12 Alt Uzaylar

Bir vektör uzayının içinde, kendisi de vektör uzayı olan alt kümeler bulunur. Bunları bulmak için on aksiyomu baştan denetlemeye gerek yoktur: büyük uzaydan miras alınan özellikler zaten geçerlidir, geriye yalnızca kapalılık kalır. Bu bölümde o kısa ölçütü kurup bol örnekle çalıştıracağız.

12.1 Tanım ve Ölçüt

Tanım 12.1 (Alt Uzay) \(V\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayı ve \(\varnothing \neq W \subseteq V\) olsun. \(W\)’nin kendisi de \(V\)’deki toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre \(K\) üzerinde bir vektör uzayı ise, \(W\)’ye \(V\)’nin bir alt uzayı (alt vektör uzayı) denir.

Teorem 12.1 (Alt Uzay Ölçütü) \(V(K)\) bir vektör uzayı ve \(\varnothing \neq W \subseteq V\) olsun. \(W\)’nin \(V\)’nin bir alt uzayı olması için gerek ve yeter koşullar şunlardır:

\(\forall v, w \in W\) için \(v + w \in W\)
\(\forall k \in K\), \(\forall v \in W\) için \(kv \in W\)

İspat

Gereklik. \(W\) bir alt uzay, yani kendi başına bir vektör uzayı ise A1 ve M1 aksiyomlarını sağlar; bunlar tam olarak (1) ve (2) koşullarıdır.

Yeterlik. (1) ve (2) sağlansın. (1) tam olarak A1, (2) tam olarak M1’dir. \(W \subseteq V\) olduğundan \(W\)’nin elemanları aynı zamanda \(V\)’nin elemanlarıdır ve \(V\)’de geçerli olan A2, A3, M2, M3, M4, M5 aksiyomları \(W\)’nin elemanları için de geçerlidir. Geriye A4 ve A5 kalır.

A4. \(W \neq \varnothing\) olduğundan bir \(u \in W\) vardır. (2) koşulunda \(k = 0_K\) alalım: \(0_K u \in W\)’dir. Öte yandan temel özellikler teoreminden \(0_K u = 0_V\)’dir; demek ki \(0_V \in W\)’dir. Her \(w \in W \subseteq V\) için \(0_V + w = w\) olduğundan \(0_V\), \(W\)’nin de sıfır vektörüdür.

A5. \(w \in W\) olsun. (2) koşulunda \(k = -1_K\) alalım: \((-1_K)w \in W\)’dir. Yine temel özelliklerden \((-1_K)w = -\big(1_K w\big) = -w\)’dir; yani \(-w \in W\)’dir.

Bütün aksiyomlar sağlandığından \(W\), \(V\)’nin bir alt uzayıdır.

\(\blacksquare\)

İki koşul tek bir koşulda birleştirilebilir; uygulamada en çok kullanılan biçim budur.

Teorem 12.2 (Tek Koşullu Ölçüt) \(V(K)\) bir vektör uzayı ve \(\varnothing \neq W \subseteq V\) olsun. \(W\)’nin \(V\)’nin bir alt uzayı olması için gerek ve yeter koşul

\[\forall k, l \in K,\ \forall v, w \in W \quad kv + lw \in W\]

olmasıdır.

İspat

Gereklik. \(W\) alt uzay ise önceki ölçütün (2) koşuluyla \(kv \in W\) ve \(lw \in W\), ardından (1) koşuluyla \(kv + lw \in W\) olur.

Yeterlik. Koşul sağlansın. \(k = l = 1_K\) alınırsa

\[v + w = 1_K v + 1_K w \in W\]

elde edilir; bu, önceki ölçütün birinci koşuludur. \(l = 0_K\) alınırsa, \(0_K w = 0_V\) ve \(kv + 0_V = kv\) olduğundan

\[kv \in W\]

bulunur; bu da ikinci koşuldur. Önceki teorem uygulanarak \(W\)’nin alt uzay olduğu sonucuna varılır.

