30 Limitlerde Mutlak Değer, İşaret, Sıralama ve Sıkıştırma

Önceki bölümde limitin cebirsel yüzünü tamamladık: toplam, çarpım, bölüm ve bileşke (Teorem 29.2, Teorem 29.3). Bu bölümde limitin sıralamayla ilişkisine bakıyoruz. Sorularımız şunlar: \(f\)’nin limiti varsa \(|f|\)’nin de var mıdır? Limit pozitifse fonksiyon nokta yakınında pozitif midir? İki fonksiyon arasındaki bir eşitsizlik limitlerine geçer mi? Bir fonksiyon, limitleri aynı olan iki fonksiyonun arasına sıkışmışsa onun da limiti var mıdır?

Bu soruların hepsini diziler için zaten yanıtlamıştık: Teorem 20.3, Teorem 21.2, Teorem 21.3 ve Teorem 21.6. Fonksiyon sürümleri, o ispatlardaki “\(n \ge n_\varepsilon\)” ifadesini “\(0 < |x - a| < \delta\)” ile değiştirerek elde edilir; her birini yine de baştan sona yazacağız, çünkü bu değişimin nasıl yapıldığını görmek, ileride benzer teoremleri kendi başınıza kanıtlamanızın anahtarıdır. Bölümün sonunda sıkıştırma teoreminin en ünlü uygulamasını, \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\) limitini geometrik bir karşılaştırmayla kanıtlayacağız.

Bölüm boyunca \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme, \(f : A \to \mathbb{R}\) bir fonksiyon ve \(a \in A'\), yani \(a\) noktası \(A\)’nın bir yığılma noktasıdır (Tanım 17.1). “\(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda” sözü (Tanım 15.2), “\(x \in A\) ve \(0 < |x - a| < \delta\) olan bütün \(x\)’ler için, uygun bir \(\delta > 0\) ile” anlamındadır. Hatırlatma: \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) demek (Tanım 27.1), her \(\varepsilon > 0\) için öyle bir \(\delta > 0\) bulunması demektir ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - \ell| < \varepsilon.\]

30.1 Mutlak Değerin Limiti

\(f(x)\) değerleri \(\ell\)’ye yaklaşıyorsa \(|f(x)|\) değerlerinin \(|\ell|\)’ye yaklaşması beklenir; çünkü mutlak değer, iki sayı arasındaki uzaklığı büyütmez: \(\big|\,|u| - |v|\,\big| \le |u - v|\). Bu, ters üçgen eşitsizliğidir (Sonuç 8.3) ve ispatın bütün işini o yapar.

Teorem 30.1 (Mutlak Değerin Limiti) \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(a \in A'\) olsun. \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ise

\[\lim_{x \to a} |f(x)| = |\ell|.\]

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olduğundan öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - \ell| < \varepsilon.\]

Böyle bir \(x\) için ters üçgen eşitsizliğini (Sonuç 8.3) \(u = f(x)\), \(v = \ell\) ile uygulayalım:

\[\big|\,|f(x)| - |\ell|\,\big| \le |f(x) - \ell| < \varepsilon.\]

Demek ki aynı \(\delta\), \(|f|\) fonksiyonu ve \(|\ell|\) sayısı için limit tanımının koşulunu sağlar: \(\lim_{x \to a} |f(x)| = |\ell|\).

\(\blacksquare\)

Teorem, \(\lim_{x \to 2} |x^2 - 7| = |4 - 7| = 3\) türünden limitleri tek adımda verir. Ancak teoremin karşıtı doğru değildir: \(|f|\)’nin limiti varken \(f\)’nin limiti olmayabilir, çünkü mutlak değer işaret bilgisini siler ve tam da bu bilgi bozuk olabilir.

Örnek 30.1 (Mutlak Değerin Limiti Var, Fonksiyonun Yok) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

\[f(x) = \begin{cases} -1, & x \in \mathbb{Q}, \\ 1, & x \notin \mathbb{Q} \end{cases}\]

olsun. Her \(a \in \mathbb{R}\) için \(\lim_{x \to a} |f(x)|\) limitinin var olduğunu ama \(\lim_{x \to a} f(x)\) limitinin olmadığını gösteriniz.

Çözüm

Her \(x\) için \(|f(x)| = 1\)’dir; yani \(|f|\) sabit \(1\) fonksiyonudur ve sabit fonksiyonun limiti kendisidir: her \(a \in \mathbb{R}\) için \(\lim_{x \to a} |f(x)| = 1\).

\(f\)’nin \(a\)’da limiti olmadığını dizisel ölçütle (Sonuç 28.1) gösterelim. Her \(n \in \mathbb{N}\) için \((a, a + 1/n)\) aralığında rasyonellerin yoğunluğu (Teorem 13.5) gereği bir \(r_n \in \mathbb{Q}\), irrasyonellerin yoğunluğu (Teorem 13.6) gereği bir \(s_n \notin \mathbb{Q}\) vardır. \(a < r_n < a + 1/n\) olduğundan \(r_n \ne a\) ve \(|r_n - a| < 1/n\); dolayısıyla \(r_n \to a\). Aynı biçimde \(s_n \ne a\) ve \(s_n \to a\). Görüntü dizileri ise sabittir:

\[f(r_n) = -1 \to -1, \qquad f(s_n) = 1 \to 1.\]

\(a\)’ya yakınsayan, \(a\)’dan farklı terimli iki dizinin görüntüleri farklı limitlere gittiğinden Sonuç 28.1 gereği \(\lim_{x \to a} f(x)\) yoktur.

Sonuç: \(|f|\)’nin her noktada limiti vardır, \(f\)’nin hiçbir noktada yoktur. (\(f = 1 - 2D\) yazılabilir; burada \(D\), Örnek 28.3’ndaki Dirichlet fonksiyonudur: rasyonellerde \(1 - 2 = -1\), irrasyonellerde \(1 - 0 = 1\).)

\(\blacksquare\)

Karşıtın doğru olduğu tek durum \(\ell = 0\)’dır: sıfıra yaklaşmak için işaretin önemi yoktur.

