2  Türev Kavramı

Önceki bölümde monoton fonksiyonların ne kadar düzenli davrandığını gördük: süreksizlikleri yalnızca sıçrama türünden olabiliyor, sayıları en çok sayılabilir kalıyor ve sürekli bir monoton fonksiyonun tersi yine sürekli oluyordu. Bütün bu sonuçların ortak aracı limitti. Şimdi limit kavramını bambaşka bir soruyu yanıtlamak için kullanacağız: bir fonksiyon bir noktada ne hızla değişiyor?

Ortalama hız kolay bir kavramdır. \(x_0\) ile \(x\) arasında fonksiyonun değeri \(f(x) - f(x_0)\) kadar değişir, girdi ise \(x - x_0\) kadar; bunların oranı, bu aralıktaki ortalama değişimi verir. Ama “\(x_0\) anındaki hız” dediğimizde bir zorlukla karşılaşırız: tek bir noktada değişim de sıfırdır, aralık da sıfırdır ve \(\frac{0}{0}\) bir sayı değildir. İşte limit tam da bu tıkanıklığı aşmak için vardır. Ortalama değişim oranını \(x \to x_0\) limitine götürüp elde ettiğimiz sayıya türev (derivative) diyeceğiz.

Türevin geometrik karşılığı da aynı ölçüde önemlidir. Eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren doğruya kesen (secant), bu noktalardan biri diğerine yaklaştığında kesenlerin yaklaştığı doğruya teğet (tangent) denir. Türev, teğetin eğimidir; teğet doğrusu ise fonksiyonun \(x_0\) civarındaki en iyi doğrusal yaklaşımıdır. Bu iki cümle, sonraki bütün bölümlerin — ortalama değer teoremlerinin, Taylor formülünün, ekstremum testlerinin — arkasındaki sezgiyi taşır.

Bu bölümde şunları öğreneceğiz: fark oranının tanımı ve kesen doğrusuyla ilişkisi; bir noktada türevin limit tanımı ve buna denk ε–δ ifadesi; teğet doğrusu, doğrusallaştırma ve yaklaşık hesap; türevin var olmadığı iki tipik geometrik durum (düşey teğet ve köşe); türev için kullanılan dört klasik gösterim; tek yönlü türevler ve türevin varlığının bunlara denkliği; türev için dizisel ölçüt ve onunla türevsizlik gösterme tekniği; son olarak, sonsuz kez salınmasına rağmen bir noktada türevlenebilen — ama türevi orada sürekli olmayan — bir fonksiyon.

2.1 Fark Oranı

Türevi tanımlamadan önce, değişimi ölçen niceliği adlandıralım. Aşağıdaki tanımda \(I\)’nin açık olmasını istememizin nedeni, \(x_0\)’ın etrafında her iki yönde de fonksiyonun tanımlı olmasını garantilemektir; böylece \(x_0\), \(I \setminus \{x_0\}\) kümesinin bir yığılma noktası olur (bkz. Analiz 1, Yığılma Noktası) ve limit almak anlamlı hâle gelir.

Tanım 2.1 (Fark Oranı ya da Newton Oranı) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f : I \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon ve \(x_0 \in I\) sabit bir nokta olsun. Her \(x \in I\), \(x \neq x_0\) için

\[\varphi_{x_0}(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]

sayısına \(f\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki fark oranı (difference quotient) ya da Newton oranı (Newton quotient) denir. \(\varphi_{x_0}\), \(I \setminus \{x_0\}\) üzerinde tanımlı bir fonksiyondur.

Fark oranının iki okuması vardır ve ikisi de bölüm boyunca kullanılacaktır.

Fiziksel okuma. \(f(t)\), bir cismin \(t\) anındaki konumu ise \(\varphi_{t_0}(t)\), \([t_0, t]\) zaman aralığındaki ortalama hızdır: alınan yolun geçen zamana oranı. \(t \to t_0\) limiti, “anlık hız” dediğimiz şeyin tam tanımıdır.

Geometrik okuma. \((x_0, f(x_0))\) ve \((x, f(x))\) noktalarından geçen doğruya \(f\)’nin kesen doğrusu denir. İki noktadan geçen doğrunun eğimi, ordinat farkının apsis farkına oranıdır; yani \(\varphi_{x_0}(x)\) tam olarak bu kesenin eğimidir. Kesen doğrusunun denklemi

\[y = f(x_0) + \varphi_{x_0}(x)\,(t - x_0)\]

biçimindedir (burada \(t\), doğru üzerindeki değişken apsistir). \(x\) noktasını \(x_0\)’a yaklaştırdıkça kesen doğruları döner; eğer eğimlerin bir limiti varsa, kesenler bir “sınır doğrusuna” yerleşir. Bu sınır doğrusu teğet, eğiminin limiti ise türevdir.

Dikkat edilecek tek şey, \(\varphi_{x_0}\)’ın \(x_0\) noktasında tanımsız olmasıdır: orada pay da payda da sıfırdır. Bu yüzden \(x_0\)’daki değeri değil, \(x_0\)’a yaklaşırkenki davranışı sorarız — yani limitini.

2.2 Bir Noktada Türev

Tanım 2.2 (Bir Noktada Türev) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık bir küme, \(f : I \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in I\) olsun. Fark oranının \(x_0\) noktasındaki limiti var ve bir reel sayı ise, \(f\)’ye \(x_0\) noktasında türevlenebilir (differentiable) denir; bu limit değerine \(f\)’nin \(x_0\) noktasındaki türevi denir ve

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\]

yazılır.

Tanımdaki “bir reel sayı” vurgusu boş bir titizlik değildir: fark oranının limiti \(+\infty\) ya da \(-\infty\) olabilir (bkz. Analiz 1) ve bu durumda türev yoktur, çünkü türev bir sayıdır. Bu ayrımı birazdan düşey teğet örneğinde göreceğiz.

Türev, bir limit olduğu için tektir: Limitin Tekliği gereği \(f'(x_0)\) değeri, varsa, tek biçimde belirlidir. Bu yüzden \(f'(x_0)\) gösterimi meşrudur.

Hesaplarda çoğu zaman \(x\) yerine \(x_0\)’dan olan uzaklığı değişken almak daha rahattır. \(x = x_0 + h\) yazalım; \(x \to x_0\) ile \(h \to 0\) aynı şeydir ve \(x - x_0 = h\) olur. O hâlde

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}\]

eşitliği de türevin tanımıdır. Bu iki biçimin gerçekten denk olduğunu görmek için değişken değiştirme teoremine bile gerek yoktur. \(J = \{h \in \mathbb{R} : x_0 + h \in I\}\) kümesini ve \(\psi(h) = \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\) fonksiyonunu düşünelim; \(\psi(h) = \varphi_{x_0}(x_0 + h)\)’dir. \(h \mapsto x_0 + h\) dönüşümü \(J \setminus \{0\}\) kümesini \(I \setminus \{x_0\}\) kümesine birebir ve örten biçimde taşır ve \(0 < |h| < \delta\) koşulunu tam olarak \(0 < |x - x_0| < \delta\) koşuluna çevirir. Dolayısıyla iki limitin ε–δ tanımları harfi harfine aynı ifadedir; biri varsa öteki de vardır ve değerleri eşittir.

Türevlenebilirlik bir noktanın özelliğidir; bir küme üzerinde konuşmak istediğimizde bunu noktasal olarak toplarız.

Tanım 2.3 (Bir Kümede Türevlenebilirlik ve Türev Fonksiyonu) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık, \(f : I \to \mathbb{R}\) ve \(A \subseteq I\) olsun. \(f\), \(A\)’nın her noktasında türevlenebiliyorsa \(f\)’ye \(A\) üzerinde türevlenebilir denir. Özel olarak \(f\), \(I\)’nin her noktasında türevlenebiliyorsa kısaca “\(f\) türevlenebilirdir” denir.

\(D \subseteq I\), \(f\)’nin türevlenebildiği noktaların kümesi olsun. O zaman

\[f' : D \to \mathbb{R}, \qquad x \mapsto f'(x)\]

kuralıyla tanımlanan fonksiyona \(f\)’nin türev fonksiyonu (ya da kısaca türevi) denir.

\(f'\) yine bir fonksiyondur; onun da türevi sorulabilir. Bu yolla ikinci, üçüncü, … türevler elde edilir; bu zinciri Yüksek Mertebeden Türevler ve Leibniz Kuralı bölümünde ele alacağız.

