14 Monotonluk ve Ekstremum Testleri
Taylor Formülünün Uygulamaları bölümünde bir fonksiyonu bir nokta çevresinde polinomlarla ne kadar iyi taklit edebileceğimizi gördük. Şimdi bakışımızı yerelden bütüne çeviriyoruz: bir fonksiyonun nerede arttığını, nerede azaldığını ve hangi noktalarda tepe ya da çukur yaptığını türevine bakarak eksiksiz biçimde belirlemek istiyoruz.
Bu sorunun temel aracını aslında çoktan kurduk. Rolle ve Ortalama Değer Teoremleri bölümünde ispatladığımız monotonluk testi (Sonuç 8.3), türevin işaretinden fonksiyonun artıp azaldığını okumamızı sağlıyordu. Ama orada elde ettiğimiz şey tek yönlüydü: “türev pozitifse fonksiyon artar.” Bu bölümde önce bu ilişkinin tam biçimini kuracağız — hangi yönler çift taraflı, hangileri değil — sonra da bunu ekstremum noktalarını tanımaya yarayan iki pratik ölçüte dönüştüreceğiz.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: türevlenebilir bir fonksiyonun bir aralıkta azalmayan olmasının türevinin negatif olmamasına denk olduğunu; kesin monotonluk için türevin sıfır kümesinin hangi koşulu sağlaması gerektiğini; kritik noktaları kullanarak bir işaret tablosunun nasıl kurulduğunu ve bunun neden meşru olduğunu; birinci türev testi ile ikinci türev testini, ispatlarıyla ve sınırlarıyla birlikte; kapalı bir aralıkta mutlak ekstremumların nasıl bulunduğunu; ve monotonluğun eşitsizlik ispatlamakta nasıl kullanıldığını.
Bölümün ruhu tek bir cümlede toplanır: türevin işareti değişim yönünü, işaretinin değişmesi ise yön değiştirmeyi — yani ekstremumu — haber verir.
14.1 Türevin İşareti ile Monotonluk Arasındaki Tam İlişki
Sonuç 8.3 bize dört yeter koşul vermişti. Şimdi bu koşullardan hangilerinin aynı zamanda gerek olduğunu soruyoruz. Yanıt keskindir: gevşek eşitsizlikler (\(f' \ge 0\), \(f' \le 0\), \(f' \equiv 0\)) çift yönlüdür, kesin eşitsizlik (\(f' > 0\)) değildir. Bu ayrımı iyi anlamak, ilerideki bütün ölçütlerin doğru kullanılmasının anahtarıdır.
Önce dil üzerinde anlaşalım: \(I\)’daki her \(x_1 < x_2\) çifti için \(f(x_1) \le f(x_2)\) oluyorsa \(f\) azalmayandır (nondecreasing); Monoton Fonksiyon bu fonksiyonlara kısaca artan der. \(f(x_1) \ge f(x_2)\) oluyorsa \(f\) artmayandır (nonincreasing), yani aynı sözlükte azalandır. Eşitsizlikler kesin olduğunda kesin artan (strictly increasing) ve kesin azalan (strictly decreasing) terimlerini kullanıyoruz (Tanım 1.1).
Teorem 14.1 (Monotonluk için Tam Ölçüt) \(I \subseteq \mathbb{R}\) en az iki noktalı bir aralık ve \(f : I \to \mathbb{R}\) fonksiyonu \(I\)’nın her noktasında türevlenebilir olsun (uç noktalarda tek yönlü türev anlamında, Tanım 2.6). O hâlde:
- \(f\) azalmayandır \(\iff\) her \(x \in I\) için \(f'(x) \ge 0\).
- \(f\) artmayandır \(\iff\) her \(x \in I\) için \(f'(x) \le 0\).
- \(f\) sabittir \(\iff\) her \(x \in I\) için \(f'(x) = 0\).
İspat
(1) Yeterlilik (\(\Leftarrow\)). Her \(x \in I\) için \(f'(x) \ge 0\) olduğunu varsayalım ve \(x_1 < x_2\) olan \(x_1, x_2 \in I\) alalım. \(I\) bir aralık olduğundan \([x_1, x_2] \subseteq I\)’dır; \(f\) bu aralıkta türevlenebilir, dolayısıyla süreklidir (Teorem 3.1). Lagrange ortalama değer teoremi (Teorem 8.2) gereği öyle bir \(c \in (x_1, x_2)\) vardır ki
\[f(x_2) - f(x_1) = f'(c)\,(x_2 - x_1).\]
Burada \(f'(c) \ge 0\) ve \(x_2 - x_1 > 0\) olduğundan sağ taraf negatif değildir; demek ki \(f(x_1) \le f(x_2)\). \(x_1 < x_2\) olan her çift için bu geçerli olduğundan \(f\) azalmayandır.
(1) Gereklilik (\(\Rightarrow\)). Şimdi \(f\)’nin azalmayan olduğunu varsayalım ve bir \(x \in I\) noktası sabitleyelim. \(x + h \in I\) olacak biçimde \(h \ne 0\) alalım ve fark oranını (Tanım 2.1) inceleyelim:
\[\frac{f(x+h) - f(x)}{h}.\]
İki durum vardır. \(h > 0\) ise \(f(x) \le f(x+h)\) olduğundan pay negatif değildir, payda pozitiftir; oran \(\ge 0\)’dır. \(h < 0\) ise \(f(x+h) \le f(x)\) olduğundan pay pozitif değildir, payda negatiftir; oran yine \(\ge 0\)’dır. Yani oran, tanımlı olduğu her yerde negatif değildir.
\(f\), \(x\) noktasında türevlenebilir olduğundan bu oranın \(h \to 0\) iken limiti vardır ve \(f'(x)\)’e eşittir (Tanım 2.2). Limit sıralamayı korur (bkz. Analiz 1 (1); sabit \(0\) fonksiyonuyla karşılaştırma): oran \(\ge 0\) olduğundan limiti de \(\ge 0\)’dır, yani \(f'(x) \ge 0\). (\(x\) bir uç nokta ise oran yalnızca tek yönlü tanımlıdır ve aynı akıl yürütme tek yönlü limit için işler.)
(2) Bu kez \(g = -f\) fonksiyonuna bakalım. \(g\) türevlenebilirdir ve \(g' = -f'\)’dür (Teorem 3.2). Ayrıca \(f\) artmayandır \(\iff\) \(g\) azalmayandır: gerçekten \(x_1 < x_2\) için \(f(x_1) \ge f(x_2)\) olması \(-f(x_1) \le -f(x_2)\) olmasına denktir. Şimdi (1)’i \(g\)’ye uygulayalım:
\[f \text{ artmayan} \iff g \text{ azalmayan} \iff g' \ge 0 \iff -f' \ge 0 \iff f' \le 0.\]
(3) \(f\) sabit ise fark oranı özdeş olarak \(0\)’dır, dolayısıyla \(f' \equiv 0\)’dır. Tersine \(f' \equiv 0\) olsun. O zaman hem \(f' \ge 0\) hem \(f' \le 0\) olduğundan (1) ve (2) gereği \(f\) hem azalmayan hem artmayandır. \(x_1 < x_2\) alırsak \(f(x_1) \le f(x_2)\) ve \(f(x_1) \ge f(x_2)\) birlikte \(f(x_1) = f(x_2)\) verir; yani \(f\) sabittir. (Bu, Sonuç 8.1’in yeniden elde edilmesidir.)
\(\blacksquare\)
Teoremin üç maddesi de bir denklik ifade ediyor; bu, göründüğünden güçlü bir bilgidir. Bir yerde \(f'(x_0) < 0\) olduğunu gördüğümüz anda \(f\)’nin bütün aralıkta azalmayan olamayacağını biliriz.
Teoremin her üç maddesinin “\(\Leftarrow\)” yönü de \(I\)’nın bir aralık olmasına dayanır; ispatta ortalama değer teoremini \([x_1,x_2] \subseteq I\) olduğu için uygulayabildik. Tanım kümesi kopuk parçalardan oluşuyorsa sonuç yanlıştır: \(A = (-\infty,0) \cup (0,+\infty)\) üzerinde \(x<0\) için \(-1\), \(x>0\) için \(1\) değerini alan fonksiyonun türevi \(A\)’nın her noktasında sıfırdır, ama fonksiyon sabit değildir. Benzer biçimde \(g(x) = \dfrac{1}{x}\) için \(g'(x) = -\dfrac{1}{x^2} < 0\)’dır; buna karşılık \(-1 < 1\) olmasına karşın \(g(-1) = -1 < 1 = g(1)\)’dir, yani \(g\) tanım kümesinin tamamında azalan değildir. \(g\) yalnızca \((-\infty,0)\) ve \((0,+\infty)\) aralıklarının her birinde ayrı ayrı kesin azalandır.
Kural şudur: monotonluk sonuçları her zaman tek bir aralık üzerinde ifade edilir; birden çok aralıkta ayrı ayrı geçerli olan monotonluk, birleşime taşınmaz.
Kesin monotonluk
Sonuç 8.3, \(f' > 0\) olduğunda \(f\)’nin kesin arttığını söylüyordu. Ama bunun tersi doğru değildir: \(f(x) = x^3\) kesin artandır, buna karşın \(f'(0) = 0\)’dır. Öyleyse “kesin artan” olmanın türev diliyle tam karşılığı nedir? Yanıt, türevin sıfır olduğu noktaların ne kadar çok olduğuyla ilgilidir: bu noktalar tek tek dağınık durabilirler, ama bir aralığı baştan sona dolduramazlar.
