9 Gauss Yok Etme Yöntemi
Kuram hazır: satır işlemleri çözüm kümesini değiştirmiyor ve merdiven şekline inildiğinde her şey okunabiliyor. Geriye bunu düzenli bir hesaba çevirmek kalıyor. Yöntem hep aynıdır — genişletilmiş matrisi yaz, merdiven şekline indir, aşağıdan yukarı geri yerine koy — ve karşılaşılabilecek bütün durumlar üç başlıkta toplanır: çözüm yok, tek çözüm, sonsuz çözüm.
9.1 Yöntemin Adımları
Bir sistemi çözerken izlenecek yol şudur:
- Sistemin genişletilmiş matrisi \(\big(A \mid b\big)\) yazılır.
- Elemanter satır işlemleriyle bu matris bir merdiven matrise indirgenir.
- Merdiven matriste \(\big(0_K\ \cdots\ 0_K \mid b\big)\), \(b \neq 0_K\) biçiminde bir satır varsa sistemin çözümü yoktur; işlem burada biter.
- Aksi hâlde tamamen sıfır satırlar atılır ve kalan denklem sayısı \(r\) ile bilinmeyen sayısı \(n\) karşılaştırılır. \(r = n\) ise tek çözüm vardır; \(r < n\) ise \(n - r\) tane serbest değişken belirlenir ve bunlara birer parametre atanır.
- En alttaki denklemden başlanarak bilinmeyenler yukarı doğru çözülür.
9.2 Çözümsüz Bir Sistem
Örnek 9.1 (Çözümü Olmayan Sistem) \(K = \mathbb{R}\) üzerinde
\[\begin{aligned} 2x_1 + x_2 - 2x_3 + 3x_4 &= 1\\ 3x_1 + 2x_2 - x_3 + 2x_4 &= 4\\ 3x_1 + 3x_2 + 3x_3 - 3x_4 &= 5 \end{aligned}\]
sistemini çözünüz.
Çözüm
Genişletilmiş matrisi yazıp birinci sütunun altını temizleyelim. Kesirlerden kaçınmak için ikinci ve üçüncü satırları \(2\) ile çarpıp birinciyi çıkaralım — bu, \(L_2 \to -3L_1 + 2L_2\) ve \(L_3 \to -3L_1 + 2L_3\) adımlarına karşılık gelir:
\[\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -2 & 3 & 1\\ 3 & 2 & -1 & 2 & 4\\ 3 & 3 & 3 & -3 & 5\end{array}\right) \sim \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 4 & -5 & 5\\ 0 & 3 & 12 & -15 & 7\end{array}\right)\]
Şimdi ikinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{R_3 \to -3R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & -2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 4 & -5 & 5\\ 0 & 0 & 0 & 0 & -8\end{array}\right)\]
Son satır
\[0x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 0x_4 = -8\]
denklemine karşılık gelir; sol taraf hangi değerler için de olsa \(0\) olduğundan bu denklemin çözümü yoktur. Merdiven şeklindeki sistemin çözümü olmadığına göre, ona eşdeğer olan asıl sistemin de çözümü yoktur.
\(\blacksquare\)
9.3 Tek Çözümlü Bir Sistem
Örnek 9.2 (Denklem Sayısı Fazla, Çözüm Tek) \[\begin{aligned} x_1 + 2x_2 - 3x_3 &= 4\\ x_1 + 3x_2 + x_3 &= 11\\ 2x_1 + 5x_2 - 4x_3 &= 13\\ 2x_1 + 6x_2 + 2x_3 &= 22 \end{aligned}\]
sistemini çözünüz.
Çözüm
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\ 1 & 3 & 1 & 11\\ 2 & 5 & -4 & 13\\ 2 & 6 & 2 & 22\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -2R_1 + R_3\\ R_4 \to -2R_1 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 1 & 4 & 7\\ 0 & 1 & 2 & 5\\ 0 & 2 & 8 & 14\end{array}\right)\]
\[\overset{\substack{R_3 \to -R_2 + R_3\\ R_4 \to -2R_2 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 4\\ 0 & 1 & 4 & 7\\ 0 & 0 & -2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Tamamen sıfır olan son satır atılır. Kalan sistem
\[x_1 + 2x_2 - 3x_3 = 4, \qquad x_2 + 4x_3 = 7, \qquad -2x_3 = -2\]
olup \(r = n = 3\)’tür; dolayısıyla çözüm tektir. Aşağıdan yukarı çözelim:
\[-2x_3 = -2 \implies x_3 = 1\]
\[x_2 = 7 - 4x_3 = 7 - 4 = 3\]
\[x_1 = 4 - 2x_2 + 3x_3 = 4 - 6 + 3 = 1\]
Çözüm kümesi \(\{(1, 3, 1)\}\)’dir. Sağlama olarak dördüncü denklemi deneyelim: \(2 \cdot 1 + 6 \cdot 3 + 2 \cdot 1 = 2 + 18 + 2 = 22\).