Türevin ε–δ Dili

Bir analiz dersinde “limit var” demek, ε–δ diliyle konuşabilmek demektir. Türev tanımını bu dile çevirelim; çevirinin ikinci biçimi, türevin bütün geometrik anlamını tek satırda taşıyacak.

Önerme 2.1 (Türevin ε–δ Betimlemesi) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık, \(f : I \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in I\) ve \(L \in \mathbb{R}\) olsun. Aşağıdaki üç ifade denktir.

1. \(f\), \(x_0\) noktasında türevlenebilirdir ve \(f'(x_0) = L\)’dir.

2. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

   \[x \in I, \quad 0 < |x - x_0| < \delta \implies \left| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L \right| < \varepsilon .\]

3. Her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

   \[x \in I, \quad |x - x_0| < \delta \implies \big| f(x) - f(x_0) - L(x - x_0) \big| \le \varepsilon\,|x - x_0| .\]

İspat

(1) ⟺ (2). \(I\) açık olduğundan \(x_0\), \(I \setminus \{x_0\}\) kümesinin bir yığılma noktasıdır ve \(\varphi_{x_0}\)’ın \(x_0\)’daki limitinden söz edilebilir. İkinci ifade, \(\lim_{x \to x_0} \varphi_{x_0}(x) = L\) eşitliğinin fonksiyon limiti tanımındaki ifadesinin kelimesi kelimesine yazılmış hâlidir; başka bir şey söylemez.

(2) ⟹ (3). \(\varepsilon > 0\) verilsin ve (2)’deki \(\delta > 0\) alınsın. \(x \in I\) ve \(|x - x_0| < \delta\) olsun. İki durum var.

• \(x \neq x_0\) ise \(|x - x_0| > 0\)’dır; (2)’deki eşitsizliğin iki yanını bu pozitif sayıyla çarpalım. Mutlak değerin çarpımsallığı gereği

  \[\left| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L \right| \cdot |x - x_0| = \left| \frac{f(x) - f(x_0) - L(x-x_0)}{x - x_0} \right| \cdot |x - x_0| = \big| f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) \big|,\]

  dolayısıyla \(\big| f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) \big| < \varepsilon |x - x_0|\), özel olarak \(\le \varepsilon |x-x_0|\) olur.

• \(x = x_0\) ise sol taraf \(|f(x_0) - f(x_0) - 0| = 0\), sağ taraf \(0\)’dır; \(0 \le 0\) doğrudur.

(3) ⟹ (2). \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\frac{\varepsilon}{2} > 0\) için (3)’teki \(\delta > 0\)’ı alalım. \(x \in I\) ve \(0 < |x - x_0| < \delta\) olsun. O zaman

\[\left| \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - L \right| = \frac{\big| f(x) - f(x_0) - L(x-x_0) \big|}{|x - x_0|} \le \frac{\frac{\varepsilon}{2} |x - x_0|}{|x - x_0|} = \frac{\varepsilon}{2} < \varepsilon .\]

Böylece üç ifadenin denkliği tamamlanır.

\(\blacksquare\)

Üçüncü ifade, türevin bütün anlamını içinde barındırır. \(L = f'(x_0)\) ve

\[T(x) = f(x_0) + L\,(x - x_0)\]

olsun; \(T\), eğimi \(L\) olan ve \((x_0, f(x_0))\) noktasından geçen doğrunun denklemidir. Üçüncü ifade tam olarak şunu söyler:

\[|f(x) - T(x)| \le \varepsilon\,|x - x_0| \qquad (|x - x_0| < \delta).\]

Yani \(f\) ile \(T\) arasındaki hata, \(x_0\)’a yaklaşırken \(|x - x_0|\)’dan daha hızlı sıfıra gider: hatanın \(|x-x_0|\)’a oranı sıfıra yakınsar. Kısaca

\[f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + r(x), \qquad \lim_{x \to x_0} \frac{r(x)}{x - x_0} = 0\]

yazılır. Bu, “\(f\) fonksiyonu \(x_0\) civarında \(T\) doğrusuyla birinci mertebeden uyumludur” demektir.

ÖnemliTürev, en iyi doğrusal yaklaşımın eğimidir

\(f\), \(x_0\)’da türevlenebilir ve \(m \neq f'(x_0)\) olsun. \(S(x) = f(x_0) + m(x - x_0)\) doğrusu için

\[\frac{f(x) - S(x)}{x - x_0} = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - m \longrightarrow f'(x_0) - m \neq 0 \qquad (x \to x_0)\]

olur. Limit sıfırdan farklı olduğundan, \(x_0\)’ın yeterince küçük bir delinmiş komşuluğunda

\[|f(x) - S(x)| \ge \frac{|f'(x_0) - m|}{2}\,|x - x_0|\]

bulunur: bu doğrunun hatası \(|x - x_0|\) ile aynı mertebededir, sıfıra daha hızlı gitmez. Buna karşılık teğetin hatası \(|x-x_0|\)’dan daha hızlı sönmektedir. Dahası, bir \(c, m \in \mathbb{R}\) çifti için \(|f(x) - c - m(x-x_0)| \le \varepsilon |x - x_0|\) eşitsizliği her \(\varepsilon > 0\)’a karşılık gelen bir komşulukta sağlanıyorsa, \(x = x_0\) alarak \(|f(x_0) - c| \le 0\), yani \(c = f(x_0)\); sonra yukarıdaki hesapla \(m = f'(x_0)\) elde edilir. Kısacası \(f\)’yi \(x_0\) civarında birinci mertebeden temsil eden tek doğru teğettir.

2.3 Tanımdan Türev Hesabı

Tanımı ilk kez çalıştırırken en basit fonksiyonlarla başlamak, oranın nasıl sadeleştiğini görmek açısından öğreticidir.

Örnek 2.1 (Sabit, Birim, Doğrusal ve Kare Fonksiyonun Türevi) Aşağıdaki fonksiyonların her \(x_0 \in \mathbb{R}\) noktasındaki türevini yalnızca tanımı kullanarak hesaplayalım.

1. \(f(x) = c\) (sabit fonksiyon).

2. \(f(x) = x\) (birim fonksiyon).

3. \(f(x) = mx + n\) (doğrusal fonksiyon).

4. \(f(x) = x^2\).

Çözüm

a) Her \(x \neq x_0\) için fark oranı

\[\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \frac{c - c}{x - x_0} = \frac{0}{x - x_0} = 0\]

olur. Sabit \(0\) fonksiyonunun limiti \(0\) olduğundan \(f'(x_0) = 0\)’dır. Sabit fonksiyonun türevi her noktada sıfırdır; sezgisel olarak, hiç değişmeyen bir büyüklüğün değişim hızı sıfırdır.

b) \(x \neq x_0\) için

\[\frac{x - x_0}{x - x_0} = 1\]

olduğundan (payda sıfırdan farklı, sadeleştirme meşru) \(f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} 1 = 1\)’dir.

c) \(x \neq x_0\) için

\[\frac{(mx + n) - (mx_0 + n)}{x - x_0} = \frac{m(x - x_0)}{x - x_0} = m\]

ve dolayısıyla \(f'(x_0) = m\). Bir doğrunun eğimi her noktada aynıdır; türev de bunu doğrular. Bu hesap ileride önemli olacak: teğet doğrusunun türevi, teğetin eğimidir.

d) \(x^2 - x_0^2 = (x - x_0)(x + x_0)\) çarpanlamasını kullanalım. \(x \neq x_0\) için

\[\frac{x^2 - x_0^2}{x - x_0} = \frac{(x - x_0)(x + x_0)}{x - x_0} = x + x_0 .\]

Sağdaki ifade bir polinomdur ve Polinomun Limiti gereği limiti değerine eşittir:

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} (x + x_0) = 2x_0 .\]

Yani \((x^2)' = 2x\)’tir.

\(\blacksquare\)

Şimdi biraz daha hüner isteyen iki hesap yapalım: karekök ve ters fonksiyon. İkisinde de fark oranını sadeleştirmenin cebirsel bir hilesi vardır.

Örnek 2.2 (Karekökün ve Tersinin Türevi)  

1. \(f : (0, \infty) \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \sqrt{x}\) olsun. Her \(x_0 > 0\) için \(f'(x_0) = \dfrac{1}{2\sqrt{x_0}}\) olduğunu gösterin.

2. \(g : \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) olsun. Her \(x_0 \neq 0\) için \(g'(x_0) = -\dfrac{1}{x_0^2}\) olduğunu gösterin.

