38 Cramer Kuralı ve Operatörün Determinantı

Determinantı, ortaya çıkışına yakın bir soruya döndürüyoruz: bir lineer denklem sistemini çözmek. Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğunda çözüm, tümüyle determinantlarla yazılabilir. Bölümün ikinci yarısında ise determinantın matristen operatöre taşınmasını tamamlıyoruz.

38.1 Cramer Kuralı

$n$ bilinmeyenli $n$ denklemden oluşan bir sistemi ele alalım:

\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2\\ &\ \ \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n &= b_n \end{aligned}\]

Matris diliyle bu sistem $A\cdot x = b$’dir; burada $A = (a_{ij})$ katsayı matrisi, $x$ ve $b$ ise sütun matrislerdir.

Tanım 38.1 (Sistemin Determinantları) Yukarıdaki sistem için

\[\Delta := |A|\]

sayısına sistemin determinantı denir. Ayrıca $\Delta_i$, $A$’nın $i$. sütunu $b$ sütunuyla değiştirilerek elde edilen matrisin determinantıdır:

\[\Delta_i = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & b_1 & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & \cdots & b_2 & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & & \vdots & & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & b_n & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} \qquad (\text{$b$ sütunu $i$. sırada})\]

Teorem 38.1 (Cramer Kuralı) Yukarıdaki sistemin tek çözümünün olması için gerek ve yeter koşul $\Delta \ne 0$ olmasıdır. Bu durumda çözüm

\[x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} \qquad (i = 1, 2, \dots, n)\]

İspat

Tek çözüm ölçütü. Sistem $Ax = b$ biçimindedir. $A$ regülerse her iki tarafı soldan $A^{-1}$ ile çarpmak $x = A^{-1}b$ verir; bu tek çözümdür. $A$ regüler değilse $Ax = 0$ homojen sisteminin sıfırdan farklı bir $x_0$ çözümü vardır (denk koşullar listesi); bu durumda sistemin ya hiç çözümü yoktur ya da bir $x^{*}$ çözümü varsa $x^{*} + x_0$ da çözümdür, yani çözüm tek değildir. Demek ki tek çözümün varlığı $A$’nın regülerliğine, o da $\Delta = |A| \ne 0$ koşuluna denktir.

Formül. $\Delta \ne 0$ olsun. Tersin ek matrisle formülü gereği

\[x = A^{-1}b = \frac{1}{\Delta}\operatorname{ek}A\cdot b\]

$\operatorname{ek}A$’nın $(i,j)$ girdisi $A_{ji}$ olduğundan, $x$’in $i$. bileşeni

\[x_i = \frac{1}{\Delta}\sum_{j=1}^{n} A_{ji}\,b_j\]

Sağdaki toplama bakalım. $A$’nın $i$. sütununu $b$ ile değiştirerek elde edilen matrise $C$ diyelim. $C$ ile $A$, $i$. sütun dışında aynı olduğundan $C$’nin $i$. sütununa ait kofaktörleri $A$’nınkilerle birebir aynıdır ($i$. sütun silindiğinde kalan matris değişmez). $|C|$’yi $i$. sütuna göre açalım:

\[\Delta_i = |C| = \sum_{j=1}^{n} c_{ji}\,C_{ji} = \sum_{j=1}^{n} b_j\,A_{ji}\]

İki eşitliği birleştirirsek $x_i = \Delta_i/\Delta$ bulunur.

$\blacksquare$

İki uyarı

1. Kural yalnızca denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğunda kullanılabilir; aksi hâlde $A$ kare olmadığından $\Delta$ tanımlı bile değildir.

2. $\Delta = 0$ ise kural hiçbir şey söylemez: sistemin çözümü olmayabilir de, sonsuz çözümü olabilir de. Bu durumda Gauss yok etme yöntemine dönmek gerekir.

Örnek 38.1 (İki Bilinmeyenli Sistemler) Aşağıdaki sistemleri Cramer kuralıyla çözünüz.