Sonuç 14.1 (Kesin Monotonluk Ölçütü) \(I\) en az iki noktalı bir aralık ve \(f : I \to \mathbb{R}\) türevlenebilir olsun. \(f\)’nin türevinin sıfır kümesini
\[Z = \{ x \in I : f'(x) = 0 \}\]
ile gösterelim. O hâlde:
- Her \(x \in I\) için \(f'(x) > 0\) ise \(f\) kesin artandır. Benzer biçimde her \(x \in I\) için \(f'(x) < 0\) ise \(f\) kesin azalandır.
- Tam ölçüt: \(f\) kesin artandır \(\iff\) her \(x \in I\) için \(f'(x) \ge 0\) ve \(Z\) kümesi, \(I\)’nın tek noktadan ibaret olmayan — yani dejenere olmayan (nondegenerate) — hiçbir alt aralığını içermez.
- Benzer biçimde \(f\) kesin azalandır \(\iff\) \(f' \le 0\) ve \(Z\) hiçbir dejenere olmayan alt aralık içermez.
İspat
(2) Yeterlilik (\(\Leftarrow\)). \(f' \ge 0\) olsun; Teorem 14.1 (1) gereği \(f\) azalmayandır. \(f\)’nin kesin artan olmadığını varsayıp çelişki arayalım. O zaman öyle \(x_1 < x_2\) noktaları vardır ki \(f(x_1) \ge f(x_2)\) olur. Ama \(f\) azalmayan olduğundan \(f(x_1) \le f(x_2)\)’dir; ikisi birlikte
\[f(x_1) = f(x_2)\]
verir. Şimdi \(x \in [x_1, x_2]\) herhangi bir nokta olsun. Azalmayanlık \(f(x_1) \le f(x) \le f(x_2) = f(x_1)\) verir, yani \(f(x) = f(x_1)\). Demek ki \(f\), \([x_1,x_2]\) aralığı üzerinde sabittir. Sabit fonksiyonun türevi sıfır olduğundan her \(x \in (x_1,x_2)\) için \(f'(x) = 0\), yani \((x_1, x_2) \subseteq Z\)’dir. Ama \((x_1,x_2)\), \(I\)’nın tek noktadan ibaret olmayan bir alt aralığıdır; bu, varsayımımızla çelişir. Öyleyse \(f\) kesin artandır.
(2) Gereklilik (\(\Rightarrow\)). \(f\) kesin artan olsun. Kesin artan her fonksiyon azalmayandır, dolayısıyla Teorem 14.1 (1) gereği \(f' \ge 0\)’dır. \(Z\)’nin dejenere olmayan bir \(J \subseteq I\) alt aralığını içerdiğini varsayalım. \(J\) üzerinde \(f' \equiv 0\) olduğundan Teorem 14.1 (3) gereği \(f\), \(J\) üzerinde sabittir. \(J\) en az iki nokta içerdiğinden \(x_1 < x_2\) olan \(x_1, x_2 \in J\) vardır ve \(f(x_1) = f(x_2)\) olur; bu, \(f\)’nin kesin artan olmasıyla çelişir. Demek ki \(Z\) böyle bir alt aralık içeremez.
(1) \(f' > 0\) ise \(Z = \varnothing\)’dir ve boş küme hiçbir dejenere olmayan aralığı içermez; (2) doğrudan sonucu verir. Kesin azalan durumu için \(-f\)’ye geçilir.
(3) \(f\) kesin azalandır \(\iff\) \(-f\) kesin artandır. \((-f)' = -f'\) ve \(\{x : (-f)'(x) = 0\} = Z\) olduğundan (2), tam olarak (3)’ün ifadesine dönüşür.
\(\blacksquare\)
İkinci madde, uygulamada çok işe yarayan bir esneklik sağlar: türevin tek tek noktalarda sıfırlanması kesin monotonluğu bozmaz. Örneğin \(f(x) = x^3\) için \(Z = \{0\}\)’dır; tek noktalı bir küme hiçbir aralık içeremeyeceğinden \(f\) kesin artandır. Aynı biçimde \(f(x) = x - \sin x\) için \(f'(x) = 1 - \cos x \ge 0\) ve \(Z = \{2k\pi : k \in \mathbb{Z}\}\)’dir; bu küme ayrık noktalardan oluştuğundan hiçbir aralığı içermez, dolayısıyla \(f\) bütün \(\mathbb{R}\) üzerinde kesin artandır.
“\(f\) kesin artan \(\implies\) \(f' > 0\)” önermesi yanlıştır; doğru olan yalnızca \(f' \ge 0\)’dır. Karşı örnek \(f(x) = x^3\)’tür: kesin artandır ama \(f'(0) = 0\)’dır. Türevle monotonluk arasındaki oklar şöyledir:
\[f' > 0 \implies f \text{ kesin artan} \implies f' \ge 0,\]
ve hiçbir ok geri çevrilemez: soldakini \(x^3\), sağdakini sabit fonksiyon çürütür. Geri çevrilebilen tek bağıntı Teorem 14.1’teki gevşek eşitsizliklerdir. Bu yüzden bir fonksiyonun kesin arttığını göstermek istediğinizde \(f' > 0\) bulamıyorsanız hemen pes etmeyin: \(f' \ge 0\) ve türevin sıfırlarının ayrık olması yeter (Sonuç 14.1 (2)).
14.2 İşaret Tablosu: Kritik Noktalar Aralığı Nasıl Böler
Pratikte yaptığımız şey şudur: \(f'\)’yü hesaplar, sıfır yerlerini buluruz, sonra bu noktaların ayırdığı her aralıkta \(f'\)’nün işaretini tek bir deneme noktasında hesaplayıp bütün aralığa yayarız. Son adım masum görünür ama bir gerekçe ister: \(f'\) sürekli olmak zorunda değildir, öyleyse bir noktadaki işaretini bütün aralığa taşımaya ne hakkımız var? Gerekçe, türevlerin süreksiz olsalar bile ara değer özelliğini taşımalarıdır — Darboux teoremi (Teorem 10.1).
Önerme 14.1 (İşaret Tablosunun Dayanağı) \(I\) bir aralık ve \(f : I \to \mathbb{R}\) sürekli olsun. \(J \subseteq I\) dejenere olmayan bir açık alt aralık olsun ve \(f\), \(J\)’nin her noktasında türevlenebilir olup hiçbir noktasında \(f'\) sıfırlanmasın. O hâlde:
- \(f'\), \(J\) üzerinde işaretini değiştirmez: ya her \(x \in J\) için \(f'(x) > 0\)’dır, ya da her \(x \in J\) için \(f'(x) < 0\)’dır.
- Buna bağlı olarak \(f\), \(J\) üzerinde kesin monotondur.
- Dahası, \(J\)’nin uç noktalarından \(I\)’da bulunanlar da eklenerek elde edilen aralık üzerinde \(f\) yine kesin monotondur.
İspat
(1) Aksini varsayalım: \(u, v \in J\) noktaları için \(f'(u) < 0 < f'(v)\) olsun; genelliği bozmadan \(u < v\) diyelim. \(f\), \([u,v] \subseteq J\) üzerinde türevlenebilirdir ve \(0\) sayısı \(f'(u)\) ile \(f'(v)\) arasındadır; Darboux teoremi (Teorem 10.1) gereği \(f'(w) = 0\) olan bir \(w \in (u,v)\) vardır. Ama \(w \in J\)’dir ve varsayım gereği \(f'\), \(J\) üzerinde sıfırlanmaz. Çelişki. Demek ki \(f'\)’nün \(J\) üzerinde aldığı değerlerin hepsi aynı işaretlidir.
(2) (1)’e göre \(J\) üzerinde ya \(f' > 0\) ya \(f' < 0\)’dır. \(J\) bir aralık olduğundan Sonuç 14.1 (1) gereği \(f\), \(J\) üzerinde kesin artan ya da kesin azalandır.
(3) \(J = (\alpha, \beta)\) yazalım ve \(f\)’nin \(J\) üzerinde kesin artan olduğu durumu ele alalım (kesin azalan durumu \(-f\)’ye geçilerek elde edilir). \(\alpha \in I\) olsun; \(f\)’nin \([\alpha, \beta)\) üzerinde kesin artan olduğunu göstereceğiz. \(\alpha < x < y < \beta\) verilsin; \(J\) üzerindeki kesin artanlık \(f(x) < f(y)\) verir, geriye \(f(\alpha) < f(x)\) kalıyor. \(\alpha < s < x\) olan bir \(s\) seçelim: \(t \in (\alpha, s)\) olan her \(t\) için \(f(t) < f(s)\)’dir ve \(f\), \(\alpha\)’da sürekli olduğundan limit sıralamayı koruyarak (bkz. Analiz 1 (1)) \(f(\alpha) = \lim_{t \to \alpha^{+}} f(t) \le f(s)\) verir. \(s < x\) olduğundan \(f(s) < f(x)\)’tir; ikisi birleşince \(f(\alpha) < f(x)\). Aynı akıl yürütme \(\beta \in I\) olduğunda sağ uç için de yürür: \(x < y < \beta\) için \(y < s' < \beta\) seçilir ve \(f(y) < f(s') \le f(\beta)\) elde edilir.
\(\blacksquare\)
Bu önerme, aşağıdaki yordamın her adımını meşrulaştırır. Yordamın kendisi, fonksiyon incelemesinin bel kemiğidir.