Çözüm

a) \(x_0 > 0\) sabit olsun; karekökün varlığı n-inci Kökün Varlığı ile güvencededir. \(x > 0\) ve \(x \neq x_0\) için payı eşleniğiyle çarpalım:

\[\frac{\sqrt{x} - \sqrt{x_0}}{x - x_0} = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{x_0})(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{x - x_0}{(x - x_0)(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} .\]

Burada \(\sqrt{x} + \sqrt{x_0} > 0\) olduğundan bölme meşrudur. Karekök fonksiyonu süreklidir (bkz. Analiz 1); dolayısıyla \(x \to x_0\) iken \(\sqrt{x} \to \sqrt{x_0}\) ve payda \(2\sqrt{x_0} \neq 0\)’a gider. Limitlerde Cebirsel İşlemler gereği

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}} = \frac{1}{2\sqrt{x_0}} .\]

Bu formül \(x_0 \to 0^+\) iken sınırsız büyür; nitekim karekök fonksiyonu \(0\) noktasında (sağdan) türevlenemez. Gerçekten \(f\)’yi \([0,\infty)\) üzerinde düşünürsek, \(x > 0\) için

\[\frac{\sqrt{x} - \sqrt{0}}{x - 0} = \frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \xrightarrow[\;x \to 0^+\;]{} +\infty\]

olur; limit bir reel sayı olmadığından türev yoktur. Bu, birazdan inceleyeceğimiz düşey teğet durumudur.

b) \(x_0 \neq 0\) sabit olsun. \(x \neq 0\), \(x \neq x_0\) için payı ortak paydada toplayalım:

\[\frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{x_0}}{x - x_0} = \frac{\frac{x_0 - x}{x x_0}}{x - x_0} = \frac{-(x - x_0)}{x x_0 (x - x_0)} = -\frac{1}{x x_0} .\]

\(x \to x_0\) iken \(x x_0 \to x_0^2 \neq 0\) olduğundan Limitlerde Cebirsel İşlemler gereği

\[g'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \left( -\frac{1}{x x_0} \right) = -\frac{1}{x_0^2} .\]

Türevin negatif olması, \(\frac{1}{x}\) fonksiyonunun tanımlı olduğu her aralıkta azalan olmasıyla uyumludur.

\(\blacksquare\)

2.4 Teğet Doğrusu ve Doğrusallaştırma

Fark oranı \(\varphi_{x_0}(x)\), eğri üzerindeki iki noktayı birleştiren kesenin eğimiydi. \(x \to x_0\) limitine geçtiğimizde bu kesenler bir doğruya yerleşir; o doğruyu artık tanımlayabiliriz.

Tanım 2.4 (Teğet Doğrusu) \(f\), \(x_0\) noktasında türevlenebilir olsun. \((x_0, f(x_0))\) noktasından geçen ve eğimi \(m = f'(x_0)\) olan

\[y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0), \qquad \text{yani} \qquad y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)\]

doğrusuna, \(f\)’nin grafiğinin \((x_0, f(x_0))\) noktasındaki teğet doğrusu (tangent line) denir.

Teğet doğrusunu bir fonksiyon olarak düşünmek, sayısal hesapta çok işe yarar.

Tanım 2.5 (Doğrusallaştırma) \(f\), \(x_0\) noktasında türevlenebilir olsun.

\[L(x) = f(x_0) + f'(x_0)\,(x - x_0)\]

kuralıyla tanımlanan ve derecesi en çok bir olan \(L : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) fonksiyonuna, \(f\)’nin \(x_0\) noktasındaki doğrusallaştırması (linearization) denir. \(x\), \(x_0\)’a yakınken

\[f(x) \approx L(x)\]

yaklaşımı kullanılır; Önerme 2.1’nın üçüncü maddesi bu yaklaşımın hatasının \(|x - x_0|\)’dan daha hızlı söndüğünü söyler.

\(L\) fonksiyonunun iki özelliği tanımdan hemen görülür ve teğeti belirleyen tam da bunlardır: \(L(x_0) = f(x_0)\) ve — Örnek 2.1’nin (c) şıkkı gereği — \(L'(x_0) = f'(x_0)\). Yani \(L\), \(x_0\) noktasında \(f\) ile hem değer hem eğim bakımından uyuşan tek doğrudur.

Örnek 2.3 (Teğet Doğrusu Hesapları)  

1. \(f(x) = x^2\) eğrisinin \((1, 1)\) noktasındaki teğetini bulun; kesen eğimlerinin bu teğetin eğimine nasıl yaklaştığını gösterin.

2. \(f(x) = \sqrt{x}\) eğrisinin \(x_0 = 4\) noktasındaki teğetini bulun.

Çözüm

a) Örnek 2.1’den \(f'(x) = 2x\), dolayısıyla \(f'(1) = 2\)’dir. \(f(1) = 1\) olduğundan teğet doğrusu

\[y = 1 + 2(x - 1) = 2x - 1 .\]

Kesenlerin bu doğruya nasıl yerleştiğini sayılarla görelim. \(h \neq 0\) için \((1, 1)\) ile \((1+h, (1+h)^2)\) noktalarını birleştiren kesenin eğimi

\[\frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h(2 + h)}{h} = 2 + h\]

olur. \(h = 1\) için eğim \(3\), \(h = \tfrac{1}{2}\) için \(2{,}5\), \(h = \tfrac{1}{4}\) için \(2{,}25\), \(h = -\tfrac{1}{4}\) için \(1{,}75\)’tir. \(h \to 0\) iken eğimler \(2\)’ye, yani teğetin eğimine yakınsar. Fark oranının \(2 + h\) gibi tam olarak hesaplanabilmesi, limitin varlığını da anında verir.

Fark oranı, (x₀, f(x₀)) ile (x, f(x)) noktalarından geçen kesenin eğimidir. x → x₀ giderken kesenler x₀ noktasındaki teğete yaklaşır; teğetin eğimi tam olarak f′(x₀)'dır.

b) Örnek 2.2’ten \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}\), dolayısıyla \(f'(4) = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}\)’tür. \(f(4) = 2\) olduğundan teğet doğrusu

\[y = 2 + \frac{1}{4}(x - 4) = \frac{x}{4} + 1 .\]

Bu doğru aynı zamanda \(f\)’nin \(4\) noktasındaki doğrusallaştırmasıdır: \(L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x-4)\).

\(\blacksquare\)

Doğrusallaştırmanın klasik kullanımı, hesaplaması zor bir değeri yakınındaki kolay bir değerden tahmin etmektir.

Örnek 2.4 (Yaklaşık Hesap ve Hata Kestirimi)  

1. \(\sqrt{4{,}1}\) sayısını doğrusallaştırmayla yaklaşık hesaplayın ve hatayı kestirin.

2. \(\dfrac{1}{1{,}02}\) sayısını doğrusallaştırmayla yaklaşık hesaplayın ve hatanın tam değerini bulun.

Çözüm

a) \(f(x) = \sqrt{x}\) ve \(x_0 = 4\) alalım; \(4\), \(4{,}1\)’e yakın ve karekökü tam olarak bilinen bir noktadır. Örnek 2.3’nden \(L(x) = 2 + \frac{1}{4}(x - 4)\)’tür. O hâlde

\[\sqrt{4{,}1} \approx L(4{,}1) = 2 + \frac{0{,}1}{4} = 2 + 0{,}025 = 2{,}025 .\]

Hatayı kestirelim. \(2{,}025^2 = 4{,}100625\) olduğundan \(4{,}1 = 2{,}025^2 - 0{,}000625\)’tir. İki kare farkını kullanarak

\[2{,}025 - \sqrt{4{,}1} = \frac{2{,}025^2 - 4{,}1}{2{,}025 + \sqrt{4{,}1}} = \frac{0{,}000625}{2{,}025 + \sqrt{4{,}1}} < \frac{0{,}000625}{4} = 0{,}00015625\]

bulunur (paydayı küçültmek için \(\sqrt{4{,}1} > 2\) kullanıldı). Yani yaklaşım gerçek değerden büyüktür ama hata \(0{,}00016\)’dan küçüktür: dört ondalık basamağa kadar \(\sqrt{4{,}1} = 2{,}0248\ldots\) ile uyumlu. Hatanın bu kadar küçük çıkması şaşırtıcı değildir; Önerme 2.1 gereği hata \(|x - x_0| = 0{,}1\)’den daha hızlı sönmelidir ve gerçekten \(0{,}1\)’in yanında \(0{,}00016\) çok küçüktür.