Sonuç 30.1 (Sıfır Limiti ve Mutlak Değer) \(f : A \to \mathbb{R}\) ve \(a \in A'\) olsun. O zaman

\[\lim_{x \to a} f(x) = 0 \iff \lim_{x \to a} |f(x)| = 0.\]

İspat

(\(\Rightarrow\)) Teorem 30.1’u \(\ell = 0\) ile uygulayalım: \(\lim_{x \to a} |f(x)| = |0| = 0\).

(\(\Leftarrow\)) \(\lim_{x \to a} |f(x)| = 0\) olsun ve \(\varepsilon > 0\) verilsin. Öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(\big|\,|f(x)| - 0\,\big| < \varepsilon\). Ama \(\big|\,|f(x)| - 0\,\big| = |f(x)| = |f(x) - 0|\) olduğundan bu, aynı \(x\)’ler için \(|f(x) - 0| < \varepsilon\) demektir; yani \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\).

\(\blacksquare\)

30.2 Limitin İşaretini Koruma

Limit \(\ell\) sıfırdan farklıysa \(f(x)\) değerleri, \(a\)’ya yeterince yakın \(x\)’lerde \(\ell\)’nin “yanında” kalır; dolayısıyla ne sıfır olabilir ne de \(\ell\)’nin tersi işarette. Bunun niceliksel hâli, bölüm kuralının ispatında (Teorem 29.2 (4), Adım 1) zaten karşımıza çıkmıştı; şimdi kayda geçiriyoruz.

Teorem 30.2 (İşaret Koruma) \(f : A \to \mathbb{R}\), \(a \in A'\) ve \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olsun.

\(\ell \ne 0\) ise öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x)| > \frac{|\ell|}{2};\]

özellikle böyle \(x\)’ler için \(f(x) \ne 0\).
\(\ell > 0\) ise öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(f(x) > \dfrac{\ell}{2} > 0\).
\(\ell < 0\) ise öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(f(x) < \dfrac{\ell}{2} < 0\).

İspat

(1) \(\varepsilon = \dfrac{|\ell|}{2} > 0\) alalım ve limit tanımını uygulayalım: öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; |f(x) - \ell| < \frac{|\ell|}{2}.\]

Ters üçgen eşitsizliği (Sonuç 8.3) \(|\ell| - |f(x)| \le \big|\,|f(x)| - |\ell|\,\big| \le |f(x) - \ell|\) verir; böyle \(x\)’ler için

\[|f(x)| \ge |\ell| - |f(x) - \ell| > |\ell| - \frac{|\ell|}{2} = \frac{|\ell|}{2} > 0.\]

Özellikle \(|f(x)| > 0\), yani \(f(x) \ne 0\)’dır.

(2) \(\ell > 0\) olsun ve \(\varepsilon = \dfrac{\ell}{2} > 0\) seçelim. Limit tanımı gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(|f(x) - \ell| < \dfrac{\ell}{2}\). Mutlak değerli eşitsizliği açalım (Önerme 8.6):

\[-\frac{\ell}{2} < f(x) - \ell < \frac{\ell}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\ell}{2} < f(x) < \frac{3\ell}{2}.\]

Soldaki eşitsizlik istenendir: \(f(x) > \ell/2 > 0\).

(3) \(\ell < 0\) olsun. \(-f\) fonksiyonunun limiti \(-\ell > 0\)’dır (Sonuç 29.2 (2)). (2)’yi \(-f\)’ye uygularsak öyle bir \(\delta > 0\) buluruz ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(-f(x) > \dfrac{-\ell}{2}\), yani \(f(x) < \dfrac{\ell}{2} < 0\).

\(\blacksquare\)

Teoremin işlevi, bir eşitsizliği noktadan komşuluğa taşımaktır: limit hakkında bildiğimiz tek bir bilgi (\(\ell > 0\)), fonksiyonun bir bütün delinmiş komşuluktaki davranışını belirler. Bu bölümde sıralama teoreminin ispatında, ileride ise süreklilik için işaret koruma ve Bolzano’nun sıfır yeri teoreminde (Teorem 35.1) kullanılacaktır.

Limit sıfırsa işaret hakkında bir şey söylenemez

Teorem, \(\ell = 0\) hâlinde hiçbir şey söylemez ve söyleyemez: \(f(x) = x\) fonksiyonu \(0\)’da \(0\)’a yakınsar ama \(0\)’ın her delinmiş komşuluğunda hem pozitif hem negatif değer alır. Benzer biçimde “\(f(x) \ge 0\) komşulukta” varsayımından \(\ell > 0\) değil yalnızca \(\ell \ge 0\) çıkar (aşağıda Sonuç 30.2). Kesin eşitsizlik yalnızca “limitten fonksiyona” doğru korunur, “fonksiyondan limite” doğru değil.

30.3 Sınırlı Fonksiyon ile Sıfıra Giden Fonksiyonun Çarpımı

Çarpım kuralı (Teorem 29.2 (2)) iki fonksiyonun da limitinin olmasını ister. Oysa çarpanlardan biri sıfıra gidiyorsa ötekinin limitinin olmasına gerek yoktur; sınırlı kalması yeter. Sezgi basittir: “çok küçük” çarpı “en fazla \(M\)” yine “çok küçük”tür. Diziler için bunu Teorem 21.2 olarak görmüştük.

Teorem 30.3 (Sınırlı Fonksiyon Çarpı Sıfıra Giden Fonksiyon) \(f, g : A \to \mathbb{R}\) ve \(a \in A'\) olsun. \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) olsun ve \(g\), \(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda sınırlı olsun; yani öyle \(\delta_1 > 0\) ve \(M > 0\) bulunsun ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta_1 \;\Rightarrow\; |g(x)| \le M.\]

O zaman

\[\lim_{x \to a} f(x)\,g(x) = 0.\]

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\) olduğundan limit tanımını \(\dfrac{\varepsilon}{M} > 0\) sayısı için uygulayabiliriz: öyle bir \(\delta_2 > 0\) vardır ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta_2 \;\Rightarrow\; |f(x)| = |f(x) - 0| < \frac{\varepsilon}{M}.\]

\(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\) alalım. \(x \in A\) ve \(0 < |x - a| < \delta\) ise hem \(|g(x)| \le M\) hem \(|f(x)| < \varepsilon/M\) sağlanır; \(|uv| = |u|\,|v|\) (Teorem 8.1) ile

\[|f(x)g(x) - 0| = |f(x)|\,|g(x)| < \frac{\varepsilon}{M} \cdot M = \varepsilon.\]

Bu, \(\lim_{x \to a} f(x)g(x) = 0\) demektir.

