43 Kuvvet Serilerinin Özellikleri
Kuvvet Serileri ve Yakınsaklık Yarıçapı bölümünde bir kuvvet serisinin yakınsaklık kümesinin şaşırtıcı derecede düzenli olduğunu gördük: her \(\sum a_n (x - x_0)^n\) serisi için öyle bir \(R \in [0, +\infty]\) sayısı vardır ki seri \(|x - x_0| < R\) olan her noktada mutlak yakınsar, \(|x - x_0| > R\) olan hiçbir noktada yakınsamaz. Böylece açık \((x_0 - R,\, x_0 + R)\) aralığı üzerinde bir
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\]
fonksiyonu tanımlanır. Bu bölümün sorusu şudur: bu \(f\) nasıl bir fonksiyondur?
Yanıt, alınabilecek en iyi yanıttır. \(f\) yalnızca sürekli değildir; yakınsaklık aralığında sonsuz kez türevlenebilirdir, türevi ve integrali seriyi terim terim türeterek ve integralleyerek bulunur, üstelik bu işlemler yakınsaklık yarıçapını hiç değiştirmez. Kısacası bir kuvvet serisi, sonsuz dereceli bir polinom gibi davranır. Bu, sonsuz toplamlarda hiç de olağan bir durum değildir; sonsuz bir toplamın terim terim türetilebilmesi için ciddi bir gerekçe gerekir.
O gerekçeyi düzgün yakınsaklık (uniform convergence) kavramı sağlar. Düzgün yakınsaklık kuramının tamamı Analiz 3’ün konusudur; burada yalnızca ihtiyacımız olan kadarını — tanımı, Weierstrass M-testini ve düzgün limitin sürekliliği sonucunu — ifade edip ispatlayacağız. İkisi de birkaç satırdır ve kuvvet serilerine uygulandığında bütün bölümün kapısını açar.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: bir fonksiyon dizisinin düzgün yakınsaması ne demektir; Weierstrass M-testi ve bir kuvvet serisinin her kapalı alt aralıkta düzgün yakınsaması; toplam fonksiyonunun sürekliliği; terim terim türev ve integral teoremleri ve türev serisinin yarıçapının \(\sqrt[n]{n} \to 1\) sayesinde değişmediğinin ispatı; toplam fonksiyonunun \(C^\infty\) olması; katsayıların tekliği ve \(a_n = f^{(n)}(x_0)/n!\) formülü; bilinen serilerden türev ve integralle yeni toplam fonksiyonları üretme; son olarak uç noktalarda ne olduğunu söyleyen Abel limit teoremi ve onun iki ünlü meyvesi:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \ln 2, \qquad \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \frac{\pi}{4}.\]
\(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) bir kuvvet serisi ve \(R\) onun yakınsaklık yarıçapı olsun.
- Yakınsaklık aralığı. Seri \(|x - x_0| < R\) için mutlak yakınsar, \(|x - x_0| > R\) için ıraksar; \(|x - x_0| = R\) olan iki uç noktada her şey olabilir.
- Cauchy–Hadamard formülü. \(\dfrac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\) (burada \(1/0 = +\infty\) ve \(1/(+\infty) = 0\) okunur).
- İçeride mutlak yakınsaklık. \(0 < \rho < R\) ise \(\sum_{n \ge 0} |a_n| \rho^n\) yakınsaktır. Aşağıda tekrar tekrar kullanacağımız temel gözlem budur.
Gösterimi hafifletmek için ispatlarda çoğu zaman \(x_0 = 0\) alacağız; \(t = x - x_0\) ötelemesi genel durumu buna indirger.
43.1 Düzgün Yakınsaklık: Gerektiği Kadarı
Bir fonksiyon serisinin her noktada yakınsaması ile “topluca” yakınsaması arasındaki fark, bu bölümün bütün teoremlerinin dayandığı ayrımdır. Farkı görmek için önce iki kavramı yan yana tanımlayalım.
Tanım 43.1 (Noktasal ve Düzgün Yakınsaklık) \(A \subseteq \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme, \(g_N : A \to \mathbb{R}\) (\(N \in \mathbb{N}\)) fonksiyonlar ve \(g : A \to \mathbb{R}\) olsun.
\((g_N)\) dizisi \(g\)’ye \(A\) üzerinde noktasal yakınsar (pointwise convergence) denir, eğer her \(x \in A\) için \(\lim_{N \to \infty} g_N(x) = g(x)\) ise; açık yazımıyla: her \(x \in A\) ve her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_0 = N_0(\varepsilon, x)\) vardır ki \(N \ge N_0\) olduğunda \(|g_N(x) - g(x)| < \varepsilon\) olur.
\((g_N)\) dizisi \(g\)’ye \(A\) üzerinde düzgün yakınsar (uniform convergence) denir, eğer her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_0 = N_0(\varepsilon)\) varsa ki \(N \ge N_0\) olan her \(N\) ve her \(x \in A\) için \(|g_N(x) - g(x)| < \varepsilon\) sağlanır. Bu, denk olarak
\[\sup_{x \in A} |g_N(x) - g(x)| \xrightarrow[N \to \infty]{} 0\]
demektir.
Bir \(\sum_{n \ge 0} f_n\) fonksiyon serisinin \(A\) üzerinde düzgün yakınsak olması, kısmi toplamlar dizisi \(s_N = \sum_{n=0}^{N} f_n\)’nin \(A\) üzerinde düzgün yakınsaması demektir.
İki tanım arasındaki tek fark, \(N_0\)’ın \(x\)’e bağlı olup olmamasıdır; ama bütün mesele budur. Noktasal yakınsaklıkta hızlar noktadan noktaya sınırsızca yavaşlayabilir; düzgün yakınsaklıkta ise tek bir \(N_0\) bütün noktalara birden yeter: \(N \ge N_0\) olduğunda \(g_N\)’nin grafiği, \(g\)’nin grafiği etrafına çizilmiş \(\varepsilon\) genişliğindeki şeridin tamamen içindedir.
Düzgün yakınsaklığı elde etmenin en pratik yolu, terimleri \(x\)’ten bağımsız sayılarla baskılamaktır. Bu fikri söyleyen ölçüt Weierstrass’a aittir.
Teorem 43.1 (Weierstrass M-Testi) \(A \subseteq \mathbb{R}\) ve \(f_n : A \to \mathbb{R}\) (\(n \ge 0\)) olsun. Öyle \(M_n \ge 0\) sayıları bulunsun ki
\[|f_n(x)| \le M_n \quad \text{(her } x \in A \text{ ve her } n \text{ için)} \qquad \text{ve} \qquad \sum_{n=0}^{\infty} M_n < \infty\]
olsun. O hâlde \(\sum_{n \ge 0} f_n\) serisi \(A\) üzerinde hem mutlak hem de düzgün yakınsar.
İspat
Adım 1: Yakınsaklık. \(x \in A\) sabit olsun. Her \(n\) için \(|f_n(x)| \le M_n\) ve \(\sum M_n\) yakınsak olduğundan, karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği \(\sum_{n \ge 0} |f_n(x)|\) yakınsaktır. Mutlak yakınsak bir seri yakınsak olduğundan (Teorem 39.1) \(\sum_{n \ge 0} f_n(x)\) de yakınsar; toplamına \(f(x)\) diyelim. Böylece \(f : A \to \mathbb{R}\) tanımlanmış olur ve seri \(A\) üzerinde mutlak yakınsaktır.
Adım 2: Kalanın tekdüze tahmini. \(s_N(x) = \sum_{n=0}^{N} f_n(x)\) kısmi toplamı olsun. \(x \in A\) ve \(N \in \mathbb{N}\) için
\[f(x) - s_N(x) = \sum_{n=N+1}^{\infty} f_n(x)\]
serinin kalanıdır (Tanım 34.3). Sonlu toplamlar için üçgen eşitsizliği (bkz. Analiz 1) her \(m > N\) için
\[\left| \sum_{n=N+1}^{m} f_n(x) \right| \le \sum_{n=N+1}^{m} |f_n(x)| \le \sum_{n=N+1}^{m} M_n \le \sum_{n=N+1}^{\infty} M_n =: r_N\]
verir. Sol taraf \(m \to \infty\) iken \(|f(x) - s_N(x)|\)’e yakınsar; limitte eşitsizlik korunduğundan her \(x \in A\) için \(|f(x) - s_N(x)| \le r_N\)’dir. Dikkat edilecek tek şey, \(r_N\) sayısının \(x\)’ten bağımsız olmasıdır; bütün iş buradadır.
Adım 3: Kalan sıfıra gider. \(\sum M_n\) yakınsak olduğundan kalanı sıfıra gider: \(r_N \to 0\). (Aynı sonuç Cauchy ölçütünden de okunur: Teorem 34.3 gereği verilen \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(N_0\) vardır ki \(m > N \ge N_0\) olduğunda \(\sum_{n=N+1}^{m} M_n < \varepsilon\) olur; \(m \to \infty\) ile \(r_N \le \varepsilon\) çıkar.) Öyleyse \(\varepsilon > 0\) verildiğinde \(N \ge N_0\) için \(r_N < \varepsilon\) olacak bir \(N_0\) seçilir ve bu \(N\)’ler için
\[\sup_{x \in A} |f(x) - s_N(x)| \le r_N < \varepsilon\]
olur. Bu tam olarak \(s_N \to f\) düzgün yakınsaklığıdır (Tanım 43.1).
\(\blacksquare\)
Şimdi M-testini kuvvet serilerine uygulayalım. Uygulama neredeyse kendiliğindendir: yakınsaklık yarıçapının içinde kalan bir kapalı aralıkta \(|x - x_0|^n \le \rho^n\) olur ve \(\sum |a_n| \rho^n\) zaten yakınsaktır.
Teorem 43.2 (Kapalı Alt Aralıkta Düzgün Yakınsaklık) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R > 0\) olsun. \(0 < \rho < R\) olan her \(\rho\) için seri
\[[x_0 - \rho,\ x_0 + \rho]\]
kapalı aralığı üzerinde mutlak ve düzgün yakınsar.
