28 Tersinir Operatörler

Bir lineer operatörün tersinin olması, uyguladığı dönüşümün geri alınabilmesi demektir. Sonlu boyutlu uzaylarda bunun tek bir engeli vardır: sıfırdan farklı bir vektörü sıfıra ezmek. Bu bölüm o engelin gerçekten tek engel olduğunu gösteriyor.

28.1 Tanım

Tanım 28.1 (Tersinir Operatör) $T : V \to V$ bir lineer operatör, yani $T \in A(V)$ olsun. Eğer

\[T T^{-1} = T^{-1} T = I\]

olacak şekilde bir $T^{-1} \in A(V)$ varsa, $T^{-1}$ lineer operatörüne $T$’nin tersi denir. Tersi olan bir $T \in A(V)$ operatörüne de tersinir operatör denir.

28.2 Tersinirlik Ölçütü

Teorem 28.1 (Tersinirlik Ölçütü) $V$, bir $K$ komutatif cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve $T \in A(V)$ olsun. Bu durumda $T$’nin tersinir olması için gerek ve yeter koşul $T$’nin singüler olmamasıdır.

İspat

Gereklik. $T$ tersinir olsun. Bir fonksiyonun tersinin olması için gerek ve yeter koşul bire bir ve örten olmasıdır; özel olarak $T$ bire birdir. Singüler olmama ölçütü gereği $\operatorname{Ker} T = \{0_V\}$, yani $T$ singüler değildir.

Yeterlik. $T$ singüler olmasın. O hâlde $\operatorname{Ker} T = \{0_V\}$’dir ve $T$ bire birdir. $V$ sonlu boyutlu olduğundan boyut teoremi uygulanabilir:

\[\dim V = \dim(\operatorname{Ker} T) + \dim(\operatorname{Im} T) = 0 + \dim(\operatorname{Im} T) = \dim(\operatorname{Im} T)\]

$\operatorname{Im} T$, $V$’nin bir alt uzayıdır ve boyutu $V$’nin boyutuna eşittir; dolayısıyla

\[\operatorname{Im} T = V\]

yani $T$ örtendir. $T$ hem bire bir hem örten olduğundan tersi vardır; ters fonksiyonun da lineer olduğunu daha önce görmüştük, yani $T^{-1} \in A(V)$’dir.

$\blacksquare$

Teorem 28.2 (Sonlu Boyutta Üç Denk Koşul) $V$ sonlu boyutlu ve $T \in A(V)$ olsun. Aşağıdaki üç koşul birbirine denktir:

$T$ tersinirdir;
$T$ bire birdir;
$T$ örtendir.

İspat

(i) $\iff$ (ii). Tersinirlik ölçütü gereği

\[T \text{ tersinirdir} \iff T \text{ singüler değildir}\] \[\iff \operatorname{Ker} T = \{0_V\} \iff T \text{ bire birdir}\]

Son denklik singüler olmama ölçütüdür.

(i) $\iff$ (iii). Boyut teoreminden

\[\dim V = \dim(\operatorname{Ker} T) + \dim(\operatorname{Im} T) \tag{$*$}\]

$\operatorname{Im} T$, $V$’nin bir alt uzayı olduğundan

\[T \text{ örtendir} \iff \operatorname{Im} T = V \iff \dim(\operatorname{Im} T) = \dim V\]

$(*)$ gereği bu son eşitlik $\dim(\operatorname{Ker} T) = 0$, yani $\operatorname{Ker} T = \{0_V\}$ ile denktir. O da $T$’nin singüler olmaması, dolayısıyla tersinir olmasıdır.

$\blacksquare$

Sonlu boyut şartı vazgeçilmezdir

Bu denkliklerin hepsi $V$’nin sonlu boyutlu olmasına dayanır. Sonsuz boyutlu uzaylarda bire bir olup örten olmayan operatörler vardır; örneğin bütün reel dizilerin uzayında $(a_1, a_2, a_3, \dots) \mapsto (0, a_1, a_2, \dots)$ kaydırma operatörü bire birdir ama örten değildir.

28.3 Ters Operatörün Hesabı

Ters operatörü bulmak bir denklem sistemi çözmektir: $T(v) = w$ eşitliğinde $v$’yi $w$ cinsinden yazmak yeterlidir.