\(\blacksquare\)

İki not: Birincisi, \(g\) bütün \(A\) üzerinde sınırlıysa her delinmiş komşulukta da sınırlıdır; teorem doğrudan uygulanır. İkincisi, teoremin gücü \(g\) hakkında limit istememesindedir: \(g\)’nin \(a\)’da limiti olmayabilir, salınabilir, hatta hiçbir noktada limiti olmayabilir. Bunun klasik örneği aşağıdadır; \(\sin(1/x)\)’in \(0\)’da limiti olmadığını Örnek 28.2’te görmüştük, bu yüzden çarpım kuralı burada işe yaramaz.

Örnek 30.2 (x Çarpı Sinüs Bir Bölü x) \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\),

\[h(x) = \begin{cases} x \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \ne 0, \\ 0, & x = 0 \end{cases}\]

olsun. \(\lim_{x \to 0} h(x) = 0\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(A = \mathbb{R}\) ve \(a = 0 \in A'\). \(h\)’yi iki fonksiyonun çarpımı olarak yazalım: \(f(x) = x\) ve

\[g(x) = \begin{cases} \sin\left(\dfrac{1}{x}\right), & x \ne 0, \\ 0, & x = 0. \end{cases}\]

\(x \ne 0\) için \(f(x)g(x) = x \sin(1/x) = h(x)\), \(x = 0\) için \(f(0)g(0) = 0 = h(0)\); yani \(\mathbb{R}\) üzerinde \(h = fg\)’dir. Birim fonksiyonun limiti \(\lim_{x \to 0} x = 0\)’dır (tanımda \(\delta = \varepsilon\) almak yeter). \(g\) ise bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde sınırlıdır: \(|\sin t| \le 1\) olduğundan (sinüs hakkında kullandığımız olguları bölümün son kesimindeki Kabul edilen trigonometrik ve geometrik olgular kutusunda topluca listeliyoruz) her \(x\) için \(|g(x)| \le 1\); \(M = 1\) alınabilir. Teorem 30.3 gereği

\[\lim_{x \to 0} x \sin\left(\frac{1}{x}\right) = 0.\]

Aynı sonucu doğrudan da görebiliriz: \(x \ne 0\) için \(|h(x)| = |x|\,|\sin(1/x)| \le |x|\); yani \(h\)’nin grafiği \(y = |x|\) ve \(y = -|x|\) doğruları arasında kalır ve bu iki doğru \(0\)’da birleşir. \(\varepsilon > 0\) verildiğinde \(\delta = \varepsilon\) seçmek yeter.

y = x sin(1/x) grafiği, kesikli çizilen y = |x| ve y = −|x| zarfları arasında kalır: −|x| ≤ x sin(1/x) ≤ |x|. Salınımlar 0'a yaklaşırken sıklaşır, ama iki zarf 0'da birleştiğinden fonksiyon aralarında sıkışıp 0'a gider.

Grafik \(0\)’a yaklaşırken sonsuz kez salınır, ama salınımın genliği \(|x|\) ile birlikte sıfıra iner; limit bu yüzden vardır. (\(h(0) = 0\) tanımı limite eşit olduğundan \(h\) aslında \(0\)’da süreklidir; bunu Süreklilik bölümünde Tanım 33.1 ile söyleyeceğiz.)

\(\blacksquare\)

30.4 Limit ve Sıralama

Şimdi ana soruya geliyoruz: iki fonksiyon arasındaki bir eşitsizlik limitlerine geçer mi? Yanıt evettir, ancak “\(\le\)” olarak: kesin eşitsizlik limite geçerken eşitliğe gevşeyebilir. Ters yönde ise limitler arasındaki kesin eşitsizlik, fonksiyonlar arasında bir komşulukta kesin eşitsizlik doğurur. Diziler için bu, Teorem 21.3 idi.

Teorem 30.4 (Limit ve Sıralama) \(f, g : A \to \mathbb{R}\), \(a \in A'\) ve

\[\lim_{x \to a} f(x) = \ell_1, \qquad \lim_{x \to a} g(x) = \ell_2\]

olsun.

\(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(f(x) \le g(x)\) ise — yani öyle bir \(\delta > 0\) varsa ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) iken \(f(x) \le g(x)\) — o zaman \(\ell_1 \le \ell_2\)’dir.
\(\ell_1 < \ell_2\) ise öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta \;\Rightarrow\; f(x) < g(x).\]

İspat

(1) \(h(x) = g(x) - f(x)\) olsun; hipoteze göre öyle bir \(\delta' > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta'\) iken \(h(x) \ge 0\). Fark kuralı (Sonuç 29.2 (1)) ile

\[\lim_{x \to a} h(x) = \ell_2 - \ell_1.\]

Olmayana ergi ile ilerleyelim: \(\ell_1 > \ell_2\) olsun. O zaman \(\ell_2 - \ell_1 < 0\)’dır ve Teorem 30.2 (3) gereği öyle bir \(\delta'' > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta''\) iken \(h(x) < 0\). Şimdi \(\delta = \min\{\delta', \delta''\}\) alalım. \(a\), \(A\)’nın bir yığılma noktası olduğundan (Tanım 17.1) \(0 < |x - a| < \delta\) koşulunu sağlayan en az bir \(x \in A\) vardır. Bu \(x\) için hem \(h(x) \ge 0\) hem \(h(x) < 0\) olur; çelişki. O hâlde \(\ell_1 \le \ell_2\).

(2) \(\ell_1 < \ell_2\) olsun ve iki limitin “tam ortasına” kadar olan yarı uzaklığı alalım:

\[\varepsilon = \frac{\ell_2 - \ell_1}{2} > 0.\]

Limit tanımlarını bu \(\varepsilon\) için uygulayarak öyle \(\delta_1, \delta_2 > 0\) seçelim ki \(x \in A\) için

\(\delta = \min\{\delta_1, \delta_2\}\) olsun ve \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) olsun. Birinci eşitsizlikten \(f(x) < \ell_1 + \varepsilon\), ikincisinden \(g(x) > \ell_2 - \varepsilon\) çıkar. Ama \(\varepsilon\)’un seçimi gereği

\[\ell_1 + \varepsilon = \ell_1 + \frac{\ell_2 - \ell_1}{2} = \frac{\ell_1 + \ell_2}{2} = \ell_2 - \frac{\ell_2 - \ell_1}{2} = \ell_2 - \varepsilon.\]

Dolayısıyla

\[f(x) < \frac{\ell_1 + \ell_2}{2} < g(x),\]

yani bu komşulukta \(f(x) < g(x)\)’tir.

