durumda dönüm noktası olmak şu iki seçenekten birine karşılık gelir:
- \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f''(x) \ge 0\) ve \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f''(x) \le 0\) (konveksten konkava geçiş);
- \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f''(x) \le 0\) ve \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f''(x) \ge 0\) (konkavdan konvekse geçiş).
\(f'' \ge 0\) olan yerde \(f'\) artan, \(f'' \le 0\) olan yerde \(f'\) azalandır (Sonuç 8.3). Böylece yine \(f'\), \(x_0\)’da artmaktan azalmaya (ya da tersine) geçer; \(f'\)’nün \(x_0\)’da yerel ekstremumu vardır ve Teorem 7.1 sonucu verir.
Bu teorem, tıpkı ekstremum aramada olduğu gibi, bize bir aday listesi üretme yöntemi verir:
\(f\)’nin dönüm noktası olabilecek noktalar yalnızca şunlardır:
- \(f''(x_0) = 0\) olan noktalar;
- \(f''(x_0)\)’ın var olmadığı noktalar (buna \(f'(x_0)\)’ın var olmadığı noktalar da dâhildir).
Gerekçe doğrudan Teorem 16.1’dur. Bir noktada \(f''\) varsa, tanımı gereği \(f'\) o noktanın bir komşuluğunda tanımlıdır; yani teoremin hipotezleri kendiliğinden sağlanır ve nokta dönüm noktası ise \(f''\) orada sıfır olmak zorundadır. Öyleyse listenin dışında kalan bir nokta — yani \(f''\)’nün var olup sıfırdan farklı olduğu bir nokta — dönüm noktası olamaz. Aday listesini çıkardıktan sonra iş, hangi adayların gerçekten dönüm noktası olduğunu ayıklamaktır.
Gerek koşul yeter değildir
Aday listesinin her elemanı dönüm noktası olmak zorunda değildir. \(f'(x_0) = 0\) olmasının \(x_0\)’ı ekstremum yapmaya yetmediğini (kritik nokta olup ekstremum olmayan noktaların bulunduğunu) biliyoruz; aynı olgu bir mertebe yukarıda da geçerlidir.
\(f''(x_0) = 0\) koşulu gerektir, yeter değildir. İkinci türevin bir noktada sıfırlanması, o noktada işaret değiştirdiği anlamına gelmez; sıfırlanıp aynı işaretle devam edebilir. Bu durumda eğrilik yön değiştirmez ve nokta bir dönüm noktası olmaz.
Örnek 16.1 (Sıfırlanan ama İşaret Değiştirmeyen İkinci Türev) \(f(x) = x^4\) fonksiyonu için \(f''(0) = 0\) olduğunu, buna karşılık \(0\)’ın bir dönüm noktası olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Türevleri hesaplayalım:
\[f'(x) = 4x^3, \qquad f''(x) = 12x^2.\]
Buradan \(f''(0) = 0\) olduğu açıktır; yani \(0\), Teorem 16.1’un verdiği aday listesindedir.
Ama her \(x \ne 0\) için \(x^2 > 0\) olduğundan \(f''(x) = 12x^2 > 0\)’dır. Demek ki \(f''\), \(0\)’ın solunda da sağında da pozitiftir; \(f\) hem \((-\infty, 0]\) üzerinde hem de \([0, +\infty)\) üzerinde konvekstir (aslında \(\mathbb{R}\)’nin tamamında konvekstir). Eğrilik yön değiştirmediğinden Tanım 16.1 sağlanmaz: \(0\) bir dönüm noktası değildir.
Aynı fonksiyon başka bir uyarı daha içerir: \(f'(0) = 0\) olduğundan \(0\) bir kritik noktadır (Tanım 7.3) ve gerçekten de \(f\)’nin mutlak minimumudur. Yani \(f''(x_0) = 0\) olan bir nokta, dönüm noktası olmak yerine pekâlâ bir ekstremum noktası olabilir.
Karşılaştırma için \(g(x) = x^3\)’e bakalım: \(g''(x) = 6x\) olduğundan yine \(g''(0) = 0\)’dır, ama bu kez \(g''\) işaret değiştirir (\(x < 0\) için negatif, \(x > 0\) için pozitif). Dolayısıyla \(g\), \((-\infty, 0]\) üzerinde konkav, \([0, +\infty)\) üzerinde konvekstir ve \(0\) bir dönüm noktasıdır. İki fonksiyonu ayıran şey \(f''(0) = 0\) eşitliği değil, \(f''\)’nün işaret davranışıdır.
\(\blacksquare\)
16.3 Yeter Koşullar
Aday listesini eledikten sonra elimizde iki pratik ölçüt kalır. Birincisi doğrudan tanımın çevirisidir ve en geniş kapsamlısıdır; ikincisi hesabı kolay olan, üçüncü türeve dayanan bir kısayoldur.
İşaret değişimi ölçütü
Önerme 16.1 (İşaret Değişimi Ölçütü) \(f\), \((x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)\) aralığında sürekli ve \((x_0 - \delta,\, x_0) \cup (x_0,\, x_0 + \delta)\) üzerinde iki kez türevlenebilir olsun. Eğer \(f''\), \(x_0\)’ın iki yanında zıt işaretliyse, yani
- \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f''(x) > 0\) ve \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f''(x) < 0\);
ya da
- \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f''(x) < 0\) ve \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f''(x) > 0\)
ise, \(x_0\) bir dönüm noktasıdır. Burada \(f''(x_0)\)’ın var olması istenmemektedir.
İspat
İki durum \(f\) yerine \(-f\) alınarak birbirine dönüştüğünden, birincisini ispatlamak yeterlidir: \(f'' > 0\) solda, \(f'' < 0\) sağda. Göstermemiz gereken, \(f\)’nin \(J^- = (x_0 - \delta,\, x_0]\) üzerinde konveks, \(J^+ = [x_0,\, x_0 + \delta)\) üzerinde konkav olduğudur. Uç noktanın da dâhil olduğuna dikkat ediniz; asıl iş oradadır, çünkü \(x_0\)’da \(f''\) hakkında hiçbir bilgimiz yok.