İspat
\(A = [x_0 - \rho,\, x_0 + \rho]\) ve \(f_n(x) = a_n (x - x_0)^n\) diyelim. \(x \in A\) ise \(|x - x_0| \le \rho\) olduğundan
\[|f_n(x)| = |a_n|\,|x - x_0|^n \le |a_n| \rho^n =: M_n\]
olur ve \(M_n\) sayıları \(x\)’ten bağımsızdır. \(\rho < R\) olduğundan seri \(x = x_0 + \rho\) noktasında mutlak yakınsaktır, yani
\[\sum_{n=0}^{\infty} M_n = \sum_{n=0}^{\infty} |a_n| \rho^n < \infty.\]
Weierstrass M-testinin (Teorem 43.1) iki koşulu da sağlandı; öyleyse \(\sum a_n (x - x_0)^n\) serisi \(A\) üzerinde mutlak ve düzgün yakınsar.
\(\blacksquare\)
Teorem, \([x_0 - \rho, x_0 + \rho]\) kapalı aralıkları için düzgün yakınsaklık verir; açık \((x_0 - R, x_0 + R)\) aralığının tamamı için değil. Bu bir ihmal değil, gerçek bir sınırdır.
Geometrik seriyi alalım: \(\sum_{n \ge 0}x^n\), \(R = 1\) ve \(|x| < 1\) için \(f(x) = \dfrac{1}{1-x}\) (Teorem 34.5). \(s_N(x) = \dfrac{1 - x^{N+1}}{1-x}\) olduğundan
\[f(x) - s_N(x) = \frac{x^{N+1}}{1-x}\]
olur. Sabit bir \(N\) için \(x \to 1^-\) iken pay \(1\)’e, payda \(0^+\)’a gider; dolayısıyla her \(N\) için \(\sup_{|x| < 1}|f(x) - s_N(x)| = +\infty\)’dur. Bu supremum sıfıra gitmek şöyle dursun sonlu bile değildir: yakınsaklık \((-1,1)\) üzerinde düzgün değildir. Buna karşın \(\rho < 1\) için \([-\rho,\rho]\) üzerinde
\[\sup_{|x| \le \rho} \left| \frac{x^{N+1}}{1-x} \right| \le \frac{\rho^{N+1}}{1 - \rho} \longrightarrow 0\]
olur; Teorem 43.2’in söylediği tam olarak budur. Aşağıdaki sonuçlar için bu yerel düzgünlük yeter, çünkü süreklilik, türev ve integral yerel kavramlardır: bir noktadaki davranışı belirlemek için o noktayı içeren küçük bir kapalı aralık her zaman yeter.
Düzgün yakınsaklığın neden bu kadar değerli olduğunu şu teorem gösterir: düzgün limit, sürekliliği korur. Noktasal limit korumaz — \(g_N(x) = x^N\) dizisi \([0,1]\) üzerinde noktasal olarak \(x < 1\) için \(0\), \(x = 1\) için \(1\) olan süreksiz fonksiyona yakınsar; her \(g_N\) sürekli olduğu hâlde.
Teorem 43.3 (Düzgün Limit Sürekliliği Korur) \(A \subseteq \mathbb{R}\), \(g_N : A \to \mathbb{R}\) fonksiyonları \(g : A \to \mathbb{R}\)’ye \(A\) üzerinde düzgün yakınsasın. Her \(g_N\) bir \(c \in A\) noktasında sürekliyse, \(g\) de \(c\)’de süreklidir. Özel olarak her \(g_N\), \(A\) üzerinde sürekliyse \(g\) de \(A\) üzerinde süreklidir.
Aynı ifade seriler için de geçerlidir: \(\sum f_n\) serisi \(A\) üzerinde düzgün yakınsak ve her \(f_n\) sürekliyse, toplam fonksiyonu \(A\) üzerinde süreklidir (kısmi toplamlar sonlu toplam olarak süreklidir).
İspat
\(\varepsilon > 0\) verilsin. Düzgün yakınsaklık gereği öyle bir \(N\) vardır ki her \(x \in A\) için
\[|g_N(x) - g(x)| < \frac{\varepsilon}{3}.\]
Bu \(N\)’yi sabitleyelim. \(g_N\), \(c\)’de sürekli olduğundan öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\) ve \(|x - c| < \delta\) olduğunda
\[|g_N(x) - g_N(c)| < \frac{\varepsilon}{3}\]
olur. Şimdi \(x \in A\), \(|x - c| < \delta\) olsun. Araya \(g_N(x)\) ve \(g_N(c)\) terimlerini sokup üçgen eşitsizliğini (bkz. Analiz 1) iki kez uygulayalım:
\[|g(x) - g(c)| \le \underbrace{|g(x) - g_N(x)|}_{< \varepsilon/3} + \underbrace{|g_N(x) - g_N(c)|}_{< \varepsilon/3} + \underbrace{|g_N(c) - g(c)|}_{< \varepsilon/3} < \varepsilon.\]
Birinci ve üçüncü terimlerde düzgünlüğü kullandık: aynı \(N\) hem \(x\) hem \(c\) için iş görüyor. Demek ki \(g\), \(c\)’de süreklidir.
\(\blacksquare\)
İspatın can alıcı noktası, \(\varepsilon/3\)’lük üç parçadan ikisinin aynı \(N\) ile kontrol edilmesidir; noktasal yakınsaklıkta \(x\) için iyi olan \(N\) ile \(c\) için iyi olan \(N\) farklı olabilir ve \(x \to c\) iken gereken \(N\) sınırsızca büyüyebilirdi. Düzgün yakınsaklığın türev ve integralle ilişkisi daha incedir ve Analiz 3’te incelenir; biz aşağıda türev ve integral sonuçlarını, düzgün yakınsaklığı doğrudan kullanmak yerine kuvvet serisinin kendine özgü yapısından çıkaracağız.
Artık ilk büyük sonucu toplayabiliriz.
Teorem 43.4 (Toplam Fonksiyonunun Sürekliliği) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R > 0\) olsun ve
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad |x - x_0| < R\]
ile tanımlansın. O hâlde \(f\), \((x_0 - R,\, x_0 + R)\) aralığı üzerinde süreklidir.
İspat
\(x_1 \in (x_0 - R,\, x_0 + R)\) keyfî bir nokta olsun; \(f\)’nin \(x_1\)’de sürekli olduğunu göstereceğiz.
Adım 1: \(x_1\)’i bir kapalı aralığın içine hapsedelim. \(|x_1 - x_0| < R\) olduğundan \(|x_1 - x_0| < \rho < R\) olacak bir \(\rho\) seçebiliriz (örneğin \(\rho = \frac12(|x_1 - x_0| + R)\); \(R = +\infty\) ise \(\rho = |x_1 - x_0| + 1\)). \(A = [x_0 - \rho,\, x_0 + \rho]\) diyelim; \(x_1\), \(A\)’nın bir iç noktasıdır.
Adım 2: \(A\) üzerinde düzgün yakınsaklık. Teorem 43.2 gereği seri \(A\) üzerinde düzgün yakınsar.
Adım 3: Kısmi toplamlar süreklidir. \(s_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n (x - x_0)^n\) bir polinomdur, dolayısıyla süreklidir (bkz. Analiz 1).
Adım 4: Düzgün limitin sürekliliği. Teorem 43.3 gereği \(f\), \(A\) üzerinde, özel olarak \(x_1\)’de süreklidir. \(x_1\), \(A\)’nın iç noktası olduğundan \(x_1\)’in bir komşuluğu tümüyle \(A\)’da kalır; süreklilik yerel bir özellik olduğundan \(f\), \((x_0-R, x_0+R)\) üzerindeki fonksiyon olarak da \(x_1\)’de süreklidir. \(x_1\) keyfî olduğundan \(f\) bütün aralıkta süreklidir.
\(\blacksquare\)
43.2 Terim Terim Türev
Şimdi asıl soruya geliyoruz: \(f(x) = \sum a_n (x-x_0)^n\) türevlenebilir midir ve türevi, her terimin türevlerinin toplamı mıdır? Yani
\[f'(x) \overset{?}{=} \sum_{n=1}^{\infty} n\, a_n (x - x_0)^{n-1}\]
midir? Bu eşitliğin bir anlamının olması için önce sağdaki serinin yakınsaması gerekir. İyi haber şudur: türev serisinin yakınsaklık yarıçapı, orijinal serinin yarıçapıyla aynıdır. Türev almak, \(|a_n|\) katsayılarını \(n\) ile çarparak büyütür; ama \(n\)’nin büyümesi geometrik büyüme yanında ihmal edilebilir olduğundan yarıçap değişmez. Bunun cebirsel karşılığı \(\sqrt[n]{n} \to 1\) limitidir.
Lemma 43.1 (Türev Serisinin Yarıçapı Değişmez) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R\), terim terim türetilmiş
\[\sum_{n \ge 1} n\, a_n (x - x_0)^{n-1}\]
serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R'\) olsun. O hâlde \(R' = R\)’dir.
İspat
Adım 1: Bir kuvvet çarpanı yarıçapı değiştirmez. \(x \ne x_0\) için
\[(x - x_0) \sum_{n \ge 1} n a_n (x - x_0)^{n-1} = \sum_{n \ge 1} n a_n (x - x_0)^{n}\]
olduğundan, sıfırdan farklı bir sabitle çarpmak yakınsaklığı değiştirmediği için (Teorem 34.4) bu iki seri \(x \ne x_0\) olan aynı noktalarda yakınsar; \(x = x_0\)’da ikisi de yakınsaktır. Öyleyse \(\sum_{n \ge 1} n a_n (x - x_0)^{n-1}\) ile \(\sum_{n \ge 1} n a_n (x - x_0)^{n}\) serilerinin yakınsaklık yarıçapları eşittir. Böylece \(R'\), katsayıları \(b_n = n a_n\) olan kuvvet serisinin yarıçapıdır ve Cauchy–Hadamard formülüyle (Teorem 42.2)
\[\frac{1}{R'} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{|a_n|} \right)\]
yazılır.