\(\blacksquare\)

12.2 Örnekler

Örnek 12.1 (Aşikâr Alt Uzaylar) Herhangi bir \(V(K)\) vektör uzayı için \(\{0_V\}\) ve \(V\)’nin kendisi, \(V\)’nin birer alt uzayıdır. Bunlara \(V\)’nin aşikâr alt uzayları denir.

Gerçekten \(\{0_V\}\) için \(k\,0_V + l\,0_V = 0_V + 0_V = 0_V\)’dir; \(V\) için koşul zaten A1 ve M1’dir.

Örnek 12.2 (R³ İçinde Bir Düzlem) \(V = \mathbb{R}^{3}\) ve \(W = \big\{ (a, b, 0) : a, b \in \mathbb{R} \big\}\) olsun. \(W\)’nin \(\mathbb{R}^{3}\)’ün bir alt uzayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

\((0,0,0) \in W\) olduğundan \(W \neq \varnothing\)’dir.

Toplama: \((a_1, b_1, 0) + (a_2, b_2, 0) = (a_1 + a_2,\ b_1 + b_2,\ 0) \in W\)

Skalerle çarpma: \(k(a,b,0) = (ka,\ kb,\ 0) \in W\)

İki koşul da sağlandığından \(W\) bir alt uzaydır. Geometrik olarak \(W\), \(xy\)-düzlemidir: başlangıç noktasından geçen bir düzlem.

\(\blacksquare\)

Örnek 12.3 (Homojen Sistemin Çözüm Kümesi) \(K\) cismi üzerinde \(n\) bilinmeyenli bir homojen lineer denklem sisteminin çözüm kümesi \(W\), \(K^{n}\)’in bir alt uzayıdır.

İspat

Sistem \(a_{i1}x_1 + \cdots + a_{in}x_n = 0_K\) \((i = 1, \dots, m)\) olsun.

Sıfır çözüm daima bir çözüm olduğundan \((0_K, \dots, 0_K) \in W\) ve \(W \neq \varnothing\)’dir. Ayrıca çözümler \(n\)-li olduğundan \(W \subseteq K^{n}\)’dir.

\(u = (u_1, \dots, u_n)\) ve \(w = (w_1, \dots, w_n)\) iki çözüm olsun. Her \(i\) için

\[\begin{aligned} &a_{i1}(u_1 + w_1) + \cdots + a_{in}(u_n + w_n)\\[1mm] &\qquad = \big(a_{i1}u_1 + \cdots + a_{in}u_n\big) + \big(a_{i1}w_1 + \cdots + a_{in}w_n\big)\\[1mm] &\qquad = 0_K + 0_K = 0_K \end{aligned}\]

olduğundan \(u + w \in W\)’dir. Benzer şekilde \(k \in K\) için

\[a_{i1}(kw_1) + \cdots + a_{in}(kw_n) = k\big(a_{i1}w_1 + \cdots + a_{in}w_n\big) = k\,0_K = 0_K\]

olduğundan \(kw \in W\)’dir. Ölçüt gereği \(W\) bir alt uzaydır.

\(\blacksquare\)

Teorem 12.3 (Alt Uzayların Kesişimi) \(U\) ve \(W\), \(V(K)\)’nin iki alt uzayı ise \(U \cap W\) de \(V\)’nin bir alt uzayıdır.

İspat

\(U\) ve \(W\) birer alt uzay olduğundan \(0_V \in U\) ve \(0_V \in W\)’dir; dolayısıyla \(0_V \in U \cap W\) ve \(U \cap W \neq \varnothing\)’dir. Ayrıca \(U \cap W \subseteq U \subseteq V\)’dir.

\(a, b \in U \cap W\) olsun. \(a, b \in U\) ve \(U\) alt uzay olduğundan \(a + b \in U\)’dur; aynı biçimde \(a + b \in W\)’dir. Demek ki \(a + b \in U \cap W\)’dir.

\(k \in K\) ve \(a \in U \cap W\) olsun. \(ka \in U\) ve \(ka \in W\) olduğundan \(ka \in U \cap W\)’dir. Ölçüt gereği \(U \cap W\) bir alt uzaydır.