Solda konvekslik. \(x < z < y\) olacak biçimde \(x, y, z \in J^-\) alalım. \(f\), \(J^-\) üzerinde sürekli ve \((x_0 - \delta, x_0)\) üzerinde türevlenebilirdir; dolayısıyla \([x, z]\) ve \([z, y]\) aralıklarının her birine ortalama değer teoremini (Teorem 8.2) uygulayabiliriz. Buna göre öyle \(c_1 \in (x, z)\) ve \(c_2 \in (z, y)\) vardır ki
\[\frac{f(z) - f(x)}{z - x} = f'(c_1), \qquad \frac{f(y) - f(z)}{y - z} = f'(c_2).\]
\((x_0 - \delta, x_0)\) üzerinde \(f'' > 0\) olduğundan \(f'\) bu aralıkta kesin artandır (Sonuç 8.3). \(c_1 < z < c_2\) ve her iki nokta da \((x_0 - \delta, x_0)\) içinde olduğundan \(f'(c_1) < f'(c_2)\), özel olarak \(f'(c_1) \le f'(c_2)\); yani
\[\frac{f(z) - f(x)}{z - x} \le \frac{f(y) - f(z)}{y - z}.\]
Bu eşitsizlik tam olarak konvekslik eşitsizliğidir. Gerçekten, paydaları pozitif olan bu ifadeyi çarparak düzenlersek
\[\big(f(z) - f(x)\big)(y - z) \le \big(f(y) - f(z)\big)(z - x)\]
\[f(z)\,(y - x) \le f(x)\,(y - z) + f(y)\,(z - x)\]
\[f(z) \le \frac{y - z}{y - x}\, f(x) + \frac{z - x}{y - x}\, f(y)\]
elde ederiz. \(\lambda = \dfrac{y - z}{y - x} \in (0,1)\) dersek \(1 - \lambda = \dfrac{z - x}{y - x}\) ve \(z = \lambda x + (1 - \lambda) y\) olur; son satır da \(f(\lambda x + (1-\lambda)y) \le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\) demektir. \(x, y, z\) keyfî seçildiğinden \(f\), \(J^-\) üzerinde konvekstir. Dikkat ediniz: \(y = x_0\) olması ispatı hiç etkilemedi, çünkü \(c_2 < y \le x_0\) olduğundan \(c_2\) her hâlükârda \(f''\)’nün pozitif olduğu açık aralıkta kaldı.
Sağda konkavlık. Aynı akıl yürütme \(J^+ = [x_0, x_0 + \delta)\) üzerinde yapılır. Bu kez \((x_0, x_0 + \delta)\) üzerinde \(f'' < 0\) olduğundan \(f'\) kesin azalandır; yukarıdaki eşitsizlikler ters döner ve
\[f(z) \ge \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)\]
bulunur, yani \(f\) bu aralıkta konkavdır.
Sonuç. \(f\), \(x_0\)’da süreklidir, solunda konveks ve sağında konkavdır. Tanım 16.1 gereği \(x_0\) bir dönüm noktasıdır.
\(\blacksquare\)
İspatta \(x_0\) noktasında \(f''\) hakkında hiçbir bilgi kullanmadık; hatta \(f'(x_0)\)’ın var olması bile gerekmedi. İstediğimiz tek şey \(f\)’nin \(x_0\)’da sürekli olmasıydı. Bu, ölçütü oldukça güçlü kılar: birazdan göreceğimiz \(f(x) = x^{1/3}\) örneğinde \(0\) noktasında ne \(f'\) ne de \(f''\) vardır, ama ölçüt sorunsuz çalışır.
Üçüncü türev ölçütü
İşaret ölçütü her zaman çalışır ama \(f''\)’nün işaretini iki yanda ayrı ayrı incelemeyi gerektirir. Çoğu zaman daha hızlı bir yol vardır: eğer \(f''(x_0) = 0\) ise, \(f''\)’nün \(x_0\)’daki türevi, yani \(f'''(x_0)\), \(f''\)’nün orada hangi yöne geçtiğini söyler.
Önerme 16.2 (Üçüncü Türev Ölçütü) \(f\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda iki kez türevlenebilir ve \(x_0\)’da üç kez türevlenebilir olsun. Eğer
\[f''(x_0) = 0 \qquad \text{ve} \qquad f'''(x_0) \ne 0\]
ise, \(x_0\) bir dönüm noktasıdır.
İspat
\(g = f''\) diyelim. Varsayıma göre \(g\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda tanımlıdır, \(g(x_0) = 0\) ve \(g\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir; üstelik \(g'(x_0) = f'''(x_0) \ne 0\)’dır. Göstereceğimiz şey \(g\)’nin \(x_0\)’da kesin işaret değiştirdiği, yani solunda bir işaretli sağında öteki işaretli olduğudur; bu sağlandığında Önerme 16.1 sonucu verir.
Türevin tanımına (Tanım 2.2) dönelim. \(g(x_0) = 0\) olduğundan fark oranı sadeleşir:
\[f'''(x_0) = g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x) - g(x_0)}{x - x_0} = \lim_{x \to x_0} \frac{g(x)}{x - x_0}.\]
Yani \(h(x) = \dfrac{g(x)}{x - x_0}\) fonksiyonunun \(x_0\)’daki limiti \(f'''(x_0)\)’dır ve bu limit sıfırdan farklıdır.
Durum \(f'''(x_0) > 0\). Limitin işaret koruma özelliği gereği (bkz. Analiz 1), limiti pozitif olan bir fonksiyon, noktanın delinmiş bir komşuluğunda pozitif kalır: öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(0 < |x - x_0| < \delta\) olan her \(x\) için
\[\frac{g(x)}{x - x_0} > 0.\]
Bir kesir pozitifse pay ile payda aynı işaretlidir. Öyleyse
- \(x_0 - \delta < x < x_0\) iken \(x - x_0 < 0\), dolayısıyla \(g(x) = f''(x) < 0\);
- \(x_0 < x < x_0 + \delta\) iken \(x - x_0 > 0\), dolayısıyla \(g(x) = f''(x) > 0\).
Demek ki \(f''\), \(x_0\)’ın solunda negatif, sağında pozitiftir. Önerme 16.1 gereği \(x_0\) bir dönüm noktasıdır (\(f\) solda konkav, sağda konvekstir).
Durum \(f'''(x_0) < 0\). Bu kez aynı gerekçeyle \(\dfrac{g(x)}{x - x_0} < 0\) olur ve işaretler ters döner: \(f'' > 0\) solda, \(f'' < 0\) sağda. Yine Önerme 16.1 uygulanır; bu kez \(f\) solda konveks, sağda konkavdır.
Her iki durumda da \(x_0\) bir dönüm noktasıdır.
\(\blacksquare\)
Bu ölçüt, ekstremumlar için kullandığımız “ikinci türev testinin” bir mertebe yukarıdaki eşleniğidir; oradaki \(f'(x_0) = 0\), \(f''(x_0) \ne 0\) koşulu burada \(f''(x_0) = 0\), \(f'''(x_0) \ne 0\) olmuştur. Kullanışlıdır ama sınırlıdır: \(f'''(x_0)\) da sıfır çıkarsa hiçbir şey söylemez. Örneğin \(f(x) = x^4\) için \(f''(0) = f'''(0) = 0\)’dır ve ölçüt sessiz kalır — ki iyi ki kalır, çünkü Örnek 16.1’de gördüğümüz gibi \(0\) orada dönüm noktası değildir. Buna karşılık \(f(x) = x^5\) için de \(f''(0) = f'''(0) = 0\)’dır ama \(f''(x) = 20x^3\) işaret değiştirdiğinden \(0\) bir dönüm noktasıdır. Ölçütü, ilk sıfırdan farklı türevin mertebesine bakacak biçimde genişletirsek bu iki durumu birbirinden ayırabiliriz.
Genel mertebe ölçütü
Önerme 16.3 (Genel Mertebe Ölçütü) \(n \ge 3\) bir tam sayı olsun. \(f\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda \(n - 1\) kez türevlenebilir ve \(x_0\) noktasında \(n\) kez türevlenebilir olsun. Ayrıca
\[f''(x_0) = f'''(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0, \qquad f^{(n)}(x_0) \ne 0\]
olsun.
- \(n\) tek ise \(x_0\) bir dönüm noktasıdır.
