20 Lineer Dönüşümler
Vektör uzaylarını tanıdık; şimdi aralarındaki fonksiyonlara bakıyoruz. Ama her fonksiyon değil: uzayların taşıdığı iki işlemi — toplama ve skalerle çarpma — bozmayanlar. Bunlara lineer dönüşüm denir ve lineer cebirin asıl konusu, uzaylardan çok bu dönüşümlerdir.
20.1 Tanım
Tanım 20.1 (Lineer Dönüşüm) \(U\) ve \(V\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı olsun. Bir
\[F : V \longrightarrow U\]
dönüşümüne, aşağıdaki iki koşul gerçeklendiğinde bir lineer dönüşüm (veya vektör uzayı homomorfizmi) denir:
i. \(\forall v, w \in V\) için \(F(v + w) = F(v) + F(w)\)
ii. \(\forall k \in K\) ve \(\forall v \in V\) için \(F(kv) = k F(v)\)
Tanımın iki doğrudan sonucu vardır.
1. İkinci koşulda \(k = 0_K\) alınırsa
\[F(0_V) = F\big(0_K v\big) = 0_K F(v) = 0_U\]
elde edilir: her lineer dönüşüm sıfır vektörü sıfır vektöre götürür.
2. İki koşul birleştirilirse, her \(a, b \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[F(av + bw) \overset{\textbf{i}}{=} F(av) + F(bw) \overset{\textbf{ii}}{=} a F(v) + b F(w)\]
olur. Tümevarımla bu, herhangi sonlu bir lineer kombinezona genişler:
\[F\big(a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n\big) = a_1 F(v_1) + a_2 F(v_2) + \cdots + a_n F(v_n)\]
Son eşitlik, lineer dönüşümlerin neden bu kadar kullanışlı olduğunu özetler: bir vektörü taban vektörleri cinsinden yazıp dönüşümü uygularsanız, katsayılar olduğu gibi kalır. Yani bir lineer dönüşümü bilmek için onu yalnızca taban vektörlerinde bilmek yeter — bu gözlem ilerideki bölümün ana teoremidir.
20.2 Örnekler
Örnek 20.1 (Bir İzdüşüm Lineerdir) \(F : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), \((x,y,z) \mapsto (x,y,0)\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
Çözüm
i. \((x_1,y_1,z_1), (x_2,y_2,z_2) \in \mathbb{R}^{3}\) için
\[\begin{aligned} F\big((x_1,y_1,z_1) + (x_2,y_2,z_2)\big) &= F\big(x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2\big)\\[1mm] &= \big(x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ 0\big)\\[1mm] &= (x_1,y_1,0) + (x_2,y_2,0)\\[1mm] &= F(x_1,y_1,z_1) + F(x_2,y_2,z_2) \end{aligned}\]
ii. \(k \in \mathbb{R}\) için
\[\begin{aligned} F\big(k(x,y,z)\big) &= F(kx, ky, kz) = (kx, ky, 0)\\[1mm] &= k(x,y,0) = k F(x,y,z) \end{aligned}\]
İki koşul da sağlandığından \(F\) lineerdir. Geometrik olarak \(F\), uzaydaki her noktayı \(xy\)-düzlemine dik olarak düşürür.
\(\blacksquare\)
Örnek 20.2 (Öteleme Lineer Değildir) \(F : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\), \((x,y) \mapsto (x+1,\ y+2)\) dönüşümünün lineer olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Her lineer dönüşüm sıfır vektörü sıfır vektöre götürmek zorundadır. Oysa burada
\[F\big(0_{\mathbb{R}^{2}}\big) = F(0,0) = (1,2) \neq (0,0) = 0_{\mathbb{R}^{2}}\]
Demek ki \(F\) bir lineer dönüşüm değildir. (Öteleme, doğruları doğrulara götürmesine rağmen başlangıç noktasını yerinden oynattığı için lineer sayılmaz.)
\(\blacksquare\)
Örnek 20.3 (Sıfır Dönüşümü ve Birim Dönüşüm) \(U\) ve \(V\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı olsun.