\(\blacksquare\)

Aynı akıl yürütme sonlu sayıda alt uzay için tekrarlanabilir: \(U_1, U_2, \dots, U_n\) alt uzaylar ise \(U_1 \cap U_2 \cap \cdots \cap U_n\) de bir alt uzaydır.

12.3 Alt Uzay Olmayan Kümeler

Örnek 12.4 (R³’te Üç Karşı Örnek) \(V = \mathbb{R}^{3}\) için aşağıdaki alt kümelerin alt uzay olmadığını gösteriniz.

\(W = \big\{ (a,b,c) : a \ge 0 \big\}\)
\(W = \big\{ (a,b,c) : a^{2} + b^{2} + c^{2} \le 1 \big\}\)
\(W = \big\{ (a,b,c) : a, b, c \in \mathbb{Q} \big\}\)

Çözüm

a) Skalerle çarpma kapalı değildir. \(k = -5 \in \mathbb{R}\) ve \(w = (1,2,3) \in W\) alalım:

\[kw = (-5, -10, -15)\]

Birinci bileşen \(-5 < 0\) olduğundan \(kw \notin W\)’dir.

b) Toplama kapalı değildir. \(v = (1,0,0) \in W\) ve \(w = (0,1,0) \in W\)’dir (her ikisi için de kare toplamı \(1 \le 1\)). Buna karşın

\[v + w = (1,1,0), \qquad 1^{2} + 1^{2} + 0^{2} = 2 > 1\]

olduğundan \(v + w \notin W\)’dir.

c) Skalerle çarpma kapalı değildir; skalerler \(\mathbb{R}\)’den alındığı için irrasyonel bir çarpan seçmek yeter. \(k = \sqrt{5} \in \mathbb{R}\) ve \(w = (2,3,4) \in W\) için

\[kw = \big(2\sqrt{5},\ 3\sqrt{5},\ 4\sqrt{5}\big)\]

bileşenleri irrasyoneldir; \(kw \notin W\)’dir.

\(\blacksquare\)

Örnek 12.5 (Fonksiyon Uzayında Alt Uzaylar) \(V = \{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \}\) vektör uzayı için aşağıdaki alt kümelerin alt uzay olup olmadığını belirleyiniz.

\(W = \{ f \in V : f(3) = 0 \}\)
\(W = \{ f \in V : \forall x,\ f(-x) = -f(x) \}\) (tek fonksiyonlar)
\(W = \{ f \in V : \forall x,\ f(x) \ge 0 \}\)

Çözüm

a) Sıfır fonksiyonu \(\mathbf{0}(3) = 0\) sağladığından \(\mathbf{0} \in W\) ve \(W \neq \varnothing\)’dir. \(k, l \in \mathbb{R}\) ve \(f, g \in W\) için

\[(kf + lg)(3) = k f(3) + l g(3) = k \cdot 0 + l \cdot 0 = 0\]

olduğundan \(kf + lg \in W\)’dir: \(W\) bir alt uzaydır.

b) Sıfır fonksiyonu tektir (\(\mathbf{0}(-x) = 0 = -\mathbf{0}(x)\)), dolayısıyla \(W \neq \varnothing\)’dir. \(f, g \in W\) ve \(k, l \in \mathbb{R}\) için her \(x\)’te

\[(kf + lg)(-x) = k f(-x) + l g(-x) = -k f(x) - l g(x) = -\big(kf + lg\big)(x)\]

olduğundan \(kf + lg\) de tektir: \(W\) bir alt uzaydır.

c) Toplama kapalıdır (\(f, g \ge 0\) ise \(f + g \ge 0\)), ama skalerle çarpma kapalı değildir. \(f(x) = x^{2}\) fonksiyonu \(W\)’dedir; buna karşın

\[\big((-1)f\big)(x) = -x^{2}\]

fonksiyonu \(x \neq 0\) için negatif değer alır, yani \((-1)f \notin W\)’dir. Demek ki \(W\) bir alt uzay değildir.

\(\blacksquare\)

Hızlı eleme: sıfır vektör içeride mi?