- \(n\) çift ise \(x_0\) bir dönüm noktası değildir; \(f\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda (noktanın kendisi dâhil) tümüyle konveks ya da tümüyle konkavdır.
İspat
Yine \(g = f''\) diyelim. Varsayımlar \(g\) diliyle şöyle okunur: \(g\), \(x_0\)’ın bir komşuluğunda \(n - 3\) kez türevlenebilirdir, \(x_0\)’da \(n-2\) kez türevlenebilirdir ve
\[g(x_0) = g'(x_0) = \cdots = g^{(n-3)}(x_0) = 0, \qquad g^{(n-2)}(x_0) = f^{(n)}(x_0) \ne 0.\]
\(g\)’ye \(x_0\) merkezli, \(n-2\) mertebeden Taylor formülünü Peano kalanıyla uygulayalım (Teorem 12.3); az önce yazdığımız iki türevlenebilirlik koşulu, o teoremin hipotezlerinin tam olarak kendisidir. \(g\)’nin \(x_0\)’daki \(n-3\) mertebeye kadarki bütün türevleri sıfır olduğundan Taylor polinomundan geriye tek bir terim kalır:
\[g(x) = \frac{g^{(n-2)}(x_0)}{(n-2)!}\,(x - x_0)^{n-2} + r(x)\,(x-x_0)^{n-2}, \qquad \lim_{x \to x_0} r(x) = 0.\]
Yani
\[f''(x) = (x - x_0)^{n-2} \left[ \frac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!} + r(x) \right].\]
Köşeli parantezin \(x \to x_0\) iken limiti \(\dfrac{f^{(n)}(x_0)}{(n-2)!} \ne 0\) olduğundan, İşaret Koruma gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(0 < |x - x_0| < \delta\) olan her \(x\) için köşeli parantez \(f^{(n)}(x_0)\) ile aynı işareti taşır. Böylece bu delinmiş komşulukta \(f''(x)\)’in işareti, \(f^{(n)}(x_0)\)’ın işareti ile \((x - x_0)^{n-2}\)’nin işaretinin çarpımıdır.
\(n\) tek ise. \(n - 2\) de tektir; \((x - x_0)^{n-2}\) ifadesi \(x < x_0\) için negatif, \(x > x_0\) için pozitiftir. Demek ki \(f''\), \(x_0\)’ın iki yanında zıt işaretlidir ve Önerme 16.1 gereği \(x_0\) bir dönüm noktasıdır. (\(f^{(n)}(x_0) > 0\) ise \(f\) solda konkav sağda konveks, \(f^{(n)}(x_0) < 0\) ise tersidir.)
\(n\) çift ise. \(n - 2\) de çifttir ve \(n \ge 4\) olduğundan \(n - 2 \ge 2\)’dir; dolayısıyla \(x \ne x_0\) için \((x - x_0)^{n-2} > 0\)’dır. O hâlde \(f''\), delinmiş komşulukta sabit işaretlidir: \(f^{(n)}(x_0) > 0\) ise her yerde pozitif, \(f^{(n)}(x_0) < 0\) ise her yerde negatif. Ayrıca \(f''(x_0) = 0\)’dır, yani işaret koşulu \(x_0\)’da da geniş anlamda (\(\ge\) ya da \(\le\) biçiminde) sağlanır. Birinci durumda \(f'' \ge 0\) olduğundan Teorem 15.4 gereği \(f\) tüm \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) üzerinde konvekstir; ikinci durumda konkavdır. Her iki hâlde de eğrilik yön değiştirmez ve \(x_0\) dönüm noktası değildir.
\(\blacksquare\)
\(n = 3\) alındığında bu önerme tam olarak Önerme 16.2’i verir. İki klasik örnek durumu netleştirir: \(f(x) = x^5\) için \(f''(0) = f'''(0) = f^{(4)}(0) = 0\) ve \(f^{(5)}(0) = 120 \ne 0\)’dır; \(n = 5\) tek olduğundan \(0\) bir dönüm noktasıdır. \(f(x) = x^4\) için ise \(f''(0) = f'''(0) = 0\) ve \(f^{(4)}(0) = 24 \ne 0\)’dır; \(n = 4\) çift olduğundan \(0\) dönüm noktası değildir — Örnek 16.1’de doğrudan gördüğümüz sonucun ta kendisi.
16.4 Türevin Bulunmadığı Dönüm Noktaları
Dönüm noktası tanımının (Tanım 16.1) türevden söz etmediğini vurgulamıştık. Şimdi bunun boş bir uyarı olmadığını gösteren örneği verelim: fonksiyon bir noktada türevlenemediği hâlde orada eğrilik pekâlâ yön değiştirebilir.
Örnek 16.2 (Düşey Teğetli Dönüm Noktası) \(f(x) = x^{1/3} = \sqrt[3]{x}\) fonksiyonunun \(0\) noktasında türevlenemediğini, buna karşılık \(0\)’ın bir dönüm noktası olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Türev yoktur. \(f\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı ve süreklidir. \(0\) noktasındaki fark oranını (Tanım 2.1) yazalım:
\[\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{h^{1/3}}{h} = h^{-2/3} = \frac{1}{h^{2/3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}.\]
\(h \to 0\) iken \(h^{2/3} \to 0^+\) olduğundan bu oran \(+\infty\)’a gider. Limit sonlu bir sayı olmadığından \(f\), \(0\)’da türevlenemez; ama fark oranı \(+\infty\)’a gittiği için grafiğin \(0\)’da düşey teğeti vardır: teğet doğrusu \(x = 0\)’dır. Aynı sebeple \(f''(0)\) da yoktur.
İkinci türevin işareti. \(x > 0\) için genel kuvvet kuralı (Teorem 5.3) doğrudan uygulanır. \(x < 0\) için o kural olduğu gibi geçerli değildir (orada \(x^r\) genel olarak tanımlı bile değildir); ama küp kök tek fonksiyondur, yani \(x < 0\) iken \(x^{1/3} = -(-x)^{1/3}\)’tür ve zincir kuralıyla (Teorem 4.1)
\[f'(x) = -\frac{1}{3}(-x)^{-2/3} \cdot (-1) = \frac{1}{3}(-x)^{-2/3} = \frac{1}{3} x^{-2/3}\]
bulunur; burada \(x^{-2/3} = \left( x^{1/3} \right)^{-2} = \left( (-x)^{1/3} \right)^{-2} = (-x)^{-2/3}\) olduğunu kullandık. Bir kez daha türev alırsak, yine \(x < 0\) için,
\[f''(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{2}{3} \right)(-x)^{-5/3} \cdot (-1) = \frac{2}{9}\,(-x)^{-5/3} = -\frac{2}{9}\, x^{-5/3}\]
olur; son eşitlikte \(x^{-5/3} = \left( x^{1/3} \right)^{-5} = \left( -(-x)^{1/3} \right)^{-5} = -(-x)^{-5/3}\) olduğunu kullandık. Demek ki iki yanda da aynı formüller geçerlidir: her \(x \ne 0\) için
\[f'(x) = \frac{1}{3} x^{-2/3}, \qquad f''(x) = \frac{1}{3} \cdot \left( -\frac{2}{3} \right) x^{-5/3} = -\frac{2}{9}\, x^{-5/3} = -\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{x^{5/3}}.\]
Burada \(x^{5/3} = \left( x^{1/3} \right)^5\) olduğunu ve küp kökün işaretinin \(x\)’in işaretiyle aynı olduğunu kullanırsak:
- \(x < 0\) ise \(x^{5/3} < 0\), dolayısıyla \(\dfrac{1}{x^{5/3}} < 0\) ve \(f''(x) = -\dfrac{2}{9} \cdot (\text{negatif}) > 0\);
- \(x > 0\) ise \(x^{5/3} > 0\), dolayısıyla \(f''(x) < 0\).
