8 Eşdeğer Sistemler ve Merdiven Şekli
Bir denklem sistemini çözmenin klasik yolu, denklemleri birbirinden çıkarıp bilinmeyenleri teker teker yok etmektir. Bu bölümde o hamlenin neden meşru olduğunu — yani çözüm kümesini neden bozmadığını — kanıtlayacak ve sistemi olabildiğince yalın bir biçime, merdiven şekline getireceğiz. Bu biçime ulaşıldığında çözümün varlığı ve tekliği tek bir sayıya bakarak okunur.
8.1 Denklemlerin Lineer Birleşimleri
Teorem 8.1 (Denklemlerin Lineer Birleşimi) \((2)\) lineer denklem sistemindeki \(1\)-inci denklemi \(c_1 \in K\) ile, \(2\)-inci denklemi \(c_2 \in K\) ile, …, \(m\)-inci denklemi \(c_m \in K\) ile çarpıp taraf tarafa toplayarak elde edilen
\[\begin{aligned} &\big(c_1a_{11} + \cdots + c_ma_{m1}\big)x_1 + \cdots + \big(c_1a_{1n} + \cdots + c_ma_{mn}\big)x_n\\[1mm] &\qquad = c_1b_1 + \cdots + c_mb_m \end{aligned} \tag{8}\]
denklemi, \((2)\) sisteminin her çözümü tarafından sağlanır.
İspat
\(u = (u_1, \dots, u_n)\), \((2)\) sisteminin bir çözümü olsun. O hâlde her \(i = 1, \dots, m\) için
\[a_{i1}u_1 + a_{i2}u_2 + \cdots + a_{in}u_n = b_i\]
\((8)\) denkleminin sol tarafında \(x_j\) yerine \(u_j\) koyup terimleri satırlara göre gruplayalım:
\[\big(c_1a_{11} + \cdots + c_ma_{m1}\big)u_1 + \cdots + \big(c_1a_{1n} + \cdots + c_ma_{mn}\big)u_n\]
\[= c_1\underbrace{\big(a_{11}u_1 + \cdots + a_{1n}u_n\big)}_{b_1} + \cdots + c_m\underbrace{\big(a_{m1}u_1 + \cdots + a_{mn}u_n\big)}_{b_m}\]
\[= c_1b_1 + \cdots + c_mb_m\]
Bu ise \((8)\)’in sağ tarafıdır; yani \(u\), \((8)\) denklemini sağlar. Ara adımda yalnızca \(K\)’de çarpmanın toplama üzerine dağılması ve toplamanın komutatifliği kullanılmıştır.
\(\blacksquare\)
Tanım 8.1 (Eşdeğer Sistemler) Çözüm kümeleri aynı olan iki lineer denklem sistemine eşdeğer (denk) sistemler denir.
8.2 Yok Etme Adımı Çözüm Kümesini Değiştirmez
Teorem 8.2 (Yok Etme Adımı) \((2)\) sistemindeki \(i\)-inci denklemi \(L_i\) ile gösterelim \((i > 1)\) ve \(a_{11} \neq 0_K\) olsun. \((2)\) sistemindeki \(L_i\) denklemi yerine
\[-a_{i1}L_1 + a_{11}L_i\]
denklemini koymakla elde edilen sistem, \((2)\) sistemiyle eşdeğerdir.
İspat
Yeni sistemi \((\star)\) ile gösterelim; \((\star)\), \(L_1\) denklemini aynen taşır ve \(L_i\) yerine \(L_i' = -a_{i1}L_1 + a_{11}L_i\) denklemini içerir; diğer denklemler değişmemiştir.
\((2)\)’nin her çözümü \((\star)\)’ı sağlar. \(L_i'\) denklemi, \((2)\)’nin denklemlerinin bir lineer birleşimidir (\(L_1\) için katsayı \(-a_{i1}\), \(L_i\) için \(a_{11}\), diğerleri için \(0_K\)). Bir önceki teoreme göre \((2)\)’nin her çözümü bu birleşimi sağlar. Değişmeyen denklemler zaten sağlanır.
