23 Boyut Teoremi, Rank ve Nullity

Bir lineer dönüşüm tanım kümesindeki bilginin bir kısmını yok eder, kalanını görüntüye taşır. Yok edilen kısmı çekirdek, taşınan kısmı görüntü ölçer. Bu bölümün teoremi bu iki ölçünün toplamının, tanım kümesinin boyutunu tam olarak verdiğini söyler — hiçbir şey kaybolmaz, yalnızca yer değiştirir.

23.1 Görüntü, Matrisin Sütun Uzayıdır

Boyut teoremine geçmeden önce, matrislerle tanımlanan dönüşümlerde görüntünün ne olduğunu görelim.

Örnek 23.1 (Matris Dönüşümünün Görüntüsü) \(K\) komutatif bir cisim, \(A = (a_{ij})\) \((m,n)\) tipinde bir \(K\)-matris ve

\[T : K^{n} \longrightarrow K^{m}, \qquad v \longmapsto A \cdot v\]

bu matrisin belirlediği lineer dönüşüm olsun. \(\operatorname{Im} T\) nedir?

Çözüm

\(K^{n}\)’in elemanlarını sütun matris olarak düşünelim ve

\[e_1 = \begin{pmatrix} 1_K \\ 0_K \\ \vdots \\ 0_K \end{pmatrix}, \quad e_2 = \begin{pmatrix} 0_K \\ 1_K \\ \vdots \\ 0_K \end{pmatrix}, \quad \dots, \quad e_n = \begin{pmatrix} 0_K \\ \vdots \\ 0_K \\ 1_K \end{pmatrix}\]

standart tabanını alalım. Bu vektörler \(K^{n}\)’i doğurduğundan, doğuran kümenin görüntüsü teoremi gereği \(T(e_1), \dots, T(e_n)\) vektörleri \(\operatorname{Im} T\)’yi doğurur.

Öte yandan \(A \cdot e_i\) çarpımı, \(A\)’nın \(i\). sütununu verir:

\[T(e_1) = A \cdot e_1 = \begin{pmatrix} a_{11} \\ a_{21} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{pmatrix}, \qquad T(e_2) = A \cdot e_2 = \begin{pmatrix} a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{pmatrix}, \qquad \dots\]

Demek ki \(\operatorname{Im} T\)’yi doğuran vektörler tam olarak \(A\)’nın sütunlarıdır:

\[\operatorname{Im} T = A \text{ matrisinin sütun uzayı}\]

\(\blacksquare\)

Bu gözlem, bir matris dönüşümünün görüntüsünü hesaplamayı tamamen mekanik hâle getirir: sütunları alın, satır uzayı yöntemiyle bir taban bulun. \(\operatorname{Im} T\)’nin boyutu da \(A\)’nın rankıdır.

23.2 Boyut Teoremi

Teorem 23.1 (Boyut Teoremi) \(V\) ve \(U\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde iki vektör uzayı, \(V\) sonlu boyutlu ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun. Bu takdirde

\[\dim V = \dim(\operatorname{Ker} F) + \dim(\operatorname{Im} F)\]

İspat

\(\dim V = n\) olsun. \(\operatorname{Ker} F\), \(V\)’nin bir alt uzayı olduğundan sonlu boyutludur; \(\dim(\operatorname{Ker} F) =: r\) diyelim. Alt uzayın boyutu gereği \(r \le n\)’dir. Teoremi ispatlamak için \(\dim(\operatorname{Im} F) = n - r\) olduğunu göstermek yeterlidir.

\(\{w_1, \dots, w_r\}\), \(\operatorname{Ker} F\)’nin bir tabanı olsun. Bu küme \(V\)’de lineer bağımsız olduğundan, taban genişletme ile \(V\)’nin bir tabanına tamamlanabilir:

\[\{w_1, \dots, w_r,\ v_1, \dots, v_{n-r}\}\]

Şimdi

\[B := \big\{ F(v_1), \dots, F(v_{n-r}) \big\}\]

kümesinin \(\operatorname{Im} F\)’nin bir tabanı olduğunu gösterelim.