Sonuç. İşaret tablosu şudur:
| \(x\) | \((-\infty, 0)\) | \(0\) | \((0, +\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | \(+\) | tanımsız | \(-\) |
| \(f\) | konveks | dönüm noktası | konkav |
\(f\), \(0\)’da süreklidir ve \(f''\) bu noktanın iki yanında zıt işaretlidir; Önerme 16.1 gereği \(0\) bir dönüm noktasıdır. Grafik \((-\infty, 0]\) üzerinde konveks, \([0, +\infty)\) üzerinde konkavdır ve \((0,0)\) noktasında düşey teğetle eğriliğini tersine çevirir.
Bu örnek iki dersi birden verir. Birincisi: dönüm noktası ararken aday listesine yalnızca \(f'' = 0\) olan noktaları değil, \(f''\)’nün var olmadığı noktaları da koymak zorundayız; yalnızca \(f''(x) = 0\) denklemini çözmekle yetinen bir öğrenci bu dönüm noktasını kaçırır. İkincisi: Teorem 16.1’un hipotezleri gereksiz değildir — burada \(f\), \(0\)’da iki kez türevlenebilir olmadığı için teoremin sonucu (\(f''(0) = 0\)) zaten anlamsızdır, ama nokta yine de dönüm noktasıdır.
\(\blacksquare\)
\(f''\)’nün var olmadığı noktaları listeye almamak, dönüm noktalarını kaçırmanın en sık rastlanan sebebidir. Bunun ters yönü de vardır: \(f''\)’nün var olmadığı her nokta dönüm noktası değildir. Örneğin \(f(x) = |x|\) fonksiyonu için \(0\)’da ne \(f'\) ne \(f''\) vardır, ama \(f\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde konvekstir; eğrilik yön değiştirmez, \(0\) dönüm noktası değildir. Her aday, tıpkı kritik noktalarda olduğu gibi, tek tek sınanmalıdır.
16.5 Dönüm Noktasında Teğet Eğriyi Keser
Konveks bir fonksiyonun grafiği, her teğetinin üstünde kalır (Teorem 15.2); konkav bir fonksiyonunki her teğetinin altında. Dönüm noktasında bu iki davranış yan yana geldiğine göre, oradaki teğet doğrusu bir yanda eğrinin altında, öteki yanda üstünde olmalıdır. Yani teğet eğriyi yalnızca dokunmakla kalmaz, keser. Bu, dönüm noktalarını grafikte gözle tanımanın en kolay yoludur.
Sonuç 16.1 (Dönüm Noktasında Teğet Eğriyi Keser) \(f\), \((x_0 - \delta,\, x_0 + \delta)\) üzerinde türevlenebilir ve \((x_0 - \delta, x_0) \cup (x_0, x_0 + \delta)\) üzerinde iki kez türevlenebilir olsun. \(f''\), \(x_0\)’ın solunda pozitif, sağında negatif olsun (öteki durum simetriktir). \(x_0\)’daki teğet doğrusunu
\[T(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\]
ile gösterelim (Tanım 2.4). O hâlde
- \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) için \(f(x) > T(x)\), yani grafik teğetin üstündedir;
- \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) için \(f(x) < T(x)\), yani grafik teğetin altındadır.
Özel olarak teğet doğrusu, eğriyi \((x_0, f(x_0))\) noktasında keser.
İspat
Eğri ile teğet arasındaki farkı ölçen fonksiyonu tanımlayalım:
\[g(x) = f(x) - T(x) = f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0).\]
\(T\) bir birinci dereceden polinom olduğundan her yerde türevlenebilirdir; \(T'(x) = f'(x_0)\) ve \(T''(x) = 0\)’dır. Dolayısıyla \(g\), \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) üzerinde türevlenebilir ve \(x_0\) dışında iki kez türevlenebilirdir; üstelik
\[g(x_0) = 0, \qquad g'(x) = f'(x) - f'(x_0), \qquad g'(x_0) = 0, \qquad g''(x) = f''(x) \quad (x \ne x_0).\]
İspatın can alıcı noktası şu ara adımdır: \(x_0\)’dan farklı her \(x\) için \(g'(x) < 0\), yani \(f'(x) < f'(x_0)\)’dır. Bunu iki yan için ayrı ayrı gösterelim.
Ara adım, sol yan. \((x_0 - \delta, x_0)\) üzerinde \(f'' > 0\) olduğundan \(f'\) bu aralıkta kesin artandır (Sonuç 8.3). Bir \(c \in (x_0 - \delta, x_0)\) alalım ve \(c < w < x_0\) olacak biçimde bir \(w\) seçelim; kesin artanlık \(f'(c) < f'(w)\) verir. Geriye \(f'(w) \le f'(x_0)\) olduğunu göstermek kalıyor. Aksini varsayalım, yani \(f'(w) > f'(x_0)\) olsun. \(f\), \([w, x_0]\) üzerinde türevlenebilirdir; dolayısıyla \(f'\) sürekli olmasa bile ara değer özelliğini taşır (Teorem 10.1). \(f'(x_0) < \mu < f'(w)\) olan bir \(\mu\) seçersek, bu \(\mu\) sayısı \([w, x_0]\) aralığının uçlarındaki \(f'(w)\) ve \(f'(x_0)\) değerlerinin arasındadır; Teorem 10.1 gereği \(f'(\xi) = \mu\) olan bir \(\xi \in (w, x_0)\) vardır. Ama \(w < \xi < x_0\) ve \(f'\) bu aralıkta kesin artan olduğundan \(f'(\xi) > f'(w) > \mu\) olmalıydı; çelişki. Öyleyse
\[f'(c) < f'(w) \le f'(x_0), \qquad \text{yani} \qquad g'(c) = f'(c) - f'(x_0) < 0.\]
Ara adım, sağ yan. Bu kez \((x_0, x_0 + \delta)\) üzerinde \(f'' < 0\) olduğundan \(f'\) kesin azalandır. Bir \(c \in (x_0, x_0 + \delta)\) alalım ve \(x_0 < w < c\) seçelim; kesin azalanlık \(f'(c) < f'(w)\) verir. Yine \(f'(w) \le f'(x_0)\)’dır: aksi hâlde \(f'(w) > f'(x_0)\) olurdu ve \(f\), \([x_0, w]\) üzerinde türevlenebilir olduğundan Teorem 10.1 gereği \(f'(x_0) < \mu < f'(w)\) olan bir \(\mu\) için \(f'(\xi) = \mu\) olan bir \(\xi \in (x_0, w)\) bulunurdu; ama \(x_0 < \xi < w\) ve \(f'\) kesin azalan olduğundan \(f'(\xi) > f'(w) > \mu\) olmalıydı; çelişki. Böylece burada da \(g'(c) < 0\)’dır.