Örnek 28.1 (Düzlemde Bir Ters Operatör) $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ operatörü $T(x,y) = (y,\ 2x - y)$ biçiminde tanımlanıyor. $T$’nin tersinir olduğunu gösteriniz ve $T^{-1}$’i bulunuz.

Çözüm

Tersinirlik. $T(x,y) = (0,0)$ koşulu

\[y = 0 \qquad \text{ve} \qquad 2x - y = 0\]

verir; buradan $y = 0$ ve $x = 0$ bulunur. Demek ki

\[\operatorname{Ker} T = \{(0,0)\} = \{0_{\mathbb{R}^{2}}\}\]

olup $T$ singüler değildir; tersinirlik ölçütü gereği $T$’nin tersi vardır.

Tersin hesabı. $(x,y) \in \mathbb{R}^{2}$ olmak üzere

\[T(x,y) = (s,t) \iff T^{-1}(s,t) = (x,y)\]

olduğundan $T(x,y) = (s,t)$ eşitliğini çözelim:

\[(y,\ 2x-y) = (s,t) \quad \Longrightarrow \quad y = s, \qquad 2x - y = t\]

İkinci denklemde $y = s$ yerine konursa $2x = s + t$, yani

\[x = \tfrac{1}{2}s + \tfrac{1}{2}t, \qquad y = s\]

Öyleyse

\[T^{-1} : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}, \qquad (s,t) \longmapsto \Big(\tfrac{1}{2}s + \tfrac{1}{2}t,\ \ s\Big)\]

$\blacksquare$

Örnek 28.2 (Uzayda Bir Ters Operatör) $T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}$ operatörü

\[T(x,y,z) = (2x,\ 4x - y,\ 2x + 3y - z)\]

biçiminde tanımlanıyor. $T$’nin tersinir olduğunu gösteriniz ve $T^{-1}$’i bulunuz.

Çözüm

Tersinirlik. $T(x,y,z) = (0,0,0)$ koşulu

\[2x = 0, \qquad 4x - y = 0, \qquad 2x + 3y - z = 0\]

homojen sistemini verir. Birinci denklemden $x = 0$, ikinciden $y = 4x = 0$, üçüncüden $z = 2x + 3y = 0$ bulunur; sistemin tek çözümü sıfır çözümüdür. Demek ki

\[\operatorname{Ker} T = \{(0,0,0)\} = \{0_{\mathbb{R}^{3}}\}\]

olup $T$ singüler değildir ve tersi vardır.

Tersin hesabı. $T(x,y,z) = (r,s,t)$ eşitliğini çözelim:

\[2x = r, \qquad 4x - y = s, \qquad 2x + 3y - z = t\]

Üç bilinmeyenli ve üç denklemli bu sistemin tek çözümü vardır. Sırayla:

\[x = \frac{r}{2}, \qquad y = 4x - s = 2r - s\]

\[z = 2x + 3y - t = r + 3(2r - s) - t = 7r - 3s - t\]

Öyleyse

\[T^{-1} : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}, \qquad (r,s,t) \longmapsto \Big(\tfrac{r}{2},\ \ 2r - s,\ \ 7r - 3s - t\Big)\]

$\blacksquare$

28.4 Kare Denklem Sistemleri

Tersinir operatörler, denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olan sistemleri tek bir soruya indirger.

Teorem 28.3 (Kare Sistemlerin Çözüm Sayısı) $K$ komutatif bir cisim olmak üzere, $n$ lineer denklemli ve $n$ bilinmeyenli

\[ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1\\ &\ \ \vdots\\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{nn}x_n &= b_n \end{aligned} \tag{$*$} \]

sistemini ele alalım. Bu durumda:

$(*)$ ile ilgili homojen sistemin yalnız sıfır çözümü varsa, $(*)$’ın tek çözümü vardır.
Homojen sistemin sıfırdan farklı bir çözümü varsa, $(*)$’ın ya çözümü yoktur ya da birden fazla çözümü vardır.

İspat

Sistemi $A X = B$ matris denklemi olarak yazalım; $A = (a_{ij})$ artık $n$. mertebeden bir kare matristir. Bu matrisin belirlediği

\[T : K^{n} \to K^{n}, \qquad v \longmapsto A \cdot v\]

lineer operatörünü alalım.