Yaklaşımın hep büyük çıkmasının nedeni ileride görülecek: \(\sqrt{x}\) konkav bir fonksiyondur, grafiği teğetinin altında kalır.

b) \(g(x) = \frac{1}{x}\) ve \(x_0 = 1\) alalım. Örnek 2.2’ten \(g'(1) = -1\) ve \(g(1) = 1\) olduğundan

\[L(x) = 1 - (x - 1) = 2 - x, \qquad \frac{1}{1{,}02} \approx L(1{,}02) = 2 - 1{,}02 = 0{,}98 .\]

Hatanın tam değeri:

\[\frac{1}{1{,}02} - 0{,}98 = \frac{1 - 0{,}98 \cdot 1{,}02}{1{,}02} = \frac{1 - 0{,}9996}{1{,}02} = \frac{0{,}0004}{1{,}02} \approx 0{,}000392 .\]

Girdideki \(0{,}02\)’lik sapmaya karşılık hata \(0{,}0004\) mertebesindedir; oran olarak yaklaşık \(0{,}02\) katı, yani \(|x - x_0|\) ile birlikte sönen bir çarpan. Bu da tam olarak Önerme 2.1’nın üçüncü maddesinin öngördüğü davranıştır.

\(\blacksquare\)

2.5 Türevin Var Olmadığı Durumlar

Her sürekli fonksiyon türevlenebilir olmak zorunda değildir. Türevin var olmaması, fark oranının limitinin var olmaması demektir ve bunun iki tipik geometrik nedeni vardır: grafiğin o noktada dikleşmesi ve grafiğin o noktada kırılması.

Düşey Teğet ve Sivri Uç

Fark oranının limiti \(+\infty\) ya da \(-\infty\) ise türev yoktur — çünkü türev bir reel sayı olmalıdır. Geometrik olarak bu, kesen doğrularının eğimlerinin sınırsız büyümesi, yani kesenlerin dikleşmesi demektir. Sınır konumda bir doğru vardır ama bu doğru düşeydir ve düşey doğrunun eğimi yoktur. Dikleşme iki taraftan zıt işaretlerle olursa fark oranı \(+\infty\) ya da \(-\infty\) türünden bir limite bile yerleşmez; o zaman da grafikte bir sivri uç belirir. Aşağıdaki örneğin iki şıkkı tam olarak bu iki durumu gösterir.

Örnek 2.5 (Düşey Teğet ve Sivri Uç)  

1. \(f(x) = (x - 1)^{1/3}\) fonksiyonunun \(x_0 = 1\) noktasında türevi olmadığını gösterin.

2. \(g(x) = \sqrt{|x|}\) fonksiyonunun \(x_0 = 0\) noktasında türevi olmadığını gösterin.

Çözüm

a) Küp kök negatif sayılar için de tanımlıdır (\(t < 0\) iken \(t^{1/3} = -(-t)^{1/3}\) ile), dolayısıyla \(f\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlıdır ve \(f(1) = 0\)’dır. \(x \neq 1\) için fark oranı

\[\frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = \frac{(x-1)^{1/3}}{x - 1} = \frac{(x-1)^{1/3}}{(x-1)^{1/3} \cdot (x-1)^{2/3}} = \frac{1}{(x-1)^{2/3}}\]

olur. Burada \((x-1)^{2/3} = \big( |x-1|^{1/3} \big)^2 = |x-1|^{2/3} > 0\)’dır; yani ifade \(x\)’in hangi taraftan yaklaştığından bağımsız olarak pozitiftir.

Limitin \(+\infty\) olduğunu tanımdan görelim (bkz. Analiz 1). \(M > 0\) verilsin ve \(\delta = M^{-3/2}\) alalım. \(0 < |x - 1| < \delta\) ise, \(t \mapsto t^{2/3}\) artan olduğundan

\[|x-1|^{2/3} < \delta^{2/3} = \left( M^{-3/2} \right)^{2/3} = M^{-1}\]

ve dolayısıyla

\[\frac{1}{|x-1|^{2/3}} > M\]

bulunur. O hâlde

\[\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x - 1} = +\infty .\]

Buradan fark oranının \(1\)’in hiçbir delinmiş komşuluğunda sınırlı kalmadığı çıkar. Oysa bir noktada sonlu bir limiti olan fonksiyon, o noktanın bir delinmiş komşuluğunda sınırlıdır (bkz. Analiz 1). Demek ki fark oranının \(1\)’deki limiti hiçbir reel sayıya eşit olamaz; \(f\), \(1\) noktasında türevlenebilir değildir. Öte yandan \(f\) bu noktada süreklidir; grafiğin \(x = 1\)’de bir düşey teğeti vardır ve bu düşey doğrunun denklemi \(x = 1\)’dir.

b) \(g(0) = 0\)’dır. \(x \neq 0\) için

\[\frac{\sqrt{|x|} - 0}{x - 0} = \frac{\sqrt{|x|}}{x} .\]

\(x > 0\) ise \(|x| = x\) ve oran \(\frac{\sqrt{x}}{x} = \frac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty\); \(x < 0\) ise \(|x| = -x\) ve oran \(\frac{\sqrt{-x}}{x} = -\frac{\sqrt{-x}}{-x} = -\frac{1}{\sqrt{-x}} \to -\infty\) olur. Fark oranı bu kez de \(0\)’ın her delinmiş komşuluğunda sınırsızdır; (a) şıkkındaki gerekçeyle — yani Limiti Olan Fonksiyon Nokta Yakınında Sınırlıdır ile — reel bir limiti olamaz ve türev yoktur. Üstelik iki taraf zıt yönlerde büyüdüğünden fark oranının \(+\infty\) ya da \(-\infty\) türünden bir limiti de bulunmaz; (a) şıkkındaki düşey teğetten farkı budur. Grafik \(0\) noktasında sivri uç (cusp) yapar: iki kol da dikleşir, ama biri yukarı diğeri aşağı bakar.

\(\blacksquare\)

Köşe Noktaları

İkinci durumda fark oranı sınırlı kalır ama sağdan ve soldan farklı değerlere yaklaşır. Bu, grafikte bir köşe (corner) bulunması demektir: eğri o noktada ani bir yön değiştirir.

Örnek 2.6 (Mutlak Değer Fonksiyonunun Sıfırda Türevi Yoktur) \(f(x) = |x|\) fonksiyonunun \(x_0 = 0\) noktasında türevlenebilir olmadığını gösterin.

Çözüm

\(f(0) = 0\) olduğundan \(h \neq 0\) için fark oranı

\[\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{|h|}{h}\]

biçimindedir. Mutlak Değer gereği \(h > 0\) iken \(|h| = h\), \(h < 0\) iken \(|h| = -h\)’dir. O hâlde

\[\frac{|h|}{h} = \begin{cases} \dfrac{h}{h} = 1, & h > 0 \\[4pt] \dfrac{-h}{h} = -1, & h < 0. \end{cases}\]

Sağdan yaklaşırken oran sabit \(1\), soldan yaklaşırken sabit \(-1\)’dir; dolayısıyla

\[\lim_{h \to 0^+} \frac{|h|}{h} = 1, \qquad \lim_{h \to 0^-} \frac{|h|}{h} = -1 .\]

İki tek yönlü limit vardır ama eşit değildir; Limitin Yokluğu için Tek Yönlü Ölçüt gereği \(\lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}\) yoktur. Türev de yoktur.

Buna karşılık \(f(x) = |x|\) fonksiyonu \(0\) noktasında süreklidir: \(\big| |x| - 0 \big| = |x| \to 0\)’dır. Grafiği \(0\) noktasında keskin bir köşe yapar; sağdan gelen kesenlerin eğimi \(1\)’e, soldan gelenlerinki \(-1\)’e yerleşir ve ortak bir teğet doğrusu oluşmaz.

Türevin var olmadığı iki tipik durum. Solda f(x) = |x|: sağ ve sol türev vardır (1 ve −1) ama eşit değildir, grafikte köşe oluşur. Sağda f(x) = x^1/3: fark oranı +∞'a ıraksar, teğet düşeydir; her iki fonksiyon da 0 noktasında süreklidir.

\(\blacksquare\)

UyarıSüreklilik türevlenebilirliği getirmez

Yukarıdaki üç fonksiyon — \((x-1)^{1/3}\), \(\sqrt{|x|}\) ve \(|x|\) — ilgili noktalarda süreklidir, ama türevlenebilir değildir. Yani süreklilik, türevlenebilirlik için yeterli bir koşul değildir. Ters yön doğrudur: türevlenebilirlik süreklilikten daha güçlü bir koşuldur ve türevlenebilen her fonksiyon o noktada süreklidir. Bu önermeyi bir sonraki bölümde teorem olarak ispatlayacağız; burada yalnızca aklımızda tutalım. Sürekli olup hiçbir noktada türevlenemeyen fonksiyonların da var olduğunu ekleyelim; bu tür örnekler, sezginin geometrik resimlerle ne kadar sınırlı olduğunu gösterir.