\(f\) fonksiyonunun monotonluk aralıklarını ve yerel ekstremumlarını bulmak için:
- Tanım kümesini belirle. \(f\)’nin tanımlı olmadığı ya da sürekli olmadığı noktalar, incelenecek bölgeyi ayrık aralıklara böler. Her aralık ayrı ele alınır.
- Türevi hesapla ve çarpanlarına ayır. \(f'(x)\)’i, işareti kolay okunacak bir çarpım/bölüm biçiminde yazmak neredeyse her zaman mümkündür.
- Kritik noktaları bul (Tanım 7.3): \(f'(x) = 0\) denkleminin kökleri ile \(f\)’nin türevlenebilir olmadığı noktalar.
- Aralıkları oluştur. Kritik noktalar ve tanımsızlık noktaları, tanım kümesini sonlu sayıda açık alt aralığa böler. Bu alt aralıkların her birinde \(f\) türevlenebilirdir ve \(f'\) sıfırlanmaz; Önerme 14.1 gereği \(f'\)’nün işareti bütün alt aralık boyunca sabittir.
- Her alt aralıkta bir deneme noktası seç ve orada \(f'\)’nün işaretini hesapla. Bu işaret, önceki adım sayesinde bütün alt aralık için geçerlidir.
- Tabloyu kur. Satırlar: \(x\), \(f'(x)\)’in işareti, \(f\)’nin davranışı (\(\nearrow\) / \(\searrow\) okları ya da “kesin artan” / “kesin azalan” sözcükleriyle).
- Ekstremumları oku. İşaretin komşu iki aralık arasında değiştiği ayırıcı noktalarda yerel ekstremum vardır; değişmiyorsa yoktur. Bunun gerekçesi bir sonraki alt bölümdeki birinci türev testidir.
Yordamı ilk kez çalıştıralım.
Örnek 14.1 (Bir Kübik Fonksiyonun Monotonluk Aralıkları) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) fonksiyonunun monotonluk aralıklarını ve yerel ekstremum noktalarını belirleyiniz.
Çözüm
Tanım kümesi. \(f\) bir polinomdur; \(\mathbb{R}\)’nin tamamında tanımlı, sürekli ve türevlenebilirdir.
Türev. Kuvvet kuralı ve türevin toplamsallığıyla (Teorem 3.2)
\[f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2).\]
Kritik noktalar. \(f\) her yerde türevlenebilir olduğundan yalnızca birinci türden kritik noktalar vardır: \(3x(x-2) = 0\) denkleminin kökleri \(x = 0\) ve \(x = 2\)’dir.
Aralıklar ve işaretler. Bu iki nokta \(\mathbb{R}\)’yi üç açık aralığa böler; her birinde bir deneme noktası seçelim: \(f'(-1) = 9 > 0\), \(f'(1) = -3 < 0\), \(f'(3) = 9 > 0\).
Önerme 14.1 gereği bu işaretler ilgili aralığın tamamında geçerlidir. Tabloya dökelim:
| Aralık | \((-\infty, 0)\) | \(x = 0\) | \((0, 2)\) | \(x = 2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) işareti | \(+\) | \(0\) | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) davranışı | kesin artan | yerel maks. | kesin azalan | yerel min. | kesin artan |
Monotonluk aralıkları. Önerme 14.1 (3) sayesinde uç noktaları da katabiliriz: \(f\), \((-\infty, 0]\) üzerinde kesin artan, \([0,2]\) üzerinde kesin azalan, \([2, +\infty)\) üzerinde kesin artandır.
Ekstremumlar. \(x = 0\) noktasında: \(f\), \((-\infty,0]\) üzerinde kesin arttığından \(x < 0\) için \(f(x) < f(0)\); \([0,2]\) üzerinde kesin azaldığından \(0 < x \le 2\) için de \(f(x) < f(0)\). Demek ki \(0\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır, değeri \(f(0) = 1\)’dir. Aynı biçimde \([0,2]\) üzerindeki kesin azalma ile \(0 \le x < 2\) için \(f(x) > f(2)\), \([2,+\infty)\) üzerindeki kesin artma ile \(x > 2\) için \(f(x) > f(2)\) olur; yani \(2\) bir kesin yerel minimum noktasıdır ve \(f(2) = 8 - 12 + 1 = -3\)’tür.
Mutlak ekstremum var mı? Yoktur: \(x \to \pm\infty\) iken \(f(x) \to \pm\infty\) olduğundan \(f\) ne üstten ne alttan sınırlıdır. Yerel ekstremumlar mutlak olmak zorunda değildir; nitekim \(f(5) = 51 > 1 = f(0)\)’dır.
\(\blacksquare\)
14.3 Birinci Türev Testi
Yukarıdaki örnekte ekstremumları “işaret değişimi” gözlemiyle okuduk ve gerekçesini elle yazdık. Şimdi bu gerekçeyi bir kez ve genel olarak kurup teorem hâline getirelim. Testin gücü, \(x_0\) noktasında türev var olmasa bile çalışmasıdır; istenen tek şey \(f\)’nin \(x_0\)’da sürekli olması ve türevin \(x_0\)’ın iki yanında var olup işaretinin sabit kalmasıdır.
Teorem 14.2 (Birinci Türev Testi) \(x_0 \in \mathbb{R}\), \(\delta > 0\) ve \(f\) fonksiyonu \((x_0 - \delta, x_0 + \delta)\) aralığında tanımlı olsun. \(f\)’nin \(x_0\) noktasında sürekli olduğunu ve delinmiş komşuluğun her noktasında, yani \((x_0-\delta, x_0) \cup (x_0, x_0+\delta)\) üzerinde türevlenebilir olduğunu varsayalım. O hâlde:
- Her \(x \in (x_0-\delta, x_0)\) için \(f'(x) > 0\) ve her \(x \in (x_0, x_0+\delta)\) için \(f'(x) < 0\) ise (\(f'\), \(x_0\)’da \(+\) işaretinden \(-\) işaretine geçiyorsa), \(x_0\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır.
- Her \(x \in (x_0-\delta, x_0)\) için \(f'(x) < 0\) ve her \(x \in (x_0, x_0+\delta)\) için \(f'(x) > 0\) ise (\(-\)’den \(+\)’ya geçiş), \(x_0\) bir kesin yerel minimum noktasıdır.
- \(f'\) delinmiş komşuluğun iki yanında da aynı işaretliyse (ikisinde de \(> 0\) ya da ikisinde de \(< 0\)), \(f\) bütün \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) aralığında kesin monotondur; özel olarak \(x_0\) bir yerel ekstremum noktası değildir.
İspat
(2) durumu. Önce \(x_0\)’ın solunu inceleyelim. \(x \in (x_0 - \delta, x_0)\) herhangi bir nokta olsun ve \([x, x_0]\) aralığına bakalım. \(f\) bu aralıkta süreklidir: \([x, x_0)\)’ın her noktasında türevlenebilir olduğundan süreklidir (Teorem 3.1), \(x_0\)’da ise süreklilik hipotezle verilmiştir. Ayrıca \((x,x_0) \subseteq (x_0-\delta, x_0)\) olduğundan \(f\), \((x,x_0)\) üzerinde türevlenebilirdir. Öyleyse Teorem 8.2 uygulanabilir: öyle bir \(c \in (x, x_0)\) vardır ki
\[f(x_0) - f(x) = f'(c)\,(x_0 - x).\]
Burada \(c \in (x_0 - \delta, x_0)\) olduğundan varsayım gereği \(f'(c) < 0\)’dır; ayrıca \(x_0 - x > 0\)’dır. Çarpım negatiftir:
\[f(x_0) - f(x) < 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) > f(x_0).\]
Şimdi sağ tarafı inceleyelim. \(x \in (x_0, x_0 + \delta)\) olsun ve \([x_0, x]\) aralığına aynı gerekçelerle Teorem 8.2 uygulayalım: öyle bir \(c \in (x_0, x)\) vardır ki
\[f(x) - f(x_0) = f'(c)\,(x - x_0).\]
Bu kez \(c \in (x_0, x_0+\delta)\) olduğundan \(f'(c) > 0\) ve \(x - x_0 > 0\)’dır; çarpım pozitiftir:
\[f(x) - f(x_0) > 0 \quad \Longrightarrow \quad f(x) > f(x_0).\]
İki sonucu birleştirelim: \(0 < |x - x_0| < \delta\) olan her \(x\) için \(f(x) > f(x_0)\)’dır. Bu tam olarak \(x_0\)’ın kesin yerel minimum noktası olması demektir (Tanım 7.1).
(1) durumu. \(g = -f\) fonksiyonuna bakalım. \(g\) de \(x_0\)’da süreklidir ve delinmiş komşulukta türevlenebilirdir; \(g' = -f'\) olduğundan \(g'\), \(x_0\)’ın solunda negatif, sağında pozitiftir. (2) gereği \(x_0\), \(g\) için kesin yerel minimum noktasıdır: \(0 < |x-x_0| < \delta\) için \(g(x) > g(x_0)\), yani \(-f(x) > -f(x_0)\), yani \(f(x) < f(x_0)\). Demek ki \(x_0\), \(f\) için kesin yerel maksimum noktasıdır.
(3) durumu. İki yanda da \(f' > 0\) olsun. Sonuç 14.1 (1) gereği \(f\), \((x_0-\delta, x_0)\) ve \((x_0, x_0+\delta)\) aralıklarının her birinde kesin artandır. \(f\), \(x_0\)’da sürekli olduğundan Önerme 14.1 (3) bu kesin artanlığı uç noktaya taşır: \(f\) hem \((x_0-\delta, x_0]\) hem \([x_0, x_0+\delta)\) üzerinde kesin artandır. Bu iki aralık \(x_0\)’da birleştiğinden \(f\), bütün \((x_0-\delta, x_0+\delta)\) üzerinde kesin artandır: \(x_1 < x_2\) ise ya ikisi de \(x_0\)’ın aynı tarafında kalır ve sonuç doğrudan gelir, ya da \(x_1 \le x_0 \le x_2\) olur ve \(f(x_1) \le f(x_0) \le f(x_2)\) zincirinde en az biri kesindir.