\((\star)\)’ın her çözümü \((2)\)’yi sağlar. \(a_{11} \neq 0_K\) ve \(K\) bir cisim olduğundan \(a_{11}^{-1}\) vardır. \(L_i'\) tanımından
\[a_{11}L_i = L_i' + a_{i1}L_1 \implies L_i = a_{11}^{-1}L_i' + a_{11}^{-1}a_{i1}L_1\]
yazılır; yani \(L_i\) denklemi, \((\star)\) sistemindeki \(L_i'\) ve \(L_1\) denklemlerinin bir lineer birleşimidir. Yine önceki teoreme göre \((\star)\)’ın her çözümü \(L_i\)’yi sağlar; diğer denklemler ortak olduğundan \((\star)\)’ın her çözümü \((2)\)’nin de çözümüdür.
İki kapsama birlikte çözüm kümelerinin eşit olduğunu verir.
\(\blacksquare\)
1. Teoremdeki \(a_{11} \neq 0_K\) varsayımı bir kısıtlama değildir: denklemlerin yerleri değiştirilerek bu daima sağlanabilir ve yer değiştirmeyle elde edilen sistem — her denklem diğerinin bir lineer birleşimi olduğundan — asıl sistemle eşdeğerdir.
2. Elde edilen sistem \(0_K x_1 + \cdots + 0_K x_n = b\) \((b \neq 0_K)\) denklemini içeriyorsa, bu denklemin çözümü olmadığından sistemin çözümü yoktur.
3. Elde edilen sistem \(0_K x_1 + \cdots + 0_K x_n = 0_K\) denklemini içeriyorsa, bu denklem her \(n\)-li tarafından sağlandığından sistemden atılabilir.
8.3 Merdiven Şekli
Yok etme adımı tekrar tekrar uygulanarak \((2)\) sistemi, \(1 = j_1 < j_2 < \cdots < j_r\) ve
\[a_{11} \neq 0_K, \quad a_{2j_2} \neq 0_K, \quad \dots, \quad a_{rj_r} \neq 0_K\]
olmak üzere
\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1\\ a_{2j_2}x_{j_2} + a_{2,j_2+1}x_{j_2+1} + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2\\ &\ \vdots\\ a_{rj_r}x_{j_r} + a_{r,j_r+1}x_{j_r+1} + \cdots + a_{rn}x_n &= b_r \end{aligned} \tag{9}\]
sistemine geçirilebilir. Önceki teoremden \((2)\) ile \((9)\) eşdeğerdir.
Tanım 8.2 (Merdiven Şekli) \((9)\) sistemine \((2)\) sisteminin bir merdiven şekli denir.
Tanım 8.3 (Serbest Değişkenler) \((9)\) merdiven şeklindeki
\[x_i \qquad (i \neq 1, j_2, \dots, j_r)\]
bilinmeyenlerine, yani hiçbir denklemin başında görünmeyen bilinmeyenlere serbest değişkenler denir.
\((9)\) sisteminin genişletilmiş matrisi, \((2)\) sisteminin genişletilmiş matrisinin bir merdiven şeklidir. Yani denklemler üzerinde yapılan yok etme adımları, genişletilmiş matris üzerinde yapılan elemanter satır işlemlerinden başka bir şey değildir. Uygulamada hesap her zaman matris üzerinde yürütülür.
\((9)\) sisteminde \(r \le n\)’dir: her denklem bir öncekinden daha ileri bir sütunda başladığından denklem sayısı bilinmeyen sayısını aşamaz. Başka bir deyişle herhangi bir lineer denklem sistemi, denklem sayısı bilinmeyen sayısından küçük veya ona eşit olan bir sisteme eşdeğerdir.
8.4 Çözümün Varlığı ve Tekliği
Teorem 8.3 (Merdiven Şeklinde Çözüm) \((9)\) merdiven şeklindeki sistemde:
- \(r = n\) ise, yani denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşitse, sistemin çözümü vardır ve bu çözüm tektir.
- \(r < n\) ise, \(n - r\) tane serbest değişkene keyfi değerler vererek sistemin bir çözümü bulunabilir; bu durumda sistemin birden fazla çözümü vardır.
İspat
1. \(r = n\) olsun. Sütun numaraları \(1 = j_1 < j_2 < \cdots < j_n \le n\) kesin arttığından zorunlu olarak \(j_i = i\)’dir; yani sistem üçgen biçimindedir ve \(i\)-inci denklem \(x_i\) ile başlar. Son denklem
\[a_{nn}x_n = b_n, \qquad a_{nn} \neq 0_K\]
biçimindedir ve tek çözümü \(x_n = a_{nn}^{-1}b_n\)’dir. Bu değer bir üstteki denkleme taşınırsa o denklem yalnız \(x_{n-1}\) bilinmeyenli birinci dereceden bir denkleme iner ve yine tek biçimde çözülür. Aşağıdan yukarı doğru ilerlenerek \(x_n, x_{n-1}, \dots, x_1\) değerlerinin her biri tek türlü belirlenir.