Solda. \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) olsun. \(g\), \([x, x_0]\) üzerinde sürekli ve \((x, x_0)\) üzerinde türevlenebilir olduğundan ortalama değer teoremi (Teorem 8.2) bir \(c \in (x, x_0)\) verir:
\[g(x_0) - g(x) = g'(c)\,(x_0 - x).\]
Ara adıma göre \(g'(c) < 0\); ayrıca \(x_0 - x > 0\)’dır. Demek ki sağ taraf negatiftir. \(g(x_0) = 0\) olduğundan \(-g(x) < 0\), yani
\[g(x) > 0 \qquad \Longrightarrow \qquad f(x) > T(x).\]
Grafik solda teğetin üstündedir.
Sağda. \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) olsun. Bu kez \([x_0, x]\) aralığında ortalama değer teoremi bir \(c \in (x_0, x)\) verir:
\[g(x) - g(x_0) = g'(c)\,(x - x_0).\]
Ara adıma göre \(g'(c) < 0\) ve \(x - x_0 > 0\) olduğundan sağ taraf yine negatiftir; \(g(x_0) = 0\) olduğundan \(g(x) < 0\), yani \(f(x) < T(x)\)’tir. Grafik sağda teğetin altındadır.
Sonuç. \(g = f - T\) fonksiyonu \(x_0\)’ın solunda pozitif, sağında negatif ve \(x_0\)’da sıfırdır. Demek ki eğri ile teğet, \(x_0\)’da yalnızca değmekle kalmaz; teğet eğriyi bu noktada bir taraftan öteki tarafa geçerek keser.
\(\blacksquare\)
Bir grafiğe bakarken dönüm noktasını şöyle tanırsınız: teğet doğrusunu zihninizde eğri boyunca kaydırın. Teğet, eğrinin bir tarafında kalırken bir anda öteki tarafına geçiyorsa, geçişin olduğu nokta dönüm noktasıdır. Ekstremum noktalarında teğet yataydır ama eğriyi kesmez; dönüm noktalarında teğet genellikle yatay değildir ama eğriyi keser. İki kavramı ayırmanın en pratik yolu budur.
\(f(x) = x^3\) örneğinde \(x_0 = 0\) için teğet \(T(x) = 0\), yani \(x\) eksenidir; \(f(x) - T(x) = x^3\) gerçekten de \(0\)’da işaret değiştirir. Burada teğetin yatay da olabildiğini görüyoruz: \(x_0\) hem kritik nokta hem dönüm noktasıdır, ama ekstremum değildir.
16.6 Tam Çözümlü Örnekler
Şimdi bütün araçları birlikte çalıştıralım. İzleyeceğimiz yol her seferinde aynıdır: türevleri hesapla, \(f''\)’nün sıfır yerlerini ve tanımsız olduğu noktaları bul, \(f''\)’nün işaret tablosunu çıkar, işaret değişen adayları dönüm noktası olarak ilan et.
Örnek 16.3 (Bir Üçüncü Dereceden Polinomun İncelenmesi) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) fonksiyonunu konvekslik ve dönüm noktaları bakımından inceleyiniz.
Çözüm
Türevler. Terim terim türev alalım (Teorem 3.2):
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x^2 - 4x + 3) = 3(x - 1)(x - 3),\]
\[f''(x) = 6x - 12 = 6(x - 2).\]
Adaylar. \(f\) bir polinom olduğundan her mertebeden türevi her yerde vardır; dolayısıyla adaylar yalnızca \(f''(x) = 0\) denkleminin kökleridir. \(6(x - 2) = 0\) denklemi tek bir kök verir: \(x = 2\).
İkinci türevin işareti. \(f''(x) = 6(x-2)\) birinci dereceden bir ifadedir; \(6 > 0\) olduğundan işareti \(x - 2\)’nin işaretiyle aynıdır:
| \(x\) | \((-\infty, 2)\) | \(2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) | konkav | dönüm noktası | konveks |
Demek ki \(f\), \((-\infty, 2]\) üzerinde konkav, \([2, +\infty)\) üzerinde konvekstir. \(f''\) işaret değiştirdiğinden Önerme 16.1 gereği \(x = 2\) bir dönüm noktasıdır. Aynı sonucu üçüncü türev ölçütüyle de görebiliriz: \(f'''(x) = 6\) olduğundan \(f''(2) = 0\) ve \(f'''(2) = 6 \ne 0\)’dır; Önerme 16.2 doğrudan uygulanır.
Dönüm noktasının koordinatları.
\[f(2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3,\]
yani dönüm noktası \((2, 3)\)’tür.
Teğet ve kesişme. \(f'(2) = 3 \cdot 4 - 24 + 9 = -3\) olduğundan \((2,3)\) noktasındaki teğet
\[T(x) = 3 - 3(x - 2) = -3x + 9\]
doğrusudur. Sonuç 16.1’in söylediğini burada elle doğrulayabiliriz:
\[f(x) - T(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 + 3x - 9 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)^3.\]
\((x-2)^3\) ifadesi \(x < 2\) için negatif, \(x > 2\) için pozitiftir. Yani grafik teğetin solda altında, sağda üstündedir — burada \(f\) solda konkav sağda konveks olduğu için Sonuç 16.1’de yazılan durumun simetriği geçerlidir. Her hâlükârda teğet eğriyi \((2,3)\)’te kesmektedir.
Resmin tamamlanması. Konvekslik bilgisini ekstremum bilgisiyle birleştirelim. \(f'(x) = 3(x-1)(x-3)\) olduğundan kritik noktalar \(x = 1\) ve \(x = 3\)’tür ve
| \(x\) | \((-\infty, 1)\) | \(1\) | \((1, 3)\) | \(3\) | \((3, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) | artan | yerel mak. | azalan | yerel min. | artan |
Sonuç 8.3 gereği \(f\), \((-\infty, 1]\) ve \([3, +\infty)\) üzerinde artan, \([1,3]\) üzerinde azalandır. \(f(1) = 1 - 6 + 9 + 1 = 5\) ve \(f(3) = 27 - 54 + 27 + 1 = 1\)’dir. Yerel maksimum \((1,5)\), yerel minimum \((3,1)\) ve dönüm noktası \((2,3)\)’tür; dönüm noktası, beklendiği gibi, tepe ile çukurun tam ortasında yer alır.
Bir simetri. Üçüncü dereceden polinomların grafiği dönüm noktasına göre nokta simetriktir. Burada bunu elle görelim: \(t \in \mathbb{R}\) için
\[f(2 + t) = (2+t)^3 - 6(2+t)^2 + 9(2+t) + 1 = t^3 - 3t + 3,\]
\[f(2 - t) = (2-t)^3 - 6(2-t)^2 + 9(2-t) + 1 = -t^3 + 3t + 3.\]
Toplarsak \(f(2+t) + f(2-t) = 6 = 2f(2)\) elde ederiz; yani \((2+t, f(2+t))\) ile \((2-t, f(2-t))\) noktalarının orta noktası her zaman \((2,3)\)’tür. Grafik dönüm noktası çevresinde \(180^\circ\) döndürüldüğünde kendisine dönüşür.