Kesin artan bir fonksiyonun hiçbir iç noktası ekstremum olamaz: her \(\delta' \le \delta\) için \(f(x_0 - \frac{\delta'}{2}) < f(x_0) < f(x_0 + \frac{\delta'}{2})\) olduğundan \(x_0\)’ın her komşuluğunda hem daha küçük hem daha büyük değerler bulunur. İki yanda da \(f' < 0\) olması durumu \(-f\)’ye geçilerek aynı biçimde sonuçlanır.
\(\blacksquare\)
Eşitsizlikler gevşetildiğinde sonuç da gevşer: \(f' \ge 0\)’dan \(f' \le 0\)’a geçiş kesin olmayan bir yerel maksimum verir (ispatta \(>\) yerine \(\ge\) yazmak yeter).
Teoremin hipotezleri arasında “\(f\), \(x_0\)’da türevlenebilir” yoktur; yalnızca süreklilik istenmiştir. Bu, testi \(|x|\) gibi köşeli fonksiyonlarda ve düşey teğetli fonksiyonlarda da kullanılabilir kılar.
\(f(x) = |x|\) örneğine bakalım. \(f\), \(\mathbb{R}\) üzerinde süreklidir; \(x<0\) için \(f'(x) = -1 < 0\), \(x>0\) için \(f'(x) = 1 > 0\)’dır. \(x_0 = 0\) noktasında türev yoktur: soldan türev \(-1\), sağdan türev \(+1\)’dir (Tanım 2.6) ve bunlar eşit değildir. Buna karşın \(f\), \(0\)’da süreklidir ve türev solunda negatif, sağında pozitiftir; Teorem 14.2 (2) doğrudan uygulanır ve \(x_0 = 0\) kesin yerel minimum çıkar.
Bir sonraki alt bölümde göreceğimiz ikinci türev testi bu esnekliğe sahip değildir: orada \(f'(x_0)\) ve \(f''(x_0)\)’ın var olması zorunludur. Birinci türev testi daha geniş kapsamlıdır; ikinci türev testinin üstünlüğü ise işaret tablosu kurmadan tek bir hesapla sonuç vermesidir.
Örnek 14.2 (Türevsiz Bir Kritik Noktası Olan Fonksiyon) \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^{2/3}(x-5)\) fonksiyonunun bütün kritik noktalarını bulunuz, monotonluk aralıklarını belirleyiniz ve yerel ekstremumlarını sınıflandırınız.
Çözüm
Tanım kümesi ve süreklilik. \(x^{2/3} = \left( \sqrt[3]{x} \right)^{2}\) her reel \(x\) için tanımlı ve süreklidir; \(x-5\) de sürekli olduğundan \(f\), \(\mathbb{R}\)’nin tamamında süreklidir. Çarpımı açalım: \(f(x) = x^{5/3} - 5 x^{2/3}\).
Türev. Genel kuvvet kuralı (Teorem 5.3) \(x > 0\) için \(f'(x) = \frac{5}{3} x^{2/3} - \frac{10}{3} x^{-1/3}\) verir. Buradaki üslerin paydası olan \(3\) tek olduğundan \(x^{1/3}\) negatif sayılarda da tanımlıdır ve aynı kural \(x < 0\) bölgesinde de geçerlidir; öyleyse formül her \(x \ne 0\) için kullanılabilir. Ortak çarpan \(\dfrac{5}{3} x^{-1/3}\)’ü dışarı alalım:
\[f'(x) = \frac{5}{3} x^{-1/3} \left( x - 2 \right) = \frac{5\,(x-2)}{3 \sqrt[3]{x}}, \qquad x \ne 0.\]
\(x = 0\) noktasında türev var mı? \(h \ne 0\) için fark oranı
\[\frac{f(h) - f(0)}{h} = \frac{h^{2/3}(h-5)}{h} = \frac{h-5}{\sqrt[3]{h}}\]
olur. \(h \to 0^{+}\) iken pay \(-5\)’e, payda \(0^{+}\)’a gider ve oran \(-\infty\)’a ıraksar; \(h \to 0^{-}\) iken payda \(0^{-}\)’a gider ve oran \(+\infty\)’a ıraksar. Demek ki \(f\), \(0\) noktasında türevlenebilir değildir; grafik dilinde burada düşey teğetli bir sivri uç (cusp) vardır.
Kritik noktalar. İki türden de kritik nokta (Tanım 7.3) mevcuttur:
- \(f'(x) = 0\): pay sıfırlanmalı, yani \(x = 2\).
- \(f'\) tanımsız: \(x = 0\).
İşaretler. \(f'(x) = \dfrac{5(x-2)}{3\sqrt[3]{x}}\) ifadesinde \(\sqrt[3]{x}\) ile \(x\) aynı işaretlidir. Üç aralıkta deneme yapalım:
- \(x < 0\): pay \(< 0\), payda \(< 0\); bölüm pozitif (\(x=-1\) için \(f'(-1) = 5\)).
- \(0 < x < 2\): pay \(< 0\), payda \(> 0\); bölüm negatif (\(x=1\) için \(f'(1) = -\frac53\)).
- \(x > 2\): pay ve payda pozitif; bölüm pozitif (\(x=8\) için \(f'(8) = 5\)).
| Aralık | \((-\infty, 0)\) | \(x = 0\) | \((0,2)\) | \(x = 2\) | \((2, +\infty)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) işareti | \(+\) | tanımsız | \(-\) | \(0\) | \(+\) |
| \(f\) davranışı | kesin artan | yerel maks. | kesin azalan | yerel min. | kesin artan |
Sınıflandırma. \(x_0 = 0\): \(f\) burada süreklidir, delinmiş bir komşulukta türevlenebilirdir ve türev \(+\)’dan \(-\)’ye geçmektedir. Teorem 14.2 (1) gereği \(0\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır, \(f(0) = 0\)’dır. Dikkat edilecek nokta şudur: \(f'(0)\) yoktur, dolayısıyla burada ikinci türev testi kullanılamaz; birinci türev testi ise sorunsuz çalışır.
\(x_0 = 2\): türev \(-\)’den \(+\)’ya geçtiğinden Teorem 14.2 (2) gereği kesin yerel minimum noktasıdır ve
\[f(2) = 2^{2/3}(2-5) = -3 \sqrt[3]{4} \approx -4{,}762.\]
Ek gözlemler. \(f(x) = 0\) denkleminin kökleri \(x = 0\) ve \(x = 5\)’tir. \(x \to \pm\infty\) iken \(f(x) \to \pm\infty\) olduğundan mutlak ekstremum yoktur. Monotonluk aralıkları, uç noktalar da katılarak şöyledir: \(f\), \((-\infty, 0]\) üzerinde kesin artan, \([0,2]\) üzerinde kesin azalan, \([2,+\infty)\) üzerinde kesin artandır.
\(\blacksquare\)
Birinci türev testi, \(f'\)’nün \(x_0\)’ın her bir yanında sabit işaretli olmasını ister. Bu hipotez masum görünse de sağlanmayabilir; o zaman test uygulanamaz, ama fonksiyonun ekstremumu yine de olabilir.
Klasik örnek şudur:
\[f(x) = \begin{cases} x^2 \left( 2 + \sin \dfrac{1}{x} \right), & x \ne 0 \\ 0, & x = 0. \end{cases}\]
\(-1 \le \sin \dfrac{1}{x} \le 1\) olduğundan \(x \ne 0\) için \(f(x) \ge x^2 > 0 = f(0)\)’dır; yani \(0\) kesin yerel (hatta mutlak) minimum noktasıdır. Fonksiyon \(0\)’da türevlenebilirdir de: fark oranı \(h\left( 2 + \sin \frac1h \right)\) olup mutlak değerce \(3|h|\)’yi aşmadığından \(f'(0) = 0\)’dır. \(x \ne 0\) için ise
\[f'(x) = 2x \left( 2 + \sin \frac{1}{x} \right) - \cos \frac{1}{x}.\]
Şimdi \(0\)’a yakınsayan iki nokta dizisine bakalım. \(x = \dfrac{1}{2k\pi}\) için \(\sin \dfrac1x = 0\), \(\cos \dfrac1x = 1\) olduğundan \(f'(x) = \dfrac{4}{2k\pi} - 1\) olur; bu, \(k\) yeterince büyükken negatiftir. \(x = \dfrac{1}{(2k+1)\pi}\) için ise \(\sin\dfrac1x = 0\), \(\cos\dfrac1x = -1\) olduğundan \(f'(x) = \dfrac{4}{(2k+1)\pi} + 1 > 0\)’dır.
Demek ki \(0\)’ın her sağ komşuluğunda \(f'\) hem pozitif hem negatif değerler alır; türev \(0\)’ın sağında sabit işaretli değildir. Birinci türev testinin hipotezi çöker, ama ekstremum vardır. Bu, testin “yeter koşul” olduğunu, “gerek koşul” olmadığını gösterir.