\(\blacksquare\)
9.4 İki Homojen Sistem
Örnek 9.3 (Triviyal Olmayan Çözümü Olan Homojen Sistem) \[x_1 + x_2 - x_3 = 0, \qquad 2x_1 - 3x_2 + x_3 = 0, \qquad x_1 - 4x_2 + 2x_3 = 0\]
sistemini çözünüz.
Çözüm
Homojen sistemlerde sabit terim sütunu hep \(0\) kaldığından yalnızca katsayılar matrisi üzerinde çalışmak yeterlidir; yine de sütunu yazalım:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 2 & -3 & 1 & 0\\ 1 & -4 & 2 & 0\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -5 & 3 & 0\\ 0 & -5 & 3 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -5 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Kalan sistem
\[x_1 + x_2 - x_3 = 0, \qquad -5x_2 + 3x_3 = 0\]
olup \(r = 2 < n = 3\)’tür. Serbest değişken sayısı \(n - r = 1\)’dir; serbest değişken \(x_3\)’tür. \(x_3 = a\) alalım:
\[-5x_2 + 3a = 0 \implies x_2 = \frac{3}{5}a\]
\[x_1 = -x_2 + x_3 = -\frac{3}{5}a + a = \frac{2}{5}a\]
Çözüm kümesi
\[\left\{\left(\frac{2}{5}a,\ \frac{3}{5}a,\ a\right) : a \in \mathbb{R}\right\}\]
\(a = 5\) alınırsa \((2, 3, 5)\) gibi somut bir triviyal olmayan çözüm elde edilir; sağlama: \(2 + 3 - 5 = 0\), \(4 - 9 + 5 = 0\), \(2 - 12 + 10 = 0\).
\(\blacksquare\)
Örnek 9.4 (Yalnızca Sıfır Çözümü Olan Homojen Sistem) \[x_1 + x_2 - x_3 = 0, \qquad 2x_1 + 4x_2 - x_3 = 0, \qquad 3x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0\]
sistemini çözünüz.
Çözüm
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 2 & 4 & -1 & 0\\ 3 & 2 & 2 & 0\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -1 & 5 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to \frac{1}{2}R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & \frac{11}{2} & 0\end{array}\right)\]
Merdiven şeklinde \(r = n = 3\)’tür; dolayısıyla sistemin tek çözümü vardır ve homojen bir sistemin çözümü daima sıfır çözümü içerdiğinden bu tek çözüm sıfır çözümüdür. Nitekim aşağıdan yukarı:
\[\frac{11}{2}x_3 = 0 \implies x_3 = 0, \qquad 2x_2 + 0 = 0 \implies x_2 = 0, \qquad x_1 = -x_2 + x_3 = 0\]
Çözüm kümesi \(\{(0,0,0)\}\)’dır.
\(\blacksquare\)
9.5 İki Serbest Değişkenli Sistemler
Örnek 9.5 (Zaten Merdiven Şeklinde Bir Sistem) \[\begin{aligned} 2x_1 - 3x_2 + 6x_3 + 2x_4 - 5x_5 &= 3\\ x_2 - 4x_3 + x_4 &= 1\\ x_4 - 3x_5 &= 2 \end{aligned}\]
sisteminin çözüm kümesini bulunuz ve bir özel çözüm yazınız.
Çözüm
Genişletilmiş matris
\[\left(\begin{array}{ccccc|c} 2 & -3 & 6 & 2 & -5 & 3\\ 0 & 1 & -4 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -3 & 2\end{array}\right)\]
zaten bir merdiven matristir: ayrıcalıklı elemanlar \(2\), \(1\) ve \(1\) olup sütunları \(j_1 = 1 < j_2 = 2 < j_3 = 4\) olarak artmaktadır. Burada \(r = 3 < n = 5\)’tir; serbest değişken sayısı \(n - r = 2\)’dir ve serbest değişkenler ayrıcalıklı sütunlarda görünmeyen \(x_3\) ile \(x_5\)’tir.