\(\blacksquare\)
Bir sonraki örnek, rasyonel bir fonksiyonda birden fazla dönüm noktasının nasıl ortaya çıktığını gösteriyor. Fonksiyonun tam bir incelemesini yapacağız; grafik çizimini bir sonraki bölüme bırakıyoruz ama parçaların hepsi burada toplanacak.
Örnek 16.4 (Rasyonel Bir Fonksiyonun Tam İncelenmesi) \(f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}\) fonksiyonunun monotonluğunu, yerel ekstremumlarını, konvekslik aralıklarını ve dönüm noktalarını belirleyiniz.
Çözüm
Tanım kümesi ve simetri. Her \(x\) için \(1 + x^2 \ge 1 > 0\) olduğundan payda hiç sıfırlanmaz; \(f\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı ve süreklidir. Ayrıca
\[f(-x) = \frac{-x}{1 + x^2} = -f(x)\]
olduğundan \(f\) tek fonksiyondur: grafik orijine göre simetriktir. Bu, hesapların yarısını kontrol etmemizi sağlayacak.
Birinci türev. Bölümün türev kuralıyla (Teorem 3.2):
\[f'(x) = \frac{1 \cdot (1 + x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}.\]
Payda pozitif olduğundan \(f'\)’nün işareti \(1 - x^2 = (1-x)(1+x)\) tarafından belirlenir. Kritik noktalar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’dir.
| \(x\) | \((-\infty, -1)\) | \(-1\) | \((-1, 1)\) | \(1\) | \((1, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f\) | azalan | yerel min. | artan | yerel mak. | azalan |
\(f(-1) = \dfrac{-1}{2}\) ve \(f(1) = \dfrac{1}{2}\) olduğundan yerel minimum \(\left(-1, -\dfrac{1}{2}\right)\), yerel maksimum \(\left(1, \dfrac{1}{2}\right)\)’dir.
İkinci türev. \(f'(x) = \dfrac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}\) ifadesinin türevini alalım. Pay \(u = 1 - x^2\), payda \(v = (1+x^2)^2\) olsun; \(u' = -2x\) ve zincir kuralıyla (Teorem 4.1) \(v' = 2(1+x^2) \cdot 2x = 4x(1+x^2)\)’dir. O hâlde
\[f''(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} = \frac{(-2x)(1+x^2)^2 - (1-x^2)\cdot 4x(1+x^2)}{(1+x^2)^4}.\]
Pay ve paydada ortak olan \((1+x^2)\) çarpanını sadeleştirelim:
\[f''(x) = \frac{(1+x^2)\Big[ -2x(1+x^2) - 4x(1-x^2) \Big]}{(1+x^2)^4} = \frac{-2x - 2x^3 - 4x + 4x^3}{(1+x^2)^3} = \frac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3}.\]
Payı çarpanlarına ayıralım:
\[f''(x) = \frac{2x\left( x^2 - 3 \right)}{(1+x^2)^3} = \frac{2x\left( x - \sqrt{3} \right)\left( x + \sqrt{3} \right)}{(1+x^2)^3}.\]
Adaylar. Payda hiç sıfırlanmadığından ve \(f\) her mertebeden türevlenebilir olduğundan adaylar yalnızca payın kökleridir:
\[x = -\sqrt{3}, \qquad x = 0, \qquad x = \sqrt{3}.\]
İşaret tablosu. Payda \((1+x^2)^3 > 0\) olduğundan \(f''\)’nün işareti \(2x(x - \sqrt3)(x + \sqrt3)\) çarpımının işaretidir. Üç çarpanın işaretini aralık aralık toplayalım:
| \(x\) | \((-\infty, -\sqrt3)\) | \(-\sqrt3\) | \((-\sqrt3, 0)\) | \(0\) | \((0, \sqrt3)\) | \(\sqrt3\) | \((\sqrt3, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(2x\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x^2 - 3\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) | konkav | dönüm | konveks | dönüm | konkav | dönüm | konveks |
Sonuç. \(f''\) üç adayın her birinde işaret değiştirmektedir; Önerme 16.1 gereği üçü de dönüm noktasıdır. Koordinatları hesaplayalım:
\[f(-\sqrt3) = \frac{-\sqrt3}{1 + 3} = -\frac{\sqrt3}{4}, \qquad f(0) = 0, \qquad f(\sqrt3) = \frac{\sqrt3}{4}.\]
Dönüm noktaları \(\left( -\sqrt3,\, -\dfrac{\sqrt3}{4} \right)\), \((0, 0)\) ve \(\left( \sqrt3,\, \dfrac{\sqrt3}{4} \right)\)’tür. Tek fonksiyon olmanın beklenen sonucunu görüyoruz: dönüm noktaları orijine göre simetrik yerleşmiştir ve orijinin kendisi de bir dönüm noktasıdır.
Üçüncü türev ölçütüyle doğrulama. \(x = 0\) adayını bir de Önerme 16.2 ile sınayalım. \(f''(x) = \dfrac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3}\) ifadesinin türevini bölüm kuralıyla almak yerine, \(f''(0) = 0\) olduğu için doğrudan türevin tanımına (Tanım 2.2) başvurmak çok daha kısadır:
\[f'''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f''(x) - f''(0)}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{2x^3 - 6x}{(1+x^2)^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2x^2 - 6}{(1+x^2)^3} = \frac{-6}{1} = -6.\]
\(f''(0) = 0\) ve \(f'''(0) = -6 \ne 0\) olduğundan \(0\) gerçekten bir dönüm noktasıdır; üstelik \(f'''(0) < 0\) olduğu için \(f\), \(0\)’ın solunda konveks, sağında konkavdır — tablonun söylediğiyle birebir aynı.
Teğetin kesmesi. \(f'(0) = 1\) olduğundan orijindeki teğet \(T(x) = x\) doğrusudur. Farkı hesaplayalım:
\[f(x) - x = \frac{x}{1+x^2} - x = \frac{x - x(1+x^2)}{1+x^2} = \frac{-x^3}{1+x^2}.\]
Bu ifade \(x < 0\) için pozitif, \(x > 0\) için negatiftir; yani grafik teğetin solda üstünde, sağda altındadır. Sonuç 16.1’in verdiği tablo doğrulanmış oldu.
Bir not. \(|x| \to \infty\) iken \(f(x) \to 0\) olduğundan grafiğin \(y = 0\) doğrusuna yaklaştığını da söyleyebiliriz; bu tür davranışları bir sonraki bölümde asimptot kavramıyla sistemleştireceğiz. Elimizdeki bilgilerle grafiğin şekli şöyledir: \(x\) çok küçükken (\(-\infty\)’a yakın) \(f\) negatif ve \(0\)’a yakındır, azalarak \(\left(-1, -\dfrac12\right)\) çukuruna iner, oradan artarak \((0,0)\)’dan geçer, \(\left(1, \dfrac12\right)\) tepesine çıkar ve sonra azalarak yeniden \(0\)’a yaklaşır. Bükülme yönü ise \(-\sqrt3\), \(0\) ve \(\sqrt3\) noktalarında üç kez değişir.
\(\blacksquare\)
16.7 Alıştırmalar
Alıştırma 16.1 (Dönüm Noktaları Üzerine)
\(f(x) = x^4 - 4x^3 + 12\) fonksiyonunun konvekslik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulunuz.