14.4 İkinci Türev Testi
Birinci türev testi güçlüdür ama bir işaret tablosu kurmayı gerektirir. Fonksiyon iki kez türevlenebiliyorsa, kritik noktadaki tek bir sayının işaretine bakmak yeter. Sezgi basittir: \(f'(x_0) = 0\) ise teğet yataydır; \(f''(x_0) > 0\) ise \(f'\) o noktada artmaktadır, yani negatiften pozitife geçer — bu da bir çukurdur.
Teorem 14.3 (İkinci Türev Testi) \(I\) açık bir aralık, \(x_0 \in I\) ve \(f : I \to \mathbb{R}\) olsun. \(f\)’nin \(I\) üzerinde türevlenebilir olduğunu, \(x_0\) noktasında ikinci türevinin var olduğunu (Tanım 6.1) ve
\[f'(x_0) = 0\]
koşulunun sağlandığını varsayalım. O hâlde:
- \(f''(x_0) > 0\) ise \(x_0\) bir kesin yerel minimum noktasıdır.
- \(f''(x_0) < 0\) ise \(x_0\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır.
İspat
(1) \(f''(x_0) > 0\) olsun. \(f''(x_0)\)’ın var olması, \(f'\) fonksiyonunun \(x_0\)’da türevlenebilir olması demektir; bunun için \(f'\)’nün \(x_0\)’ın bir komşuluğunda tanımlı olması gerekir ve bu hipotezle sağlanmıştır. Türev tanımını \(f'\) için yazalım:
\[f''(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x_0 + h) - f'(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x_0+h)}{h},\]
çünkü \(f'(x_0) = 0\)’dır. Bu limit pozitiftir. İşaret koruma teoremi (bkz. Analiz 1 (2)) gereği öyle bir \(\delta > 0\) vardır ki \((x_0 - \delta, x_0+\delta) \subseteq I\) olsun ve
\[0 < |h| < \delta \quad \Longrightarrow \quad \frac{f'(x_0+h)}{h} > \frac{f''(x_0)}{2} > 0.\]
Bir kesrin pozitif olması payla paydanın aynı işaretli olması demektir. \(-\delta < h < 0\) ise payda negatiftir, öyleyse \(f'(x_0+h) < 0\)’dır; yani \(x \in (x_0-\delta, x_0)\) için \(f'(x) < 0\). \(0 < h < \delta\) ise payda pozitiftir, öyleyse \(f'(x_0+h) > 0\)’dır; yani \(x \in (x_0, x_0+\delta)\) için \(f'(x) > 0\).
Demek ki \(f'\), \(x_0\) noktasında \(-\) işaretinden \(+\) işaretine geçmektedir. Ayrıca \(f\), \(I\) üzerinde türevlenebilir olduğundan \(x_0\)’da süreklidir (Teorem 3.1) ve delinmiş komşulukta türevlenebilirdir; Teorem 14.2 (2)’nin bütün hipotezleri sağlanmıştır. Sonuç: \(x_0\) kesin yerel minimum noktasıdır.
(2) \(g = -f\) alalım. \(g'(x_0) = -f'(x_0) = 0\) ve \(g''(x_0) = -f''(x_0) > 0\)’dır (Teorem 3.2 ikinci türeve de uygulanır). (1) gereği \(x_0\), \(g\) için kesin yerel minimum noktasıdır; yani \(0 < |x - x_0| < \delta\) için \(-f(x) > -f(x_0)\), yani \(f(x) < f(x_0)\). Demek ki \(x_0\), \(f\) için kesin yerel maksimum noktasıdır.
\(\blacksquare\)
İspatın yapısına dikkat edelim: ikinci türev testi, birinci türev testinin bir sonucudur; ikinci türevin işareti yalnızca birinci türevin işaret değişimini garanti etmeye yarar. Bu yüzden ikinci türev testi hiçbir zaman daha fazlasını veremez; verdiği şey kolaylıktır.
Teorem 14.3 yalnızca iki durumu kapsar: \(f''(x_0) > 0\) ve \(f''(x_0) < 0\). Üçüncü durumda, yani
\[f'(x_0) = 0 \quad \text{ve} \quad f''(x_0) = 0\]
olduğunda test hiçbir şey söylemez. “Test başarısız” demek “ekstremum yok” demek değildir; her üç olasılık da gerçekleşebilir. Böyle bir durumda birinci türev testine dönmek ya da daha yüksek mertebeden türevlere bakmak gerekir.
Ayrıca testin uygulanabilmesi için \(f''(x_0)\)’ın var olması gerektiğini unutmayalım. Örnek 14.2’taki \(f(x) = x^{2/3}(x-5)\) fonksiyonunun \(x = 0\) noktasında birinci türevi bile yoktur; ikinci türev testi orada anlamsızdır, buna karşın nokta bir yerel maksimumdur.
Örnek 14.3 (İkinci Türev Testinin Sonuçsuz Kaldığı Üç Fonksiyon) \(f_1(x) = x^4\), \(f_2(x) = -x^4\) ve \(f_3(x) = x^3\) fonksiyonlarını \(x_0 = 0\) noktasında inceleyiniz. Her üçü için de \(f'(0) = f''(0) = 0\) olduğunu gösteriniz ve \(0\) noktasının davranışını belirleyiniz.
Çözüm
Türevler. Kuvvet kuralıyla:
\[f_1'(x) = 4x^3, \quad f_1''(x) = 12x^2; \qquad f_2'(x) = -4x^3, \quad f_2''(x) = -12x^2; \qquad f_3'(x) = 3x^2, \quad f_3''(x) = 6x.\]
\(x = 0\) yerine konursa her üç fonksiyon için de
\[f_i'(0) = 0, \qquad f_i''(0) = 0 \qquad (i = 1,2,3)\]
bulunur. Demek ki Teorem 14.3 hiçbirinde uygulanamaz. Şimdi her birini ayrı ayrı inceleyelim.
\(f_1(x) = x^4\). \(x \ne 0\) için \(x^4 > 0 = f_1(0)\)’dır; öyleyse \(0\) bir kesin yerel minimum (dahası mutlak minimum) noktasıdır. Aynı sonucu birinci türev testi de verir: \(f_1'(x) = 4x^3\) ifadesi \(x < 0\) için negatif, \(x > 0\) için pozitiftir, yani \(-\)’den \(+\)’ya geçiş vardır (Teorem 14.2 (2)).
\(f_2(x) = -x^4\). Bu kez \(x \ne 0\) için \(-x^4 < 0 = f_2(0)\)’dır; \(0\) bir kesin yerel maksimum (mutlak maksimum) noktasıdır. Türevle: \(f_2'(x) = -4x^3\) ifadesi \(+\)’dan \(-\)’ye geçtiğinden Teorem 14.2 (1) aynı sonucu verir.
\(f_3(x) = x^3\). Burada \(0\) ekstremum değildir: her \(\varepsilon > 0\) için \(\left( \dfrac{\varepsilon}{2} \right)^3 > 0 > \left( -\dfrac{\varepsilon}{2} \right)^3\) olduğundan \(0\)’ın her komşuluğunda hem \(f_3(0) = 0\)’dan büyük hem küçük değerler vardır. Türevle: \(x \ne 0\) için \(f_3'(x) = 3x^2 > 0\) olup işaret değişmez; Teorem 14.2 (3) gereği \(f_3\) komşulukta kesin monotondur ve ekstremum yoktur.
Sonuç. Üç fonksiyonun da \(x_0 = 0\) noktasındaki birinci ve ikinci türevleri sıfırdır, ama davranışları tamamen farklıdır: minimum, maksimum, hiçbiri. Demek ki \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) bilgisi noktanın türünü belirlemeye yetmez.
\(\blacksquare\)
Yukarıdaki üç örnekte ayırt edici bilgi, sıfırlanmayan ilk türevin mertebesinde saklıdır: \(x^4\) ve \(-x^4\) için bu mertebe dörttür (biri pozitif, öteki negatif değerle), \(x^3\) için üçtür. Genel kural şudur: \(f'(x_0) = \cdots = f^{(n-1)}(x_0) = 0\) ve \(f^{(n)}(x_0) \ne 0\) ise, \(n\) çift olduğunda \(x_0\) bir kesin yerel ekstremumdur (türevin işaretine göre minimum ya da maksimum), \(n\) tek olduğunda ekstremum değildir. Bu ölçüt Teorem 13.2’dur; Taylor formülüne dayanan ispatı Taylor Formülünün Uygulamaları bölümünde verilmişti. Burada onun en sık kullanılan özel hâli olan \(n = 2\) durumunu işledik.
Örnek 14.4 (İkinci Türev Testiyle İki İnceleme) Aşağıdaki fonksiyonların yerel ekstremumlarını ikinci türev testiyle belirleyiniz ve sonuçları birinci türev testiyle doğrulayınız.
a) \(f(x) = x e^{-x}\), \(x \in \mathbb{R}\).
b) \(g(x) = x^4 - 8x^2 + 5\), \(x \in \mathbb{R}\).
Çözüm
a) Çarpım kuralı (Teorem 3.2), üstel fonksiyonun türevi (Teorem 5.2) ve zincir kuralı (Teorem 4.1) ile \(\left( e^{-x} \right)' = -e^{-x}\) olduğundan
\[f'(x) = e^{-x} - x e^{-x} = e^{-x}(1 - x), \qquad f''(x) = -e^{-x}(1-x) - e^{-x} = e^{-x}(x - 2).\]
Kritik noktalar. \(e^{-x} > 0\) her zaman doğru olduğundan \(f'(x) = 0\) ancak \(x = 1\) iken olur; \(f\) her yerde türevlenebilir olduğundan tek kritik nokta budur.
