41 Karakteristik Polinom ve Cayley-Hamilton Teoremi
Önceki bölümde özdeğerleri \(\big|tI_n - A\big| = 0\) denkleminin kökleri olarak bulmuştuk. Soldaki ifade, \(t\) değişkenine bağlı bir polinomdur ve matrisin en önemli tek değişmezini oluşturur. Bu bölümde onu adlandırıp özelliklerini çıkarıyoruz.
41.1 Karakteristik Polinom
Tanım 41.1 (Karakteristik Matris ve Karakteristik Polinom) \(A = (a_{ij})\), \(K\) üzerinde \(n\). mertebeden bir kare matris ve \(t\) bir değişken olsun.
\[tI_n - A = \begin{pmatrix} t - a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & t - a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & t - a_{nn} \end{pmatrix}\]
matrisine \(A\)’nın karakteristik matrisi, determinantına ise \(A\)’nın karakteristik polinomu denir:
\[\Delta_A(t) := \big|tI_n - A\big|\]
\(\Delta_A(t) = 0\) denklemine \(A\)’nın karakteristik denklemi denir.
Önerme 41.1 (Karakteristik Polinomun Baş ve Son Katsayıları) \(\Delta_A(t)\), katsayıları \(K\)’dan olan \(n\). dereceden bir polinomdur ve
\[\Delta_A(t) = t^{n} - \operatorname{iz}(A)\,t^{n-1} + \cdots + (-1)^{n}|A|\]
İspat
Derece ve baş katsayı. Determinant tanımındaki her terim, her satırdan bir çarpan alır. Değişken \(t\) yalnızca köşegende bulunduğundan, en yüksek dereceli terim ancak bütün çarpanlar köşegenden alındığında ortaya çıkar; bu da birim permütasyona karşılık gelen
\[(t - a_{11})(t - a_{22})\cdots(t - a_{nn})\]
çarpımıdır. Başka her permütasyon köşegen dışından en az iki çarpan aldığından derecesi en çok \(n - 2\)’dir. Öyleyse \(t^{n}\) ve \(t^{n-1}\) katsayıları yalnız yukarıdaki çarpımdan gelir. Çarpımı açarsak \(t^{n}\)’nin katsayısı \(1\), \(t^{n-1}\)’in katsayısı ise
\[-(a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}) = -\operatorname{iz}(A)\]
Sabit terim. Bir polinomun sabit terimi, \(t = 0\) konarak bulunur:
\[\Delta_A(0) = \big|0\cdot I_n - A\big| = |-A|\]
\(-A\), \(A\)’nın her satırının \(-1\) ile çarpılmasıyla elde edilir; \(n\) satır için
\[|-A| = (-1)^{n}|A|\]
\(\blacksquare\)
İki katsayı, iki tanıdık büyüklüğü geri veriyor: \(t^{n-1}\)’in katsayısı \(-\operatorname{iz}(A)\), sabit terim \((-1)^{n}|A|\). Bu, hesabın doğruluğunu denetlemenin en hızlı yoludur: karakteristik polinomu bulduktan sonra iki katsayıyı iz ve determinantla karşılaştırın.
Örnek 41.1 (Üçüncü Mertebeden Bir Karakteristik Polinom) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 0 \\ -2 & 2 & -1 \\ 4 & 0 & -2\end{pmatrix}\) matrisinin karakteristik polinomunu bulunuz.
Çözüm
Karakteristik matrisi yazalım:
\[tI_3 - A = \begin{pmatrix} t - 1 & -3 & 0 \\ 2 & t - 2 & 1 \\ -4 & 0 & t + 2\end{pmatrix}\]
Birinci satıra göre açalım (üçüncü elemanı sıfır olduğundan iki terim kalır):
\[\Delta_A(t) = (t-1)\begin{vmatrix} t - 2 & 1 \\ 0 & t + 2\end{vmatrix} - (-3)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -4 & t + 2\end{vmatrix}\]
\[= (t-1)(t-2)(t+2) + 3\big(2(t+2) + 4\big)\]
\[= (t-1)(t^{2} - 4) + 3(2t + 8) = t^{3} - 4t - t^{2} + 4 + 6t + 24\]
\[\Delta_A(t) = t^{3} - t^{2} + 2t + 28\]
Kontrol. \(\operatorname{iz}(A) = 1 + 2 - 2 = 1\) olduğundan \(t^{2}\)’nin katsayısı \(-1\) olmalıydı ✔. Determinant
\[|A| = 1\big(2(-2) - (-1)\cdot 0\big) - 3\big((-2)(-2) - (-1)\cdot 4\big) + 0 = -4 - 3(8) = -28\]
olduğundan sabit terim \((-1)^{3}(-28) = 28\) olmalıydı ✔
\(\blacksquare\)
41.2 Özdeğerler Karakteristik Polinomun Kökleridir
Teorem 41.1 (Özdeğerlerin Karakterizasyonu) \(A\), \(K\) üzerinde \(n\). mertebeden bir kare matris olsun. Bir \(\lambda \in K\) skalerinin \(A\)’nın bir özdeğeri olması için gerek ve yeter koşul
\[\Delta_A(\lambda) = 0\]
olmasıdır.