Adım 2: \(\sqrt[n]{n} \to 1\) çarpanı üst limiti değiştirmez. \(c_n = \sqrt[n]{n}\) ve \(b_n = \sqrt[n]{|a_n|}\) diyelim. Analiz 1’de \(\sqrt[n]{n} \to 1\) olduğunu görmüştük, yani \(c_n \to 1\). Önce \((b_n)\)’nin sınırlı, dolayısıyla \(L = \limsup b_n\) değerinin sonlu olduğu durumu ele alalım ve \(M = \limsup (c_n b_n)\) diyelim. Bu \(M\) de sonludur: her \(n \ge 1\) için \(n \le 2^n\) olduğundan \(c_n = \sqrt[n]{n} \le 2\)’dir ve \((b_n)\) sınırlıysa \((c_nb_n)\) de sınırlıdır.
\(M \ge L\): Üst limit bir yığılma noktası olduğundan (bkz. Analiz 1) \(b_{n_k} \to L\) olan bir alt dizi vardır. \(c_{n_k} \to 1\) olduğundan çarpım kuralıyla (bkz. Analiz 1) \(c_{n_k} b_{n_k} \to 1 \cdot L = L\). Demek ki \(L\), \((c_n b_n)\) dizisinin bir yığılma noktasıdır; üst limit yığılma noktalarının en büyüğü olduğundan \(L \le M\).
\(M \le L\): Yine Üst ve Alt Limit Birer Yığılma Noktasıdır gereği \(c_{n_k} b_{n_k} \to M\) olan bir alt dizi vardır. \(c_{n_k} \to 1 \ne 0\) olduğundan bölme kuralıyla
\[b_{n_k} = \frac{c_{n_k} b_{n_k}}{c_{n_k}} \longrightarrow \frac{M}{1} = M\]
olur; yani \(M\), \((b_n)\)’nin bir yığılma noktasıdır ve \(M \le L\) çıkar.
İki eşitsizlik birlikte \(M = L\) verir, yani
\[\frac{1}{R'} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|n a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \frac{1}{R},\]
dolayısıyla \(R' = R\)’dir.
Adım 3: Uç durumlar. Geriye \((b_n)\)’nin sınırsız olduğu durum kalır; o zaman \(\limsup b_n = +\infty\), yani \(R = 0\)’dır. \(c_n \ge 1\) olduğundan \(c_nb_n \ge b_n\) olur, \((c_nb_n)\) de sınırsızdır ve \(R' = 0 = R\) çıkar. Adım 2’nin kapsadığı \(L = 0\) hâli ise \(1/R' = 0\), yani \(R' = +\infty = R\) demektir; bu doğrudan da görülür: \(0 \le c_nb_n \le 2b_n\) olduğundan sıkıştırma teoremiyle (bkz. Analiz 1) \(c_nb_n \to 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
Aynı sonuç Cauchy–Hadamard formülüne başvurmadan da görülür. Bir yandan \(|a_n|r^n \le r \cdot n|a_n|r^{n-1}\) olduğundan, karşılaştırma testiyle (Teorem 35.2) türev serisinin yakınsadığı her \(r\)’de orijinal seri de yakınsar; yani \(R' \le R\). Öte yandan \(0 < r < R\) için \(r < \rho < R\) ve \(q = r/\rho \in (0,1)\) seçelim; \(nq^n \to 0\) olduğundan \((nq^n)\) sınırlıdır (\(nq^n \le C\)) ve
\[n|a_n| r^{n-1} = \frac{1}{r} \cdot n q^n \cdot |a_n|\rho^n \le \frac{C}{r}\, |a_n| \rho^n\]
olur; \(\sum |a_n|\rho^n\) yakınsak olduğundan \(\sum n|a_n|r^{n-1}\) de yakınsar, yani \(R' \ge R\). Bu ispatın kalbi şudur: \(n\) çarpanı, \(q^n\) geometrik baskısının yanında hiçbir şeydir.
Yarıçap sorusu çözüldüğüne göre asıl teoremi ispatlayabiliriz. İspat, fark oranı ile türev serisinin farkını doğrudan tahmin eder; hesabın tamamı \(u^n - v^n\) çarpanlarına ayrılışına dayanır.
Teorem 43.5 (Terim Terim Türev) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R > 0\) ve
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n, \qquad |x - x_0| < R\]
olsun. O hâlde \(f\), \((x_0 - R,\, x_0 + R)\) üzerinde türevlenebilirdir ve her \(|x - x_0| < R\) için
\[f'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n\, a_n (x - x_0)^{n-1}\]
olur. Sağdaki serinin yakınsaklık yarıçapı da \(R\)’dir.
İspat
Gösterimi hafifletmek için \(x_0 = 0\) alalım; genel durum \(t = x - x_0\) ötelemesiyle buna indirgenir.
Adım 1: Yardımcı serilerin yakınsaklığı. Lemma 43.1 gereği
\[g(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}\]
serisinin yarıçapı \(R\)’dir. Aynı lemmayı bir kez daha, bu kez \(g\)’nin serisine uygularsak
\[\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) a_n x^{n-2}\]
serisinin yarıçapının da \(R\) olduğu çıkar. Amacımız her \(|c| < R\) için \(f'(c) = g(c)\) olduğunu göstermek.
Adım 2: Tahmin için çerçeve. \(|c| < R\) sabitlensin ve \(|c| < \rho < R\) olacak bir \(\rho\) seçelim. Yarıçapın içinde mutlak yakınsaklık olduğundan
\[K := \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) |a_n| \rho^{n-2} < \infty\]
sonlu bir sayıdır. Şimdi \(|x| < \rho\), \(x \ne c\) olsun ve
\[Q(x) = \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c)\]
farkına bakalım. \(\sum a_n x^n\), \(\sum a_n c^n\) ve \(\sum n a_n c^{n-1}\) serilerinin üçü de yakınsak olduğundan, yakınsak serilerin terim terim toplanıp çıkarılabilmesi (Teorem 34.4) sayesinde
\[Q(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n \left[ \frac{x^n - c^n}{x - c} - n c^{n-1} \right]\]
yazabiliriz. \(n = 0\) terimi sıfırdır (\(x^0 - c^0 = 0\) ve \(0 \cdot c^{-1}\) terimi yoktur), \(n = 1\) terimi de sıfırdır: \(\dfrac{x - c}{x - c} - 1 = 0\). Öyleyse toplam \(n \ge 2\)’den başlar.
Adım 3: Köşeli parantezin tahmini. \(n \ge 2\) için \(\dfrac{x^n - c^n}{x-c} = \sum_{k=0}^{n-1} x^k c^{n-1-k}\) çarpanlara ayırma özdeşliğini kullanalım. Buradan
\[D_n := \frac{x^n - c^n}{x - c} - n c^{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} \left( x^k c^{n-1-k} - c^{n-1} \right) = \sum_{k=1}^{n-1} \left( x^k - c^k \right) c^{n-1-k}\]
olur (\(k = 0\) terimi sıfırdır). Aynı özdeşliği bir kez daha, bu kez \(x^k - c^k = (x-c)\sum_{j=0}^{k-1}x^jc^{k-1-j}\) biçiminde kullanalım. \(|x| \le \rho\), \(|c| \le \rho\) olduğundan bu toplamdaki \(k\) terimin her birinin mutlak değeri \(\rho^{k-1}\)’i geçmez, yani \(|x^k - c^k| \le |x-c| \, k\rho^{k-1}\)’dir. Bunu \(D_n\)’de yerine koyup üçgen eşitsizliğini uygularsak
\[|D_n| \le |x - c| \sum_{k=1}^{n-1} k \rho^{k-1} \cdot \rho^{n-1-k} = |x - c| \, \rho^{n-2} \sum_{k=1}^{n-1} k = |x - c| \, \rho^{n-2} \cdot \frac{n(n-1)}{2}\]
elde ederiz.
Adım 4: Sonuç. Bulduğumuz tahmini \(Q(x)\)’te kullanalım:
\[|Q(x)| \le \sum_{n=2}^{\infty} |a_n| \, |D_n| \le |x - c| \cdot \frac{1}{2} \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) |a_n| \rho^{n-2} = \frac{K}{2}\, |x - c|.\]
\(K\) sabittir ve \(x\)’ten bağımsızdır. \(\varepsilon > 0\) verildiğinde \(\delta = \min\left\{ \rho - |c|,\ \dfrac{2\varepsilon}{K + 1} \right\} > 0\) alalım. \(0 < |x - c| < \delta\) olduğunda hem \(|x| \le |c| + |x-c| < \rho\) olur (böylece tahminimiz geçerlidir) hem de
\[\left| \frac{f(x) - f(c)}{x - c} - g(c) \right| = |Q(x)| \le \frac{K}{2} |x - c| < \frac{K}{2} \cdot \frac{2\varepsilon}{K+1} < \varepsilon\]
sağlanır. Limit tanımı gereği \(f\), \(c\)’de türevlenebilirdir ve \(f'(c) = g(c)\)’dir; \(c\) keyfî olduğundan iddia bütün \((-R,R)\) üzerinde doğrudur.
\(\blacksquare\)
Teoremin uygulanabilirliği kendi kendini besler: \(f'\) yine aynı yarıçapa sahip bir kuvvet serisidir, öyleyse teorem ona da uygulanabilir. Tümevarımla şu güçlü sonuç çıkar.
Sonuç 43.1 (Toplam Fonksiyonu Sonsuz Kez Türevlenebilirdir) \(R > 0\) yarıçaplı \(\sum_{n \ge 0} a_n (x-x_0)^n\) serisinin toplam fonksiyonu \(f\) olsun. O hâlde \(f\), \((x_0 - R,\, x_0 + R)\) üzerinde sonsuz kez türevlenebilirdir (yani \(C^\infty\) sınıfındandır) ve her \(k \in \mathbb{N}\) için
\[f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{\infty} n(n-1)\cdots(n-k+1)\, a_n\, (x - x_0)^{n-k} = \sum_{n=k}^{\infty} \frac{n!}{(n-k)!}\, a_n (x-x_0)^{n-k}\]
olur; bu serinin de yakınsaklık yarıçapı \(R\)’dir. Özel olarak
\[f^{(k)}(x_0) = k!\, a_k.\]
İspat
\(k\) üzerinden tümevarım yapalım.
Temel adım. \(k = 0\) için ifade \(f\)’nin kendi tanımıdır (\(0! = 1\) ve boş çarpım \(1\)’dir).