(i) \(B\), \(\operatorname{Im} F\)’yi doğurur. \(u \in \operatorname{Im} F\) olsun; \(F(v) = u\) olacak bir \(v \in V\) vardır. \(v\)’yi yukarıdaki taban cinsinden yazalım:

\[v = a_1 w_1 + \cdots + a_r w_r + b_1 v_1 + \cdots + b_{n-r} v_{n-r}\]

\(F\) lineer olduğundan

\[u = F(v) = a_1 F(w_1) + \cdots + a_r F(w_r) + b_1 F(v_1) + \cdots + b_{n-r} F(v_{n-r})\]

Fakat \(w_i \in \operatorname{Ker} F\) olduğundan \(F(w_1) = \cdots = F(w_r) = 0_U\)’dur. Geriye

\[u = b_1 F(v_1) + \cdots + b_{n-r} F(v_{n-r})\]

kalır; yani \(u \in L(B)\)’dir. Demek ki \(\operatorname{Im} F = L(B)\)’dir.

(ii) \(B\) lineer bağımsızdır. \(a_1, \dots, a_{n-r} \in K\) olmak üzere

\[a_1 F(v_1) + \cdots + a_{n-r} F(v_{n-r}) = 0_U\]

olsun. \(F\) lineer olduğundan

\[F\big(a_1 v_1 + \cdots + a_{n-r} v_{n-r}\big) = 0_U\]

olur; yani

\[a_1 v_1 + \cdots + a_{n-r} v_{n-r} \in \operatorname{Ker} F\]

bulunur.

\(\{w_1, \dots, w_r\}\) çekirdeği doğurduğundan, uygun \(b_1, \dots, b_r \in K\) için

\[a_1 v_1 + \cdots + a_{n-r} v_{n-r} = b_1 w_1 + \cdots + b_r w_r\]

yazılır, yani

\[a_1 v_1 + \cdots + a_{n-r} v_{n-r} - b_1 w_1 - \cdots - b_r w_r = 0_V\]

\(\{w_1, \dots, w_r, v_1, \dots, v_{n-r}\}\) kümesi \(V\)’nin bir tabanı, dolayısıyla lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılar sıfırdır:

\[a_1 = \cdots = a_{n-r} = b_1 = \cdots = b_r = 0_K\]

Özel olarak \(a_1 = \cdots = a_{n-r} = 0_K\)’dır; \(B\) lineer bağımsızdır.

ve (ii) birlikte \(B\)’nin \(\operatorname{Im} F\)’nin bir tabanı olduğunu verir. \(B\)’nin eleman sayısı \(n - r\) olduğundan

\[\dim(\operatorname{Im} F) = n - r = \dim V - \dim(\operatorname{Ker} F)\]

\(\blacksquare\)

23.3 Rank ve Nullity

Tanım 23.1 (Bir Dönüşümün Rankı) \(V\) ve \(U\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun. \(F\)’nin rankı, görüntüsünün boyutudur:

\[\operatorname{rank}(F) = \dim(\operatorname{Im} F)\]

Tanım 23.2 (Nullity) \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olmak üzere \(F\)’nin Nullity’si, çekirdeğinin boyutudur:

\[\operatorname{Nullity}(F) = \dim(\operatorname{Ker} F)\]

Genel kültür: bazı Türkçe kaynaklar \(\operatorname{Nullity}(F)\) için sıfırlık terimini kullanır; ikisi aynı sayıdır. Bu notlarda \(\operatorname{Nullity}\) gösterimine bağlı kalacağız.

Bu dille boyut teoremi şu kısa biçimi alır: \(V\) sonlu boyutlu ise

\[\dim V = \operatorname{Nullity}(F) + \operatorname{rank}(F)\]

Teoremi nasıl okumalı?

Nullity, dönüşümün ezdiği yönlerin sayısıdır; rank ise ayakta kalan yönlerin sayısı. Toplamları sabittir: tanım kümesinin boyutu. Bu yüzden bir dönüşüm ne kadar çok ezerse görüntüsü o kadar dar olur — ikisini aynı anda büyütmek mümkün değildir.

23.4 Boyutları Kısa Yoldan Bulmak

Bir soru yalnızca \(\dim(\operatorname{Im} F)\) ve \(\dim(\operatorname{Ker} F)\) değerlerini istiyorsa, ne görüntünün ne de çekirdeğin bir tabanını hesaplamak gerekir.

Tek indirgeme, iki boyut

\(F : K^{n} \to K^{m}\) lineer dönüşümü verilsin.