İspat
Zincirleme denklikleri yazalım:
\[ \begin{aligned} \lambda,\ A\text{'nın özdeğeridir} &\iff \big(\lambda I_n - A\big)v = 0 \text{ olacak biçimde } v \ne 0 \text{ vardır}\\[1mm] &\iff \lambda I_n - A \text{ singülerdir}\\[1mm] &\iff \big|\lambda I_n - A\big| = 0 \iff \Delta_A(\lambda) = 0 \end{aligned} \]
İkinci denklik özdeğerin singülerlik ölçütü, üçüncüsü ise regülerliğin determinant ölçütüdür.
\(\blacksquare\)
\(\Delta_A(t)\), \(n\). dereceden bir polinomdur; bir cisim üzerinde \(n\). dereceden bir polinomun en çok \(n\) kökü olduğundan, \(n\). mertebeden bir matrisin en çok \(n\) farklı özdeğeri vardır.
Kaç tane olduğu \(K\)’ya bağlıdır. \(K = \mathbb{C}\) ise cebrin esas teoremi gereği her polinomun en az bir kompleks kökü vardır; öyleyse her kompleks kare matrisin en az bir özdeğeri vardır. \(K = \mathbb{R}\) ise durum farklıdır: \(t^{2} + 1\) gibi reel kökü olmayan bir karakteristik polinom, hiç reel özdeğeri olmayan bir matris demektir.
Teorem 41.2 (Benzer Matrislerin Karakteristik Polinomları Aynıdır) \(A \sim B\) ise \(\Delta_A(t) = \Delta_B(t)\)’dir.
İspat
\(B = P^{-1}AP\) olacak biçimde regüler bir \(P\) olsun. \(P^{-1}(tI_n)P = tI_n\) olduğuna dikkat ederek yazalım:
\[ \begin{aligned} \Delta_B(t) &= \big|tI_n - P^{-1}AP\big| = \big|P^{-1}(tI_n)P - P^{-1}AP\big|\\[1mm] &= \big|P^{-1}\big(tI_n - A\big)P\big| = \big|P^{-1}\big|\cdot\big|tI_n - A\big|\cdot\big|P\big|\\[1mm] &= \frac{1}{|P|}\cdot\big|tI_n - A\big|\cdot|P| = \Delta_A(t) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Tanım 41.2 (Bir Operatörün Karakteristik Polinomu) \(V\), \(n\) boyutlu bir vektör uzayı ve \(T \in A(V)\) olsun. \(T\)’nin karakteristik polinomu, \(T\)’nin herhangi bir matris gösteriminin karakteristik polinomudur:
\[\Delta_T(t) := \Delta_{[T]_e}(t)\]
\(T\)’nin iki matris gösterimi benzer olduğundan ve benzer matrislerin karakteristik polinomları aynı olduğundan tanım taban seçiminden bağımsızdır. \(\Delta_T(t)\)’nin derecesi \(n = \dim V\)’dir ve bir \(\lambda \in K\) skalerinin \(T\)’nin özdeğeri olması için gerek ve yeter koşul \(\Delta_T(\lambda) = 0\) olmasıdır.
“Benzer matrislerin karakteristik polinomları aynıdır” ifadesinin tersi yanlıştır: aynı karakteristik polinoma sahip iki matris benzer olmak zorunda değildir. Köşegenleştirme bölümünde, karakteristik polinomları özdeş olduğu hâlde biri köşegenleştirilebilen, diğeri köşegenleştirilemeyen iki matris göreceğiz; bunlar benzer olamaz.
41.3 Cayley-Hamilton Teoremi
Teorem 41.3 (Cayley-Hamilton Teoremi) Her kare matris, kendi karakteristik polinomunun bir köküdür:
\[\Delta_A(A) = 0\]
İspat
\(\Delta_A(t) = t^{n} + c_{n-1}t^{n-1} + \cdots + c_1t + c_0\) olsun.