Her \(v \in V\) için \(F(v) = 0_U\) ile tanımlı \(F : V \to U\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
Her \(v \in V\) için \(I(v) = v\) ile tanımlı \(I : V \to V\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(v, w \in V\) ve \(k \in K\) için
\[F(v+w) = 0_U = 0_U + 0_U = F(v) + F(w)\]
\[F(kv) = 0_U = k\,0_U = k F(v)\]
(İkinci satırda \(k\,0_U = 0_U\) olduğu temel özellikler teoreminden gelir.) Bu dönüşüme sıfır lineer dönüşümü denir ve \(0\) ile gösterilir.
b) \(v, w \in V\) ve \(k \in K\) için
\[I(v+w) = v + w = I(v) + I(w), \qquad I(kv) = kv = k I(v)\]
Bu dönüşüme identik (birim) lineer dönüşüm denir.
\(\blacksquare\)
Örnek 20.4 (Matrisle Verilen Dönüşüm) \(K\) komutatif bir cisim ve \(A\) bir \(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrisi olsun. \(K^{n}\) ve \(K^{m}\)’in elemanları sütun matrisler olarak düşünülmek üzere
\[T : K^{n} \to K^{m}, \qquad v \mapsto Av\]
dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Matris çarpımının dağılma ve skalerle uyum özellikleri doğrudan sonucu verir. \(v, w \in K^{n}\) ve \(k \in K\) için
\[T(v + w) = A(v + w) = Av + Aw = T(v) + T(w)\]
\[T(kv) = A(kv) = k(Av) = k\,T(v)\]
Demek ki \(T\) lineerdir. İleride göreceğimiz gibi, sonlu boyutlu uzaylar arasındaki her lineer dönüşüm uygun bir matrisle bu biçimde temsil edilebilir.
\(\blacksquare\)
20.3 Ters Dönüşüm
Teorem 20.1 (Ters Dönüşüm de Lineerdir) \(U\) ve \(V\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bire bir ve örten bir lineer dönüşüm olsun. O hâlde ters dönüşüm
\[F^{-1} : U \to V\]
de bir lineer dönüşümdür.
İspat
Toplama. \(u, u' \in U\) alalım. \(F\) örten olduğundan \(F(v) = u\) ve \(F(v') = u'\) olacak \(v, v' \in V\) vardır. \(F\) lineer olduğundan
\[F(v + v') = F(v) + F(v') = u + u'\]
Ters dönüşümün tanımıyla \(F^{-1}(u) = v\), \(F^{-1}(u') = v'\) ve \(F^{-1}(u + u') = v + v'\)’dir. Demek ki
\[F^{-1}(u + u') = v + v' = F^{-1}(u) + F^{-1}(u')\]
Skalerle çarpma. \(k \in K\) ve \(u \in U\) alalım. \(F\) örten olduğundan \(F(v) = u\) olacak bir \(v \in V\) vardır. \(F\) lineer olduğundan
\[F(kv) = k F(v) = ku\]
Buradan \(F^{-1}(ku) = kv = k F^{-1}(u)\) bulunur.
İki koşul da sağlandığından \(F^{-1}\) lineerdir. (Bire birlik, \(F^{-1}\)’in bir fonksiyon olarak tanımlı olmasını sağlar.)
\(\blacksquare\)
Tanım 20.2 (İzomorfizm) \(U\) ve \(V\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun.
- \(F\) bire bir ise \(F\)’ye \(V\)’nin \(U\) içine bir (vektör uzayı) izomorfizmi denir.
- \(F\) hem bire bir hem de örten ise \(F\)’ye \(V\)’nin \(U\) üzerine bir (vektör uzayı) izomorfizmi denir.
20.4 Alıştırma
Alıştırma 20.1 (Lineerlik Sınamaları)
\(T, F : V \to W\) birer lineer dönüşüm olsun. Her \(v \in V\) için \((T+F)(v) = T(v) + F(v)\) ile tanımlanan \(T + F\) dönüşümünün de lineer olduğunu gösteriniz.
\(T : V \to W\) lineer bir dönüşüm ve \(a \in K\) olsun. Her \(v \in V\) için \((aT)(v) = a\,T(v)\) ile tanımlanan \(aT\) dönüşümünün de lineer olduğunu gösteriniz.