2.6 Gösterimler

Türev kavramı birden çok gelenekte, birden çok simgeyle yerleşti. Hepsi aynı nesneyi gösterir; hangisini kullanacağımız bağlama göre değişir.

Gösterim	Yazılışı	Vurgusu
Lagrange	\(f'(x)\), \(f''(x)\), \(f^{(n)}(x)\)	En yaygın kullanım; türevi yine bir fonksiyon olarak görür.
Leibniz	\(\dfrac{dy}{dx}\), \(\dfrac{d}{dx} f(x)\), \(\dfrac{df}{dx}\Big\vert_{x = x_0}\)	Değişim oranını ve hangi değişkene göre türev alındığını vurgular.
Newton	\(\dot{y}\), \(\ddot{y}\)	Fizikte, zamana göre türev için kullanılır.
Euler	\(D_x f\), \(Df\)	Türevi bir işlemci (operatör) olarak görür.

Leibniz gösterimi, \(y = f(x)\) yazıp \(\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)\) ve \(\Delta x = x - x_0\) kısaltmalarıyla fark oranını \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) biçiminde yazma alışkanlığından doğdu; \(\Delta \to d\) geçişi, “sonsuz küçük” farklara geçişi simgeler.

Notdy/dx bir kesir değildir

\(\dfrac{dy}{dx}\) gösterimi bir bölme işlemi gibi görünse de tek parça bir simgedir: bir limitin adıdır, iki sayının oranı değil. Zincir kuralında \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\) eşitliğinin “sadeleştirme” gibi görünmesi hoş bir kolaylıktır, ama ispat gerektirir — bunu Zincir Kuralı ve Ters Fonksiyonun Türevi bölümünde yapacağız. Sonsuz küçük büyüklüklerle serbestçe işlem yapmak, ancak bu eşitlikler ayrı ayrı ispatlandıktan sonra güvenlidir.

2.7 Tek Yönlü Türevler

Limitlerde olduğu gibi türevde de bir noktaya sağdan ve soldan ayrı ayrı yaklaşabiliriz. Bu, parçalı tanımlı fonksiyonlarda ve mutlak değer içeren ifadelerde vazgeçilmezdir: her parçanın kendi türevini hesaplar, sonra iki tarafın anlaşıp anlaşmadığına bakarız.

Tanım 2.6 (Sağ ve Sol Türev) \(A \subseteq \mathbb{R}\), \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in A\) olsun.

1. \(x_0\), \(A \cap (x_0, \infty)\) kümesinin bir yığılma noktası olsun. Aşağıdaki tek yönlü limit (bkz. Analiz 1) var ve bir reel sayı ise, bu değere \(f\)’nin \(x_0\) noktasındaki sağ türevi (right derivative) denir:

   \[f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} .\]

2. \(x_0\), \(A \cap (-\infty, x_0)\) kümesinin bir yığılma noktası olsun. Aşağıdaki limit var ve bir reel sayı ise, bu değere \(f\)’nin \(x_0\) noktasındaki sol türevi (left derivative) denir:

   \[f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} .\]

İkisine birlikte tek yönlü türevler denir.

Tanımda \(h\) ile \(x\) biçimlerinin denkliği, iki yönlü hâlde yaptığımız gözlemin aynısıdır: \(x = x_0 + h\) değiştirmesi \(0 < h < \delta\) koşulunu tam olarak \(x_0 < x < x_0 + \delta\) koşuluna çevirir; sol taraf için de aynısı geçerlidir.

İpucuUç noktalarda türev

\(f\), \([a, b]\) gibi kapalı bir aralıkta tanımlıysa uç noktalarda iki yönlü limit alınamaz; oralarda “türev” denince tek yönlü türev kastedilir: \(f'(a) := f'_+(a)\) ve \(f'(b) := f'_-(b)\). Ortalama değer teoremi gibi sonuçlarda “\([a,b]\) üzerinde sürekli, \((a,b)\) üzerinde türevlenebilir” biçimindeki hipotezler tam da bu ayrımı gözetmek içindir.

Şimdi tek yönlü türevlerin ne işe yaradığını söyleyen teoremi ispatlayalım. Tek yönlü limitler için elimizde zaten güçlü bir araç var; yapmamız gereken onu fark oranı fonksiyonuna uygulamaktan ibaret.

Teorem 2.1 (Türevin Varlığı ile Tek Yönlü Türevler) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık, \(f : I \to \mathbb{R}\), \(x_0 \in I\) ve \(L \in \mathbb{R}\) olsun. O hâlde

\[f'(x_0) = L \iff f'_+(x_0) \ \text{ve} \ f'_-(x_0) \ \text{vardır ve} \ f'_+(x_0) = f'_-(x_0) = L .\]

Başka bir deyişle: \(f\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir ancak ve ancak sağ ve sol türevlerin ikisi de var ve birbirine eşittir; bu durumda \(f'(x_0)\) ortak değere eşittir.

İspat

Fark oranı fonksiyonunu yazalım:

\[\varphi(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}, \qquad x \in I \setminus \{x_0\}.\]

Önce ön koşulları kontrol edelim. \(I\) açık olduğundan bir \(\rho > 0\) için \((x_0 - \rho, x_0 + \rho) \subseteq I\)’dir. Bu durumda her \(\delta > 0\) için, \(\delta' = \min\{\delta, \rho\}\) alarak, \(x_0 + \frac{\delta'}{2} \in I \cap (x_0, x_0 + \delta)\) ve \(x_0 - \frac{\delta'}{2} \in I \cap (x_0 - \delta, x_0)\) noktaları bulunur. Yani \(x_0\), hem \(I \setminus \{x_0\}\) kümesinin, hem \(I \cap (x_0, \infty)\) kümesinin, hem de \(I \cap (-\infty, x_0)\) kümesinin bir yığılma noktasıdır; üç limitten de söz etmek anlamlıdır.

Tanımlar gereği

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \varphi(x), \qquad f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \varphi(x), \qquad f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \varphi(x)\]

olduğundan iddia, \(\varphi\) fonksiyonuna Limitin Varlığı ile Sağ ve Sol Limitler uygulamaktan ibarettir: bir fonksiyonun bir noktadaki limiti vardır ve \(L\)’ye eşittir ancak ve ancak sağ ve sol limitleri var ve \(L\)’ye eşitse. Bu teoremin hipotezleri az önce doğrulandı.

Bağımsız okunabilmesi için akıl yürütmeyi açalım.

(\(\Rightarrow\)) \(f'(x_0) = L\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in I\) ve \(0 < |x - x_0| < \delta\) iken \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\)’dur. Şimdi \(x \in I\) ve \(x_0 < x < x_0 + \delta\) ise \(0 < x - x_0 = |x - x_0| < \delta\) olur, dolayısıyla \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\); bu, aynı \(\delta\) ile sağ limit tanımının sağlanması demektir, yani \(f'_+(x_0) = L\). Benzer biçimde \(x \in I\) ve \(x_0 - \delta < x < x_0\) ise \(0 < x_0 - x = |x - x_0| < \delta\) ve yine \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\); yani \(f'_-(x_0) = L\).

(\(\Leftarrow\)) \(f'_+(x_0) = f'_-(x_0) = L\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Sağ türev tanımından bir \(\delta_1 > 0\) vardır ki \(x \in I\), \(x_0 < x < x_0 + \delta_1\) iken \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\); sol türev tanımından bir \(\delta_2 > 0\) vardır ki \(x \in I\), \(x_0 - \delta_2 < x < x_0\) iken \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\)’dur. \(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\} > 0\) alalım ve \(x \in I\), \(0 < |x - x_0| < \delta\) olsun. \(|x - x_0| > 0\) olduğundan \(x \neq x_0\)’dır; üçlem yasası gereği ya \(x > x_0\) ya \(x < x_0\)’dır.

• \(x > x_0\) ise \(x_0 < x < x_0 + \delta \le x_0 + \delta_1\) olur ve sağ türevin koşulu \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\) verir.
• \(x < x_0\) ise \(x_0 - \delta_2 \le x_0 - \delta < x < x_0\) olur ve sol türevin koşulu \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\) verir.

Her iki hâlde de \(|\varphi(x) - L| < \varepsilon\)’dur; bu ise \(\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = L\), yani \(f'(x_0) = L\) demektir.