Tümevarım adımı. İddianın \(k\) için doğru olduğunu varsayalım: \(f^{(k)}\), katsayıları \(\dfrac{n!}{(n-k)!} a_n\) olan ve yarıçapı \(R\) olan bir kuvvet serisinin toplamıdır. Teorem 43.5 bu seriye uygulanabilir; buna göre \(f^{(k)}\) türevlenebilirdir (yani \(f^{(k+1)}\) vardır) ve terim terim türetilerek
\[f^{(k+1)}(x) = \sum_{n=k+1}^{\infty} (n-k) \cdot \frac{n!}{(n-k)!}\, a_n (x-x_0)^{n-k-1} = \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{n!}{(n-k-1)!}\, a_n (x-x_0)^{n-(k+1)}\]
elde edilir (burada \(\dfrac{(n-k)\, n!}{(n-k)!} = \dfrac{n!}{(n-k-1)!}\) kullanıldı; \(n = k\) terimi sabit olduğundan türevi sıfırdır ve toplam \(n = k+1\)’den başlar). Lemma 43.1 gereği yeni serinin yarıçapı da \(R\)’dir. Böylece iddia \(k+1\) için de doğrudur.
Tümevarım ilkesi (bkz. Analiz 1) gereği ifade her \(k\) için doğrudur; özel olarak her mertebeden türev var olduğundan \(f \in C^\infty\big( (x_0 - R,\, x_0 + R) \big)\)’dır.
Son olarak \(x = x_0\) koyalım. \(n > k\) olan terimlerde \((x_0 - x_0)^{n-k} = 0\) olur; yalnızca \(n = k\) terimi hayatta kalır ve o da \(\dfrac{k!}{0!} a_k = k! \, a_k\)’dır. Demek ki \(f^{(k)}(x_0) = k!\, a_k\)’dır.
\(\blacksquare\)
Bu sonuç, “sonsuz dereceli polinom” benzetmesini tam anlamıyla haklı çıkarır. Şimdi onu somut toplamlar üretmek için kullanalım. Bütün hesapların çıkış noktası geometrik seridir (Tanım 34.4):
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}, \qquad |x| < 1.\]
Örnek 43.1 (Geometrik Seriden Türevle Üretilen Toplamlar) \(|x| < 1\) için aşağıdaki toplamları hesaplayınız.
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}\) ve \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}\)
\(\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n}\)
\(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^{n}\)
Bulduğunuz formüllerle \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\) ve \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n}\) sayısal toplamlarını bulunuz.
Çözüm
Geometrik serinin yakınsaklık yarıçapı \(R = 1\)’dir ve \(|x| < 1\) için toplamı \(\dfrac{1}{1-x}\)’tir (Teorem 34.5). Teorem 43.5 bu seriye \((-1,1)\) üzerinde uygulanabilir.
a) Terim terim türev alalım. Sol tarafta \(\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{1-x} \right) = \dfrac{1}{(1-x)^2}\), sağ tarafta \(\dfrac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\) olduğundan
\[\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}, \qquad \text{buradan da} \qquad \sum_{n=1}^{\infty} n x^{n} = \frac{x}{(1-x)^2}\]
çıkar (\(|x| < 1\); ikinci eşitlik için her iki taraf \(x\) ile çarpıldı, bu da Teorem 34.4 gereği meşrudur).
b) Aynı işlemi bir kez daha yapalım. \(\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{1}{(1-x)^2} \right) = \dfrac{2}{(1-x)^3}\) ve \(\dfrac{d}{dx}(nx^{n-1}) = n(n-1)x^{n-2}\) olduğundan \(\sum_{n \ge 2} n(n-1)x^{n-2} = \dfrac{2}{(1-x)^3}\) ve \(x^2\) ile çarparak
\[\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n} = \frac{2x^2}{(1-x)^3}, \qquad |x| < 1.\]
c) \(n^2 = n(n-1) + n\) ayrıştırmasını kullanalım. İki yakınsak serinin toplamı terim terim alınabildiğinden (Teorem 34.4)
\[\sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{x}{(1-x)^2} = \frac{2x^2 + x - x^2}{(1-x)^3} = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}, \qquad |x| < 1.\]
d) \(x = \dfrac{1}{2}\) koyalım:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n} = \frac{1/2}{1/4} = 2, \qquad \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{2^n} = \frac{\frac12 \cdot \frac32}{\frac18} = 6.\]
İlk toplamın kısmi toplamları \(0{,}5;\ 1;\ 1{,}375;\ 1{,}625;\ 1{,}78;\ \dots\) biçiminde \(2\)’ye tırmanır.
\(\blacksquare\)
43.3 Terim Terim İntegral
Türev için doğru olan, integral için de doğrudur ve ispatı artık çok daha kısadır: elimizde bir terim terim türev teoremi olduğuna göre, integral serisini yazıp türevinin \(f\) olduğunu görmek yeter.
Teorem 43.6 (Terim Terim İntegral) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R > 0\) ve toplam fonksiyonu \(f\) olsun. O hâlde
\[F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x - x_0)^{n+1}\]
serisinin yakınsaklık yarıçapı da \(R\)’dir, \(F\) bir ilkel fonksiyondur (\(F' = f\)) ve her \(|x - x_0| < R\) için
\[\int_{x_0}^{x} f(t)\, dt = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1} (x - x_0)^{n+1}\]
olur.
İspat
Adım 1: İntegral serisinin yarıçapı \(R\)’dir. \(F\)’nin serisi, katsayıları
\[b_0 = 0, \qquad b_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} \quad (n \ge 0)\]
olan \(\sum_{n \ge 0} b_n (x-x_0)^n\) kuvvet serisidir. Bu serinin terim terim türevi
\[\sum_{n \ge 1} n b_n (x - x_0)^{n-1} = \sum_{n \ge 1} n \cdot \frac{a_{n-1}}{n} (x-x_0)^{n-1} = \sum_{n \ge 1} a_{n-1}(x-x_0)^{n-1} = \sum_{m \ge 0} a_m (x - x_0)^m,\]
yani tam olarak başladığımız seridir. Lemma 43.1 bir serinin ve türev serisinin yarıçaplarının eşit olduğunu söylediğinden, \(F\)’nin serisinin yarıçapı \(R_F\) ile \(f\)’nin serisinin yarıçapı \(R\) eşittir: \(R_F = R\).
Adım 2: \(F' = f\). \(F\) artık \(R\) yarıçaplı bir kuvvet serisinin toplamıdır; Teorem 43.5’e göre \((x_0 - R, x_0+R)\) üzerinde türevlenebilirdir ve türevi, Adım 1’de hesapladığımız terim terim türevdir:
\[F'(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = f(x), \qquad |x - x_0| < R.\]
Ayrıca serinin sabit terimi \(b_0 = 0\) olduğundan \(F(x_0) = 0\)’dır.
Adım 3: İntegralle özdeşleştirme. \(|x - x_0| < R\) olsun ve \(x\) ile \(x_0\) arasındaki kapalı aralığı \(J\) ile gösterelim; \(J \subset (x_0 - R, x_0 + R)\)’dir. \(f\), Teorem 43.4 gereği süreklidir; kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli olan her fonksiyon Riemann integrallenebilir olduğundan
\[G(x) = \int_{x_0}^{x} f(t)\, dt\]
integral fonksiyonu (Tanım 29.1) tanımlıdır. \(f\) sürekli olduğundan analizin birinci temel teoremi (Teorem 29.1) gereği \(G\) türevlenebilirdir ve \(G'(x) = f(x)\)’tir.
Şimdi \(H = F - G\) diyelim. \((x_0 - R, x_0 + R)\) üzerinde \(H' = F' - G' = f - f = 0\)’dır. Türevi özdeş olarak sıfır olan bir fonksiyon aralıkta sabittir: gerçekten, aralıktaki herhangi iki \(u < v\) noktası için ortalama değer teoremi (Teorem 8.2) \(H(v) - H(u) = H'(\xi)(v-u) = 0\) verir. Ayrıca \(H(x_0) = F(x_0) - G(x_0) = 0 - 0 = 0\)’dır; öyleyse \(H \equiv 0\), yani
\[\int_{x_0}^{x} f(t)\, dt = G(x) = F(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}(x - x_0)^{n+1}.\]
\(\blacksquare\)
Türev ve integral sonuçlarını tek bir cümlede toplayalım.
Sonuç 43.2 (Türev ve İntegral Serileri Aynı Yarıçapa Sahiptir) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x-x_0)^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R\) olsun. O hâlde
\[\sum_{n \ge 1} n a_n (x-x_0)^{n-1} \qquad \text{ve} \qquad \sum_{n \ge 0} \frac{a_n}{n+1}(x-x_0)^{n+1}\]
serilerinin yakınsaklık yarıçapı da \(R\)’dir. Dolayısıyla terim terim türev ve integral alma işlemleri, yakınsaklık aralığını değiştirmeden istenildiği kadar tekrarlanabilir.
İspat
Türev serisi için iddia Lemma 43.1’tır; integral serisi için Teorem 43.6’in birinci adımıdır. Tekrarlanabilirlik, her iki işlemin sonucunun yine \(R\) yarıçaplı bir kuvvet serisi olmasından ve tümevarımdan çıkar.
\(\blacksquare\)
Sonuç 43.2 yalnızca \(R\) sayısı hakkındadır. Uç noktalar \(x_0 \pm R\)’de yakınsaklık, türev alındığında bozulabilir, integral alındığında kazanılabilir. Üç serinin hepsinin yarıçapı \(1\) olan şu üçlüye bakalım:
\[\sum_{n \ge 1} x^{n-1}, \qquad \sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n}, \qquad \sum_{n \ge 1} \frac{x^{n+1}}{n(n+1)}.\]
Her biri bir öncekinin terim terim integralidir.
- Birincisi \(x = 1\)’de \(\sum 1\) olur, ıraksar; \(x = -1\)’de \(\sum (-1)^{n-1}\) olur, genel terimi sıfıra gitmediğinden yine ıraksar (Sonuç 34.1).
- İkincisi \(x = 1\)’de harmonik seri \(\sum \frac{1}{n}\)’dir, ıraksar (Teorem 36.2, \(p = 1\)); \(x = -1\)’de ise alternan harmonik seridir ve yakınsar. Bir uçta kazanç var, öbüründe yok.