\(\blacksquare\)

Teoremin (1) maddesi “eşitsizlikler limite geçer” kuralıdır; hesaplarda genellikle sabit fonksiyonlarla kullanılır.

Sonuç 30.2 (Sabit Sınırlar Limite Geçer) \(f : A \to \mathbb{R}\), \(a \in A'\) ve \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olsun; \(b, c \in \mathbb{R}\) verilsin.

\(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(b \le f(x)\) ise \(b \le \ell\)’dir.
\(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(f(x) \le c\) ise \(\ell \le c\)’dir.

Özellikle, \(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(b \le f(x) \le c\) ise \(b \le \ell \le c\)’dir.

İspat

\(u(x) = b\) ve \(v(x) = c\) sabit fonksiyonlarını alalım; sabit fonksiyonun limiti kendisidir: \(\lim_{x \to a} u(x) = b\), \(\lim_{x \to a} v(x) = c\). (1) için Teorem 30.4 (1)’i \(u \le f\) çiftine uygulayalım: \(b \le \ell\). (2) için aynı teoremi \(f \le v\) çiftine uygulayalım: \(\ell \le c\). İkisi birlikte son ifadeyi verir.

\(\blacksquare\)

Sıralama teoremi her iki fonksiyonun da limitinin olmasını ister. Karşılaştırılan fonksiyonlardan biri sıfıra gidiyorsa ötekinin limitinin varlığını varsaymaya gerek yoktur; onu ispatlarız.

Sonuç 30.3 (Sıfıra Giden Fonksiyonla Karşılaştırma) \(f, g : A \to \mathbb{R}\) ve \(a \in A'\) olsun. \(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(|f(x)| \le g(x)\) ise ve \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\) ise \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\)’dır. Özellikle: komşulukta \(0 \le f(x) \le g(x)\) ve \(g \to 0\) ise \(f \to 0\).

İspat

Hipotez gereği öyle bir \(\delta_0 > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta_0\) iken \(|f(x)| \le g(x)\). \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(\lim_{x \to a} g(x) = 0\) olduğundan öyle bir \(\delta_1 > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta_1\) iken \(|g(x)| < \varepsilon\). \(\delta = \min\{\delta_0, \delta_1\}\) alalım. \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) ise

\[|f(x) - 0| = |f(x)| \le g(x) \le |g(x)| < \varepsilon.\]

Demek ki \(\lim_{x \to a} f(x) = 0\). (\(0 \le f(x) \le g(x)\) hâlinde \(|f(x)| = f(x) \le g(x)\) olduğundan ilk ifade uygulanır.)

\(\blacksquare\)

Dikkat: bu sonucu Teorem 30.4 (1) ile “\(0 \le \lim f \le \lim g = 0\)” diye kanıtlamak eksik olurdu, çünkü o teorem \(\lim f\)’nin var olduğunu baştan ister; burada varlık sonucun bir parçasıdır. Aynı nedenle Teorem 30.3 da bu sonucun bir özel hâli olarak görülebilir: \(|f(x)g(x)| \le M|f(x)|\) ve \(M|f(x)| \to 0\).

Kesin eşitsizlik limitte kesin kalmaz

\(a\)’nın bir delinmiş komşuluğundaki her \(x\) için \(f(x) < g(x)\) olsa bile limitler eşit olabilir. Teorem 30.4 (1) yalnızca \(\ell_1 \le \ell_2\) der ve daha fazlasını diyemez; aşağıdaki örnek bunu gösteriyor. Diziler için Teorem 21.3’nın ardından gördüğümüz \(0 < 1/n\) örneğinin (her \(n\) için kesin eşitsizlik, limitler ise \(0 = 0\)) fonksiyon karşılığıdır.

Örnek 30.3 (Kesin Eşitsizlik, Eşit Limitler) \(A = (-1, 1) \setminus \{0\}\), \(a = 0\) ve \(f(x) = x^4\), \(g(x) = x^2\) olsun. Her \(x \in A\) için \(f(x) < g(x)\) olduğunu, buna karşın \(\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} g(x)\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\(x \in A\) ise \(0 < |x| < 1\)’dir; dolayısıyla \(x^2 > 0\) ve \(x^2 = |x|^2 < 1\). Pozitif \(x^2\) ile çarparak

\[x^4 = x^2 \cdot x^2 < x^2 \cdot 1 = x^2,\]

yani her \(x \in A\) için \(f(x) < g(x)\). Öte yandan \(x^4\) ve \(x^2\) polinomdur; Sonuç 29.3 ile \(\lim_{x \to 0} x^4 = 0\) ve \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\). (Tanım kümesini \(\mathbb{R}\)’den \(A\)’ya daraltmak limiti bozmaz: limit tanımındaki koşul daha az \(x\) için istenir, dolayısıyla \(\mathbb{R}\) için bulunan \(\delta\) burada da işe yarar.) Demek ki kesin eşitsizliğe rağmen limitler eşittir: \(0 = 0\).

\(\blacksquare\)

30.5 Sıkıştırma Teoremi

Sıralama teoremi iki fonksiyonun limitini karşılaştırır. Sıkıştırma teoremi ise limiti olup olmadığını bilmediğimiz bir fonksiyon hakkında sonuç verir: fonksiyon, aynı limite giden iki fonksiyonun arasına sıkışmışsa onun da limiti vardır ve aynıdır. Diziler için Teorem 21.6 olarak gördüğümüz bu teorem, limit hesabının en çok kullanılan aracıdır; \(\varepsilon\)–\(\delta\) ile doğrudan uğraşmanın zor olduğu salınımlı fonksiyonlarda ve trigonometrik limitlerde başvuracağız.