\(f(x) = x e^{-x}\) fonksiyonunu monotonluk, ekstremum, konvekslik ve dönüm noktası bakımından inceleyiniz.
\(f(x) = \ln(1 + x^2)\) fonksiyonunun dönüm noktalarını bulunuz.
\(f(x) = x^{5/3}\) fonksiyonu için \(f''(0)\)’ın var olmadığını, buna karşılık \(0\)’ın hem bir kritik nokta hem de bir dönüm noktası olduğunu, ama ekstremum noktası olmadığını gösteriniz.
\(f(x) = (x-1)^5 + 2\) ve \(g(x) = (x-1)^6 + 2\) fonksiyonlarını \(x_0 = 1\) noktasında Önerme 16.3 ile inceleyiniz.
\(a \ne 0\) olmak üzere \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\) polinomunun tam olarak bir dönüm noktası bulunduğunu ve grafiğinin bu noktaya göre nokta simetrik olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Türevleri hesaplayalım:
\[f'(x) = 4x^3 - 12x^2, \qquad f''(x) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2).\]
\(f\) bir polinom olduğundan \(f''\) her yerde vardır; adaylar \(f''(x) = 0\) denkleminin kökleridir: \(x = 0\) ve \(x = 2\). İşaret tablosu:
| \(x\) | \((-\infty, 0)\) | \(0\) | \((0,2)\) | \(2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(12x\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) |
| \(x - 2\) | \(-\) | \(-\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f''(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) | konveks | dönüm | konkav | dönüm | konveks |
\(f''\) her iki adayda da işaret değiştirdiğinden (Önerme 16.1) her ikisi de dönüm noktasıdır. Değerler:
\[f(0) = 12, \qquad f(2) = 16 - 32 + 12 = -4.\]
Dönüm noktaları \((0, 12)\) ve \((2, -4)\)’tür. \(f\), \((-\infty, 0]\) ve \([2, +\infty)\) üzerinde konveks, \([0,2]\) üzerinde konkavdır.
Aynı sonucu üçüncü türev ölçütüyle de alabiliriz: \(f'''(x) = 24x - 24\) olduğundan \(f'''(0) = -24 \ne 0\) ve \(f'''(2) = 24 \ne 0\)’dır; Önerme 16.2 her iki noktada da uygulanır.
b) Çarpımın türevi ve üstel fonksiyonun türeviyle (Teorem 3.2, Teorem 5.2, Teorem 4.1):
\[f'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = (1 - x)e^{-x},\]
\[f''(x) = (-1)e^{-x} + (1-x)(-e^{-x}) = e^{-x}\big( -1 - 1 + x \big) = (x - 2)e^{-x}.\]
Her \(x\) için \(e^{-x} > 0\) olduğundan işaretler yalnızca parantezlerden gelir.
Monotonluk ve ekstremum. \(f'(x) = 0 \iff x = 1\). \(x < 1\) iken \(1 - x > 0\), yani \(f' > 0\); \(x > 1\) iken \(f' < 0\). Sonuç 8.3 gereği \(f\), \((-\infty, 1]\) üzerinde artan, \([1, +\infty)\) üzerinde azalandır; \(x = 1\) bir yerel (aslında mutlak) maksimumdur ve \(f(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}\)’dir.
Konvekslik ve dönüm noktası. \(f''(x) = 0 \iff x = 2\). İşaret tablosu:
| \(x\) | \((-\infty, 2)\) | \(2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) | konkav | dönüm noktası | konveks |
Demek ki \(f\), \((-\infty, 2]\) üzerinde konkav, \([2, +\infty)\) üzerinde konvekstir ve
\[f(2) = 2e^{-2} = \frac{2}{e^2}\]
değeriyle \(\left(2, \dfrac{2}{e^2}\right)\) bir dönüm noktasıdır. Üçüncü türev ölçütüyle doğrulayalım:
\[f'''(x) = e^{-x} + (x-2)(-e^{-x}) = (3 - x)e^{-x}, \qquad f'''(2) = e^{-2} \ne 0.\]
Önerme 16.2 gereği \(x = 2\) dönüm noktasıdır. Dikkat: yerel maksimum \(x = 1\)’de, dönüm noktası \(x = 2\)’dedir; ikisi farklı noktalardır ve bu şaşırtıcı değildir — biri \(f'\)’nün, öteki \(f''\)’nün işaret değiştirdiği yerdir.
c) Zincir kuralı ve logaritmanın türeviyle (Teorem 4.1, Teorem 5.1):
\[f'(x) = \frac{2x}{1 + x^2}.\]
İkinci türev için bölüm kuralını uygulayalım:
\[f''(x) = \frac{2(1+x^2) - 2x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{2 + 2x^2 - 4x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1 - x^2)}{(1+x^2)^2} = \frac{2(1-x)(1+x)}{(1+x^2)^2}.\]
Payda daima pozitif olduğundan işaret \(1 - x^2\)’den gelir. Adaylar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’dir.
| \(x\) | \((-\infty, -1)\) | \(-1\) | \((-1, 1)\) | \(1\) | \((1, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f''(x)\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) |
| \(f\) | konkav | dönüm | konveks | dönüm | konkav |
Her iki noktada da işaret değiştiği için ikisi de dönüm noktasıdır. \(f(\pm 1) = \ln(1 + 1) = \ln 2\) olduğundan dönüm noktaları \((-1, \ln 2)\) ve \((1, \ln 2)\)’dir. Fonksiyon çift olduğundan (\(f(-x) = f(x)\)) bu simetrik yerleşim beklenendir.
d) \(f(x) = x^{5/3}\) fonksiyonu \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlı ve süreklidir. \(x > 0\) için genel kuvvet kuralı (Teorem 5.3) doğrudan uygulanır; \(x < 0\) için ise \(f\) tek fonksiyondur (\(x^{5/3} = -(-x)^{5/3}\)) ve zincir kuralıyla (Teorem 4.1) aynı formüller elde edilir. Böylece \(x \ne 0\) için
\[f'(x) = \frac{5}{3}x^{2/3}, \qquad f''(x) = \frac{5}{3} \cdot \frac{2}{3} x^{-1/3} = \frac{10}{9} \cdot \frac{1}{x^{1/3}}.\]
Sıfırda birinci türev. Fark oranı
\[\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^{5/3}}{h} = h^{2/3} \xrightarrow[h \to 0]{} 0\]
olduğundan \(f'(0) = 0\)’dır; yani \(0\) bir kritik noktadır (Tanım 7.3) ve teğet yataydır.
Sıfırda ikinci türev. Şimdi \(f'\)’nün \(0\)’daki fark oranına bakalım:
\[\frac{f'(h) - f'(0)}{h} = \frac{\frac{5}{3}h^{2/3}}{h} = \frac{5}{3} h^{-1/3} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{h^{1/3}}.\]
\(h \to 0^+\) iken bu ifade \(+\infty\)’a, \(h \to 0^-\) iken \(-\infty\)’a gider. Limit yoktur; dolayısıyla \(f''(0)\) yoktur.
Dönüm noktası. \(x < 0\) için \(x^{1/3} < 0\), dolayısıyla \(f''(x) < 0\) (konkav); \(x > 0\) için \(x^{1/3} > 0\), dolayısıyla \(f''(x) > 0\) (konveks). \(f\), \(0\)’da sürekli olduğundan Önerme 16.1 gereği \(0\) bir dönüm noktasıdır.