$\begin{cases} 2x - 3y = 7\\ 3x + 5y = 1\end{cases}$
$\begin{cases} 2x + y = 7\\ 3x - 5y = 4\end{cases}$
$ab \ne 0$ olmak üzere $\begin{cases} ax - 2by = c\\ 3ax - 5by = 2c\end{cases}$

Çözüm

a) Üç determinantı yazalım:

\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 3 & 5\end{vmatrix} = 10 + 9 = 19, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & -3 \\ 1 & 5\end{vmatrix} = 35 + 3 = 38\]

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 1\end{vmatrix} = 2 - 21 = -19\]

$\Delta = 19 \ne 0$ olduğundan tek çözüm vardır:

\[x = \frac{38}{19} = 2, \qquad y = \frac{-19}{19} = -1\]

Kontrol. $2(2) - 3(-1) = 7$ ✔ ve $3(2) + 5(-1) = 1$ ✔

b) \[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -5\end{vmatrix} = -10 - 3 = -13, \qquad \Delta_x = \begin{vmatrix} 7 & 1 \\ 4 & -5\end{vmatrix} = -35 - 4 = -39\]

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 3 & 4\end{vmatrix} = 8 - 21 = -13\]

\[x = \frac{-39}{-13} = 3, \qquad y = \frac{-13}{-13} = 1\]

c) \[\Delta = \begin{vmatrix} a & -2b \\ 3a & -5b\end{vmatrix} = -5ab + 6ab = ab\]

$ab \ne 0$ olduğundan tek çözüm vardır.

\[\Delta_x = \begin{vmatrix} c & -2b \\ 2c & -5b\end{vmatrix} = -5bc + 4bc = -bc, \qquad \Delta_y = \begin{vmatrix} a & c \\ 3a & 2c\end{vmatrix} = 2ac - 3ac = -ac\]

\[x = \frac{-bc}{ab} = -\frac{c}{a}, \qquad y = \frac{-ac}{ab} = -\frac{c}{b}\]

$\blacksquare$

Örnek 38.2 (Üç Bilinmeyenli Bir Sistem) \[\begin{cases} 2x + 3y - z = 1\\ 3x + 5y + 2z = 8\\ -x + 2y + 3z = 1\end{cases}\]

sistemini Cramer kuralıyla çözünüz.

Çözüm

Sistemin determinantı. Birinci satıra göre açalım:

\[\Delta = \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 3 & 5 & 2 \\ -1 & 2 & 3\end{vmatrix} = 2(15 - 4) - 3(9 + 2) + (-1)(6 + 5) = 22 - 33 - 11 = -22\]

$\Delta \ne 0$ olduğundan sistemin tek çözümü vardır.

$\Delta_x$. Birinci sütun $b$ ile değiştirilir:

\[\Delta_x = \begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 8 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 3\end{vmatrix} = 1(15 - 4) - 3(24 - 2) + (-1)(16 - 5) = 11 - 66 - 11 = -66\]

$\Delta_y$. İkinci sütun değiştirilir:

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 8 & 2 \\ -1 & 1 & 3\end{vmatrix} = 2(24 - 2) - 1(9 + 2) + (-1)(3 + 8) = 44 - 11 - 11 = 22\]

$\Delta_z$. Üçüncü sütun değiştirilir:

\[\Delta_z = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 5 & 8 \\ -1 & 2 & 1\end{vmatrix} = 2(5 - 16) - 3(3 + 8) + 1(6 + 5) = -22 - 33 + 11 = -44\]

Bölelim:

\[x = \frac{-66}{-22} = 3, \qquad y = \frac{22}{-22} = -1, \qquad z = \frac{-44}{-22} = 2\]

Kontrol. $2(3) + 3(-1) - 2 = 1$ ✔, $3(3) + 5(-1) + 2(2) = 8$ ✔, $-3 + 2(-1) + 3(2) = 1$ ✔

$\blacksquare$

38.2 Homojen Sistemler

Teorem 38.2 (Homojen Sistemin Sıfırdan Farklı Çözümü) $n$ bilinmeyenli $n$ denklemden oluşan $A\cdot x = 0$ homojen sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün bulunması için gerek ve yeter koşul

\[\Delta = |A| = 0\]

olmasıdır.