2. \(r < n\) olsun. Serbest değişkenlere \(K\)’den keyfi değerler atayalım. Bu değerler yerine konduğunda \((9)\) sistemi, \(x_1, x_{j_2}, \dots, x_{j_r}\) bilinmeyenlerinden oluşan ve birinci durumdaki gibi üçgen biçimde olan \(r\) denklemli bir sisteme dönüşür; yukarıdaki gibi aşağıdan yukarı çözülerek bu bilinmeyenlerin değerleri bulunur. Serbest değişkenlere verilen her farklı değer ailesi bir çözüm ürettiğinden ve serbest değişken sayısı \(n - r \ge 1\) olduğundan sistemin birden fazla çözümü vardır.
\(\blacksquare\)
Bu teoremden çıkan üç okuma:
- \((9)\) sisteminin ve dolayısıyla ona eşdeğer olan \((2)\) sisteminin en az bir çözümü vardır — merdiven şekline inildiyse ve içinde \(0_K = b \neq 0_K\) türü bir denklem kalmadıysa.
- Merdiven şeklinde \(r < n\) ise serbest değişkenlere mümkün olan her değer verilebilir; çözüm sayısı birden fazladır.
- Bir sistemin tek çözümünün olması, genel çözümün yapısı gereği, ilgili homojen sistemin sıfır çözümden başka çözümünün olmaması durumunda ortaya çıkar.
8.5 Homojen Sistemler
Teorem 8.4 (Homojen Sistemlerde Triviyal Olmayan Çözüm) \(K\) komutatif bir cisim ve \(a_{ij} \in K\) olmak üzere \((3)\) homojen sisteminin bir merdiven şekli \(r\) denklemli olsun.
- \(r = n\) ise homojen sistemin sıfır çözümden başka çözümü yoktur.
- \(r < n\) ise homojen sistemin sıfır çözümden farklı bir çözümü vardır.
İspat
Homojen bir sistemde bütün sabit terimler \(0_K\) olduğundan, yok etme adımları sabit terimleri \(0_K\) olarak bırakır: merdiven şekli de homojendir.
1. \(r = n\) ise bir önceki teoremin birinci maddesine göre çözüm tektir. Sıfır çözüm daima bir çözüm olduğundan, tek olan çözüm sıfır çözümdür.
2. \(r < n\) ise en az bir serbest değişken vardır. Bu serbest değişkenlerden birine \(1_K \neq 0_K\), diğerlerine \(0_K\) değerini verelim; teoremin ikinci maddesine göre bu atama bir çözüm üretir. Elde edilen \(n\)-linin o serbest değişkene karşılık gelen bileşeni \(1_K \neq 0_K\) olduğundan çözüm sıfır çözüm değildir.
\(\blacksquare\)
Bilinmeyen sayısı denklem sayısından büyük olan bir homojen lineer denklem sisteminin sıfır çözümden farklı bir çözümü vardır. Gerçekten merdiven şeklindeki denklem sayısı \(r\), başlangıçtaki denklem sayısı \(m\)’yi aşamaz; \(m < n\) ise \(r \le m < n\) olur ve teoremin ikinci maddesi uygulanır. Bu küçük gözlem, ilerideki lineer bağımsızlık ve boyut teoremlerinin belkemiğidir.
8.6 Alıştırma
Alıştırma 8.1 (Eşdeğerlik ve Merdiven Şekli)
\(x_1 + 2x_2 - x_3 = 3\); \(2x_1 + 5x_2 + x_3 = 8\) sisteminin bir merdiven şeklini bulunuz, serbest değişkenleri belirleyip çözüm kümesini yazınız.
