11 Vektör Uzayları

Şimdiye kadar iki farklı yerde aynı hesap kalıbını gördük: sıralı \(n\)-lileri toplayıp bir sayıyla çarpmak, matrisleri toplayıp bir sayıyla çarpmak. Her ikisinde de aynı sekiz özellik geçerliydi. Bu bölümde o kalıbı soyutlayıp adını koyuyoruz — vektör uzayı — ve böylece bir kez ispatladığımız her şeyin, aynı aksiyomları sağlayan bütün yapılar için geçerli olmasını sağlıyoruz.

11.1 Tanım ve Aksiyomlar

Tanım 11.1 (Vektör Uzayı) \(K\) komutatif bir cisim ve \(V\) boş olmayan bir küme olsun. \(V\)’de bir toplama ve \(K\)’nin elemanlarıyla bir skalerle çarpma tanımlansın. Aşağıdaki aksiyomlar sağlanıyorsa \(V\)’ye \(K\) üzerinde bir vektör uzayı (lineer uzay) denir ve \(V(K)\) ile gösterilir. \(V\)’nin elemanlarına vektörler, \(K\)’nin elemanlarına skalerler denir.

A1. \(\forall u, v \in V\) için \(u + v \in V\)

A2. \(\forall u, v, w \in V\) için \((u + v) + w = u + (v + w)\)

A3. \(\forall u, v \in V\) için \(u + v = v + u\)

A4. \(\exists\, 0_V \in V\) öyle ki \(\forall u \in V\) için \(0_V + u = u\) (sıfır vektör)

A5. \(\forall u \in V\) için \(\exists\, x \in V\) öyle ki \(x + u = 0_V\) (bu \(x\) için \(-u\) yazılır)

M1. \(\forall k \in K\), \(\forall u \in V\) için \(ku \in V\)

M2. \(\forall k \in K\), \(\forall u, v \in V\) için \(k(u + v) = ku + kv\)

M3. \(\forall k_1, k_2 \in K\), \(\forall u \in V\) için \((k_1 + k_2)u = k_1 u + k_2 u\)

M4. \(\forall k_1, k_2 \in K\), \(\forall u \in V\) için \((k_1 k_2)u = k_1(k_2 u)\)

M5. \(1_K \in K\) olmak üzere \(\forall u \in V\) için \(1_K u = u\)

A1–A5 aksiyomları tam olarak \(\langle V, + \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu söyler. M1–M5 ise skalerlerin bu grupla nasıl uyuştuğunu belirler.

11.2 Sıfır Vektörle İlgili Kurallar

Aksiyomlarda \(k \cdot 0_V\) ya da \(0_K \cdot u\) çarpımlarının ne olduğu yazmaz; bunlar teorem olarak çıkar.

Teorem 11.1 (Temel Özellikler) \(V(K)\) bir vektör uzayı olsun. O hâlde

\(\forall k \in K\) için \(k\,0_V = 0_V\)
\(\forall u \in V\) için \(0_K u = 0_V\)
\(k \in K\), \(u \in V\) ve \(ku = 0_V\) ise \(k = 0_K\) veya \(u = 0_V\)’dir
\(\forall k \in K\), \(\forall u \in V\) için \((-k)u = k(-u) = -(ku)\)

İspat

1. \(0_V = 0_V + 0_V\) olduğundan (A4), dağılma aksiyomuyla

\[k\,0_V = k\big(0_V + 0_V\big) = k\,0_V + k\,0_V\]

Her iki tarafa soldan \(-(k\,0_V)\) ekleyelim:

\[0_V = -(k\,0_V) + \big(k\,0_V + k\,0_V\big) = \big(-(k\,0_V) + k\,0_V\big) + k\,0_V = 0_V + k\,0_V = k\,0_V\]

2. \(K\) bir cisim olduğundan \(0_K = 0_K + 0_K\)’dır; M3 ile

\[0_K u = \big(0_K + 0_K\big)u = 0_K u + 0_K u\]

Aynı ekleme yapılırsa \(0_K u = 0_V\) bulunur.

3. \(ku = 0_V\) olsun ve \(k \neq 0_K\) olduğunu varsayalım. \(K\) bir cisim olduğundan \(k^{-1}\) vardır:

\[u \overset{\textbf{M5}}{=} 1_K u = \big(k^{-1}k\big)u \overset{\textbf{M4}}{=} k^{-1}(ku) = k^{-1}\,0_V \overset{(1)}{=} 0_V\]

Demek ki \(k \neq 0_K\) ise zorunlu olarak \(u = 0_V\)’dir.