Test. \(f''(1) = e^{-1}(1-2) = -\dfrac{1}{e} < 0\) olduğundan Teorem 14.3 (2) gereği \(x = 1\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır ve değeri \(f(1) = \dfrac{1}{e} \approx 0{,}3679\)’dur.
Birinci türev testiyle doğrulama. \(f'(x) = e^{-x}(1-x)\) ifadesinin işareti \(1 - x\)’in işaretidir: \(x < 1\) için \(f'(x) > 0\), \(x > 1\) için \(f'(x) < 0\). Türev \(+\)’dan \(-\)’ye geçtiğinden Teorem 14.2 (1) aynı sonucu verir.
Ek: bu maksimum mutlak mıdır? Evet. \(f\), \((-\infty, 1]\) üzerinde kesin artan, \([1, +\infty)\) üzerinde kesin azalandır (Sonuç 14.1 ve Önerme 14.1 (3)); dolayısıyla her \(x\) için \(f(x) \le \dfrac1e\)’dir. Mutlak minimum ise yoktur: \(x \to -\infty\) iken \(f(x) \to -\infty\)’dur.
b) Türevleri hesaplayalım:
\[g'(x) = 4x^3 - 16x = 4x \left( x^2 - 4 \right) = 4x(x-2)(x+2), \qquad g''(x) = 12x^2 - 16.\]
Kritik noktalar. \(g'(x) = 0\) denkleminin kökleri \(x = -2\), \(x = 0\) ve \(x = 2\)’dir.
Test. Her birinde \(g''\) değerini hesaplayalım:
\[g''(-2) = 48 - 16 = 32 > 0, \qquad g''(0) = -16 < 0, \qquad g''(2) = 48 - 16 = 32 > 0.\]
Teorem 14.3 gereği \(x = -2\) ve \(x = 2\) kesin yerel minimum, \(x = 0\) kesin yerel maksimum noktalarıdır. Değerler:
\[g(-2) = 16 - 32 + 5 = -11, \qquad g(0) = 5, \qquad g(2) = 16 - 32 + 5 = -11.\]
Birinci türev testiyle doğrulama. \(g'(x) = 4x(x-2)(x+2)\) üç çarpanlıdır; deneme noktalarıyla:
| Aralık | \((-\infty,-2)\) | \((-2,0)\) | \((0,2)\) | \((2,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| Deneme noktası | \(-3\) | \(-1\) | \(1\) | \(3\) |
| \(g'\) değeri | \(-60\) | \(12\) | \(-12\) | \(60\) |
| \(g\) davranışı | kesin azalan | kesin artan | kesin azalan | kesin artan |
İşaret \(-2\)’de \(-\)’den \(+\)’ya (minimum), \(0\)’da \(+\)’dan \(-\)’ye (maksimum), \(2\)’de yine \(-\)’den \(+\)’ya (minimum) geçmektedir; ikinci türev testinin sonuçlarıyla birebir uyuşuyor.
Ek. \(g\) çift bir fonksiyondur (\(g(-x) = g(x)\)); iki minimumun aynı değeri vermesi bunun sonucudur. \(x \to \pm\infty\) iken \(g(x) \to +\infty\) olduğundan mutlak maksimum yoktur; buna karşılık tablodaki davranış her \(x\) için \(g(x) \ge -11\) verdiğinden \(-11\) mutlak minimumdur.
\(\blacksquare\)
14.5 Kapalı Aralıkta Mutlak Ekstremum
Ekstremum Noktaları ve Fermat Teoremi bölümünde, kapalı ve sınırlı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun mutlak ekstremumlarını bulmak için bir aday listesi kurmuştuk (Örnek 7.4). Şimdi aynı yordamı, elimizdeki monotonluk bilgisiyle zenginleştirerek yeniden çalıştıralım. Yordamın özeti şudur:
- Varlık. \(f : [a,b] \to \mathbb{R}\) sürekliyse Weierstrass ekstremum teoremi (bkz. Analiz 1) mutlak ekstremumların alındığını garanti eder.
- Adaylar. Mutlak ekstremumun alındığı nokta ya \((a,b)\) içinde bir kritik noktadır (Teorem 7.1, Tanım 7.3) ya da uç noktalardan biridir.
- Karşılaştırma. \(f\), bütün adaylarda hesaplanır; listenin en büyüğü mutlak maksimum, en küçüğü mutlak minimum değeridir.
Monotonluk bilgisi bu listeye hangi adayın yerel olarak ne olduğunu ekler. Şimdi hem \(f'=0\) hem de türevin var olmadığı adayları barındıran bir örneği baştan sona çözelim.
Örnek 14.5 (Mutlak Değerli Bir Fonksiyonun Kapalı Aralıktaki Ekstremumları) \(f : [-1, 3] \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \left| x^2 - 4 \right|\) fonksiyonunun mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini, alındıkları noktalarla birlikte bulunuz. Ayrıca bütün yerel ekstremumları sınıflandırınız.
Çözüm
Varlık. Polinomla mutlak değer fonksiyonunun bileşkesi süreklidir (bkz. Analiz 1); \([-1,3]\) kapalı ve sınırlı olduğundan Weierstrass Ekstremum Teoremi gereği \(f\) mutlak maksimumunu ve mutlak minimumunu bu aralıkta alır.
Mutlak değeri çözmek. \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\) ifadesi \([-1,3]\) üzerinde \(x = 2\)’de sıfırlanır; \(-1 \le x < 2\) için negatif, \(2 < x \le 3\) için pozitiftir. Öyleyse
\[f(x) = \begin{cases} 4 - x^2, & -1 \le x \le 2 \\ x^2 - 4, & 2 \le x \le 3. \end{cases}\]
(İki tanım \(x = 2\)’de aynı değeri, \(0\)’ı verir.)
Türev. İç noktalarda \(-1 < x < 2\) için \(f'(x) = -2x\), \(2 < x < 3\) için \(f'(x) = 2x\)’tir. \(x = 2\)’de soldan türev \(-4\), sağdan türev \(4\) çıkar; bunlar eşit olmadığından \(f\), \(x = 2\)’de türevlenebilir değildir (Tanım 2.6) ve burası ikinci türden bir kritik noktadır.
Aday listesi.
- \(f'(x) = 0\) olan iç noktalar: \(-1 < x < 2\) bölgesinde \(-2x = 0 \Rightarrow x = 0\); \(2 < x < 3\) bölgesinde \(2x = 0\)’ın kökü aralıkta değildir. Aday: \(x = 0\).
- \(f'\)’nün var olmadığı iç nokta: \(x = 2\).
- Uç noktalar: \(x = -1\) ve \(x = 3\).
Toplam dört aday: \(-1,\ 0,\ 2,\ 3\).
Değerler.
\[f(-1) = |1 - 4| = 3, \qquad f(0) = |0-4| = 4, \qquad f(2) = 0, \qquad f(3) = |9-4| = 5.\]
Karşılaştırma. Listenin en büyüğü \(5\), en küçüğü \(0\)’dır:
\[\max_{x \in [-1,3]} f(x) = f(3) = 5, \qquad \min_{x \in [-1,3]} f(x) = f(2) = 0.\]
Mutlak maksimum sağ uç noktada, mutlak minimum ise türevin var olmadığı kritik noktada alınmaktadır. Bu, üç aday kaynağının hepsine birden bakmanın neden zorunlu olduğunu gösteren tipik bir örnektir: yalnızca \(f' = 0\) köklerine baksaydık (\(x=0\)), her iki mutlak ekstremumu da kaçırırdık.
Monotonluk ve yerel sınıflandırma. İşaret tablosunu kuralım:
| Aralık | \((-1, 0)\) | \(x = 0\) | \((0,2)\) | \(x = 2\) | \((2,3)\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | \(-2x > 0\) | \(0\) | \(-2x < 0\) | tanımsız | \(2x > 0\) |
| İşaret | \(+\) | \(-\) | \(+\) | ||
| \(f\) davranışı | kesin artan | yerel maks. | kesin azalan | yerel min. | kesin artan |
- \(x = 0\): türev \(+\)’dan \(-\)’ye geçiyor, Teorem 14.2 (1) gereği kesin yerel maksimum; değeri \(4\). (Mutlak değildir, çünkü \(f(3) = 5 > 4\)’tür.) \(-1 < x < 2\) bölgesinde \(f''(x) = -2 < 0\) olduğundan Teorem 14.3 (2) de aynı sonucu verir.
- \(x = 2\): türev \(-\)’den \(+\)’ya geçiyor, Teorem 14.2 (2) gereği kesin yerel minimum; değeri \(0\) ve bu aynı zamanda mutlak minimumdur. İkinci türev testi burada kullanılamaz, çünkü \(f'(2)\) yoktur.
- \(x = -1\) (sol uç): \(f\), \([-1,0]\) üzerinde kesin artan olduğundan \(x \in (-1, 0]\) için \(f(x) > f(-1)\)’dir; \(-1\) bir uç nokta yerel minimumudur, değeri \(3\).
- \(x = 3\) (sağ uç): \(f\), \([2,3]\) üzerinde kesin artan olduğundan \(x \in [2,3)\) için \(f(x) < f(3)\)’tür; \(3\) bir uç nokta yerel maksimumudur ve mutlaktır.
\(\blacksquare\)
14.6 Monotonlukla Eşitsizlik İspatlamak
Monotonluk testinin en zarif kullanımlarından biri, doğrudan cebirle ispatlanması güç olan eşitsizlikleri kurmaktır. Yöntem üç adımlıdır:
- Eşitsizliği \(F(x) > 0\) (ya da \(\ge 0\)) biçimine getir.