Teorem 30.5 (Sıkıştırma Teoremi) \(f, g, h : A \to \mathbb{R}\) ve \(a \in A'\) olsun. Öyle bir \(\delta_0 > 0\) bulunsun ki

\[x \in A, \; 0 < |x - a| < \delta_0 \;\Rightarrow\; f(x) \le g(x) \le h(x).\]

\(\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} h(x) = \ell\) ise \(\lim_{x \to a} g(x)\) vardır ve

\[\lim_{x \to a} g(x) = \ell.\]

İspat

\(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) olduğundan öyle bir \(\delta_1 > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta_1\) iken \(|f(x) - \ell| < \varepsilon\), yani

\[\ell - \varepsilon < f(x) < \ell + \varepsilon.\]

Benzer biçimde \(\lim_{x \to a} h(x) = \ell\) olduğundan öyle bir \(\delta_2 > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta_2\) iken

\[\ell - \varepsilon < h(x) < \ell + \varepsilon.\]

\(\delta = \min\{\delta_0, \delta_1, \delta_2\}\) alalım ve \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta\) olsun. Üç koşul da sağlandığından eşitsizlikleri zincirleyebiliriz:

\[\ell - \varepsilon < f(x) \le g(x) \le h(x) < \ell + \varepsilon.\]

Zincirin iki ucu \(\ell - \varepsilon < g(x) < \ell + \varepsilon\), yani \(|g(x) - \ell| < \varepsilon\) verir. \(\varepsilon\) keyfi olduğundan \(\lim_{x \to a} g(x) = \ell\)’dir.

\(\blacksquare\)

Teoremi kullanmanın reçetesi şudur: limiti aranan \(g\)’yi, limitini hesaplayabildiğimiz iki fonksiyonun arasına al; iki sınırın limiti aynıysa bitti. En sık kullanılan sınırlar \(-|u(x)| \le u(x)\cos(\cdot) \le |u(x)|\) türünden, sınırlı bir çarpanın \(\pm 1\) ile değiştirilmesiyle elde edilir.

Örnek 30.4 (x Kare Çarpı Kosinüs Bir Bölü x Küp) \(\displaystyle \lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x^3}\right)\) limitini hesaplayınız.

Çözüm

Tanım kümesi \(A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\) ve \(0 \in A'\). Çarpım kuralı doğrudan kullanılamaz: \(\cos(1/x^3)\) fonksiyonunun \(0\)’da limiti yoktur (Örnek 28.2’teki gibi, \(\cos\) değeri \(1\) ve \(-1\) olan iki dizi \(0\)’a yakınsatılabilir). Sıkıştırma teoremine başvuralım.

Kosinüs her reel sayıda \(-1\) ile \(1\) arasındadır: her \(x \ne 0\) için

\[-1 \le \cos\left(\frac{1}{x^3}\right) \le 1.\]

Eşitsizliği \(x^2 \ge 0\) ile çarpalım; çarpan negatif olmadığından yön değişmez:

\[-x^2 \le x^2 \cos\left(\frac{1}{x^3}\right) \le x^2.\]

\(f(x) = -x^2\) ve \(h(x) = x^2\) alalım; Sonuç 29.3 ile \(\lim_{x \to 0} (-x^2) = 0\) ve \(\lim_{x \to 0} x^2 = 0\). Teorem 30.5 gereği (\(\delta_0\) olarak herhangi bir pozitif sayı işe yarar; eşitsizlik bütün \(A\) üzerinde geçerlidir)

\[\lim_{x \to 0} x^2 \cos\left(\frac{1}{x^3}\right) = 0.\]

Alternatif: \(x^2 \to 0\) ve \(\cos(1/x^3)\) sınırlı olduğundan Teorem 30.3 da aynı sonucu verir.

\(\blacksquare\)

Örnek 30.5 (İki Polinom Arasına Sıkışan Fonksiyon) \(f\), \(x \ne 2\) olan her \(x\) için tanımlı ve

\[2x - 1 \le f(x) \le x^2 - 2x + 3\]

eşitsizliğini sağlayan bir fonksiyon olsun. \(\lim_{x \to 2} f(x)\) limitini bulunuz.

Çözüm

\(f\) hakkında eşitsizlikten başka hiçbir şey bilmiyoruz; limitin varlığını da ancak sıkıştırma teoremi verebilir. Alt sınır \(g(x) = 2x - 1\) ve üst sınır \(h(x) = x^2 - 2x + 3\) polinomlardır; Sonuç 29.3 ile

\[\lim_{x \to 2} (2x - 1) = 2 \cdot 2 - 1 = 3, \qquad \lim_{x \to 2} (x^2 - 2x + 3) = 4 - 4 + 3 = 3.\]

İki sınırın limiti aynıdır ve \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) eşitsizliği \(2\)’nin her delinmiş komşuluğunda geçerlidir. Teorem 30.5 gereği

\[\lim_{x \to 2} f(x) = 3.\]

Sınırların neden \(2\)’de “buluştuğuna” bakmak öğreticidir: \(h(x) - g(x) = x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2\), yani iki sınır arasındaki açıklık \(2\)’ye yaklaşırken sıfıra iner; \(f\)’ye başka yer kalmaz.

\(\blacksquare\)

Sınırların limitleri farklıysa teorem susar

Sıkıştırma teoremi, alt ve üst sınırların limitleri aynı olduğunda çalışır. \(-1 \le \sin(1/x) \le 1\) eşitsizliği her \(x \ne 0\) için doğrudur ve sınırların limitleri \(-1\) ile \(1\)’dir; ama \(\sin(1/x)\)’in \(0\)’da limiti yoktur (Örnek 28.2). Sınırlar farklı yerlere gidiyorsa aradaki fonksiyon hakkında ne “limiti vardır” ne de “yoktur” diyebiliriz; yalnızca, limiti varsa Sonuç 30.2 gereği \([-1, 1]\) içinde olduğunu söyleyebiliriz.