Her alt uzay sıfır vektörü içermek zorundadır. Bu yüzden bir kümenin alt uzay olmadığını göstermenin en hızlı yolu çoğu zaman \(0_V \notin W\) olduğunu fark etmektir. Örneğin \(\{(a,b,c) : a + b + c = 1\}\) kümesi alt uzay olamaz, çünkü \((0,0,0)\) denklemi sağlamaz.

12.4 Alıştırma

Alıştırma 12.1 (Alt Uzay mı?)

\(W = \{(a, b, c) \in \mathbb{R}^{3} : a + 2b - c = 0\}\) kümesinin \(\mathbb{R}^{3}\)’ün bir alt uzayı olduğunu gösteriniz.
\(U\) ve \(W\), \(V(K)\)’nin alt uzayları olsun. \(U \cup W\)’nin genel olarak alt uzay olmadığını bir karşı örnekle gösteriniz.
\(V\), \(n\)-inci mertebeden reel kare matrislerin uzayı olsun. Köşegen matrislerin kümesinin \(V\)’nin bir alt uzayı olduğunu gösteriniz.

Çözüm

a) \((0,0,0)\) için \(0 + 0 - 0 = 0\) olduğundan \((0,0,0) \in W\) ve \(W \neq \varnothing\)’dir.

\(v = (a_1, b_1, c_1)\) ve \(w = (a_2, b_2, c_2)\) kümenin elemanları, \(k, l \in \mathbb{R}\) olsun:

\[a_1 + 2b_1 - c_1 = 0, \qquad a_2 + 2b_2 - c_2 = 0\]

\(kv + lw = (ka_1 + la_2,\ kb_1 + lb_2,\ kc_1 + lc_2)\) vektörünü denklemde yerine koyalım:

\[\begin{aligned} &(ka_1 + la_2) + 2(kb_1 + lb_2) - (kc_1 + lc_2)\\[1mm] &\quad= k\underbrace{\big(a_1 + 2b_1 - c_1\big)}_{0} + l\underbrace{\big(a_2 + 2b_2 - c_2\big)}_{0} = 0 \end{aligned}\]

Demek ki \(kv + lw \in W\)’dir ve tek koşullu ölçüt gereği \(W\) bir alt uzaydır. (\(W\), tek denklemli bir homojen sistemin çözüm kümesidir; genel sonuçtan da doğrudan çıkar.)

b) \(V = \mathbb{R}^{2}\) alalım. \(U = \{(a,0) : a \in \mathbb{R}\}\) ve \(W = \{(0,b) : b \in \mathbb{R}\}\) kümelerinin ikisi de birer alt uzaydır (iki koordinat ekseni).

\(u = (1,0) \in U \subseteq U \cup W\) ve \(w = (0,1) \in W \subseteq U \cup W\)’dir. Buna karşın

\[u + w = (1,1)\]

vektörü ne \(U\)’da ne de \(W\)’dedir; yani \(u + w \notin U \cup W\)’dir. Toplama kapalı olmadığından \(U \cup W\) bir alt uzay değildir.

(İki alt uzayın birleşiminin alt uzay olması, ancak birinin diğerini kapsaması hâlinde mümkündür. Birleşimin yerini tutacak doğru kavram, bir sonraki bölümde tanımlayacağımız toplam \(U + W\)’dir.)

c) Köşegen matrislerin kümesi \(D\) olsun; \(A \in D\) demek \(i \neq j\) iken \(a_{ij} = 0\) demektir. Sıfır matris köşegendir, dolayısıyla \(D \neq \varnothing\)’dir.

\(A, B \in D\) ve \(k, l \in \mathbb{R}\) olsun. \(kA + lB\) matrisinin \((i,j)\) bileşeni \(k a_{ij} + l b_{ij}\)’dir. \(i \neq j\) için

\[k a_{ij} + l b_{ij} = k \cdot 0 + l \cdot 0 = 0\]

olduğundan \(kA + lB\) de köşegendir. Ölçüt gereği \(D\) bir alt uzaydır.

\(\blacksquare\)

İki alt uzayın birleşimi işe yaramadı; peki onları içeren en küçük alt uzay nedir? Yanıt, elemanları teker teker toplamaktan geçiyor: alt uzayların toplamı ve direkt toplam.