- Uygun bir \(x_0\) noktasında \(F(x_0) = 0\) olduğunu göster.
- \(x > x_0\) için \(F'(x) > 0\) olduğunu göster; Sonuç 14.1 gereği \(F\), \([x_0, \infty)\) üzerinde kesin artandır ve \(x > x_0\) için \(F(x) > F(x_0) = 0\) olur.
Üçüncü adımda \(F' > 0\) yerine “\(F' \ge 0\) ve \(F'\)’nün sıfırları ayrık” koşulu da yeterlidir.
Örnek 14.6 (Monotonlukla Üç Klasik Eşitsizlik) Aşağıdaki eşitsizlikleri ispatlayınız.
a) Her \(x \in \left( 0, \dfrac{\pi}{2} \right)\) için \(\tan x > x\).
b) Her \(x > 0\) için \(\sin x < x\).
c) Her \(x \ne 0\) için \(e^x > 1 + x\).
Çözüm
a) \(F : \left[ 0, \dfrac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R}\), \(F(x) = \tan x - x\) olsun. Tanjant bu aralıkta tanımlı ve türevlenebilirdir (Teorem 5.4):
\[F'(x) = \frac{1}{\cos^2 x} - 1 = \frac{1 - \cos^2 x}{\cos^2 x} = \tan^2 x.\]
\(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\) için \(\tan x > 0\), dolayısıyla \(F'(x) > 0\)’dır; yalnız \(x = 0\)’da \(F'(0) = 0\) olur. \(\{0\}\) tek noktalı bir küme olduğundan hiçbir dejenere olmayan aralığı içermez ve Sonuç 14.1 (2) gereği \(F\), \(\left[0, \frac{\pi}{2}\right)\) üzerinde kesin artandır.
\(F(0) = 0\) olduğundan, \(0 < x < \dfrac{\pi}{2}\) için
\[F(x) > F(0) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \tan x - x > 0 \quad \Longrightarrow \quad \tan x > x.\]
b) \(G : [0, +\infty) \to \mathbb{R}\), \(G(x) = x - \sin x\) olsun. \(G\) her yerde türevlenebilirdir ve
\[G'(x) = 1 - \cos x.\]
\(-1 \le \cos x \le 1\) olduğundan her \(x\) için \(G'(x) \ge 0\)’dır; yani \(G\) azalmayandır (Teorem 14.1). Ama kesin artanlık istiyoruz. \(G'(x) = 0\) olması \(\cos x = 1\), yani \(x = 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)) demektir. Ardışık iki çözüm arasındaki uzaklık \(2\pi > 0\) olduğundan bu küme hiçbir dejenere olmayan aralığı içeremez; Sonuç 14.1 (2) gereği \(G\), \([0,+\infty)\) üzerinde kesin artandır.
\(G(0) = 0 - \sin 0 = 0\) olduğundan \(x > 0\) için
\[G(x) > G(0) = 0 \quad \Longrightarrow \quad x - \sin x > 0 \quad \Longrightarrow \quad \sin x < x.\]
Bu örnek, Sonuç 14.1 (2)’nin neden işe yaradığını iyi gösterir: \(G' > 0\) değildir (sonsuz çoklukta noktada sıfırlanır), buna karşın \(G\) kesin artandır.
c) \(H : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(H(x) = e^x - 1 - x\) olsun. Teorem 5.2 gereği
\[H'(x) = e^x - 1.\]
Üstel fonksiyon kesin artan olduğundan ve \(e^0 = 1\) olduğundan:
- \(x > 0\) için \(e^x > 1\), yani \(H'(x) > 0\);
- \(x < 0\) için \(e^x < 1\), yani \(H'(x) < 0\).
Öyleyse Sonuç 14.1 (1) gereği \(H\), \([0, +\infty)\) üzerinde kesin artan ve \((-\infty, 0]\) üzerinde kesin azalandır (uç noktaların katılması Önerme 14.1 (3) ile meşrudur). \(H(0) = 0\) olduğundan \(x > 0\) için \(H(x) > H(0) = 0\); \(x < 0\) için de, \(H\) bu aralıkta kesin azalan olduğundan yine \(H(x) > H(0) = 0\). Her iki durumda da \(x \ne 0\) için \(H(x) > 0\), yani \(e^x > 1 + x\) (\(x = 0\)’da eşitlik vardır).
Aynı sonucu birinci türev testiyle de okuyabiliriz: \(H'\), \(x = 0\)’da \(-\)’den \(+\)’ya geçtiğinden \(0\) kesin yerel minimum noktasıdır ve monotonluk aralıkları \(\mathbb{R}\)’yi kapladığından bu minimum mutlaktır.
\(\blacksquare\)
Bu üç ispatın ortak iskeleti şudur: bir eşitsizlik, farkın monotonluğuna indirgenir. Fark fonksiyonunun bir uçta sıfır olması “başlangıç koşulu”nu, türevinin işareti ise “gidişat”ı verir. Gerekirse işlem yinelenir: \(x>0\) için \(\cos x > 1 - \dfrac{x^2}{2}\) eşitsizliğinde \(K(x) = \cos x - 1 + \dfrac{x^2}{2}\) alınır; \(K'(x) = x - \sin x\) olup (b) şıkkı gereği \(x>0\) için pozitiftir, \(K(0) = 0\) olduğundan \(K(x) > 0\) çıkar.
14.7 Alıştırmalar
Alıştırma 14.1 (Monotonluk ve Ekstremum Testleri Üzerine) a) \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) fonksiyonunun monotonluk aralıklarını bulunuz ve yerel ekstremumlarını hem birinci hem ikinci türev testiyle sınıflandırınız.
b) \(f(x) = \dfrac{x}{1+x^2}\) fonksiyonunun \(\mathbb{R}\) üzerindeki mutlak maksimum ve mutlak minimum değerlerini bulunuz.
c) \(f(x) = 1 - (x-2)^{2/3}\) fonksiyonunun \(x = 2\) noktasındaki davranışını inceleyiniz. İkinci türev testi neden kullanılamaz?
d) \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\) fonksiyonunun \([0,4]\) aralığındaki mutlak ekstremumlarını bulunuz.
e) Her \(x > 0\) için \(\ln(1+x) > x - \dfrac{x^2}{2}\) olduğunu gösteriniz.
f) \(\mathbb{R}\) üzerinde türevlenebilir, \(f' \ge 0\) koşulunu sağlayan ama kesin artan olmayan bir fonksiyon örneği veriniz. Ayrıca \(f'(x_0) = f''(x_0) = 0\) olduğu hâlde \(x_0\)’ın kesin yerel minimum olduğu bir örnek veriniz.
g) \(f(x) = x + \dfrac{1}{x}\) fonksiyonunun doğal tanım kümesindeki monotonluk aralıklarını bulunuz ve yerel ekstremumlarını sınıflandırınız. Bulduğunuz yerel maksimum değerinin yerel minimum değerinden küçük çıkmasını açıklayınız.
Çözüm
a) Türevler:
\[f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3\left( x^2 - 4x + 3 \right) = 3(x-1)(x-3), \qquad f''(x) = 6x - 12.\]
Kritik noktalar \(x = 1\) ve \(x = 3\)’tür (\(f\) her yerde türevlenebilir olduğundan başka kritik nokta yoktur).
Birinci türev testi. Deneme noktalarıyla:
| Aralık | \((-\infty,1)\) | \((1,3)\) | \((3,+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| Deneme noktası | \(0\) | \(2\) | \(4\) |
| \(f'\) değeri | \(9\) | \(-3\) | \(9\) |
| İşaret | \(+\) | \(-\) | \(+\) |
Türev \(x = 1\)’de \(+\)’dan \(-\)’ye geçtiğinden Teorem 14.2 (1) gereği burada kesin yerel maksimum, \(x = 3\)’te \(-\)’den \(+\)’ya geçtiğinden (2) gereği kesin yerel minimum vardır.
İkinci türev testi. \(f''(1) = -6 < 0\): kesin yerel maksimum. \(f''(3) = 6 > 0\): kesin yerel minimum. İki test uyuşuyor. Değerler \(f(1) = 5\) ve \(f(3) = 1\)’dir.