\(B(t)\) ile \(tI_n - A\) karakteristik matrisinin ek matrisini gösterelim. \(B(t)\)’nin girdileri, \(tI_n - A\)’nın \((n-1)\). mertebeden minörleri olduğundan \(t\)’nin derecesi en çok \(n-1\) olan polinomlardır. Öyleyse \(B(t)\), girdileri sabit olan matrislerle
\[B(t) = B_{n-1}t^{n-1} + B_{n-2}t^{n-2} + \cdots + B_1t + B_0\]
biçiminde yazılabilir; burada \(B_0, \dots, B_{n-1}\) sabit \(n\). mertebeden kare matrislerdir.
Ek matris çarpımı teoremini \(tI_n - A\) matrisine uygulayalım:
\[\big(tI_n - A\big)B(t) = \big|tI_n - A\big|\,I_n = \Delta_A(t)\,I_n\]
Sol tarafı açalım:
\[ \begin{aligned} \big(tI_n - A\big)B(t) &= B_{n-1}t^{n} + \big(B_{n-2} - AB_{n-1}\big)t^{n-1} + \cdots\\[1mm] &\qquad \cdots + \big(B_0 - AB_1\big)t - AB_0 \end{aligned} \]
Sağ taraf ise
\[\Delta_A(t)I_n = I_nt^{n} + c_{n-1}I_nt^{n-1} + \cdots + c_1I_nt + c_0I_n\]
İki polinom matrisi eşitse aynı dereceli katsayı matrisleri eşittir:
\[ \begin{aligned} B_{n-1} &= I_n\\ B_{n-2} - AB_{n-1} &= c_{n-1}I_n\\ &\ \ \vdots\\ B_0 - AB_1 &= c_1I_n\\ -AB_0 &= c_0I_n \end{aligned} \]
Şimdi bu eşitlikleri sırasıyla soldan \(A^{n},\ A^{n-1},\ \dots,\ A,\ I_n\) ile çarpıp taraf tarafa toplayalım. Sağ tarafların toplamı
\[A^{n} + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I_n = \Delta_A(A)\]
Sol tarafların toplamında ise ardışık terimler birbirini götürür:
\[A^{n}B_{n-1} + \big(A^{n-1}B_{n-2} - A^{n}B_{n-1}\big) + \cdots + \big(AB_0 - A^{2}B_1\big) - AB_0 = 0\]
Demek ki \(\Delta_A(A) = 0\)’dır.
\(\blacksquare\)
“\(\Delta_A(t) = |tI - A|\) ifadesinde \(t\) yerine \(A\) yazalım: \(\Delta_A(A) = |AI - A| = |0| = 0\)” akıl yürütmesi geçersizdir. \(|tI - A|\) ifadesinde \(t\) bir skalerdir; yerine bir matris koymak tanımsızdır. Yukarıdaki ispat tam da bu boşluğu kapatmak için yapılır.
Örnek 41.2 (Teoremin Sayısal Doğrulaması) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\) matrisi için Cayley-Hamilton teoremini doğrulayınız.
Çözüm
Karakteristik polinom bir önceki bölümde bulunmuştu:
\[\Delta_A(t) = \begin{vmatrix} t - 1 & -2 \\ -3 & t - 2\end{vmatrix} = (t-1)(t-2) - 6 = t^{2} - 3t - 4\]
Şimdi \(t\) yerine \(A\) koyalım. Önce \(A^{2}\):
\[A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 & 2 + 4 \\ 3 + 6 & 6 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10\end{pmatrix}\]
\[\Delta_A(A) = A^{2} - 3A - 4I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 6 \\ 9 & 10\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \ ✔\]
\(\blacksquare\)
41.4 Cayley-Hamilton ile Ters Hesabı
Teoremin en kullanışlı sonucu, tersi bir polinom hesabına indirger.
Sonuç 41.1 (Tersin Cayley-Hamilton’la Bulunması) \(\Delta_A(t) = t^{n} + c_{n-1}t^{n-1} + \cdots + c_1t + c_0\) ve \(c_0 \ne 0\) olsun. O zaman \(A\) regülerdir ve
\[A^{-1} = -\frac{1}{c_0}\Big(A^{n-1} + c_{n-1}A^{n-2} + \cdots + c_2A + c_1I_n\Big)\]
İspat
Sabit terim \(c_0 = (-1)^{n}|A|\) olduğundan \(c_0 \ne 0\) olması \(|A| \ne 0\), yani \(A\)’nın regüler olması demektir.