\(\blacksquare\)

Teoremin karşıt okunuşu, pratikte daha sık kullanılır: sağ ve sol türevler farklıysa türev yoktur. Örnek 2.6’te yaptığımız hesap tam olarak buydu; şimdi onu yeni dille yeniden ifade edelim. Orada \(f(x) = |x|\) için

\[f'_+(0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1, \qquad f'_-(0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1\]

bulmuştuk. Sağ ve sol türevlerin ikisi de vardır — yani fonksiyon her iki taraftan ayrı ayrı “düzgündür” — ama \(1 \neq -1\) olduğundan Teorem 2.1 gereği \(f'(0)\) yoktur. Grafikteki köşenin cebirsel karşılığı budur: iki tarafın eğimleri arasındaki uzlaşmazlık.

Şimdi tek yönlü türevlerin asıl kullanım alanına gelelim: parçalı tanımlı bir fonksiyonun türevlenebilir olması için parametrelerin nasıl seçilmesi gerektiğini bulmak.

Örnek 2.7 (Parçalı Fonksiyonda Parametre Belirleme) \(a, b \in \mathbb{R}\) olmak üzere

\[f(x) = \begin{cases} x^2, & x \le 1 \\ ax + b, & x > 1 \end{cases}\]

fonksiyonu verilsin. \(f\)’nin \(x_0 = 1\) noktasında türevlenebilir olması için \(a\) ve \(b\) ne olmalıdır?

Çözüm

\(f(1) = 1^2 = 1\)’dir. Teorem 2.1 gereği aranan koşul, \(f'_+(1)\) ve \(f'_-(1)\)’in var ve eşit olmasıdır.

Sol türev. \(h < 0\) için \(1 + h < 1\), dolayısıyla \(f(1+h) = (1+h)^2\)’dir. O hâlde

\[\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{(1+h)^2 - 1}{h} = \frac{2h + h^2}{h} = 2 + h \xrightarrow[\;h \to 0^-\;]{} 2 .\]

Yani \(f'_-(1) = 2\)’dir; bu, \(x^2\)’nin \(1\)’deki türeviyle uyumludur.

Sağ türev. \(h > 0\) için \(1 + h > 1\), dolayısıyla \(f(1+h) = a(1+h) + b\)’dir. O hâlde

\[\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{a + ah + b - 1}{h} = a + \frac{a + b - 1}{h} .\]

Şimdi \(a + b - 1 \neq 0\) olsaydı, \(h \to 0^+\) iken \(\frac{a+b-1}{h}\) ifadesi \(+\infty\) ya da \(-\infty\)’a giderdi ve sağ türev var olmazdı. Bu adımı bağımsız bir gerekçeyle de görebiliriz: sağ türev varsa, \(h > 0\) için

\[f(1+h) - f(1) = h \cdot \frac{f(1+h) - f(1)}{h} \xrightarrow[\;h \to 0^+\;]{} 0 \cdot f'_+(1) = 0\]

olur (bkz. Analiz 1), yani \(f\) mutlaka \(1\)’de sağdan süreklidir. Sağdan süreklilik \(\lim_{h \to 0^+} \big( a(1+h) + b \big) = a + b = f(1) = 1\) demektir. Her iki yol da aynı zorunlu koşulu verir:

\[a + b = 1 .\]

Bu koşul altında pay sadeleşir ve \(h > 0\) için fark oranı sabit \(a\) olur; dolayısıyla \(f'_+(1) = a\)’dır.

Eşitleme. \(f'_+(1) = f'_-(1)\) koşulu \(a = 2\) verir; \(a + b = 1\)’den \(b = 1 - a = -1\) bulunur. O hâlde

\[a = 2, \qquad b = -1 .\]

Doğrulama. Bu değerlerle \(f(x) = x^2\) (\(x \le 1\)), \(f(x) = 2x - 1\) (\(x > 1\)) olur. \(x \to 1^+\) iken \(2x - 1 \to 1 = f(1)\) olduğundan \(f\) süreklidir; sağ ve sol türevler \(2\)’ye eşit olduğundan Teorem 2.1 gereği \(f'(1) = 2\)’dir. Geometrik olarak, \(y = 2x - 1\) doğrusu \(y = x^2\) parabolünün \((1,1)\) noktasındaki teğetidir (Örnek 2.3); parçalı fonksiyon, parabolden tam da teğeti üzerinden çıkmaktadır. Bir eğriden çıkıp başka bir eğriye “kırılmadan” geçmenin anlamı budur.

Yalnızca sürekli olmasını isteseydik tek koşul \(a + b = 1\) olurdu ve sonsuz çok \((a,b)\) çifti işe yarardı; örneğin \(a = 0\), \(b = 1\) seçimi sürekli ama \(1\)’de türevlenemeyen (köşeli) bir fonksiyon verir. Türevlenebilirlik, sürekliliğin üzerine bir koşul daha koyar ve çözümü teke indirir.

\(\blacksquare\)

2.8 Türev için Dizisel Ölçüt

Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olmadığını göstermek için ε–δ ile uğraşmak ya da tek yönlü türevleri ayrı ayrı hesaplamak her zaman en kısa yol değildir. Çoğu zaman en pratik araç dizilerdir: tek bir uygunsuz dizi bulmak yeter. Analiz 1’de fonksiyon limitleri için ispatladığımız dizisel ölçütü (bkz. Analiz 1, Genel Dizisel Ölçüt) fark oranı fonksiyonuna uygulayalım.

Teorem 2.2 (Türev için Dizisel Ölçüt) \(I \subseteq \mathbb{R}\) açık, \(f : I \to \mathbb{R}\) ve \(x_0 \in I\) olsun. Aşağıdaki iki ifade denktir.

1. \(f\), \(x_0\) noktasında türevlenebilirdir.

2. \(x_0\)’a yakınsayan, terimleri \(I\) içinde olan ve \(x_n \neq x_0\) koşulunu sağlayan her \((x_n)\) dizisi için

   \[\left( \frac{f(x_n) - f(x_0)}{x_n - x_0} \right)_{n \in \mathbb{N}}\]

   dizisi yakınsaktır.

Bu durumda söz konusu bütün dizi limitleri birbirine ve \(f'(x_0)\)’a eşittir.

İspat

Yine \(\varphi(x) = \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\) (\(x \in I \setminus \{x_0\}\)) yazalım. Teorem 2.1’in ispatında gördüğümüz gibi \(x_0\), \(I \setminus \{x_0\}\) kümesinin bir yığılma noktasıdır; dolayısıyla istenen türden diziler vardır (örneğin \((x_0 - \rho, x_0 + \rho) \subseteq I\) için \(x_n = x_0 + \frac{\rho}{n+1}\)).

(1) ⟹ (2). \(f\) türevlenebilir olsun, yani \(\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = f'(x_0)\) olsun. \((x_n)\), koşulları sağlayan bir dizi olsun. Dizisel Ölçüt (Heine Ölçütü) gereği \(\varphi(x_n) \to f'(x_0)\)’dır. Böylece hem yakınsaklık hem de ortak limit değeri elde edilir.

(2) ⟹ (1). Önce bütün limitlerin aynı olduğunu gösterelim; ifade (2) bunu doğrudan söylemiyor, ama içeriyor.

\((x_n)\) ve \((y_n)\), koşulları sağlayan iki dizi olsun; varsayım gereği \(\varphi(x_n) \to A\) ve \(\varphi(y_n) \to B\) olacak biçimde \(A, B \in \mathbb{R}\) vardır. İki diziyi şöyle örelim:

\[z_1 = x_1, \quad z_2 = y_1, \quad z_3 = x_2, \quad z_4 = y_2, \quad \ldots\]

yani \(z_{2k-1} = x_k\) ve \(z_{2k} = y_k\) olsun. Her \(n\) için \(z_n \in I\) ve \(z_n \neq x_0\)’dır. Ayrıca \((z_n)\) dizisi \(x_0\)’a yakınsar: \(\varepsilon > 0\) verildiğinde, \(k \ge N_1\) için \(|x_k - x_0| < \varepsilon\) ve \(k \ge N_2\) için \(|y_k - x_0| < \varepsilon\) olacak biçimde \(N_1, N_2\) seçilir; \(N = 2\max\{N_1, N_2\}\) alındığında \(n \ge N\) olan her indis, indisi \(\max\{N_1,N_2\}\)’den küçük olmayan bir \(x_k\) ya da \(y_k\) terimine karşılık gelir, dolayısıyla \(|z_n - x_0| < \varepsilon\) olur (bkz. Analiz 1).