4. Birinci özellikten ve M2’den

\[0_V = k\,0_V = k\big(u + (-u)\big) = ku + k(-u) \implies k(-u) = -(ku)\]

İkinci özellikten ve M3’ten

\[0_V = 0_K u = \big(k + (-k)\big)u = ku + (-k)u \implies (-k)u = -(ku)\]

İkisi birlikte \((-k)u = k(-u) = -(ku)\) verir.

\(\blacksquare\)

11.3 Temel Örnekler

Örnek 11.1 (Sıralı n-lilerin Uzayı) \(K\) komutatif bir cisim ve

\[V = \big\{ (a_1, a_2, \dots, a_n) : a_i \in K \big\}\]

olsun. Toplama ve skalerle çarpma bileşen bileşen tanımlansın:

\[(a_1, \dots, a_n) + (b_1, \dots, b_n) = (a_1 + b_1,\ \dots,\ a_n + b_n)\]

\[k(a_1, \dots, a_n) = (ka_1,\ \dots,\ ka_n)\]

\(V\)’nin \(K\) üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz. Bu uzay \(K^{n}\) ile gösterilir.

Çözüm

\((0_K, \dots, 0_K) \in V\) olduğundan \(V \neq \varnothing\)’dir. On aksiyomun her biri, bileşenlerde \(K\)’nin bir özelliğine indirgenir.

A1. \(a_i + b_i \in K\) olduğundan toplam \(V\)’dedir.

A2–A3. \(K\)’de toplama asosyatif ve komutatif olduğundan, bileşen bileşen

\[\big[(a_i) + (b_i)\big] + (c_i) = \big((a_i + b_i) + c_i\big) = \big(a_i + (b_i + c_i)\big) = (a_i) + \big[(b_i) + (c_i)\big]\]

A4. \(0_V = (0_K, \dots, 0_K)\)’dır; çünkü \(0_K + a_i = a_i\)’dir.

A5. \((a_1, \dots, a_n)\)’nin toplamsal tersi \((-a_1, \dots, -a_n)\)’dir.

M1. \(ka_i \in K\) olduğundan \(k(a_i) \in V\)’dir.

M2. \(K\)’de çarpma toplama üzerine dağıldığından \(k(a_i + b_i) = ka_i + kb_i\)’dir.

M3. Yine dağılma özelliğinden \((k_1 + k_2)a_i = k_1 a_i + k_2 a_i\)’dir.

M4. \(K\)’de çarpma asosyatif olduğundan \((k_1 k_2)a_i = k_1(k_2 a_i)\)’dir.

M5. \(1_K a_i = a_i\) olduğundan \(1_K(a_i) = (a_i)\)’dir.

Demek ki \(K^{n}\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayıdır. \(K = \mathbb{R}\) alındığında elde edilen \(\mathbb{R}^{n}\), \(n\) boyutlu reel Öklid uzayıdır.

\(\blacksquare\)

Örnek 11.2 (Matrislerin Uzayı) Bileşenleri \(K\) cisminden alınmış bütün \(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrislerinin kümesi, matrislerin toplamı ve skalerle çarpımı işlemlerine göre \(K\) üzerinde bir vektör uzayıdır.

Gerçekten daha önce ispatladığımız sekiz özellik tam olarak A1–A5 ve M2–M5 aksiyomlarıydı: sıfır vektör \(O_{(m,n)}\) sıfır matrisi, \(A\)’nın toplamsal tersi \(-A\)’dır. A1 ve M1 ise toplam ve skalerle çarpımın yine aynı tipte bir matris vermesidir.

Örnek 11.3 (Fonksiyonların Uzayı) \(X \neq \varnothing\) herhangi bir küme, \(K\) komutatif bir cisim ve

\[V = \big\{ f \mid f : X \to K \text{ bir fonksiyon} \big\}\]

olsun. Toplama ve skalerle çarpma noktasal tanımlansın:

\[(f + g)(x) = f(x) + g(x), \qquad (kf)(x) = k\,f(x) \qquad (\forall x \in X)\]

\(V\)’nin \(K\) üzerinde bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

Her \(x \in X\) için \(\mathbf{0}(x) = 0_K\) ile tanımlı sıfır fonksiyonu \(V\)’dedir; dolayısıyla \(V \neq \varnothing\)’dir. İki fonksiyonun eşitliği, her noktada aynı değeri almaları demektir; bu yüzden bütün aksiyomlar “her \(x\) için” denetlenir.