- Üçüncüsü her iki uçta da yakınsar, çünkü \(\dfrac{1}{n(n+1)} \le \dfrac{1}{n^2}\) ve \(\sum \frac1{n^2}\) yakınsaktır (Teorem 35.2, Teorem 36.2).
Kural olarak: integral almak uç noktalarda yakınsaklığı iyileştirebilir, türev almak bozabilir. Uç noktalar her zaman ayrıca incelenir.
Şimdi integral yönünü çalıştıralım. Bu iki hesap, analizin en çok kullanılan iki seri açılımını verir.
Örnek 43.2 (Logaritma ve Arktanjant Serileri) \(|x| < 1\) için aşağıdaki açılımları elde ediniz.
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} = -\ln(1-x)\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = \ln(1+x)\)
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} = \arctan x\)
Çözüm
a) Geometrik seriyi \(t\) değişkeninde yazıp (\(\frac{1}{1-t} = \sum_{n \ge 0}t^n\), \(|t| < 1\)) Teorem 43.6’i \(x_0 = 0\) ile uygulayalım; \(|x| < 1\) için
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \int_0^x \frac{dt}{1-t} = \Big[ -\ln(1-t) \Big]_0^x = -\ln(1-x)\]
olur (\(\frac{d}{dt}(-\ln(1-t)) = \frac{1}{1-t}\) olduğundan). Toplamda \(m = n+1\) dizin değişimiyle sol taraf \(\sum_{m \ge 1} \frac{x^m}{m}\) biçimine girer.
b) (a) şıkkındaki eşitlikte \(x\) yerine \(-x\) yazalım (\(|x| < 1\) iken \(|-x| < 1\) olduğundan bu meşrudur): \(\sum_{n \ge 1}\frac{(-x)^n}{n} = -\ln(1+x)\). Her iki tarafı \(-1\) ile çarpar ve \((-x)^n = (-1)^nx^n\) olduğunu kullanırsak
\[\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^n}{n} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots\]
bulunur.
c) Geometrik seride \(t\) yerine \(-t^2\) yazalım; \(|t| < 1\) iken \(|-t^2| < 1\) olduğundan
\[\frac{1}{1+t^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n t^{2n}, \qquad |t| < 1\]
olur; bu, yalnızca çift kuvvetleri içeren, yarıçapı \(1\) olan bir kuvvet serisidir. Teorem 43.6 ile \(0\)’dan \(x\)’e integralleyelim; sol taraf \(\Big[\arctan t\Big]_0^x = \arctan x\) olduğundan
\[\arctan x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots, \qquad |x| < 1.\]
Bu üç açılım, bir sonraki bölümde kuracağımız Taylor serisi çerçevesinin en sık kullanılan örnekleridir. Dikkat edilecek nokta, üçünün de türev hesabıyla değil, tek bir geometrik seriden integral alınarak elde edilmiş olmasıdır.
\(\blacksquare\)
43.4 Katsayıların Tekliği
Bir kuvvet serisi toplam fonksiyonunu belirler. Peki tersi doğru mudur: toplam fonksiyonu katsayıları belirler mi? Yani aynı fonksiyona eşit iki farklı kuvvet serisi olabilir mi? Sonuç 43.1’in son satırı bu soruyu çoktan yanıtladı; şimdi yanıtı görünür kılalım.
Sonuç 43.3 (Katsayılar Taylor Katsayılarıdır) \(R > 0\) yarıçaplı \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) serisinin toplamı \(f\) olsun. O hâlde her \(n \ge 0\) için
\[a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\]
olur. Yani serinin katsayıları, toplam fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki Taylor katsayılarıdır; serinin \(N\)’inci kısmi toplamı da \(f\)’nin \(x_0\)’daki \(N\)’inci Taylor polinomudur (Tanım 12.1):
\[s_N(x) = \sum_{n=0}^{N} a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{N} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x - x_0)^n = T_N(x).\]
İspat
Sonuç 43.1 gereği \(f\) sonsuz kez türevlenebilirdir ve her \(k\) için \(f^{(k)}(x_0) = k!\, a_k\)’dır. \(k! \ne 0\) olduğundan her iki tarafı \(k!\)’e bölerek \(a_k = \dfrac{f^{(k)}(x_0)}{k!}\) elde ederiz. Kısmi toplam ifadesi, bu değerlerin Tanım 12.1’ndaki Taylor polinomu tanımına yerleştirilmesinden ibarettir.
\(\blacksquare\)
Teorem 43.7 (Katsayıların Tekliği) \(r > 0\) olsun ve \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) ile \(\sum_{n \ge 0} b_n (x - x_0)^n\) kuvvet serilerinin ikisi de \((x_0 - r,\, x_0 + r)\) aralığında yakınsasın. Eğer bu aralıktaki her \(x\) için
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_n (x - x_0)^n\]
ise, o hâlde her \(n \ge 0\) için \(a_n = b_n\)’dir.
İspat
Her iki seri de \((x_0 - r, x_0 + r)\) aralığının her noktasında yakınsadığından, ikisinin de yakınsaklık yarıçapı en az \(r > 0\)’dır. Ortak toplam fonksiyonuna \(f\) diyelim; \(f\), \((x_0 - r, x_0 + r)\) üzerinde tanımlıdır.
Birinci seri için Sonuç 43.3 uygulanır:
\[a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \qquad (n \ge 0).\]
Aynı sonucu ikinci seriye uygularsak, toplam fonksiyonu yine \(f\) olduğundan
\[b_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \qquad (n \ge 0)\]
çıkar. Sağ taraflar aynı olduğundan her \(n\) için \(a_n = b_n\)’dir.
\(\blacksquare\)
1. Sıfır serisi. \(\sum a_n (x-x_0)^n\) toplamı \(x_0\)’ın bir komşuluğunda özdeş olarak \(0\) ise, bütün \(a_n\)’ler sıfırdır (Teorem 43.7’nde \(b_n = 0\) alın). Bu, polinomlar için bildiğimiz “özdeş sıfır polinomun bütün katsayıları sıfırdır” olgusunun sonsuz karşılığıdır.
2. Simetriden katsayı okumak. \(f\), \(0\) merkezli bir kuvvet serisinin toplamı ve tek fonksiyon olsun (\(f(-x) = -f(x)\)). \(-f(-x) = \sum (-1)^{n+1}a_nx^n\) olduğundan teklikten \(a_n = (-1)^{n+1}a_n\) çıkar; \(n\) çift iken bu \(a_n = -a_n\), yani \(a_n = 0\) demektir: tek fonksiyonun serisinde yalnızca tek kuvvetler bulunur. Bakışımlı olarak çift fonksiyonun serisinde yalnızca çift kuvvetler vardır; \(\arctan\) tek, \(\frac{1}{1+x^2}\) çift olduğundan Örnek 43.2’taki açılımlar bunu doğruluyor.
Teklik teoremi pratikte şu işe yarar: bir toplamı nasıl elde ettiğimiz önemli değildir; bilinen bir seriden türev, integral, dizin kaydırma ya da değişken değiştirmeyle vardığımız her ifade, doğru cevabın kendisidir. Şimdi bu serbestliği kullanarak birkaç toplam fonksiyonu bulalım.
Örnek 43.3 (Toplam Fonksiyonu Bulma) Aşağıdaki kuvvet serilerinin yakınsaklık yarıçaplarını belirleyip toplam fonksiyonlarını kapalı biçimde yazınız.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n(n+1)}\)
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n^2 + 1) x^n\)
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}\)
Çözüm
a) Katsayı \(c_n = \dfrac{1}{n(n+1)}\) için \(\sqrt[n]{c_n} \to 1\) olduğundan (paydadaki \(n(n+1)\) polinomunun \(n\)’inci kökü \(1\)’e gider) Cauchy–Hadamard formülü \(R = 1\) verir. Toplam için basit kesirlere ayıralım:
\[\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}.\]
\(0 < |x| < 1\) olsun. İki seri de ayrı ayrı yakınsak olduğundan terim terim ayrıştırabiliriz (Teorem 34.4):
\[S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}.\]
Birinci toplam Örnek 43.2 (a) gereği \(-\ln(1-x)\)’tir. İkinci toplamda pay ile paydayı uyumlu hâle getirmek için \(x\) ile çarpıp bölelim:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m} - x \right) = \frac{1}{x} \big( -\ln(1-x) - x \big),\]
çünkü \(m = n+1\) dizin değişiminde \(m = 1\) terimi (\(=x\)) eksik kalmaktadır. Böylece
\[S(x) = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x) + x}{x} = -\ln(1-x) + \frac{\ln(1-x)}{x} + 1 = 1 + \frac{(1-x)\ln(1-x)}{x}\]
olur (son adımda \(-1 + \frac1x = \frac{1-x}{x}\) ortak çarpanı alındı). \(x = 0\)’da serinin toplamı \(0\)’dır; nitekim \(x \to 0\) iken \(\dfrac{(1-x)\ln(1-x)}{x} \to -1\) olduğundan \(S(x) \to 0\)’dır.
Sağlama: \(S\!\left(\frac12\right) = 1 + \ln \frac12 = 0{,}30685\ldots\); serinin ilk beş terimi \(0{,}30625\), ilk sekiz terimi \(0{,}30682\) verir.
b) \(c_n = n^2 + 1\) için \(\sqrt[n]{n^2+1} \to 1\) olduğundan \(R = 1\)’dir. \(|x| < 1\) için
\[\sum_{n=0}^{\infty} (n^2+1)x^n = \sum_{n=1}^{\infty} n^2 x^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3} + \frac{1}{1-x} = \frac{x + x^2 + 1 - 2x + x^2}{(1-x)^3} = \frac{2x^2 - x + 1}{(1-x)^3}\]
olur (Örnek 43.1 (c) ve geometrik seri; \(n = 0\) terimi birinci toplamda sıfır olduğundan dizin farkı önemsizdir). Sağlama: \(x = 0\)’da sağ taraf \(1\)’dir ve seride \(a_0 = 1\)’dir; \(x = \frac12\)’de sağ taraf \(8\) olur.
c) Bu seride yalnızca tek kuvvetler vardır; \(|x| < 1\) için \(\left| \dfrac{x^{2n+1}}{2n+1} \right| \le |x|^{2n+1}\) ve \(\sum |x|^{2n+1}\) geometrik olarak yakınsadığından seri yakınsar, \(|x| > 1\) için genel terim sıfıra gitmez; öyleyse \(R = 1\)’dir.