Standart taban vektörlerinin görüntülerini \(F(e_1), \dots, F(e_n)\) satır kabul eden matrisi yazın ve merdiven şekline indirin.
Sıfırdan farklı satır sayısı \(r\) olsun. Bu sayı \(F\)’nin rankıdır: \(\dim(\operatorname{Im} F) = r\).
Çekirdeğin boyutu boyut teoreminden bedavaya gelir: \(\dim(\operatorname{Ker} F) = n - r\). Homojen sistemi çözmeye gerek yoktur.

Çekirdeğin sistemini zaten merdivene indirdiyseniz ikinci bir kısa yol daha vardır: \(\dim(\operatorname{Ker} F)\), sistemin serbest değişken sayısına eşittir.

Örnek 23.2 (Taban Hesaplamadan İki Boyut) \(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\) dönüşümü

\[T(x,y,z) = (x + y,\ y + z,\ x + 2y + z)\]

biçiminde tanımlanıyor. \(\dim(\operatorname{Im} T)\) ve \(\dim(\operatorname{Ker} T)\) değerlerini bulunuz.

Çözüm

Standart taban görüntüleri \(T(1,0,0) = (1,0,1)\), \(T(0,1,0) = (1,1,2)\) ve \(T(0,0,1) = (0,1,1)\)’dir. Bunları satır yazalım ve indirgeyelim:

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_2 \to -R_1 + R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Sıfırdan farklı satır sayısı \(2\) olduğundan

\[\dim(\operatorname{Im} T) = \operatorname{rank}(T) = 2, \qquad \dim(\operatorname{Ker} T) = 3 - 2 = 1\]

Ne çekirdeğin denklemleri çözüldü ne de görüntü için ayrıca bir taban seçildi; iki boyut da tek indirgemeden okundu.

\(\blacksquare\)

23.5 Hesap Örnekleri

Örnek 23.3 (Çekirdek ve Görüntünün Birlikte Hesabı) \(F : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) dönüşümü

\[F(x, y, s, t) = \big(x - y + s + t,\ x + 2s - t,\ x + y + 3s - 3t\big)\]

biçiminde tanımlanıyor. \(\operatorname{Im} F\) ve \(\operatorname{Ker} F\)’nin birer tabanını ve boyutlarını bulunuz.

Çözüm

Görüntü. \((1,0,0,0)\), \((0,1,0,0)\), \((0,0,1,0)\), \((0,0,0,1)\) vektörleri \(\mathbb{R}^{4}\)’ü doğurduğundan, görüntüleri de \(\operatorname{Im} F\)’yi doğurur:

\[F(1,0,0,0) = (1,1,1), \qquad F(0,1,0,0) = (-1,0,1)\] \[F(0,0,1,0) = (1,2,3), \qquad F(0,0,0,1) = (1,-1,-3)\]

Bu dört vektörü satır kabul eden matrisi merdiven şekline indirgeyelim:

\[A := \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \ \sim\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & -2 & -4 \end{pmatrix} \ \sim\ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =: B\]

\(A\) ile \(B\) satır eşdeğer olduğundan satır uzayları aynıdır ve bu uzay \(\operatorname{Im} F\)’dir. \(B\)’nin sıfırdan farklı satırları bir merdiven matrisin satırları olduğundan lineer bağımsızdır:

\[\big\{ (1,1,1),\ (0,1,2) \big\} \ \text{ bir tabandır}, \qquad \dim(\operatorname{Im} F) = 2\]

Çekirdek. \(F(x,y,s,t) = (0,0,0)\) koşulu şu homojen sistemi verir:

\[x - y + s + t = 0, \qquad x + 2s - t = 0, \qquad x + y + 3s - 3t = 0\]

Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:

\[\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & -3 & 0 \end{array}\right) \ \sim\ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 2 & 2 & -4 & 0 \end{array}\right)\]

\[\sim\ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & -1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)\]

Eşdeğer sistem

\[x - y + s + t = 0, \qquad y + s - 2t = 0\]

olup bilinmeyen sayısı \(n = 4\), denklem sayısı \(r = 2\)’dir. Serbest değişken sayısı \(n - r = 2\) ve serbest değişkenler \(s\) ile \(t\)’dir; dolayısıyla \(\dim(\operatorname{Ker} F) = 2\).