Cayley-Hamilton teoremi gereği
\[A^{n} + c_{n-1}A^{n-1} + \cdots + c_1A + c_0I_n = 0\]
Sabit terimi karşıya atalım ve kalan terimlerin ortak çarpanı olarak \(A\)’yı ayıralım:
\[A\Big(A^{n-1} + c_{n-1}A^{n-2} + \cdots + c_1I_n\Big) = -c_0I_n\]
İki tarafı \(-c_0\)’a bölersek, \(A\) ile çarpımı \(I_n\) veren matris ortaya çıkar; kare matrisler için bu matris \(A^{-1}\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 41.3 (Cayley-Hamilton ile Ters) \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}\) matrisinin tersini Cayley-Hamilton teoremiyle bulunuz.
Çözüm
Karakteristik polinom:
\[\Delta_A(t) = \begin{vmatrix} t - 2 & -1 \\ -1 & t - 1\end{vmatrix} = (t-2)(t-1) - 1 = t^{2} - 3t + 1\]
Teorem gereği \(A^{2} - 3A + I_2 = 0\)’dır. Buradan
\[A^{2} - 3A = -I_2 \qquad \Longrightarrow \qquad A\big(A - 3I_2\big) = -I_2\]
\[\Longrightarrow \qquad A\big(3I_2 - A\big) = I_2 \qquad \Longrightarrow \qquad A^{-1} = 3I_2 - A\]
\[A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2\end{pmatrix}\]
Kontrol. \(A\,A^{-1} = \begin{pmatrix} 2 - 1 & -2 + 2 \\ 1 - 1 & -1 + 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\) ✔
\(\blacksquare\)
41.5 Alıştırma
Alıştırma 41.1 (Karakteristik Polinom Üzerine)
- \(A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 4 & -1\end{pmatrix}\) matrisinin karakteristik polinomunu bulunuz ve reel özdeğerlerinin olup olmadığını araştırınız.
- \(A\) ile \(A^{t}\)’nin karakteristik polinomlarının aynı olduğunu gösteriniz.
- \(A = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & -3\end{pmatrix}\) matrisinin kökü olduğu bir polinom bulunuz.
- Üçgensel bir matrisin özdeğerlerinin köşegen elemanları olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. \[\Delta_A(t) = \begin{vmatrix} t - 3 & 2 \\ -4 & t + 1\end{vmatrix} = (t-3)(t+1) + 8 = t^{2} - 2t + 5\]
Diskriminant \(\Delta = 4 - 20 = -16 < 0\) olduğundan polinomun reel kökü yoktur; \(A\)’nın reel özdeğeri yoktur. (Kompleks sayılar cismi üzerinde bakılırsa kökler \(1 \pm 2i\)’dir.)
Kontrol. \(\operatorname{iz}(A) = 3 - 1 = 2\) ve \(|A| = -3 + 8 = 5\); katsayılar \(-2\) ve \((+1)^{2}\cdot 5 = 5\) olmalıydı ✔
2. \(\big(tI_n - A\big)^{t} = tI_n^{t} - A^{t} = tI_n - A^{t}\)’dir. Bir matrisle transpozesinin determinantları eşit olduğundan
\[\Delta_A(t) = \big|tI_n - A\big| = \Big|\big(tI_n - A\big)^{t}\Big| = \big|tI_n - A^{t}\big| = \Delta_{A^{t}}(t)\]
3. Cayley-Hamilton teoremi gereği her matris kendi karakteristik polinomunun köküdür; öyleyse
\[\Delta_A(t) = \begin{vmatrix} t - 2 & -5 \\ -1 & t + 3\end{vmatrix} = (t-2)(t+3) - 5 = t^{2} + t - 11\]
polinomu aranan polinomlardan biridir.
Doğrulama. \(A^{2} = \begin{pmatrix} 4 + 5 & 10 - 15 \\ 2 - 3 & 5 + 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & -5 \\ -1 & 14\end{pmatrix}\) olduğundan
\[A^{2} + A - 11I_2 = \begin{pmatrix} 9 + 2 - 11 & -5 + 5 \\ -1 + 1 & 14 - 3 - 11\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} \ ✔\]
4. \(A\) üçgensel ise \(tI_n - A\) da üçgenseldir ve köşegeni \(t - a_{11},\ \dots,\ t - a_{nn}\)’dir. Üçgensel bir matrisin determinantı köşegeninin çarpımı olduğundan
\[\Delta_A(t) = (t - a_{11})(t - a_{22})\cdots(t - a_{nn})\]
Bu polinomun kökleri \(a_{11}, \dots, a_{nn}\)’dir; özdeğerler karakteristik polinomun kökleri olduğundan iddia ispatlanmıştır.
\(\blacksquare\)