Toplam için \(\dfrac{1}{1-t^2} = \sum_{n \ge 0} t^{2n}\) (\(|t| < 1\)) serisini Teorem 43.6 ile integralleyelim:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{2n+1} = \int_0^x \frac{dt}{1-t^2} = \int_0^x \frac{1}{2}\left( \frac{1}{1-t} + \frac{1}{1+t} \right) dt = \frac{1}{2} \Big[ \ln(1+t) - \ln(1-t) \Big]_0^x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x}.\]
Aynı sonuca teklikle de varılır: Örnek 43.2’taki \(-\ln(1-x)\) ve \(\ln(1+x)\) açılımları taraf tarafa çıkarılırsa çift kuvvetler yok olur, tek kuvvetler ikiye katlanır.
\(\blacksquare\)
43.5 Abel Limit Teoremi
Şimdiye kadarki bütün sonuçlar açık \((x_0 - R, x_0 + R)\) aralığında geçerliydi. Uç noktalarda seri yakınsayabilir de, ıraksayabilir de. Peki seri bir uç noktada yakınsıyorsa, oradaki toplamı ile içerideki \(f(x)\) değerleri arasında bir bağ var mıdır? Örneğin
\[-\ln(1-x) = \sum_{n \ge 1} \frac{x^n}{n}\]
eşitliğini \(|x| < 1\) için biliyoruz; \(x = -1\)’de sağdaki seri (alternan harmonik seri) yakınsıyor ve soldaki fonksiyon \(-\ln 2\) değerini alıyor. Bu iki sayı aynı mı? Abel’in 1826 tarihli teoremi “evet” der: toplam fonksiyonu, serinin yakınsadığı uç noktada tek yönlü olarak süreklidir.
İspatın anahtarı, kısmi toplamları seriye geri sokan bir cebirsel dönüşümdür. Bu dönüşüme Abel toplamı (Abel summation) ya da kısmi toplamlarla toplama denir; sonlu toplamlarda kısmi integrasyonun karşılığıdır.
Lemma 43.2 (Abel Toplam Dönüşümü) \((a_n)_{n \ge 0}\) bir reel sayı dizisi, \(s_n = a_0 + a_1 + \cdots + a_n\) onun kısmi toplamları ve \(s_{-1} = 0\) olsun. O hâlde her \(N \ge 1\) ve her \(x \in \mathbb{R}\) için
\[\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = (1-x) \sum_{n=0}^{N-1} s_n x^n + s_N x^N.\]
Ayrıca \((s_n)\) sınırlıysa, \(|x| < 1\) olan her \(x\) için hem \(\sum a_n x^n\) hem de \(\sum s_n x^n\) yakınsar ve
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = (1-x) \sum_{n=0}^{\infty} s_n x^n\]
olur.
İspat
Adım 1: Sonlu özdeşlik. \(a_n = s_n - s_{n-1}\) (\(n \ge 0\); \(s_{-1} = 0\) olduğundan \(n = 0\) için de doğru) yazıp toplayalım:
\[\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = \sum_{n=0}^{N} s_n x^n - \sum_{n=0}^{N} s_{n-1} x^n.\]
İkinci toplamda \(m = n - 1\) diyelim; \(n = 0\) terimi \(s_{-1}x^0 = 0\) olduğundan onu atabiliriz:
\[\sum_{n=0}^{N} s_{n-1}x^n = \sum_{m=0}^{N-1} s_m x^{m+1} = x \sum_{m=0}^{N-1} s_m x^m.\]
Birinci toplamı da \(n = N\) terimini ayırarak yazarsak
\[\sum_{n=0}^{N} a_n x^n = \left( \sum_{n=0}^{N-1} s_n x^n + s_N x^N \right) - x \sum_{n=0}^{N-1} s_n x^n = (1-x)\sum_{n=0}^{N-1} s_n x^n + s_N x^N\]
elde edilir.
Adım 2: Limit geçişi. \((s_n)\) sınırlı olsun: her \(n\) için \(|s_n| \le C\). \(|x| < 1\) ise \(|s_n x^n| \le C |x|^n\) olur ve \(\sum C|x|^n\) geometrik seri olarak yakınsadığından karşılaştırma testiyle (Teorem 35.2) \(\sum s_n x^n\) mutlak yakınsaktır. Ayrıca \(|s_N x^N| \le C|x|^N \to 0\)’dır (bkz. Analiz 1). Adım 1’deki özdeşlikte \(N \to \infty\) limitine geçersek sol taraf \(\sum_{n \ge 0} a_n x^n\)’e (bu limitin var olduğu da böylece görülür), sağ taraf \((1-x)\sum_{n \ge 0} s_n x^n + 0\)’a yakınsar.
\(\blacksquare\)
Teorem 43.8 (Abel Limit Teoremi) \(\sum_{n \ge 0} a_n (x - x_0)^n\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R \in (0, \infty)\) olsun ve
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n = A\]
serisi (yani serinin sağ uç nokta \(x_0 + R\)’deki hâli) yakınsak olsun. O hâlde toplam fonksiyonu \(f\) için
\[\lim_{x \to (x_0+R)^-} f(x) = A = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n\]
olur. Bakışımlı olarak, \(\sum_{n \ge 0} a_n (-R)^n\) yakınsaksa \(\lim_{x \to (x_0 - R)^+} f(x)\) bu toplama eşittir. Kısacası \(f\), serinin yakınsadığı uç noktada tek yönlü süreklidir.
İspat
Adım 1: Normalleştirme. \(t = \dfrac{x - x_0}{R}\) ve \(b_n = a_n R^n\) diyelim. \(|x - x_0| < R\) ile \(|t| < 1\) denktir ve
\[f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n R^n \left( \frac{x - x_0}{R} \right)^n = \sum_{n=0}^{\infty} b_n t^n =: \varphi(t)\]
olur. \(x \to (x_0 + R)^-\) ile \(t \to 1^-\) denktir ve varsayım \(\sum b_n = A\)’nın yakınsaklığıdır. Öyleyse şunu göstermek yeter: \(\sum b_n = A\) yakınsaksa \(\lim_{t \to 1^-} \varphi(t) = A\)’dır.
Adım 2: Abel dönüşümü. \(s_n = b_0 + \cdots + b_n\) olsun; \(s_n \to A\) olduğundan \((s_n)\) yakınsak, dolayısıyla sınırlıdır (bkz. Analiz 1). Lemma 43.2 gereği \(|t| < 1\) için
\[\varphi(t) = (1-t)\sum_{n=0}^{\infty} s_n t^n.\]
Öte yandan \(|t| < 1\) için \((1-t)\sum_{n \ge 0} t^n = (1-t) \cdot \dfrac{1}{1-t} = 1\) olduğundan
\[A = (1-t) \sum_{n=0}^{\infty} A\, t^n.\]
İki eşitliği çıkaralım (her iki seri de mutlak yakınsak olduğundan terim terim çıkarma serbesttir, Teorem 34.4):
\[\varphi(t) - A = (1-t) \sum_{n=0}^{\infty} (s_n - A) t^n.\]
Adım 3: Toplamı ikiye bölme. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(s_n \to A\) olduğundan \(n > N\) için \(|s_n - A| < \frac{\varepsilon}{2}\) olacak bir \(N\) vardır. \(C = \sum_{n=0}^{N}|s_n - A|\) diyelim; \(N\) sabitlendikten sonra bu sabit bir sayıdır. \(0 < t < 1\) olsun; üçgen eşitsizliğiyle
\[|\varphi(t) - A| \le (1-t) \sum_{n=0}^{N} |s_n - A|\, t^n + (1-t) \sum_{n=N+1}^{\infty} |s_n - A|\, t^n.\]
Birinci toplamda \(0 < t^n \le 1\) olduğundan bu kısım \((1-t)\,C\)’yi geçmez. İkinci toplamda \(|s_n - A| < \varepsilon/2\) kullanılır:
\[(1-t)\sum_{n=N+1}^{\infty} |s_n - A| t^n \le (1-t) \cdot \frac{\varepsilon}{2} \sum_{n=0}^{\infty} t^n = (1-t) \cdot \frac{\varepsilon}{2} \cdot \frac{1}{1-t} = \frac{\varepsilon}{2}.\]
Böylece her \(t \in (0,1)\) için
\[|\varphi(t) - A| \le (1-t)\, C + \frac{\varepsilon}{2}.\]
Adım 4: \(t\)’yi \(1\)’e yaklaştırma. \(\delta = \dfrac{\varepsilon}{2(C+1)} > 0\) alalım. \(1 - \delta < t < 1\) olduğunda \((1-t)C \le \delta C = \dfrac{\varepsilon C}{2(C+1)} < \dfrac{\varepsilon}{2}\) olur ve
\[|\varphi(t) - A| < \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon\]
sağlanır. Tek yönlü limit tanımı gereği \(\lim_{t \to 1^-} \varphi(t) = A\)’dır; Adım 1’deki dönüşümle bu, \(\lim_{x \to (x_0+R)^-} f(x) = A\) demektir.
Adım 5: Sol uç. Şimdi \(\sum_{n \ge 0} a_n (-R)^n\) serisinin yakınsak ve toplamının \(B\) olduğunu varsayalım. Adım 1’in gösterimiyle \(a_n(-R)^n = (-1)^n b_n\)’dir. Katsayıları \(\tilde b_n := (-1)^n b_n\) olan
\[\psi(u) = \sum_{n=0}^{\infty} \tilde b_n u^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n b_n u^n = \varphi(-u), \qquad |u| < 1\]
kuvvet serisini alalım. \(\sum_{n \ge 0} \tilde b_n = B\) yakınsak olduğundan Adım 2–4’te yapılanlar kelimesi kelimesine bu seriye uygulanır (orada \((b_n)\) hakkında yalnızca \(\sum b_n\)’nin yakınsaklığı kullanılmıştı) ve \(\lim_{u \to 1^-} \psi(u) = B\) çıkar. \(u \to 1^-\) ile \(t = -u \to (-1)^+\) denk olduğundan \(\lim_{t \to (-1)^+} \varphi(t) = B\), yani \(x = x_0 + Rt\) dönüşümüyle
\[\lim_{x \to (x_0 - R)^+} f(x) = B = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (-R)^n\]
elde edilir.