30.6 Sinüs x Bölü x Limiti

\(\dfrac{\sin x}{x}\) fonksiyonu \(x = 0\)’da tanımsızdır; pay ve payda birlikte sıfıra gider, bölüm kuralı uygulanamaz. Buna rağmen \(0\)’a yaklaşırken bölümün \(1\)’e yaklaştığını göstereceğiz. Bu limit, trigonometrik fonksiyonların türevlerinin hesabında temel taştır ve ispatı sıkıştırma teoreminin en güzel örneğidir: \(\dfrac{\sin x}{x}\)’i, birim çemberdeki üç bölgenin alanlarını karşılaştırarak \(\cos x\) ile \(1\) arasına sıkıştırırız.

Kabul edilen trigonometrik ve geometrik olgular

Sinüs ve kosinüs bu derste henüz analitik olarak tanımlanmadı; kesin tanımları Analiz 2’de kuvvet serileriyle yapılacaktır. Burada liseden bilinen geometrik tanımlarıyla çalışıyor ve şunları kabul ediyoruz:

Birim çember üzerinde \((1, 0)\) noktasından saat yönünün tersine \(x\) uzunluğunda yay gidildiğinde varılan nokta \((\cos x, \sin x)\)’tir. Her \(x\) için \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\), \(|\sin x| \le 1\), \(|\cos x| \le 1\); \(\sin\) tek, \(\cos\) çift fonksiyondur: \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\cos(-x) = \cos x\).
\(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\) için \(\sin x > 0\) ve \(\cos x > 0\); \(\cos x \ne 0\) olduğunda \(\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}\).
Yarım açı özdeşliği: her \(x\) için \(\cos x = 1 - 2\sin^2\dfrac{x}{2}\).
Tabanı \(1\), yüksekliği \(y\) olan üçgenin alanı \(\dfrac{y}{2}\); birim dairede merkez açısı \(x\) radyan (\(0 < x < \pi/2\)) olan daire diliminin alanı \(\dfrac{x}{2}\)’dir. Bir bölge başka bir bölgenin içinde kalıyor ve aralarında boş yer bulunuyorsa, içtekinin alanı dıştakinin alanından kesinlikle küçüktür.

Bu olgulardan türeteceğimiz her şey, ileride sinüs ve kosinüs analitik olarak tanımlandığında da geçerli kalacaktır; Süreklilik bölümünde aynı düzeyde bir kabulle \(\sin\) ve \(\cos\)’un sürekliliği gösterilecektir.

Teorem 30.6 (Sinüs x Bölü x Limiti) \[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\]

İspat

Fonksiyonun tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır ve \(0\) bu kümenin bir yığılma noktasıdır. İspat beş adımdan oluşur: önce \(0 < x < \pi/2\) için geometrik bir eşitsizlik, sonra bunun \(\dfrac{\sin x}{x}\) için verdiği sıkıştırma eşitsizliği, sonra negatif \(x\)’lere geçiş, sonra yardımcı limit \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\) ve son olarak sıkıştırma teoremi.

Adım 1: Geometrik eşitsizlik. \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\) olsun. Birim çemberde \(O = (0, 0)\), \(B = (1, 0)\), \(P = (\cos x, \sin x)\) ve \(T = (1, \tan x)\) noktalarını alalım (\(\cos x > 0\) olduğundan \(\tan x\) tanımlıdır). Üç bölge iç içedir:

\(OBP\) üçgeni: tabanı \(OB = 1\), yüksekliği \(P\)’nin \(x\)-eksenine uzaklığı \(\sin x\); alanı \(\dfrac{\sin x}{2}\).
Merkez açısı \(x\) olan \(OBP\) daire dilimi; alanı \(\dfrac{x}{2}\).
\(OBT\) dik üçgeni: tabanı \(OB = 1\), yüksekliği \(BT = \tan x\); alanı \(\dfrac{\tan x}{2}\).

Üçgen \(OBP\) daire diliminin, daire dilimi de \(OBT\) üçgeninin içinde kalır (çember yayı, \(P\) ile \(B\)’yi birleştiren kirişin dışında ve \(B\)’deki teğet doğrusunun içindedir). Alanlar karşılaştırılınca

\[\frac{\sin x}{2} < \frac{x}{2} < \frac{\tan x}{2}, \qquad\text{yani}\qquad \sin x < x < \tan x \qquad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right). \tag{1}\]

Birim çemberde x açısı için üç alan iç içedir: OBP üçgeni (yüksekliği sin x), OBP daire dilimi (alanı x/2) ve OBT dik üçgeni (yüksekliği tan x). Alanları karşılaştırmak sin x ≤ x ≤ tan x eşitsizliğini verir; sin x'e bölüp sıkıştırınca sin x/x → 1 çıkar.

Adım 2: Sıkıştırma eşitsizliği. (1)’de \(\sin x > 0\) olduğundan üç terimi de \(\sin x\)’e bölebiliriz; yön değişmez:

\[1 < \frac{x}{\sin x} < \frac{\tan x}{\sin x} = \frac{1}{\cos x}.\]

Üç terim de pozitiftir; pozitif sayılarda ters alma sıralamayı çevirir (\(0 < u < v \Rightarrow 0 < 1/v < 1/u\), Önerme 7.10). Böylece

\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 \qquad \left(0 < x < \frac{\pi}{2}\right). \tag{2}\]

Adım 3: Negatif tarafa geçiş. \(-\dfrac{\pi}{2} < x < 0\) olsun; o zaman \(0 < -x < \dfrac{\pi}{2}\) ve (2) \(-x\) için geçerlidir. \(\sin\) tek, \(\cos\) çift fonksiyon olduğundan

\[\frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin x}{-x} = \frac{\sin x}{x}, \qquad \cos(-x) = \cos x;\]

yani \(\dfrac{\sin x}{x}\) ve \(\cos x\) çift fonksiyonlardır ve (2) negatif \(x\) için de doğrudur. Sonuç: \(0 < |x| < \dfrac{\pi}{2}\) olan her \(x\) için

\[\cos x < \frac{\sin x}{x} < 1. \tag{3}\]

Adım 4: Yardımcı limit \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\). (1)’den ve \(\sin\)’in tek fonksiyon olmasından, \(0 < |t| < \dfrac{\pi}{2}\) için \(|\sin t| < |t|\) elde ederiz (\(t > 0\) ise doğrudan (1); \(t < 0\) ise \(|\sin t| = |\sin(-t)| = \sin(-t) < -t = |t|\)). Yarım açı özdeşliğiyle, \(0 < |x| < \dfrac{\pi}{2}\) için

\[0 \le 1 - \cos x = 2 \sin^2 \frac{x}{2} = 2 \left|\sin \frac{x}{2}\right|^2 \le 2 \left|\frac{x}{2}\right|^2 = \frac{x^2}{2}.\]

Yani \(1 - \dfrac{x^2}{2} \le \cos x \le 1\). Alt sınır bir polinomdur ve \(\lim_{x \to 0}\left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) = 1\) (Sonuç 29.3); üst sınır sabittir. Teorem 30.5 gereği \(\lim_{x \to 0} \cos x = 1\).