İspat

Homojen sistemin her zaman $x = 0$ çözümü vardır. Cramer kuralına göre $\Delta \ne 0$ ise çözüm tektir, yani yalnız sıfır çözümü bulunur. Tersine $\Delta = 0$ ise $A$ regüler değildir; denk koşullar listesi gereği bu, $Ax = 0$ sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün olması demektir.

$\blacksquare$

Bu ölçüt, ilerideki bölümlerin en çok kullanılan aracıdır: bir sayının özdeğer olması, tam olarak uygun bir homojen sistemin sıfırdan farklı çözümü olması demektir ve bu da bir determinantın sıfır olmasına indirgenir.

38.3 Bir Lineer Operatörün Determinantı

Rank ve iz gibi determinant da taban seçiminden bağımsızdır; bunu göstermek için tek gereken çarpım kuralıdır.

Teorem 38.3 (Benzer Matrislerin Determinantları Eşittir) $A \sim B$ ise $|A| = |B|$’dir.

İspat

$B = P^{-1}AP$ olsun; $P$ regüler olduğundan $|P| \ne 0$’dır. Çarpımın determinantı kuralını iki kez uygulayalım:

\[|B| = \big|P^{-1}AP\big| = \big|P^{-1}\big|\cdot|A|\cdot|P| = \frac{1}{|P|}\cdot|A|\cdot|P| = |A|\]

Determinantlar $K$’nın elemanları, yani skalerler olduğundan sıraları serbestçe değiştirilebilir.

$\blacksquare$

Tanım 38.2 (Bir Operatörün Determinantı) $V$ sonlu boyutlu bir vektör uzayı, $T \in A(V)$ ve $e$, $V$’nin herhangi bir tabanı olsun. $T$’nin determinantı

\[\det(T) := \big|[T]_e\big|\]

biçiminde tanımlanır. $T$’nin iki matris gösterimi benzer ve benzer matrislerin determinantları eşit olduğundan tanım $e$ tabanının seçiminden bağımsızdır.

Teorem 38.4 (Operatör Determinantının Özellikleri) $V$ sonlu boyutlu ve $S, T \in A(V)$ olsun.

(i) $\det(S \circ T) = \det(S)\cdot\det(T)$

(ii) $T$’nin tersinir olması için gerek ve yeter koşul $\det(T) \ne 0$ olmasıdır; bu durumda

\[\det\big(T^{-1}\big) = \frac{1}{\det(T)}\]

İspat

$e$, $V$’nin bir tabanı olsun.

(i) Bileşkenin matrisi matrislerin çarpımı olduğundan $[S\circ T]_e = [S]_e[T]_e$’dir. Determinant alıp çarpım kuralını kullanalım:

(ii) $T \mapsto [T]_e$ eşlemesi bir cebir izomorfizmi olduğundan $T$ tersinirdir ancak ve ancak $[T]_e$ regülerse. Regülerlik ölçütü gereği bu da $\big|[T]_e\big| \ne 0$, yani $\det(T) \ne 0$ demektir.

$T$ tersinir olsun. $T \circ T^{-1} = I$ ve $\det(I) = |I_n| = 1$ olduğundan (i) gereği

\[\det(T)\cdot\det\big(T^{-1}\big) = 1\]

$\det(T) \ne 0$ olduğundan iki tarafı bölmek yeter.

$\blacksquare$

Örnek 38.3 (İki Operatörün Determinantı) Aşağıdaki operatörlerin determinantlarını bulunuz.