\(\blacksquare\)
Abel teoremi “seri uçta yakınsıyorsa, fonksiyonun uçtaki limiti serinin toplamıdır” der. Tersi, yani “fonksiyonun uçta limiti varsa seri uçta yakınsar” yanlıştır.
\(\sum_{n \ge 0}(-1)^nx^n\) serisini alalım. \(|x| < 1\) için toplamı \(\dfrac{1}{1+x}\)’tir ve \(\lim_{x \to 1^-} \dfrac{1}{1+x} = \dfrac12\) limiti gayet güzel vardır. Ama \(x = 1\)’de seri \(1 - 1 + 1 - 1 + \cdots\) olur; kısmi toplamları \(1, 0, 1, 0, \dots\) diye salınır ve genel terim sıfıra gitmediğinden ıraksar (Teorem 34.2). Demek ki uçta limitin var olması seriyi yakınsak yapmaz.
Bu limite bazen serinin “Abel toplamı” denir ve ıraksak serilere anlam yükleyen toplama yöntemlerinin çıkış noktasıdır. Bir serinin Abel toplamının varlığından yakınsaklığa geçebilmek için ek bir koşul gerekir (örneğin \(n a_n \to 0\)); böyle sonuçlara Tauber tipi teoremler denir ve ileri analizin konusudur.
Abel teoreminin asıl gücü, iç bölgede kolayca elde ettiğimiz kapalı formülleri uç noktaya taşımasıdır. Şimdi bunu üç ünlü toplam üzerinde çalıştıralım.
Örnek 43.4 (Alternan Harmonik Serinin Toplamı) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots = \ln 2\]
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Adım 1: İç bölgedeki formül. Örnek 43.2 (b) gereği \(|x| < 1\) için \(\ln(1+x) = \sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^n\)’dir; serinin yarıçapı \(R = 1\)’dir. (İşaret gösteriminde \((-1)^{n-1} = (-1)^{n+1}\)’dir.)
Adım 2: Uç noktada yakınsaklık. \(x = 1\)’de seri \(\sum_{n \ge 1} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\) olur. \(\left( \frac1n \right)\) kesin azalarak sıfıra gittiğinden Leibniz ölçütü (Sonuç 40.1) gereği bu seri yakınsaktır. (Mutlak yakınsak değildir: mutlak değerleri harmonik seriyi verir; yani seri şartlı yakınsaktır.)
Adım 3: Abel teoremi. Teorem 43.8’nin hipotezleri sağlandı. Buna göre serinin \(x = 1\)’deki toplamı, toplam fonksiyonunun soldan limitidir; \(\ln\) fonksiyonu \(2\)’de sürekli olduğundan
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} = \lim_{x \to 1^-} \ln(1+x) = \ln 2 \approx 0{,}6931.\]
Adım 4: Yakınsaklık ne kadar hızlı? Leibniz hata kestirimine (Teorem 40.2) göre \(|s_N - \ln 2| \le \dfrac{1}{N+1}\)’dir; üç ondalık basamak için \(N \approx 1000\) terim gerekir, yani seri hesap için çok yavaştır. Çok daha hızlı yol, Örnek 43.3 (c) formülünde \(\dfrac{1+x}{1-x} = 2\) veren \(x = \dfrac13\) değerini kullanmaktır:
\[\ln 2 = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)\, 3^{2n+1}} = 2\left( \frac13 + \frac{1}{3 \cdot 27} + \frac{1}{5 \cdot 243} + \cdots \right).\]
İlk beş terim \(0{,}693146\) verir; \(\ln 2 = 0{,}6931472\ldots\) olduğundan beş terim beş doğru ondalık basamak vermektedir.
\(\blacksquare\)
Örnek 43.5 (Leibniz Formülü) \[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}\]
olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Adım 1: İç bölgedeki formül. Örnek 43.2 (c) gereği \(|x| < 1\) için \(\arctan x = \sum_{n \ge 0} \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}\)’dir. Bu, çift dizinli katsayıları \(0\) olan bir kuvvet serisidir ve yarıçapı \(R = 1\)’dir (\(|x| > 1\) için genel terimi sınırsızdır).
Adım 2: Uç noktada yakınsaklık. \(x = 1\)’de seri \(\sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^n}{2n+1}\) olur; \(\left( \frac{1}{2n+1} \right)\) kesin azalarak sıfıra gittiğinden Leibniz ölçütü (Sonuç 40.1) gereği yakınsar. (Yine şartlı yakınsaktır: mutlak değerlerin serisi harmonik seriyle karşılaştırıldığında ıraksar.)
Adım 3: Abel teoremi. Teorem 43.8 gereği, \(\arctan\) fonksiyonu sürekli olduğundan
\[1 - \frac13 + \frac15 - \frac17 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = \lim_{x \to 1^-} \arctan x = \arctan 1 = \frac{\pi}{4}.\]
Adım 4: Hesap için uygun mu? Hayır. Leibniz hata kestirimine (Teorem 40.2) göre \(N\) terimden sonraki hata \(\dfrac{1}{2N+1}\) mertebesindedir; \(\pi\)’nin beş ondalık basamağı için yüz binlerce terim gerekir. Uygulamada bunun yerine \(\arctan\) serisinin küçük argümanlarda hızlı yakınsamasından yararlanan Machin formülü kullanılır:
\[\frac{\pi}{4} = 4 \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}.\]
Burada \(x = \frac15\) ve \(x = \frac{1}{239}\) için seriler geometrik hızda yakınsar. Öğrenilecek ders şudur: bir seri bir sayıyı doğru biçimde tanımlayabilir ama onu hesaplamak için elverişsiz olabilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 43.6 (Abel Teoremiyle Kapalı Bir Toplam) \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} = \frac12 - \frac16 + \frac1{12} - \frac1{20} + \cdots\]
serisinin toplamını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: İç bölgedeki kapalı biçim. Örnek 43.3 (a) gereği \(0 < |y| < 1\) için
\[T(y) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n(n+1)} = 1 + \frac{(1-y)\ln(1-y)}{y}.\]
\((-x)^n = (-1)^n x^n\) olduğundan \(T(-x) = -\sum_{n \ge 1} \dfrac{(-1)^{n-1}x^n}{n(n+1)}\)’dir. Öyleyse \(0 < x < 1\) için
\[S(x) := \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n(n+1)} = -T(-x) = -1 + \frac{(1+x)\ln(1+x)}{x}.\]
Adım 2: Uç noktada yakınsaklık. Serinin yarıçapı \(1\)’dir. \(x = 1\)’de \(\dfrac{1}{n(n+1)} \le \dfrac{1}{n^2}\) ve \(\sum \frac1{n^2}\) yakınsak olduğundan (Teorem 36.2, Teorem 35.2) seri yakınsar.
Adım 3: Abel teoremi. Teorem 43.8 gereği serinin \(x = 1\)’deki toplamı \(S\)’nin soldan limitidir:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(n+1)} = \lim_{x \to 1^-} \left( -1 + \frac{(1+x)\ln(1+x)}{x} \right) = -1 + 2\ln 2 \approx 0{,}3863.\]
Sağlama: ilk sekiz terimin kısmi toplamı \(0{,}3802\), dokuzuncusununki \(0{,}3913\)’tür; alternan serinin toplamı bu ikisi arasındadır.
Bu örnekte uç noktadaki seri mutlak yakınsak olduğundan Abel teoremi bir kolaylıktır. Önceki iki örnekte ise uçtaki seriler yalnızca şartlı yakınsaktı; orada teorem vazgeçilmezdir, çünkü şartlı yakınsak bir seriyi başka hiçbir araçla kapalı biçimdeki fonksiyonun uç değerine bağlayamayız.
\(\blacksquare\)
43.6 Alıştırmalar
Alıştırma 43.1 (Kuvvet Serilerinin Özellikleri Üzerine)
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1}\) serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz, toplam fonksiyonunu kapalı biçimde yazınız ve serinin \(x = -1\) ve \(x = 1\) uç noktalarındaki davranışını inceleyiniz.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^n\) toplamını \(|x| < 1\) için bulunuz ve \(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n+1)}{2^n}\) sayısını hesaplayınız.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^n}\), \(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n}\) ve \(\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{3^n}\) toplamlarını hesaplayınız.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}\) serisinin yarıçapını bulunuz; bu serinin her iki uç noktada yakınsadığını, buna karşın terim terim türevinin bir uç noktada ıraksadığını gösteriniz. Bu, Sonuç 43.2 ile çelişir mi?
\(y(0) = 1\) ve her \(x\) için \(y'(x) = y(x)\) koşullarını sağlayan, \(0\) merkezli pozitif yarıçaplı bir kuvvet serisiyle verilen \(y\) fonksiyonunun katsayılarını belirleyiniz.
\(\sum a_n = A\) ve \(\sum b_n = B\) yakınsak seriler, \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\) onların Cauchy çarpımının terimleri olsun. \(\sum c_n\) serisinin de yakınsak olduğu biliniyorsa, toplamının \(AB\) olduğunu Abel limit teoremiyle gösteriniz.
Çözüm
a) Katsayı \(c_n = \dfrac{1}{n+1}\)’dir. \(\sqrt[n]{n+1} \to 1\) olduğundan \(\limsup \sqrt[n]{c_n} = 1\) ve Cauchy–Hadamard formülü \(R = 1\) verir.
Toplam için \(x \ne 0\) olsun. Payları \(x\) ile tamamlayalım:
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n+1} = \frac{1}{x}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \frac{1}{x} \cdot \big( -\ln(1-x) \big) = -\frac{\ln(1-x)}{x},\]
burada Örnek 43.2 (a) kullanıldı. \(x = 0\)’da toplam \(1\)’dir (yalnızca \(n=0\) terimi kalır); \(x \to 0\) iken \(-\dfrac{\ln(1-x)}{x} \to 1\) olduğundan formül \(x = 0\)’a sürekli olarak genişler.