Adım 5: Sıkıştırma. (3) eşitsizliği \(\delta_0 = \dfrac{\pi}{2}\) ile Teorem 30.5’un hipotezini sağlar: \(f(x) = \cos x\), \(g(x) = \dfrac{\sin x}{x}\), \(h(x) = 1\). Adım 4 ile \(\lim_{x \to 0} f(x) = 1\), sabit fonksiyon için \(\lim_{x \to 0} h(x) = 1\). O hâlde

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1.\]

\(\blacksquare\)

İspatın yan ürünleri de en az sonuç kadar değerlidir; onları toplayalım. Aşağıdaki (3) maddesi, kosinüsün \(1\)’e “\(x\)’ten daha hızlı” yaklaştığını söyler ve \(\cos\)’un türevini hesaplarken gerekecektir.

Sonuç 30.4 (Sinüs ve Kosinüsün Sıfırdaki Özel Limitleri)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \sin x = 0\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \cos x = 1\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = 0\).
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1\).
Her \(k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) için \(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k\).

İspat

(1) Teorem 30.6 ispatının Adım 4’ünde \(0 < |x| < \pi/2\) için \(|\sin x| < |x|\) görüldü. \(g(x) = |x|\) için \(\lim_{x \to 0} |x| = 0\)’dır (Teorem 30.1, birim fonksiyona uygulanarak). Sonuç 30.3 ile \(\lim_{x \to 0} \sin x = 0\).

(2) Aynı ispatın Adım 4’ünde gösterildi.

(3) Adım 4’teki \(0 \le 1 - \cos x \le \dfrac{x^2}{2}\) eşitsizliğini \(|x| > 0\)’a bölelim: \(0 < |x| < \pi/2\) için

\[\left|\frac{1 - \cos x}{x}\right| = \frac{1 - \cos x}{|x|} \le \frac{x^2}{2|x|} = \frac{|x|}{2}.\]

\(\lim_{x \to 0} \dfrac{|x|}{2} = 0\) olduğundan Sonuç 30.3 ile \(\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0\).

(4) \(0 < |x| < \pi/2\) için \(\cos x > 0\), dolayısıyla \(\dfrac{\tan x}{x} = \dfrac{\sin x}{x} \cdot \dfrac{1}{\cos x}\). Bölüm ve çarpım kuralları (Teorem 29.2) ile — paydanın limiti \(1 \ne 0\)’dır ve payda komşulukta sıfırdan farklıdır —

\[\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \left(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\right) \cdot \frac{1}{\lim_{x \to 0} \cos x} = 1 \cdot \frac{1}{1} = 1.\]

(5) \(x \ne 0\) için \(\dfrac{\sin(kx)}{x} = k \cdot \dfrac{\sin(kx)}{kx}\) yazalım. \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(kx)}{kx} = 1\) olduğunu bileşke teoremiyle (Teorem 29.3) görelim: iç fonksiyon \(u(x) = kx\) (\(A = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(a = 0\)), dış fonksiyon \(v(y) = \dfrac{\sin y}{y}\) (\(B = \mathbb{R} \setminus \{0\}\), \(b = 0\)). Koşulları denetleyelim: \(x \ne 0\) ve \(k \ne 0\) iken \(kx \ne 0\), yani \(u(x) \in B\) (koşul 1) ve \(u(x) \ne b\) (koşul 4, her \(\delta_0\) ile); \(\lim_{x \to 0} kx = 0 = b\) (koşul 2, sabitle çarpım kuralı); \(\lim_{y \to 0} v(y) = 1\) (koşul 3, Teorem 30.6). Teorem \(\lim_{x \to 0} v(u(x)) = 1\) verir; sabitle çarpım kuralıyla \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(kx)}{x} = k \cdot 1 = k\).

\(\blacksquare\)

30.7 Alıştırmalar

Alıştırma 30.1 (Sıralama ve Sıkıştırma Üzerine)

\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x}\) limitini hesaplayınız.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}\) olduğunu gösteriniz.
\(f : A \to \mathbb{R}\), \(a \in A'\) ve \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell > 0\) olsun. \(a\)’nın bir delinmiş komşuluğunda \(\sqrt{f(x)}\)’in tanımlı olduğunu ve \(\displaystyle \lim_{x \to a} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\ell}\) olduğunu gösteriniz.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor\) limitini bulunuz.
\(\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{|x|}\) limitinin var olmadığını gösteriniz.

Çözüm

a) \(0 < |x| < \dfrac{\pi}{10}\) için \(0 < |5x| < \dfrac{\pi}{2}\), dolayısıyla \(\sin 5x \ne 0\) (kabul edilen olgu 2 ve tek fonksiyon olma); fonksiyon bu delinmiş komşulukta tanımlıdır. Pay ve paydayı \(x \ne 0\)’a bölelim:

\[\frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \frac{\dfrac{\sin 3x}{x}}{\dfrac{\sin 5x}{x}}.\]

Sonuç 30.4 (5) ile pay \(3\)’e, payda \(5 \ne 0\)’a gider; bölüm kuralı (Teorem 29.2 (4)) ile

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 5x} = \frac{3}{5}.\]

b) Yarım açı özdeşliğiyle \(1 - \cos x = 2\sin^2\dfrac{x}{2}\); \(x \ne 0\) için

\[\frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{2 \sin^2 (x/2)}{x^2} = \frac{1}{2} \left( \frac{\sin(x/2)}{x/2} \right)^2 = \frac{1}{2}\left( \frac{2\sin(x/2)}{x} \right)^2.\]