(i) $A X = O$ homojen sisteminin yalnız sıfır çözümü olsun. Bu, çözüm uzayının

\[W = \big\{ X \in K^{n} : T(X) = A X = O \big\} = \operatorname{Ker} T = \{0_{K^{n}}\}\]

olması demektir; yani $T$ singüler değildir. Tersinirlik ölçütü gereği $T$’nin tersi vardır, dolayısıyla $T$ bire bir ve örtendir. O hâlde her $B \in K^{n}$ için

\[T(X) = A X = B\]

olacak biçimde bir ve yalnız bir $X \in K^{n}$ vardır; $(*)$’ın tek çözümü vardır.

(ii) $A X = O$ homojen sisteminin sıfırdan farklı bir çözümü olsun. Bu durumda

\[\operatorname{Ker} T \neq \{0_{K^{n}}\}\]

olup $T$ singülerdir ve bire bir değildir. Tersinirlik ölçütü gereği $T$’nin tersi yoktur, dolayısıyla $T$ örten de değildir. İki durum mümkündür:

Ya $T(X) = A X = B$ olacak hiçbir $X \in K^{n}$ yoktur; bu durumda $(*)$’ın çözümü yoktur.
Ya da böyle bir $X$ vardır. Bu durumda, $A X_0 = O$ olan sıfırdan farklı bir $X_0$ alınırsa

\[A(X + X_0) = A X + A X_0 = B + O = B\]

olduğundan $X + X_0 \neq X$ de bir çözümdür; yani $(*)$’ın birden fazla çözümü vardır.

$\blacksquare$

Pratikte ne işe yarar?

Kare bir sistemde sabitler matrisi $B$ ne olursa olsun çözüm sayısını belirleyen tek şey, katsayılar matrisidir. Homojen sistemi bir kez çözmek, o katsayı tablosuyla kurulabilecek bütün sistemler hakkında bilgi verir. Bu, regülerlik ölçütüyle de örtüşür: $A$’nın regüler olması, homojen sistemin yalnız sıfır çözümü olmasıyla aynı şeydir.

28.5 Alıştırma

Alıştırma 28.1 (Tersinir Operatörler Üzerine)

$V$ sonlu boyutlu ve $S, T \in A(V)$ tersinir olsun. $ST$’nin de tersinir olduğunu ve $(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}$ olduğunu gösteriniz.
$T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$, $T(x,y) = (x + y,\ 2x + 2y)$ operatörünün tersinir olup olmadığını belirleyiniz.
$T \in A(V)$ ve $T^{2} = 0$, $T \neq 0$ olsun. $T$’nin tersinir olmadığını gösteriniz.

Çözüm

1. $S$ ve $T$ tersinir olduğundan $S^{-1}, T^{-1} \in A(V)$ vardır. $T^{-1}S^{-1}$ elemanının $ST$’nin tersi olduğunu doğrudan çarparak görelim; asosyatiflik serbestçe kullanılabilir:

\[(ST)\big(T^{-1}S^{-1}\big) = S\big(TT^{-1}\big)S^{-1} = S\,I\,S^{-1} = SS^{-1} = I\]

\[\big(T^{-1}S^{-1}\big)(ST) = T^{-1}\big(S^{-1}S\big)T = T^{-1}\,I\,T = T^{-1}T = I\]

Demek ki $ST$ tersinirdir ve $(ST)^{-1} = T^{-1}S^{-1}$’dir.

2. $T(x,y) = (0,0)$ koşulu

\[x + y = 0 \qquad \text{ve} \qquad 2x + 2y = 0\]

verir. İkinci denklem birincinin iki katı olduğundan sistem tek bir denkleme, $x + y = 0$’a indirgenir. Bu denklemin $(1,-1)$ gibi sıfırdan farklı çözümleri vardır:

\[T(1,-1) = (0,0) \qquad \Longrightarrow \qquad (1,-1) \in \operatorname{Ker} T\]

Demek ki $\operatorname{Ker} T \neq \{(0,0)\}$’dır; $T$ singülerdir ve tersinir değildir.

3. $T$ tersinir olsaydı, $T^{2} = 0$ eşitliğini soldan $T^{-1}$ ile çarparak

\[T^{-1}\big(TT\big) = T^{-1}\,0 = 0 \quad \Longrightarrow \quad \big(T^{-1}T\big)T = 0 \quad \Longrightarrow \quad IT = T = 0\]

elde ederdik. Bu, $T \neq 0$ varsayımıyla çelişir. Öyleyse $T$ tersinir değildir.

$\blacksquare$