\(x_3 = a\), \(x_5 = b\) alalım. Üçüncü denklemden
\[x_4 = 2 + 3b\]
İkinci denklemden
\[x_2 = 1 + 4x_3 - x_4 = 1 + 4a - (2 + 3b) = -1 + 4a - 3b\]
Birinci denklemden
\[2x_1 = 3 + 3x_2 - 6x_3 - 2x_4 + 5x_5 = 3 + 3(-1 + 4a - 3b) - 6a - 2(2 + 3b) + 5b\]
\[= 3 - 3 + 12a - 9b - 6a - 4 - 6b + 5b = 6a - 10b - 4\]
Buradan \(x_1 = 3a - 5b - 2\) bulunur. Çözüm kümesi
\[\big\{(3a - 5b - 2,\ -1 + 4a - 3b,\ a,\ 2 + 3b,\ b) : a, b \in \mathbb{R}\big\}\]
Özel bir çözüm için \(a = 2\), \(b = 1\) alalım: \((-1, 4, 2, 5, 1)\). Sağlama: ikinci denklemde \(4 - 8 + 5 = 1\), üçüncüde \(5 - 3 = 2\), birincide \(-2 - 12 + 12 + 10 - 5 = 3\).
\(\blacksquare\)
Örnek 9.6 (Dört Bilinmeyenli Bir Sistem) \[x + 2y - 2z + 3w = 2, \qquad 2x + 4y - 3z + 4w = 5\] \[5x + 10y - 8z + 11w = 12\]
sistemini çözünüz.
Çözüm
\[\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -2 & 3 & 2\\ 2 & 4 & -3 & 4 & 5\\ 5 & 10 & -8 & 11 & 12\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -5R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -2 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 2 & -4 & 2\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -2 & 3 & 2\\ 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
İkinci sütun tamamen boş kaldığından ayrıcalıklı sütunlar \(j_1 = 1\) ve \(j_2 = 3\)’tür; serbest değişkenler \(y\) ve \(w\)’dir (\(n - r = 4 - 2 = 2\)).
\(y = a\), \(w = b\) alalım. İkinci denklemden
\[z = 1 + 2b\]
Birinci denklemden
\[x = 2 - 2y + 2z - 3w = 2 - 2a + 2(1 + 2b) - 3b = 4 - 2a + b\]
Çözüm kümesi
\[\big\{(4 - 2a + b,\ a,\ 1 + 2b,\ b) : a, b \in \mathbb{R}\big\}\]
\(\blacksquare\)
Örnek 9.7 (Bilinmeyen Sırasına Dikkat) \[x - 3y - 2w + 4z = 5, \qquad 2y + w + 5z = 2, \qquad y - 3z = 4\]
sistemini \(x, y, w, z\) sırasıyla çözünüz.
Çözüm
Sütunları \(x, y, w, z\) sırasında yazalım:
\[\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -2 & 4 & 5\\ 0 & 2 & 1 & 5 & 2\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4\end{array}\right) \overset{R_2 \leftrightarrow R_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -2 & 4 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4\\ 0 & 2 & 1 & 5 & 2\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -3 & -2 & 4 & 5\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4\\ 0 & 0 & 1 & 11 & -6\end{array}\right)\]
Karşılık gelen sistem
\[x - 3y - 2w + 4z = 5, \qquad y - 3z = 4, \qquad w + 11z = -6\]
olup \(r = 3 < n = 4\)’tür; tek serbest değişken \(z\)’dir. \(z = a\) alalım:
\[w = -6 - 11a, \qquad y = 4 + 3a\]
\[\begin{aligned} x &= 5 + 3y + 2w - 4z = 5 + 3(4 + 3a) + 2(-6 - 11a) - 4a\\[1mm] &= 5 + 12 + 9a - 12 - 22a - 4a = 5 - 17a \end{aligned}\]
Çözüm kümesi, bileşenler \((x, y, w, z)\) sırasında olmak üzere
\[\big\{(5 - 17a,\ 4 + 3a,\ -6 - 11a,\ a) : a \in \mathbb{R}\big\}\]
\(\blacksquare\)
9.6 Alıştırma
Alıştırma 9.1 (Gauss Yöntemiyle Çözüm)
\(x + 2y - 3z = 6\); \(2x - y + 4z = 2\); \(4x + 3y - 2z = 14\) sistemini çözünüz.
\(2x + y - 3z = 5\); \(3x - 2y + 2z = 5\); \(5x - 3y - z = 16\) sistemini çözünüz.
\(x + 2y + 3z = 3\); \(2x + 3y + 8z = 4\); \(3x + 2y + 17z = 1\) sistemini çözünüz.
\(x + 2y + 2z = 2\); \(3x - 2y - z = 5\); \(2x - 5y + 3z = -4\); \(x + 4y + 6z = 0\) sistemini çözünüz.