\(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), \((x,y,z) \mapsto (y - z,\ x + y,\ z - 2x)\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
\(F : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\), \((x,y) \mapsto xy\) dönüşümünün lineer olmadığını gösteriniz.
Çözüm
a) \(v, w \in V\) ve \(k \in K\) olsun. Tanımı açıp \(T\) ile \(F\)’nin lineerliğini kullanalım:
\[\begin{aligned} (T+F)(v+w) &= T(v+w) + F(v+w)\\[1mm] &= \big(T(v) + T(w)\big) + \big(F(v) + F(w)\big) \end{aligned}\]
\(W\)’de toplama asosyatif ve komutatif olduğundan terimler yeniden gruplanabilir:
\[= \big(T(v) + F(v)\big) + \big(T(w) + F(w)\big) = (T+F)(v) + (T+F)(w)\]
Skalerle çarpma için:
\[\begin{aligned} (T+F)(kv) &= T(kv) + F(kv) = k\,T(v) + k\,F(v)\\[1mm] &= k\big(T(v) + F(v)\big) = k\,(T+F)(v) \end{aligned}\]
Son adımda M2 aksiyomu kullanıldı. Demek ki \(T + F\) lineerdir.
b) \(v, w \in V\) ve \(k \in K\) olsun:
\[\begin{aligned} (aT)(v+w) &= a\,T(v+w) = a\big(T(v) + T(w)\big)\\[1mm] &= a\,T(v) + a\,T(w) = (aT)(v) + (aT)(w) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} (aT)(kv) &= a\,T(kv) = a\big(k\,T(v)\big) = (ak)\,T(v)\\[1mm] &= (ka)\,T(v) = k\big(a\,T(v)\big) = k\,(aT)(v) \end{aligned}\]
Burada \(K\)’nin komutatif olması (\(ak = ka\)) ve M4 aksiyomu kullanıldı. Demek ki \(aT\) lineerdir.
c) \(v_1 = (x_1,y_1,z_1)\) ve \(v_2 = (x_2,y_2,z_2)\) olsun:
\[T(v_1 + v_2) = T\big(x_1+x_2,\ y_1+y_2,\ z_1+z_2\big)\]
\[= \big((y_1+y_2) - (z_1+z_2),\ (x_1+x_2) + (y_1+y_2),\ (z_1+z_2) - 2(x_1+x_2)\big)\]
Her bileşende terimleri indislere göre ayıralım:
\[= \big(y_1 - z_1,\ x_1 + y_1,\ z_1 - 2x_1\big) + \big(y_2 - z_2,\ x_2 + y_2,\ z_2 - 2x_2\big)\]
\[= T(v_1) + T(v_2)\]
Skalerle çarpma için:
\[T\big(k(x,y,z)\big) = T(kx, ky, kz) = \big(ky - kz,\ kx + ky,\ kz - 2kx\big)\]
\[= k\big(y - z,\ x + y,\ z - 2x\big) = k\,T(x,y,z)\]
Demek ki \(T\) lineerdir. (Genel kural: bileşenleri değişkenlerin sabit katsayılı birinci dereceden ifadeleri olan ve sabit terim içermeyen her dönüşüm lineerdir.)
d) Toplama koşulunu tek bir karşı örnekle bozalım. \(v = (1,0)\) ve \(w = (0,1)\) alalım:
\[F(v + w) = F(1,1) = 1 \cdot 1 = 1\]
\[F(v) + F(w) = 1 \cdot 0 + 0 \cdot 1 = 0\]
\(1 \neq 0\) olduğundan \(F(v+w) \neq F(v) + F(w)\)’dir; \(F\) lineer değildir. (Bu dönüşüm sıfır vektörünü sıfıra götürüyor olmasına rağmen lineer değildir — sıfır koşulu gerekli olmakla birlikte yeterli değildir.)
\(\blacksquare\)
Bir lineer dönüşümü taban vektörlerindeki değerleri belirliyordu. Bu fikri sağlamlaştırmak için önce vektörleri tabana göre sayılarla adreslemeyi öğrenmeliyiz: koordinatlar ve izomorfizm.