Sonuç 30.4 (5)’i \(k = \dfrac{1}{2}\) ile uygularsak \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(x/2)}{x} = \dfrac{1}{2}\), sabitle çarpım kuralıyla \(\lim_{x \to 0} \dfrac{2\sin(x/2)}{x} = 1\). Kuvvet kuralı (Sonuç 29.2 (3)) ile karenin limiti \(1^2 = 1\), sabitle çarpım kuralıyla

\[\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}.\]

c) \(\ell > 0\) olduğundan Teorem 30.2 (2) gereği öyle bir \(\delta_0 > 0\) vardır ki \(x \in A\), \(0 < |x - a| < \delta_0\) iken \(f(x) > \dfrac{\ell}{2} > 0\); bu komşulukta \(\sqrt{f(x)}\) tanımlıdır ve \(\sqrt{f(x)} \ge 0\). Aşağıdaki fonksiyonların hepsini \(A_0 = \{x \in A : 0 < |x - a| < \delta_0\}\) kümesi üzerinde düşünelim; \(a \in A'\) olduğundan \(a\), \(A_0\)’ın da bir yığılma noktasıdır ve tanım kümesini \(A\)’dan \(A_0\)’a daraltmak var olan limitleri değiştirmez (limit tanımındaki koşul daha az \(x\) için istenir, dolayısıyla \(A\) için bulunan \(\delta\) burada da işe yarar). Böyle \(x\)’ler için, \(\big(\sqrt{f(x)} - \sqrt{\ell}\big)\big(\sqrt{f(x)} + \sqrt{\ell}\big) = f(x) - \ell\) özdeşliğinden ve \(\sqrt{f(x)} + \sqrt{\ell} \ge \sqrt{\ell} > 0\) olmasından

\[\left|\sqrt{f(x)} - \sqrt{\ell}\right| = \frac{|f(x) - \ell|}{\sqrt{f(x)} + \sqrt{\ell}} \le \frac{|f(x) - \ell|}{\sqrt{\ell}}.\]

Sağ taraftaki \(g(x) = \dfrac{|f(x) - \ell|}{\sqrt{\ell}}\) fonksiyonu \(0\)’a gider: fark kuralıyla \(f(x) - \ell \to 0\), Teorem 30.1 ile \(|f(x) - \ell| \to 0\), sabitle çarpım kuralıyla \(g(x) \to 0\). Sonuç 30.3 gereği \(\sqrt{f(x)} - \sqrt{\ell} \to 0\); toplam kuralıyla (sabit \(\sqrt{\ell}\) eklenerek) \(\lim_{x \to a} \sqrt{f(x)} = \sqrt{\ell}\).

d) Taban fonksiyonunun tanımı (Tanım 12.1, Teorem 12.3) gereği her \(y \in \mathbb{R}\) için \(\lfloor y \rfloor \le y < \lfloor y \rfloor + 1\), yani \(y - 1 < \lfloor y \rfloor \le y\). Bunu \(y = 1/x\) (\(x \ne 0\)) için yazalım:

\[\frac{1}{x} - 1 < \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor \le \frac{1}{x}.\]

\(x > 0\) ise \(x\) ile çarpınca yön korunur: \(1 - x < x\lfloor 1/x \rfloor \le 1\). \(x < 0\) ise yön çevrilir: \(1 \le x\lfloor 1/x \rfloor < 1 - x\). Her iki durumda \(x\lfloor 1/x \rfloor\), \(1\) ile \(1 - x\) arasındadır; dolayısıyla her \(x \ne 0\) için

\[\left| x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor - 1 \right| \le |x|.\]

\(\lim_{x \to 0} |x| = 0\) olduğundan Sonuç 30.3 ile \(x\lfloor 1/x \rfloor - 1 \to 0\), yani

\[\lim_{x \to 0} x \left\lfloor \frac{1}{x} \right\rfloor = 1.\]

(Taban fonksiyonu \(0\) yakınında sonsuz kez sıçrar; \(x\) çarpanı sıçramaları \(|x|\) boyuna indirir. Sıkıştırma teoremi de doğrudan uygulanabilirdi: \(x > 0\) için \(1 - x \le x\lfloor 1/x \rfloor \le 1\), \(x < 0\) için \(1 \le x\lfloor 1/x \rfloor \le 1 - x\); iki durumu tek eşitsizlikte toplayan \(1 - |x| \le x\lfloor 1/x\rfloor \le 1 + |x|\) sınırlarının limiti \(1\)’dir.)

e) Dizisel ölçütle (Sonuç 28.1) gösterelim. \(x_n = \dfrac{1}{n}\) ve \(y_n = -\dfrac{1}{n}\) dizileri \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\) içindedir ve \(0\)’a yakınsar. \(\varphi(x) = \dfrac{\sin x}{|x|}\) olsun.

\[\varphi(x_n) = \frac{\sin(1/n)}{1/n}, \qquad \varphi(y_n) = \frac{\sin(-1/n)}{1/n} = -\frac{\sin(1/n)}{1/n}.\]

Teorem 30.6 ve dizisel ölçüt (Teorem 28.1, \(\Rightarrow\) yönü) gereği \(\dfrac{\sin(1/n)}{1/n} \to 1\); dolayısıyla \(\varphi(x_n) \to 1\) ve \(\varphi(y_n) \to -1\). Görüntü dizileri farklı limitlere gittiğinden \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{|x|}\) yoktur.

Gözlem: \(x > 0\) için \(\varphi(x) = \dfrac{\sin x}{x}\), \(x < 0\) için \(\varphi(x) = -\dfrac{\sin x}{x}\); fonksiyon \(0\)’a sağdan yaklaşırken \(1\)’e, soldan yaklaşırken \(-1\)’e gider. “Sağdan” ve “soldan” limitleri bir sonraki bölümde tanımlayacağız.

\(\blacksquare\)

Limitin sıralamayla ilişkisi tamamlandı: mutlak değer ve sıfırdan farklı limit komşuluğa taşınır, eşitsizlikler limite “\(\le\)” olarak geçer, sıkıştırma limitin varlığını verir ve bunların birleşimi \(\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\) gibi temel limitleri kanıtlar. Son alıştırmada gördüğümüz gibi bazı fonksiyonlar bir noktaya iki yandan farklı değerlere yaklaşır; limitin bu incelmiş hâlini bir sonraki bölümde inceliyoruz: Tek Yönlü Limitler.