Çözüm
a) Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 6\\ 2 & -1 & 4 & 2\\ 4 & 3 & -2 & 14\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -4R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 6\\ 0 & -5 & 10 & -10\\ 0 & -5 & 10 & -10\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & 6\\ 0 & -5 & 10 & -10\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Sıfır satır atılır; kalan iki denklem üç bilinmeyenlidir, yani \(n - r = 1\) serbest değişken vardır: \(z\). \(z = a\) alalım. İkinci denklem \(-5y + 10a = -10\), yani
\[y = 2 + 2a\]
Birinci denklemden
\[x = 6 - 2y + 3z = 6 - 2(2 + 2a) + 3a = 6 - 4 - 4a + 3a = 2 - a\]
Çözüm kümesi \(\big\{(2 - a,\ 2 + 2a,\ a) : a \in \mathbb{R}\big\}\)’dir. Sağlama (\(a = 1\), yani \((1,4,1)\)): \(1 + 8 - 3 = 6\), \(2 - 4 + 4 = 2\), \(4 + 12 - 2 = 14\).
b) Köşeye \(1\) getirmek için önce ikinci satırdan birinciyi çıkaralım:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 5\\ 3 & -2 & 2 & 5\\ 5 & -3 & -1 & 16\end{array}\right) \overset{R_2 \to -R_1 + R_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & -3 & 5\\ 1 & -3 & 5 & 0\\ 5 & -3 & -1 & 16\end{array}\right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 5 & 0\\ 2 & 1 & -3 & 5\\ 5 & -3 & -1 & 16\end{array}\right)\]
Birinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -5R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 5 & 0\\ 0 & 7 & -13 & 5\\ 0 & 12 & -26 & 16\end{array}\right) \overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -3 & 5 & 0\\ 0 & 7 & -13 & 5\\ 0 & -2 & 0 & 6\end{array}\right)\]
Üçüncü denklem doğrudan \(y\)’yi verir: \(-2y = 6 \implies y = -3\). İkinci denklemden
\[7(-3) - 13z = 5 \implies -13z = 26 \implies z = -2\]
Birinci denklemden
\[x = 3y - 5z = -9 + 10 = 1\]
Çözüm kümesi \(\{(1, -3, -2)\}\)’dir. Sağlama: \(2 - 3 + 6 = 5\), \(3 + 6 - 4 = 5\), \(5 + 9 + 2 = 16\).
c) \[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 3\\ 2 & 3 & 8 & 4\\ 3 & 2 & 17 & 1\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & 2 & -2\\ 0 & -4 & 8 & -8\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -4R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 3\\ 0 & -1 & 2 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Serbest değişken \(z\)’dir; \(z = a\) alalım. İkinci denklemden \(-y + 2a = -2\), yani
\[y = 2 + 2a\]
Birinci denklemden
\[x = 3 - 2y - 3z = 3 - 2(2 + 2a) - 3a = 3 - 4 - 4a - 3a = -1 - 7a\]
Çözüm kümesi \(\big\{(-1 - 7a,\ 2 + 2a,\ a) : a \in \mathbb{R}\big\}\)’dir.
d) Dört denklem, üç bilinmeyen:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 3 & -2 & -1 & 5\\ 2 & -5 & 3 & -4\\ 1 & 4 & 6 & 0\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -3R_1 + R_2\\ R_3 \to -2R_1 + R_3\\ R_4 \to -R_1 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & -8 & -7 & -1\\ 0 & -9 & -1 & -8\\ 0 & 2 & 4 & -2\end{array}\right)\]
Son satırı sadeleştirip ikinci sıraya alalım:
\[\overset{R_4 \to \frac{1}{2}R_4}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & -8 & -7 & -1\\ 0 & -9 & -1 & -8\\ 0 & 1 & 2 & -1\end{array}\right) \overset{R_2 \leftrightarrow R_4}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & -9 & -1 & -8\\ 0 & -8 & -7 & -1\end{array}\right)\]
İkinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{\substack{R_3 \to 9R_2 + R_3\\ R_4 \to 8R_2 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 17 & -17\\ 0 & 0 & 9 & -9\end{array}\right) \overset{\substack{R_3 \to \frac{1}{17}R_3\\ R_4 \to \frac{1}{9}R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1\end{array}\right)\]
\[\overset{R_4 \to -R_3 + R_4}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 2\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Sıfır satır atıldığında \(r = n = 3\) kalır; çözüm tektir:
\[z = -1, \qquad y = -1 - 2z = -1 + 2 = 1, \qquad x = 2 - 2y - 2z = 2 - 2 + 2 = 2\]
Çözüm kümesi \(\{(2, 1, -1)\}\)’dir. Sağlama (üçüncü denklem): \(4 - 5 - 3 = -4\).
\(\blacksquare\)
Bir sistemin katsayıları sabit sayılar yerine bir parametre içerdiğinde, çözümün varlığı ve tekliği o parametrenin değerine bağlı hâle gelir. Sıradaki bölümde bu ayrımı yapmayı öğreniyoruz: parametreli sistemlerin tartışması.