O hâlde \((z_n)\) da varsayımın koşullarını sağlar; (2) gereği \(\big( \varphi(z_n) \big)\) dizisi yakınsaktır, limiti \(C\) olsun. \(\big( \varphi(x_n) \big)\) ve \(\big( \varphi(y_n) \big)\) dizileri \(\big( \varphi(z_n) \big)\)’nin birer alt dizisidir; yakınsak bir dizinin her alt dizisi aynı limite yakınsadığından (bkz. Analiz 1) \(A = C\) ve \(B = C\), yani \(A = B\) bulunur.

Demek ki ortak bir \(L \in \mathbb{R}\) sayısı vardır ve koşulları sağlayan her \((x_n)\) dizisi için \(\varphi(x_n) \to L\)’dir. Bu tam olarak dizisel ölçütün ikinci koşuludur; o hâlde \(\lim_{x \to x_0} \varphi(x) = L\)’dir. Limit bir reel sayı olduğundan \(f\), \(x_0\)’da türevlenebilirdir ve \(f'(x_0) = L\)’dir.

\(\blacksquare\)

Teoremin türevsizlik göstermedeki kullanımı doğrudandır: fark oranı dizisi ıraksayan tek bir \((x_n)\) dizisi bulmak, ya da farklı limitler veren iki dizi bulmak yeter. İkinci yol, ispatın örgü argümanı sayesinde birinciye indirgenir.

Örnek 2.8 (Mutlak Değer Fonksiyonu için Dizisel Ölçüt) \(f(x) = |x|\) fonksiyonunun \(x_0 = 0\) noktasında türevlenemez olduğunu dizisel ölçütle gösterin.

Çözüm

\(x_n = \dfrac{(-1)^n}{n}\) dizisini alalım (\(n \ge 1\)). Her \(n\) için \(x_n \neq 0\)’dır ve \(|x_n| = \frac{1}{n} \to 0\) olduğundan \(x_n \to 0\)’dır; yani dizi Teorem 2.2’ün istediği koşulları sağlar.

Fark oranı dizisini hesaplayalım. \(f(0) = 0\) ve \(|x_n| = \frac{1}{n}\) olduğundan

\[\frac{f(x_n) - f(0)}{x_n - 0} = \frac{\left| \frac{(-1)^n}{n} \right|}{\frac{(-1)^n}{n}} = \frac{\frac{1}{n}}{\frac{(-1)^n}{n}} = \frac{1}{(-1)^n} = (-1)^n\]

bulunur; son adımda \((-1)^n \in \{-1, 1\}\) ve \(\frac{1}{-1} = -1\), \(\frac{1}{1} = 1\) olduğu kullanıldı.

\(\big( (-1)^n \big)\) dizisi \(-1, 1, -1, 1, \ldots\) biçiminde salınır ve yakınsak değildir: yakınsak olsaydı, çift indisli alt dizinin limiti \(1\), tek indisli alt dizinin limiti \(-1\) olurdu; Yakınsak Dizinin Her Alt Dizisi Aynı Limite Yakınsar gereği bu iki değer eşit olmak zorunda kalırdı, oysa \(1 \neq -1\)’dir.

Fark oranı dizisi ıraksadığından, Teorem 2.2 gereği \(f\) fonksiyonu \(0\) noktasında türevlenebilir değildir. Bu, Örnek 2.6’teki sonucu tek bir dizi seçerek yeniden elde etmiş oldu. Buradaki dizinin marifeti, \(0\)’a bir sağdan bir soldan yaklaşmasıdır; böylece iki tarafın uyuşmazlığı tek bir dizinin salınımına dönüşür.

\(\blacksquare\)

2.9 Salınımlı Bir Örnek

Şimdiye kadarki türevsizlik örnekleri, sezgiyi “grafik kırılırsa ya da dikleşirse türev yok” biçiminde şekillendirdi. Bu sezgi eksiktir: bir fonksiyon bir noktanın yakınında sonsuz kez salınabilir, hiçbir aralıkta monoton olmayabilir ve yine de o noktada türevlenebilir olabilir. Aşağıdaki örnek, ileride birçok karşıt örneğin kaynağı olacak.

Örnek 2.9 (Sonsuz Salınan ama Türevlenebilen Bir Fonksiyon) \[f(x) = \begin{cases} x^2 \sin \dfrac{1}{x}, & x \neq 0 \\[4pt] 0, & x = 0 \end{cases}\]

fonksiyonunun \(0\) noktasında türevlenebilir olduğunu ve \(f'(0) = 0\) olduğunu gösterin.

Çözüm

\(f(0) = 0\) olduğundan \(x \neq 0\) için fark oranı

\[\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{x^2 \sin \frac{1}{x}}{x} = x \sin \frac{1}{x}\]

biçimindedir. Her \(t \in \mathbb{R}\) için \(|\sin t| \le 1\) olduğundan \(x \mapsto \sin \frac{1}{x}\) fonksiyonu \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) üzerinde sınırlıdır; ayrıca \(\lim_{x \to 0} x = 0\)’dır. Sınırlı Fonksiyon Çarpı Sıfıra Giden Fonksiyon gereği sınırlı bir fonksiyonla sıfıra giden bir fonksiyonun çarpımı sıfıra gider:

\[\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0 .\]

Aynı sonucu sıkıştırmayla da elde edebiliriz: \(x \neq 0\) için

\[-|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x|\]

ve \(\lim_{x \to 0} (-|x|) = \lim_{x \to 0} |x| = 0\) olduğundan Sıkıştırma Teoremi aynı limiti verir.

Limit var ve bir reel sayı olduğundan \(f\), \(0\) noktasında türevlenebilirdir ve

\[f'(0) = 0 .\]

Bu, ilk bakışta şaşırtıcıdır: \(f\), \(0\)’ın her komşuluğunda sonsuz kez işaret değiştirir, sonsuz kez yerel maksimum ve minimum yapar, hiçbir aralıkta monoton değildir. Buna rağmen \(x^2\) çarpanı salınımı öyle hızlı bastırır ki grafik, orijinde \(y = 0\) doğrusuna birinci mertebeden yapışır: \(|f(x) - 0| \le x^2\) olduğundan hata \(|x|\)’ten çok daha hızlı söner.

Öte yandan \(x \neq 0\) için \(f\)’nin türevi — sonraki bölümlerdeki çarpım ve zincir kurallarıyla hesaplanacağı üzere —

\[f'(x) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}\]

olur; \(x \to 0\) iken ilk terim sıfıra gider ama \(\cos \frac{1}{x}\) terimi \(-1\) ile \(1\) arasında salınmaya devam eder ve bir limiti yoktur. Yani \(f'\) fonksiyonu \(0\) noktasında sürekli değildir, üstelik \(f'(0)\) vardır. Türevlenebilir bir fonksiyonun türevinin sürekli olmak zorunda olmadığı gerçeğini ilk kez burada görüyoruz; bu ayrımın ayrıntılarını ve \(C^1\) sınıfının tanımını Yüksek Mertebeden Türevler ve Leibniz Kuralı bölümünde ele alacağız.

\(\blacksquare\)

NotÜç düzey

Bu bölümdeki örnekler, giderek daralan üç sınıfı ayırt etmemizi sağladı: bir noktada süreksiz fonksiyonlar; sürekli ama türevlenemeyen fonksiyonlar (\(|x|\), \(\sqrt{|x|}\), \((x-1)^{1/3}\)); türevlenebilir ama türevi sürekli olmayan fonksiyonlar (\(x^2 \sin \frac{1}{x}\)). Analizin ilerleyen bölümlerinde bu basamakların her biri ayrı bir teorem ailesine karşılık gelecek.

2.10 Alıştırmalar

Alıştırma 2.1 (Türev Kavramı Üzerine)  

1. \(f(x) = x^3\) fonksiyonunun her \(x_0 \in \mathbb{R}\) noktasındaki türevini yalnızca tanımdan hesaplayın.

2. \(f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) fonksiyonunun \(x_0 > 0\) noktasındaki türevini tanımdan hesaplayın.

3. \(f(x) = x|x|\) fonksiyonunun \(0\) noktasında türevlenebilir olduğunu gösterin ve \(f'\) türev fonksiyonunu bulun.

4. \(c, d \in \mathbb{R}\) olmak üzere

\[f(x) = \begin{cases} cx + d, & x < 1 \\ \dfrac{1}{x}, & x \ge 1 \end{cases}\]

fonksiyonunun \(1\) noktasında türevlenebilir olması için \(c\) ve \(d\) ne olmalıdır?