Monotonluk aralıkları. \(f\), \((-\infty, 1]\) üzerinde kesin artan, \([1,3]\) üzerinde kesin azalan, \([3, +\infty)\) üzerinde kesin artandır. Mutlak ekstremum yoktur, çünkü \(x \to \pm\infty\) iken \(f(x) \to \pm\infty\)’dur.
b) Bölüm kuralıyla \(f'(x) = \dfrac{\left( 1+x^2 \right) - 2x^2}{\left( 1+x^2 \right)^2} = \dfrac{1 - x^2}{\left( 1+x^2 \right)^2}\) bulunur. Payda daima pozitiftir, dolayısıyla \(f'\)’nün işareti \(1 - x^2\)’nin işaretidir; kritik noktalar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’dir.
| Aralık | \((-\infty,-1)\) | \((-1,1)\) | \((1,+\infty)\) |
|---|---|---|---|
| \(1-x^2\) işareti | \(-\) | \(+\) | \(-\) |
| \(f\) davranışı | kesin azalan | kesin artan | kesin azalan |
Teorem 14.2 gereği \(x = -1\) kesin yerel minimum, \(x = 1\) kesin yerel maksimumdur; değerleri
\[f(-1) = \frac{-1}{2} = -\frac12, \qquad f(1) = \frac{1}{2}.\]
Bu değerlerin mutlak olduğunu gösterelim. \(x \le -1\) bölgesinde \(f\) kesin azalandır, dolayısıyla \(f(x) \ge f(-1) = -\frac12\); \(-1 \le x \le 1\) bölgesinde kesin artandır, dolayısıyla \(-\frac12 \le f(x) \le \frac12\); \(x \ge 1\) bölgesinde kesin azalandır, dolayısıyla \(f(x) \le f(1) = \frac12\). Üç bölgede de \(-\frac12 \le f(x) \le \frac12\) elde edilir; sınırlar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’de alındığından
\[\min_{\mathbb{R}} f = -\frac12 \ \ (x = -1 \text{ noktasında}), \qquad \max_{\mathbb{R}} f = \frac12 \ \ (x = 1 \text{ noktasında}).\]
(Aynı sonuç \((|x|-1)^2 \ge 0\), yani \(x^2 + 1 \ge 2|x|\) eşitsizliğinden cebirsel olarak da çıkar.)
c) \((x-2)^{2/3} = \left( \sqrt[3]{x-2} \right)^2\) her reel \(x\) için tanımlı ve sürekli olduğundan \(f\)’nin tanım kümesi \(\mathbb{R}\)’dir. \(x \ne 2\) için Teorem 5.3 ile zincir kuralı (Teorem 4.1) — üssün paydası olan \(3\) tek olduğundan kural \(x < 2\) bölgesinde de geçerlidir — şunu verir:
\[f'(x) = -\frac{2}{3}(x-2)^{-1/3} = \frac{-2}{3\sqrt[3]{x-2}}.\]
İşaretler: \(x < 2\) için \(\sqrt[3]{x-2} < 0\) olduğundan \(f'(x) > 0\); \(x > 2\) için \(f'(x) < 0\). Türev \(+\)’dan \(-\)’ye geçtiğinden Teorem 14.2 (1) gereği \(x = 2\) bir kesin yerel maksimum noktasıdır; değeri \(f(2) = 1\)’dir. Dahası \(f\), \((-\infty,2]\) üzerinde kesin artan ve \([2,+\infty)\) üzerinde kesin azalan olduğundan bu maksimum mutlaktır: her \(x\) için \(f(x) \le 1\).
İkinci türev testi neden kullanılamaz? Çünkü \(f'(2)\) yoktur: fark oranı \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \dfrac{-1}{\sqrt[3]{h}}\) olup \(h \to 0^{+}\) iken \(-\infty\)’a, \(h \to 0^{-}\) iken \(+\infty\)’a ıraksar. Birinci türev var olmadığından ikinci türevden söz edilemez; Teorem 14.3’nin hipotezleri sağlanmaz. Buna karşın birinci türev testi, \(x = 2\)’de yalnızca süreklilik istediği için sorunsuz uygulanır.
d) \(f(x) = x - 2\sqrt{x}\), \([0,4]\) üzerinde süreklidir (karekök \([0,\infty)\)’da süreklidir); Weierstrass Ekstremum Teoremi mutlak ekstremumların varlığını verir.
\(x > 0\) için
\[f'(x) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = 1 - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}}.\]
\(x = 0\)’da türev yoktur (sağdan fark oranı \(\dfrac{h - 2\sqrt h}{h} = 1 - \dfrac{2}{\sqrt h} \to -\infty\)).
Adaylar. \(f'(x) = 0 \Rightarrow \sqrt x = 1 \Rightarrow x = 1\); türevin var olmadığı nokta \(x = 0\) (aynı zamanda sol uç); uç noktalar \(x = 0\) ve \(x = 4\). Aday listesi \(\{0, 1, 4\}\) ve değerler \(f(0) = 0\), \(f(1) = -1\), \(f(4) = 0\)’dır.
Sonuç. Mutlak minimum \(-1\)’dir ve \(x = 1\)’de alınır; mutlak maksimum \(0\)’dır ve iki noktada birden (\(x = 0\) ve \(x = 4\)) alınır.
Monotonluk. \(0 < x < 1\) için \(\sqrt x < 1\), yani \(f'(x) < 0\); \(x > 1\) için \(f'(x) > 0\). Demek ki \(x = 1\) kesin yerel (ve mutlak) minimum, uç noktalar ise birer uç nokta yerel maksimumudur.
e) \(F(x) = \ln(1+x) - x + \dfrac{x^2}{2}\) olsun; \(F\), \((-1, +\infty)\) üzerinde tanımlı ve türevlenebilirdir (Teorem 5.1) ve \(F(0) = 0\)’dır. Türevi:
\[F'(x) = \frac{1}{1+x} - 1 + x = \frac{1 - (1+x) + x(1+x)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}.\]
\(x > 0\) için pay ve payda pozitif olduğundan \(F'(x) > 0\)’dır; Sonuç 14.1 (1) ve Önerme 14.1 (3) gereği \(F\), \([0, +\infty)\) üzerinde kesin artandır. Öyleyse \(x > 0\) için
\[F(x) > F(0) = 0 \quad \Longrightarrow \quad \ln(1+x) - x + \frac{x^2}{2} > 0 \quad \Longrightarrow \quad \ln(1+x) > x - \frac{x^2}{2}.\]
f) Birinci örnek. \(x \le 0\) için \(0\), \(x > 0\) için \(x^2\) değerini alan \(f\) fonksiyonunu alalım. \(x < 0\) için \(f'(x) = 0\), \(x > 0\) için \(f'(x) = 2x > 0\)’dır. \(x = 0\)’da fark oranı \(h<0\) için \(0\), \(h>0\) için \(h\) olduğundan iki yönlü limit \(0\)’dır, yani \(f'(0) = 0\). Demek ki \(f\) her yerde türevlenebilirdir ve \(f' \ge 0\)’dır; buna karşın \(f\) kesin artan değildir: \(-2 < -1\) olmasına karşın \(f(-2) = 0 = f(-1)\)’dir.
Bu, Sonuç 14.1 (2) ile tam uyumludur: burada \(Z = \{x : f'(x) = 0\} = (-\infty, 0]\) kümesi \((-2,-1)\) aralığını içerir, yani ölçütün ikinci koşulu çiğnenmiştir.
İkinci örnek. \(f(x) = x^4\) ve \(x_0 = 0\) alalım. \(f'(0) = f''(0) = 0\) olduğundan ikinci türev testi sonuç vermez; buna karşın \(x \ne 0\) için \(x^4 > 0\) olduğundan \(0\) bir kesin yerel minimum noktasıdır (Örnek 14.3).
g) \(f\)’nin tanım kümesi \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır. Burada \(0\) noktası bir kritik nokta değildir, çünkü tanım kümesine ait değildir; yaptığı tek şey incelenecek bölgeyi iki ayrı aralığa bölmektir — işaret tablosu yordamının birinci adımı tam olarak bunu ister. \(x \ne 0\) için türev
\[f'(x) = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2} = \frac{(x-1)(x+1)}{x^2}\]
olur. Payda daima pozitif olduğundan işareti \((x-1)(x+1)\) belirler; kritik noktalar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’dir.
| Aralık | \((-\infty,-1)\) | \((-1,0)\) | \((0,1)\) | \((1,+\infty)\) |
|---|---|---|---|---|
| Deneme noktası | \(-2\) | \(-\frac12\) | \(\frac12\) | \(2\) |
| \(f'\) değeri | \(\frac34\) | \(-3\) | \(-3\) | \(\frac34\) |
| \(f\) davranışı | kesin artan | kesin azalan | kesin azalan | kesin artan |
Önerme 14.1 (3) ile uç noktaları da katarsak: \(f\), \((-\infty,-1]\) üzerinde kesin artan, \([-1,0)\) üzerinde kesin azalan, \((0,1]\) üzerinde kesin azalan, \([1,+\infty)\) üzerinde kesin artandır.
Türev \(x = -1\)’de \(+\)’dan \(-\)’ye geçtiğinden Teorem 14.2 (1) gereği burada kesin yerel maksimum, \(x = 1\)’de \(-\)’den \(+\)’ya geçtiğinden (2) gereği kesin yerel minimum vardır; değerler \(f(-1) = -2\) ve \(f(1) = 2\)’dir. (Aynı sonuç ikinci türev testinden de gelir: \(f''(x) = \dfrac{2}{x^3}\) olduğundan \(f''(-1) = -2 < 0\) ve \(f''(1) = 2 > 0\)’dır.)
Yerel maksimum neden yerel minimumdan küçük? Çünkü yerel ekstremum karşılaştırması yalnızca noktanın kendi komşuluğunda yapılır ve bu iki nokta tanım kümesinin iki ayrı parçasında yaşar. Gerçekten \(x < 0\) için \(f(x) \le -2\), \(x > 0\) için \(f(x) \ge 2\)’dir; iki parça arasında hiçbir karşılaştırma yoktur. Mutlak ekstremum da yoktur: \(x \to 0^{+}\) iken \(f(x) \to +\infty\), \(x \to 0^{-}\) iken \(f(x) \to -\infty\)’dur. Bu örnek, monotonluk ve ekstremum bilgisinin neden her aralıkta ayrı ayrı okunması gerektiğini gösterir.
\(\blacksquare\)
Bu bölümde türevin işaretinin fonksiyonun gidişatını nasıl belirlediğini gördük. Sırada, ikinci türevin işaretinin belirlediği bir başka geometrik özellik var: eğrinin teğetlerinin üstünde mi altında mı kaldığı, yani bükülme yönü. Bu kavramı ve türevle tam bağlantısını bir sonraki bölümde kuruyoruz: Konveks ve Konkav Fonksiyonlar.