Uç noktalar: \(x = 1\)’de seri \(\sum_{n \ge 0} \dfrac{1}{n+1}\), yani harmonik seridir ve ıraksar (Teorem 36.2). \(x = -1\)’de seri
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+1} = 1 - \frac12 + \frac13 - \cdots\]
alternan harmonik seridir; Leibniz ölçütüyle yakınsar. Teorem 43.8’nin sol uç için ifadesi gereği toplamı
\[\lim_{x \to (-1)^+} \left( -\frac{\ln(1-x)}{x} \right) = -\frac{\ln 2}{-1} = \ln 2\]
olur; bu, Örnek 43.4 ile aynı sonuçtur.
b) \(n(n+1) = n(n-1) + 2n\) ayrıştırmasını kullanalım. Örnek 43.1 (a) ve (b) gereği \(|x| < 1\) için
\[\sum_{n=1}^{\infty} n(n+1)x^n = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)x^n + 2\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3} + \frac{2x}{(1-x)^2} = \frac{2x^2 + 2x(1-x)}{(1-x)^3} = \frac{2x}{(1-x)^3}.\]
\(x = \frac12\) koyarsak \(\displaystyle\sum_{n \ge 1} \frac{n(n+1)}{2^n} = \frac{2 \cdot \frac12}{\left( \frac12 \right)^3} = 8\) bulunur.
c) Örnek 43.1’taki formüllerde uygun \(x\) değerlerini yerine koyacağız.
\(\displaystyle\sum_{n \ge 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\) formülünde \(x = \frac12\) almak \(\dfrac{1/2}{1/4} = 2\), yani \(\sum \dfrac{n}{2^n} = 2\) verir.
\(\displaystyle\sum_{n \ge 1} n^2 x^n = \frac{x(1+x)}{(1-x)^3}\) formülünde \(x = \frac13\) alırsak
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{3^n} = \frac{\frac13 \cdot \frac43}{\left( \frac23 \right)^3} = \frac{\frac49}{\frac{8}{27}} = \frac49 \cdot \frac{27}{8} = \frac{3}{2}.\]
Son olarak \(\displaystyle\sum_{n \ge 2} n(n-1)x^n = \frac{2x^2}{(1-x)^3}\) formülünde \(x = \frac13\) alırsak \(\dfrac{2/9}{8/27} = \dfrac34\) çıkar; bu, \(\sum \frac{n^2}{3^n} - \sum \frac{n}{3^n} = \frac32 - \frac34 = \frac34\) hesabıyla uyumludur.
d) \(c_n = \dfrac{1}{n^2}\) için \(\sqrt[n]{n^2} \to 1\) olduğundan \(R = 1\)’dir.
Uç noktalar: \(x = 1\)’de seri \(\sum \frac{1}{n^2}\)’dir ve \(p = 2 > 1\) olduğundan yakınsar (Teorem 36.2). \(x = -1\)’de \(\sum \frac{(-1)^n}{n^2}\) olur; mutlak değerlerin serisi yine \(\sum \frac1{n^2}\) olduğundan mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsar. Demek ki seri \([-1,1]\)’in tamamında yakınsıyor.
Terim terim türev:
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n}.\]
Yarıçapı yine \(1\)’dir (Sonuç 43.2). Ama \(x = 1\)’de bu seri \(\sum \frac{1}{n}\), yani harmonik seridir ve ıraksar. (\(x = -1\)’de ise alternan olduğundan yakınsar.)
Bu bir çelişki değildir. Sonuç 43.2 yalnızca yakınsaklık yarıçapının korunduğunu söyler; uç noktalardaki yakınsaklık hakkında hiçbir iddiada bulunmaz. Nitekim Teorem 43.5’in sonucu da açık \((-1,1)\) aralığında ifade edilmiştir: \(|x| < 1\) için \(f'(x) = \sum_{n \ge 1} \frac{x^{n-1}}{n}\) doğrudur, \(x = 1\)’de ise eşitliğin sağ tarafı tanımsızdır. Türev almak uç noktalardaki yakınsaklığı bozabilir; bunun sebebi katsayıların \(n\) ile çarpılarak büyümesidir.
e) \(y(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n\) pozitif yarıçaplı bir kuvvet serisi olsun. Teorem 43.5 gereği aynı aralıkta
\[y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n\]
olur (son eşitlikte \(n \to n+1\) dizin kaydırması yapıldı). \(y' = y\) koşulu
\[\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)a_{n+1}x^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\]
demektir. İki kuvvet serisi bir aralıkta aynı fonksiyona eşit olduğundan Teorem 43.7 gereği katsayıları eşittir:
\[(n+1) a_{n+1} = a_n \qquad \Longrightarrow \qquad a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} \qquad (n \ge 0).\]
\(y(0) = a_0 = 1\) başlangıç koşuluyla tümevarım yaparsak
\[a_1 = \frac{a_0}{1} = 1, \quad a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{1}{2}, \quad a_3 = \frac{a_2}{3} = \frac{1}{6}, \quad \dots, \quad a_n = \frac{1}{n!}\]
bulunur. Gerçekten \(a_n = \frac{1}{n!}\) ise \(a_{n+1} = \frac{a_n}{n+1} = \frac{1}{(n+1)!}\)’dir; tümevarım kapanır (bkz. Analiz 1). Öyleyse
\[y(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}.\]
Bu serinin yakınsaklık yarıçapı \(+\infty\)’dur: sabit bir \(x\) için oran testi \(\dfrac{|x|^{n+1}/(n+1)!}{|x|^n/n!} = \dfrac{|x|}{n+1} \to 0 < 1\) verir (Teorem 37.2). Demek ki varsayımımız tutarlıdır ve \(y\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde tanımlıdır. Bu fonksiyonun \(e^x\) olduğu bir sonraki bölümde gösterilecektir.
f) Üç seri de yakınsak olduğundan genel terimleri sıfıra gider (Teorem 34.2); özellikle \((a_n)\), \((b_n)\), \((c_n)\) sınırlıdır. Katsayıları sınırlı olan bir kuvvet serisinin yarıçapı en az \(1\)’dir: \(|a_n| \le M\) ise \(|x| < 1\) için \(|a_nx^n| \le M|x|^n\) olur ve geometrik seriyle karşılaştırma (Teorem 35.2) yakınsaklık verir. Öyleyse
\[\alpha(x) = \sum_{n \ge 0} a_n x^n, \qquad \beta(x) = \sum_{n \ge 0} b_n x^n, \qquad \gamma(x) = \sum_{n \ge 0} c_n x^n\]
fonksiyonlarının üçü de \((-1,1)\) üzerinde tanımlıdır ve orada üç seri de mutlak yakınsaktır.
Mutlak yakınsak iki serinin Cauchy çarpımı, toplamlarının çarpımına yakınsar (Teorem 41.4). \(\sum a_nx^n\) ile \(\sum b_nx^n\) serilerinin Cauchy çarpımının \(n\)’inci terimi \(\left( \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k} \right)x^n = c_n x^n\) olduğundan her \(x \in (-1,1)\) için \(\gamma(x) = \alpha(x)\beta(x)\)’tir.
Üç seri de \(x = 1\)’de yakınsaktır (\(\sum c_n\) için bu varsayımdır). Yarıçapı tam \(1\) olan bir seride Teorem 43.8 doğrudan uygulanır; yarıçap \(1\)’den büyükse toplam fonksiyonu \(x = 1\)’de zaten süreklidir (Teorem 43.4) ve soldan limit yine serinin \(x = 1\)’deki toplamıdır. Her iki hâlde de \(x \to 1^-\) iken \(\alpha(x) \to A\), \(\beta(x) \to B\) ve \(\gamma(x) \to \sum c_n\) olur. \(\gamma = \alpha\beta\) eşitliğinde limit alıp çarpım kuralını kullanırsak (bkz. Analiz 1)
\[\sum_{n=0}^{\infty} c_n = \lim_{x \to 1^-} \gamma(x) = \left( \lim_{x \to 1^-}\alpha(x) \right)\left( \lim_{x \to 1^-}\beta(x) \right) = AB.\]
“\(\sum c_n\) yakınsaktır” varsayımı vazgeçilmezdir: iki yakınsak serinin Cauchy çarpımı ıraksayabilir. Klasik örnek \(a_n = b_n = \dfrac{(-1)^n}{\sqrt{n+1}}\)’dir; her iki seri Leibniz ölçütüyle (Sonuç 40.1) yakınsar. Buna karşın
\[c_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{\sqrt{k+1}} \cdot \frac{(-1)^{n-k}}{\sqrt{n-k+1}} = (-1)^n \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}\]
olur. Toplamları \((k+1) + (n-k+1) = n+2\) sabit olan iki pozitif sayının çarpımı en büyük değerini ikisi eşitken aldığından \((k+1)(n-k+1) \le \left( \dfrac{n+2}{2} \right)^2\)’dir; dolayısıyla toplamdaki \(n+1\) terimin her biri \(\dfrac{2}{n+2}\)’den küçük değildir ve
\[|c_n| \ge \frac{2(n+1)}{n+2} \ge 1\]
çıkar. Genel terim sıfıra gitmediğinden \(\sum c_n\) ıraksar (Sonuç 34.1).
\(\blacksquare\)
Bu bölümde bir kuvvet serisinin toplam fonksiyonunun, yakınsaklık aralığında sonsuz kez türevlenebilir olduğunu ve terim terim türev, terim terim integral işlemlerinin serbestçe yapılabildiğini gördük; Sonuç 43.3 ile de katsayıların \(f^{(n)}(x_0)/n!\) Taylor katsayıları olmaktan başka seçeneğinin bulunmadığını öğrendik. Bu son gözlem soruyu tersine çevirmeye davet ediyor: verilen sonsuz kez türevlenebilir bir \(f\) fonksiyonundan Taylor katsayılarını hesaplayıp seriyi kurarsak, bu seri gerçekten \(f\)’ye yakınsar mı? Yanıtı bir sonraki bölümde arıyoruz: Taylor ve Maclaurin Serileri.