Bir taban için serbest değişkenlere sırayla \(1\) ve \(0\) verelim:

\(s = 1\), \(t = 0\): \(y = -1\), \(x = y - s - t = -2\), yani \((-2,-1,1,0) \in \operatorname{Ker} F\)
\(s = 0\), \(t = 1\): \(y = 2\), \(x = y - s - t = 1\), yani \((1,2,0,1) \in \operatorname{Ker} F\)

\[\big\{ (-2,-1,1,0),\ (1,2,0,1) \big\} \ \text{ çekirdeğin bir tabanıdır}\]

Kontrol. Boyut teoremi sağlanıyor:

\[\dim \mathbb{R}^{4} = \dim(\operatorname{Ker} F) + \dim(\operatorname{Im} F) \qquad \Longrightarrow \qquad 4 = 2 + 2\]

\(\blacksquare\)

Örnek 23.4 (Rankı İki Olan Bir Operatör) \(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\) dönüşümü

\[T(x,y,z) = (x + 2y - z,\ y + z,\ x + y - 2z)\]

biçiminde tanımlanıyor. \(\operatorname{Im} T\)’nin bir tabanını ve boyutunu bulunuz.

Çözüm

Standart taban vektörlerinin görüntüleri \(\operatorname{Im} T\)’yi doğurur: \(T(1,0,0) = (1,0,1)\), \(T(0,1,0) = (2,1,1)\) ve \(T(0,0,1) = (-1,1,-2)\). Bunları satır kabul eden matrisi indirgeyelim:

\[A := \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} \ \sim\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \ \sim\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} =: B\]

\(B\) bir merdiven matris olduğundan sıfırdan farklı satırları lineer bağımsızdır ve \(A\) ile \(B\)’nin satır uzayları aynıdır:

\[\big\{ (1,0,1),\ (0,1,-1) \big\} \ \text{ bir tabandır}, \qquad \dim(\operatorname{Im} T) = 2\]

Bu dönüşümün çekirdeğinin \(L\big((3,-1,1)\big)\), yani boyutunun \(1\) olduğunu daha önce hesaplamıştık. Boyut teoremi yine tutuyor: \(3 = 1 + 2\).

\(\blacksquare\)

23.6 Alıştırma

Alıştırma 23.1 (Boyut Teoremi Uygulamaları)

\(V\) sonlu boyutlu ve \(F : V \to U\) lineer olsun. \(\dim V = \dim(\operatorname{Im} F)\) olması için gerek ve yeter koşulun \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olduğunu gösteriniz.
\(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{4}\) dönüşümü şöyle tanımlansın:

\[T(a_1,a_2,a_3,a_4) = (a_1,\ a_1+a_2,\ a_1+a_2+a_3,\ a_1+a_2+a_3+a_4)\]

Bu dönüşümün rankını bulunuz.
Bir \(T : \mathbb{R}^{5} \to \mathbb{R}^{3}\) lineer dönüşümü için \(\operatorname{Nullity}(T)\) en az kaç olabilir?

Çözüm

1. Boyut teoremi gereği

\[\dim V = \dim(\operatorname{Ker} F) + \dim(\operatorname{Im} F)\]

olduğundan

\[\dim V = \dim(\operatorname{Im} F) \iff \dim(\operatorname{Ker} F) = 0 \iff \operatorname{Ker} F = \{0_V\}\]

Son denklik, boyutu sıfır olan tek uzayın sıfır uzayı olmasından gelir.

2. Bu dönüşümün çekirdeğinin yalnız sıfır vektöründen ibaret olduğunu, yani \(\dim(\operatorname{Ker} T) = 0\) olduğunu çekirdek hesabında bulmuştuk. Boyut teoreminden

\[\operatorname{rank}(T) = \dim \mathbb{R}^{4} - \dim(\operatorname{Ker} T) = 4 - 0 = 4\]

3. \(\operatorname{Im} T\), \(\mathbb{R}^{3}\)’ün bir alt uzayı olduğundan \(\dim(\operatorname{Im} T) \le 3\)’tür. Boyut teoreminden

\[\operatorname{Nullity}(T) = 5 - \dim(\operatorname{Im} T) \ge 5 - 3 = 2\]

Demek ki \(\operatorname{Nullity}(T)\) en az \(2\)’dir; özel olarak böyle bir dönüşümün çekirdeği hiçbir zaman yalnız sıfırdan ibaret olamaz.

\(\blacksquare\)