5. \(f(x) = x\) (\(x \in \mathbb{Q}\)), \(f(x) = 0\) (\(x \notin \mathbb{Q}\)) biçiminde tanımlanan fonksiyonun \(0\) noktasında sürekli, ama türevlenebilir olmadığını gösterin.

6. \(\dfrac{1}{2{,}01}\) sayısını, \(g(x) = \frac{1}{x}\) fonksiyonunun \(x_0 = 2\) noktasındaki doğrusallaştırmasıyla yaklaşık hesaplayın ve hatanın tam değerini bulun.

Çözüm

a) \(x^3 - x_0^3 = (x - x_0)(x^2 + x x_0 + x_0^2)\) çarpanlamasını kullanalım. \(x \neq x_0\) için

\[\frac{x^3 - x_0^3}{x - x_0} = x^2 + x x_0 + x_0^2 .\]

Sağdaki ifade \(x\)’in bir polinomudur; Polinomun Limiti gereği

\[f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \left( x^2 + x x_0 + x_0^2 \right) = x_0^2 + x_0^2 + x_0^2 = 3x_0^2 .\]

Yani \((x^3)' = 3x^2\)’dir.

b) \(x, x_0 > 0\) ve \(x \neq x_0\) olsun. Payı ortak paydada toplayıp sonra eşlenikle genişletelim:

\[\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x_0}}}{x - x_0} = \frac{\frac{\sqrt{x_0} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x_0}}}{x - x_0} = \frac{\sqrt{x_0} - \sqrt{x}}{\sqrt{x}\sqrt{x_0}\,(x - x_0)} .\]

Şimdi \(\sqrt{x_0} - \sqrt{x} = \dfrac{x_0 - x}{\sqrt{x_0} + \sqrt{x}} = \dfrac{-(x - x_0)}{\sqrt{x} + \sqrt{x_0}}\) yazıp yerine koyalım:

\[\frac{\frac{1}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x_0}}}{x - x_0} = \frac{-(x - x_0)}{\sqrt{x}\sqrt{x_0}\,(x - x_0)\,(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} = \frac{-1}{\sqrt{x}\sqrt{x_0}\,(\sqrt{x} + \sqrt{x_0})} .\]

Karekök sürekli olduğundan (bkz. Analiz 1) \(x \to x_0\) iken payda \(\sqrt{x_0}\cdot\sqrt{x_0}\cdot 2\sqrt{x_0} = 2 x_0 \sqrt{x_0} \neq 0\)’a gider. Limitlerde Cebirsel İşlemler ile

\[f'(x_0) = \frac{-1}{2 x_0 \sqrt{x_0}} = -\frac{1}{2 x_0^{3/2}} .\]

c) \(f(0) = 0\)’dır. \(x \neq 0\) için fark oranı

\[\frac{x|x| - 0}{x - 0} = |x|\]

olur ve \(\lim_{x \to 0} |x| = 0\)’dır. Limit var ve reel olduğundan \(f\), \(0\)’da türevlenebilirdir ve \(f'(0) = 0\)’dır.

Diğer noktalarda: \(x_0 > 0\) ise \(x_0\)’ın bir komşuluğunda \(f(x) = x^2\)’dir ve türev yalnızca \(x_0\) civarındaki değerlere bağlı olduğundan Örnek 2.1 gereği \(f'(x_0) = 2x_0\); \(x_0 < 0\) ise benzer biçimde \(f(x) = -x^2\) ve fark oranı

\[\frac{-x^2 + x_0^2}{x - x_0} = \frac{-(x - x_0)(x + x_0)}{x - x_0} = -(x + x_0) \xrightarrow[\;x \to x_0\;]{} -2x_0\]

verir. Üç durumu birleştirirsek

\[f'(x) = 2|x|, \qquad x \in \mathbb{R}\]

bulunur. Dikkat: \(f' = 2|x|\) her yerde süreklidir ama \(0\)’da türevlenemez; yani \(f\) birinci mertebeden düzgündür, ikinci mertebeden değil.

d) \(f(1) = 1\)’dir.

Sağ türev. \(h > 0\) için \(f(1+h) = \frac{1}{1+h}\) olduğundan

\[\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{\frac{1}{1+h} - 1}{h} = \frac{\frac{1 - (1+h)}{1+h}}{h} = \frac{-h}{h(1+h)} = \frac{-1}{1+h} \xrightarrow[\;h \to 0^+\;]{} -1 .\]

Yani \(f'_+(1) = -1\)’dir; bu, Örnek 2.2’teki \(g'(1) = -1\) sonucuyla uyumludur.

Sol türev. \(h < 0\) için \(f(1+h) = c(1+h) + d\) olduğundan

\[\frac{f(1+h) - f(1)}{h} = \frac{c + ch + d - 1}{h} = c + \frac{c + d - 1}{h} .\]

Sol türevin var olması için \(c + d - 1 = 0\) olmalıdır; aksi hâlde \(h \to 0^-\) iken ifade sınırsız büyür. Bu koşul altında \(f'_-(1) = c\)’dir.

Eşitleme. \(c = -1\) ve \(c + d = 1\)’den \(d = 2\) bulunur. O hâlde \(c = -1\), \(d = 2\)’dir ve bu değerlerle \(f'(1) = -1\) olur. Beklendiği gibi \(y = -x + 2\) doğrusu, \(y = \frac{1}{x}\) eğrisinin \((1,1)\) noktasındaki teğetidir.

e) Süreklilik. Her \(x\) için \(|f(x)| \le |x|\)’tir: \(x\) rasyonelse \(|f(x)| = |x|\), değilse \(|f(x)| = 0 \le |x|\). O hâlde \(-|x| \le f(x) \le |x|\) ve Sıkıştırma Teoremi gereği \(\lim_{x \to 0} f(x) = 0 = f(0)\); yani \(f\), \(0\)’da süreklidir (bkz. Analiz 1).

Türevlenemezlik. \(f(0) = 0\) olduğundan \(x \neq 0\) için fark oranı

\[\frac{f(x) - f(0)}{x - 0} = \frac{f(x)}{x} = \begin{cases} 1, & x \in \mathbb{Q} \\ 0, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]

olur. \(x_n = \frac{1}{n}\) dizisi \(0\)’a yakınsar, terimleri sıfırdan farklı ve rasyoneldir; fark oranı dizisi sabit \(1\), limiti \(1\)’dir. \(y_n = \frac{\sqrt{2}}{n}\) dizisi de \(0\)’a yakınsar, terimleri sıfırdan farklı ve irrasyoneldir (rasyonel olsaydı \(\sqrt{2} = n y_n\) rasyonel olurdu); fark oranı dizisi sabit \(0\), limiti \(0\)’dır.

İki dizi farklı limitler verdiğinden, Teorem 2.2’ün ispatındaki örgü argümanı gereği bu iki diziyi ardışık yerleştirerek elde edilen dizi için fark oranları \(1, 0, 1, 0, \ldots\) biçiminde salınır ve ıraksar. Dolayısıyla \(f\), \(0\) noktasında türevlenebilir değildir. (Aynı sonuç doğrudan da görülür: fark oranının \(0\)’daki limiti olsaydı, Dizisel Ölçüt (Heine Ölçütü) gereği bütün diziler aynı limiti vermeliydi.)

f) \(g(x) = \frac{1}{x}\) için Örnek 2.2’ten \(g'(x) = -\frac{1}{x^2}\), dolayısıyla \(g(2) = \frac{1}{2}\) ve \(g'(2) = -\frac{1}{4}\)’tür. Doğrusallaştırma

\[L(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4}(x - 2)\]

olur ve

\[\frac{1}{2{,}01} \approx L(2{,}01) = \frac{1}{2} - \frac{0{,}01}{4} = 0{,}5 - 0{,}0025 = 0{,}4975\]

bulunur. Hatanın tam değeri:

\[\frac{1}{2{,}01} - 0{,}4975 = \frac{1 - 0{,}4975 \cdot 2{,}01}{2{,}01} = \frac{1 - 0{,}999975}{2{,}01} = \frac{0{,}000025}{2{,}01} \approx 0{,}0000124 .\]

Girdideki \(0{,}01\)’lik sapmaya karşılık hata \(10^{-5}\) mertebesindedir; yaklaşım gerçek değerin altındadır.

\(\blacksquare\)

Türevi tanımdan hesaplamak kavramı anlamak için şarttır, ama her fonksiyon için fark oranını elle sadeleştirmek uzun sürer. Bir sonraki bölümde toplama, çarpma ve bölmenin türevle nasıl uyuştuğunu göstererek bu işi mekanikleştireceğiz: Türev Alma Kuralları.