A1. \(f(x) + g(x) \in K\) olduğundan \(f + g\) yine \(X\)’ten \(K\)’ye bir fonksiyondur.

A2. Her \(x \in X\) için

\[\begin{aligned} \big[(f+g)+h\big](x) &= \big(f(x)+g(x)\big)+h(x)\\ &= f(x)+\big(g(x)+h(x)\big)\\ &= \big[f+(g+h)\big](x) \end{aligned}\]

A3. \((f+g)(x) = f(x)+g(x) = g(x)+f(x) = (g+f)(x)\)

A4. \(g + f = f\) olması her \(x\) için \(g(x) + f(x) = f(x)\), yani \(g(x) = 0_K\) demektir; o hâlde \(0_V = \mathbf{0}\) sıfır fonksiyonudur.

A5. \(f^{*} + f = \mathbf{0}\) koşulu her \(x\) için \(f^{*}(x) = -f(x)\) verir; yani \(-f\) fonksiyonu \((-f)(x) = -f(x)\) ile tanımlıdır.

M1. \(k f(x) \in K\) olduğundan \(kf \in V\)’dir.

M2. Her \(x \in X\) için

\[\big[k(f+g)\big](x) = k\big(f(x)+g(x)\big) = kf(x) + kg(x) = (kf + kg)(x)\]

M3. Her \(x \in X\) için

\[\big[(k_1+k_2)f\big](x) = (k_1+k_2)f(x) = k_1 f(x) + k_2 f(x) = (k_1 f + k_2 f)(x)\]

M4. \(\big[(k_1k_2)f\big](x) = (k_1k_2)f(x) = k_1\big(k_2 f(x)\big) = \big[k_1(k_2 f)\big](x)\)

M5. \((1_K f)(x) = 1_K f(x) = f(x)\)

Bütün aksiyomlar sağlandığından \(V\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayıdır.

\(\blacksquare\)

Vektör her zaman bir ok değildir

Son örnekte “vektörler” birer fonksiyondur; ondan önceki örnekte birer matris. Vektör uzayı kavramının gücü tam da buradadır: tanım, elemanların ne olduğuna değil, yalnızca nasıl toplandıklarına ve nasıl ölçeklendiklerine bakar. Bu yüzden ileride ispatlayacağımız her teorem — taban, boyut, rank — aynı anda hem \(\mathbb{R}^n\) hem matrisler hem de fonksiyonlar için geçerli olacaktır.

11.4 Vektör Uzayı Olmayan Yapılar

Bir aksiyomun tek bir karşı örnekle bozulması, yapının vektör uzayı olmasını engeller.

Örnek 11.4 (Üç Karşı Örnek) \(V = \big\{ (a,b) : a, b \in \mathbb{R} \big\}\) kümesinde aşağıdaki işlemlerin tanımlandığı yapıların \(\mathbb{R}\) üzerinde birer vektör uzayı olmadığını gösteriniz.

\((a,b) + (c,d) = (a+c,\ b+d)\) ve \(k(a,b) = (ka,\ b)\)
\((a,b) + (c,d) = (a,\ b)\) ve \(k(a,b) = (ka,\ kb)\)
\((a,b) + (c,d) = (a+c,\ b+d)\) ve \(k(a,b) = \big(k^{2}a,\ k^{2}b\big)\)

Çözüm

a) M3 aksiyomunu sınayalım. \(v = (a,b)\) için

\[(k_1 + k_2)v = \big((k_1+k_2)a,\ b\big) = \big(k_1 a + k_2 a,\ b\big)\]

\[k_1 v + k_2 v = (k_1 a,\ b) + (k_2 a,\ b) = \big(k_1 a + k_2 a,\ 2b\big)\]

\(b \neq 0\) olan her vektör için \(b \neq 2b\)’dir; örneğin \(v = (1,1)\), \(k_1 = k_2 = 1\) alındığında sol taraf \((2,1)\), sağ taraf \((2,2)\) çıkar. M3 sağlanmadığından yapı bir vektör uzayı değildir.