Ekstremum yoktur. \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\) ifadesi \(x \ne 0\) için pozitif, \(x = 0\)’da sıfırdır. Türev tek bir noktada sıfırlandığı için Sonuç 8.3’nin birinci maddesini doğrudan \(\mathbb{R}\)’ye uygulayamayız; ama \(a < 0 < b\) olmak üzere \([a, 0]\) ve \([0, b]\) aralıklarına ayrı ayrı uygulayabiliriz, çünkü bu aralıkların iç noktalarında \(f' > 0\)’dır. Buna göre \(f\), bu iki aralığın her birinde kesin artandır; ortak uç noktaları \(0\) olduğundan \(f\) bütün \([a,b]\) üzerinde, \(a\) ile \(b\) keyfî olduğundan da bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde kesin artandır. Kesin artan bir fonksiyonun iç noktada yerel ekstremumu olamaz: \(x < 0 < y\) için \(f(x) < f(0) < f(y)\)’dir, yani \(0\)’ın her komşuluğunda \(f(0)\)’dan küçük de büyük de değerler vardır. Demek ki \(0\), ekstremum olmayan bir kritik noktadır — ve aynı zamanda bir dönüm noktasıdır.
e) Önce \(f(x) = (x-1)^5 + 2\). Ardışık türevler (Tanım 6.1):
\[f'(x) = 5(x-1)^4, \quad f''(x) = 20(x-1)^3, \quad f'''(x) = 60(x-1)^2, \quad f^{(4)}(x) = 120(x-1), \quad f^{(5)}(x) = 120.\]
\(x_0 = 1\)’de \(f''(1) = f'''(1) = f^{(4)}(1) = 0\) ve \(f^{(5)}(1) = 120 \ne 0\)’dır. İlk sıfırdan farklı türevin mertebesi \(n = 5\) olup tektir; Önerme 16.3 gereği \(x_0 = 1\) bir dönüm noktasıdır. Doğrudan da görülür: \(f''(x) = 20(x-1)^3\) ifadesi \(x < 1\) için negatif, \(x > 1\) için pozitiftir; \(f\) solda konkav, sağda konvekstir. Dönüm noktası \((1, 2)\)’dir.
Şimdi \(g(x) = (x-1)^6 + 2\):
\[g''(x) = 30(x-1)^4, \quad g'''(x) = 120(x-1)^3, \quad g^{(4)}(x) = 360(x-1)^2, \quad g^{(5)}(x) = 720(x-1), \quad g^{(6)}(x) = 720.\]
\(x_0 = 1\)’de \(g''(1) = g'''(1) = g^{(4)}(1) = g^{(5)}(1) = 0\) ve \(g^{(6)}(1) = 720 \ne 0\)’dır. Bu kez \(n = 6\) çifttir; Önerme 16.3 gereği \(x_0 = 1\) dönüm noktası değildir. Gerçekten \(g''(x) = 30(x-1)^4 \ge 0\) olup her \(x\) için geçerlidir, yani \(g\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde konvekstir; eğrilik hiç yön değiştirmez. Üstelik \(g'(x) = 6(x-1)^5\) işaret değiştirdiğinden \(x_0 = 1\) bir yerel (mutlak) minimumdur.
İki fonksiyonun \(x_0 = 1\)’de aynı türden görünen koşulları sağlaması (\(f'' = f''' = 0\)) sonucu belirlemeye yetmiyor; belirleyen şey ilk sıfırdan farklı türevin mertebesinin tek ya da çift olmasıdır.
f) \(p(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d\), \(a \ne 0\) olsun. Türevler:
\[p'(x) = 3ax^2 + 2bx + c, \qquad p''(x) = 6ax + 2b, \qquad p'''(x) = 6a.\]
Varlık ve teklik. \(p''(x) = 6ax + 2b\) birinci dereceden bir ifadedir ve \(6a \ne 0\) olduğundan tek bir kökü vardır:
\[p''(x) = 0 \iff x = x_0 = -\frac{b}{3a}.\]
\(p\) bir polinom olduğundan \(p''\) her yerde tanımlıdır; dolayısıyla tek aday \(x_0\)’dır. \(p'''(x_0) = 6a \ne 0\) olduğundan Önerme 16.2 gereği \(x_0\) gerçekten bir dönüm noktasıdır. Aday tek olduğu için de başka dönüm noktası yoktur. Demek ki üçüncü dereceden her polinomun tam olarak bir dönüm noktası vardır. (İşaretle de görülebilir: \(a > 0\) ise \(p'' < 0\) solda, \(p'' > 0\) sağda; \(a < 0\) ise tersi.)
Simetri. \(t \in \mathbb{R}\) için \(p(x_0 + t) + p(x_0 - t)\) toplamını hesaplayalım. \(p\) üçüncü dereceden bir polinom olduğundan, \(x_0\) merkezli Taylor açılımı sonlu ve tamdır:
\[p(x_0 + t) = p(x_0) + p'(x_0)\,t + \frac{p''(x_0)}{2}\,t^2 + \frac{p'''(x_0)}{6}\,t^3 = p(x_0) + p'(x_0)\,t + a t^3,\]
çünkü \(p''(x_0) = 0\) ve \(\dfrac{p'''(x_0)}{6} = a\)’dır. Aynı ifadede \(t\) yerine \(-t\) koyarsak
\[p(x_0 - t) = p(x_0) - p'(x_0)\,t - a t^3.\]
Toplarsak
\[p(x_0 + t) + p(x_0 - t) = 2\,p(x_0),\]
yani her \(t\) için \(\left( x_0 + t,\, p(x_0+t) \right)\) ile \(\left( x_0 - t,\, p(x_0-t) \right)\) noktalarının orta noktası \(\left( x_0,\, p(x_0) \right)\)’dır. Bu, grafiğin dönüm noktasına göre nokta simetrik olduğu (dönüm noktası çevresinde \(180^\circ\) döndürüldüğünde kendisine dönüştüğü) anlamına gelir.
Taylor açılımını kullanmadan da aynı sonuca varılabilir: \(x = x_0 + t\) değişken değiştirmesi yapılıp \(x_0 = -\dfrac{b}{3a}\) yerine konursa \(t^2\)’li terimin katsayısı \(3ax_0 + b = 0\) olduğundan yok olur ve \(p(x_0 + t) = a t^3 + \alpha t + \beta\) biçiminde, yalnızca tek kuvvetler ile bir sabitten oluşan bir ifade kalır; \(t \mapsto a t^3 + \alpha t\) tek fonksiyon olduğundan simetri doğrudan görülür.
\(\blacksquare\)
Böylece bir fonksiyonun grafiğini belirleyen yerel bilgilerin tamamını topladık: monotonluk aralıkları, ekstremumlar, konvekslik aralıkları ve dönüm noktaları. Geriye grafiğin “uzaktan” nasıl göründüğü, yani sonsuzda ve tanımsızlık noktalarında nasıl davrandığı kaldı. Bunu ve bütün bilgileri tek bir çizimde birleştirmenin yolunu bir sonraki bölümde göreceğiz: Asimptotlar ve Grafik Çizimi.