$T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$, $T(x,y,z) = (2x - z,\ x + 2y - 4z,\ 3x - 3y + z)$
$S : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$, $S(x,y,z) = (2x - 4y + z,\ x - 2y + 3z,\ 5x + y - z)$

Çözüm

a) Standart tabanda matris, katsayı matrisidir:

\[[T]_e = \begin{pmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 2 & -4 \\ 3 & -3 & 1\end{pmatrix}\]

Birinci satıra göre açalım:

\[\det(T) = 2\big(2\cdot 1 - (-4)(-3)\big) - 0 + (-1)\big(1(-3) - 2\cdot 3\big)\]

\[= 2(2 - 12) - 1(-3 - 6) = -20 + 9 = -11\]

$\det(T) = -11 \ne 0$ olduğundan $T$ tersinirdir.

b) \[[S]_e = \begin{pmatrix} 2 & -4 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & -1\end{pmatrix}\]

\[\det(S) = 2\big((-2)(-1) - 3\cdot 1\big) - (-4)\big(1(-1) - 3\cdot 5\big) + 1\big(1\cdot 1 - (-2)\cdot 5\big)\]

\[= 2(2 - 3) + 4(-1 - 15) + (1 + 10) = -2 - 64 + 11 = -55\]

$\blacksquare$

38.4 Alıştırma

Alıştırma 38.1 (Cramer Kuralı ve Operatör Determinantı)

$\begin{cases} x + 2y + z = 3\\ 2x - y + 3z = 5\\ x + y - z = 0\end{cases}$ sistemini Cramer kuralıyla çözünüz.
$\begin{cases} kx + y = 0\\ x + ky = 0\end{cases}$ homojen sisteminin sıfırdan farklı bir çözümünün bulunduğu $k$ değerlerini belirleyiniz.
$T \in A(V)$ singüler ise $\det(T) = 0$ olduğunu gösteriniz.
$\det(kT) = k^{n}\det(T)$ olduğunu gösteriniz ($n = \dim V$).

Çözüm

1. Katsayı matrisinin determinantını birinci satıra göre açalım:

\[\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1\end{vmatrix} = 1(1 - 3) - 2(-2 - 3) + 1(2 + 1) = -2 + 10 + 3 = 11\]

\[\Delta_x = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 5 & -1 & 3 \\ 0 & 1 & -1\end{vmatrix} = 3(1 - 3) - 2(-5 - 0) + 1(5 - 0) = -6 + 10 + 5 = 9\]

\[\Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 5 & 3 \\ 1 & 0 & -1\end{vmatrix} = 1(-5 - 0) - 3(-2 - 3) + 1(0 - 5) = -5 + 15 - 5 = 5\]

\[\Delta_z = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 5 \\ 1 & 1 & 0\end{vmatrix} = 1(0 - 5) - 2(0 - 5) + 3(2 + 1) = -5 + 10 + 9 = 14\]

\[x = \frac{9}{11}, \qquad y = \frac{5}{11}, \qquad z = \frac{14}{11}\]

Kontrol. Üçüncü denklem: $\tfrac{9}{11} + \tfrac{5}{11} - \tfrac{14}{11} = 0$ ✔

2. $\Delta = k^{2} - 1$’dir. Sıfırdan farklı çözümün bulunması için $\Delta = 0$, yani $k = 1$ ya da $k = -1$ olmalıdır.

3. $T$ singüler ise $\operatorname{Ker} T \ne \{0\}$’dır, yani $T(v) = 0$ olacak biçimde bir $v \ne 0$ vardır. $e$ bir taban olmak üzere temel eşitlik gereği

\[[T]_e\cdot[v]_e = \big[T(v)\big]_e = 0\]

$v \ne 0$ olduğundan $[v]_e \ne 0$’dır; demek ki $[T]_e\,x = 0$ homojen sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü vardır. Homojen sistem ölçütü gereği $\big|[T]_e\big| = 0$, yani $\det(T) = 0$’dır.

4. $[kT]_e = k\,[T]_e$’dir. Bir matrisin bütün girdilerini $k$ ile çarpmak, $n$ satırın her birini $k$ ile çarpmak demektir; her satır çarpımı determinantı $k$ katına çıkardığından

\[\det(kT) = \big|k[T]_e\big| = k^{n}\big|[T]_e\big| = k^{n}\det(T)\]

$\blacksquare$