b) A3 aksiyomunu sınayalım. \(v = (1,2)\) ve \(w = (3,4)\) için

\[v + w = (1,2), \qquad w + v = (3,4)\]

\(v + w \neq w + v\) olduğundan toplama komutatif değildir; yapı vektör uzayı değildir. (Aynı işlem A4 ve A5’i de bozar.)

c) Yine M3’ü sınayalım. \(k_1 = 1\), \(k_2 = 2\) ve \(v = (3,4)\) alalım:

\[(k_1 + k_2)v = 3v = \big(3^{2} \cdot 3,\ 3^{2} \cdot 4\big) = (27,\ 36)\]

\[k_1 v + k_2 v = 1 \cdot (3,4) + 2 \cdot (3,4) = (3,4) + (12,16) = (15,\ 20)\]

İki taraf farklı olduğundan M3 sağlanmaz; yapı vektör uzayı değildir.

\(\blacksquare\)

11.5 Alıştırma

Alıştırma 11.1 (Vektör Uzayı mı?)

\(V = \mathbb{R}^{2}\) kümesinde toplama alışıldık biçimde, skalerle çarpma ise \(k(a,b) = (ka, 0)\) olarak tanımlansın. Bu yapının bir vektör uzayı olup olmadığını belirleyiniz.
\(V(K)\) bir vektör uzayı, \(u, v \in V\) ve \(k \in K \setminus \{0_K\}\) olsun. \(ku = kv\) ise \(u = v\) olduğunu gösteriniz.
\(V = \{(a, b) \in \mathbb{R}^{2} : b = 3a\}\) kümesinin, \(\mathbb{R}^{2}\)’deki alışıldık işlemlerle bir vektör uzayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

a) M5 aksiyomunu sınayalım: her \(u\) için \(1_K u = u\) olmalıdır. \(u = (1,1)\) alalım:

\[1 \cdot (1,1) = (1 \cdot 1,\ 0) = (1, 0) \neq (1,1)\]

M5 sağlanmadığından yapı bir vektör uzayı değildir. (Diğer dokuz aksiyomun sağlanıyor olması durumu kurtarmaz; tanım hepsini birden ister.)

b) \(ku = kv\) olsun. Her iki tarafa \(-(kv)\) ekleyip M2 ve teoremin dördüncü maddesini kullanalım:

\[0_V = ku - kv = ku + k(-v) = k\big(u + (-v)\big) = k(u - v)\]

Şimdi teoremin üçüncü maddesini uygulayalım: \(k(u-v) = 0_V\) olduğundan ya \(k = 0_K\)’dır ya da \(u - v = 0_V\)’dir. Varsayım gereği \(k \neq 0_K\) olduğundan \(u - v = 0_V\), yani \(u = v\) bulunur.

c) \(V\), düzlemde \(b = 3a\) doğrusu üzerindeki noktalardan oluşur; elemanları \((a, 3a)\) biçimindedir. \((0,0) \in V\) olduğundan \(V \neq \varnothing\)’dir.

A1. \((a, 3a) + (c, 3c) = (a + c,\ 3a + 3c) = \big(a+c,\ 3(a+c)\big) \in V\)

M1. \(k(a, 3a) = (ka,\ 3ka) = \big(ka,\ 3(ka)\big) \in V\)

A4. \((0,0) = (0, 3 \cdot 0) \in V\) ve toplamaya göre etkisizdir.

A5. \((a,3a)\)’nın tersi \((-a, -3a) = \big(-a, 3(-a)\big) \in V\)’dir.

Kalan aksiyomlar (A2, A3, M2–M5) \(\mathbb{R}^{2}\)’de zaten geçerli olduğundan ve \(V \subseteq \mathbb{R}^{2}\) aynı işlemleri taşıdığından bunlar \(V\)’nin elemanları için de sağlanır. Demek ki \(V\) bir vektör uzayıdır.

Bu son gözlem bir sonraki bölümün de fikridir: büyük bir uzayın içinde yaşayan ve iki işlem altında kapalı olan her alt küme, kendiliğinden bir vektör uzayıdır.

\(\blacksquare\)

Son alıştırmada gördüğümüz durum o kadar sık karşımıza çıkar ki ayrı bir ad ve kısa bir ölçüt hak eder: alt uzaylar.