Aşağıdaki homojen sistemlerin sıfır çözümden farklı çözümünün olup olmadığını, tek bir hesap yapmadan gerekçelendiriniz:
\[\text{(i)}\quad \begin{aligned} x_1 - 2x_2 + 3x_3 - 2x_4 &= 0\\ 3x_1 - 7x_2 - 2x_3 + 4x_4 &= 0\\ 4x_1 + 3x_2 + 5x_3 + 2x_4 &= 0\end{aligned} \qquad \text{(ii)}\quad \begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 3x_3 &= 0\\ 2x_1 + 5x_2 + 2x_3 &= 0\\ 3x_1 - x_2 - 4x_3 &= 0\end{aligned}\]
- İki lineer denklem sisteminin genişletilmiş matrisleri satır eşdeğer ise sistemlerin eşdeğer olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) İkinci denklemden birincinin iki katını çıkaralım, yani \(L_2 \to -2L_1 + L_2\) uygulayalım:
\[\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - x_3 &= 3\\ x_2 + 3x_3 &= 2\end{aligned}\]
Bu bir merdiven şeklidir: \(j_1 = 1 < j_2 = 2\) ve \(r = 2\), \(n = 3\)’tür. Serbest değişken sayısı \(n - r = 1\)’dir; serbest değişken \(x_3\)’tür.
\(x_3 = a\) alalım. İkinci denklemden \(x_2 = 2 - 3a\); birinci denklemden
\[x_1 = 3 - 2x_2 + x_3 = 3 - 2(2 - 3a) + a = 3 - 4 + 6a + a = -1 + 7a\]
Çözüm kümesi
\[\big\{(-1 + 7a,\ 2 - 3a,\ a) : a \in \mathbb{R}\big\}\]
Sağlama için \(a = 0\) alalım: \((-1, 2, 0)\) için \(-1 + 4 - 0 = 3\) ve \(-2 + 10 + 0 = 8\) doğrudur.
b) (i) Sistem homojendir; bilinmeyen sayısı \(n = 4\), denklem sayısı \(m = 3\)’tür. \(n > m\) olduğundan merdiven şeklindeki denklem sayısı \(r \le 3 < 4\) olur ve sıfır çözümden farklı bir çözüm vardır.
(ii) Burada \(n = m = 3\)’tür; bu tek başına sonucu belirlemez, çünkü merdiven şeklindeki \(r\) değeri \(3\)’ten küçük de çıkabilir. Kısa bir hesap gerekir:
\[\begin{aligned} L_2 \to -2L_1 + L_2:\quad & x_2 + 8x_3 = 0\\ L_3 \to -3L_1 + L_3:\quad & -7x_2 + 5x_3 = 0\end{aligned}\]
Ardından \(L_3 \to 7L_2 + L_3\) ile \(61x_3 = 0\) elde edilir. Merdiven şekli
\[x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 0, \qquad x_2 + 8x_3 = 0, \qquad 61x_3 = 0\]
olup \(r = n = 3\)’tür; dolayısıyla yalnızca sıfır çözüm vardır.
c) İki sistemin genişletilmiş matrisleri \((A \mid b)\) ve \((A' \mid b')\) olsun ve \((A\mid b) \overset{\text{satır}}{\sim} (A'\mid b')\) olsun. Satır eşdeğerlik, sonlu sayıda elemanter satır işlemiyle geçiş demektir; her elemanter satır işleminin denklemler üzerindeki karşılığı şudur:
- \(R_i \leftrightarrow R_j\): iki denklemin yer değiştirmesi,
- \(R_i \to kR_i\) \((k \neq 0_K)\): bir denklemin sıfırdan farklı bir skalerle çarpılması,
- \(R_i \to kR_j + R_i\): bir denklemin, başka bir denklemin \(k\) katıyla toplanması.
Üçü de yeni denklemleri eski denklemlerin lineer birleşimi olarak verir; lineer birleşim teoremine göre eski sistemin her çözümü yeni sistemi sağlar. Öte yandan üç işlemin her biri geri alınabilirdir (sırasıyla aynı yer değiştirme, \(k^{-1}\) ile çarpma ve \(-kR_j + R_i\)); dolayısıyla aynı gerekçeyle yeni sistemin her çözümü de eskisini sağlar. İki çözüm kümesi birbirini kapsadığından eşittir: sistemler eşdeğerdir.
\(\blacksquare\)
Kuram tamamlandı: hangi hamlelerin serbest olduğunu ve merdiven şekline inildiğinde neye bakılacağını biliyoruz. Sırada bunun düzenli bir hesap yöntemine dönüşmesi var: Gauss yok etme yöntemi.