13 Toplamlar ve Direkt Toplam
İki alt uzayın birleşimi genelde alt uzay değildi. Doğru kavram birleşim değil, toplamdır: bir uzaydan bir vektör, diğerinden bir vektör alıp toplamak. Bu bölümde toplamın her zaman alt uzay olduğunu görecek, ardından toplamın en düzenli hâlini — yazılışın tek türlü olduğu direkt toplamı — tanımlayacağız.
13.1 Alt Uzayların Toplamı
Teorem 13.1 (Toplam Bir Alt Uzaydır) \(U\) ve \(W\), \(V(K)\) vektör uzayının iki alt uzayı olsun.
\[U + W = \big\{ u + w : u \in U,\ w \in W \big\}\]
kümesi de \(V(K)\)’nin bir alt uzayıdır.
İspat
\(U\) ve \(W\) alt uzay olduğundan \(0_V \in U\) ve \(0_V \in W\)’dir; buradan
\[0_V = 0_V + 0_V \in U + W\]
olur ve \(U + W \neq \varnothing\)’dir. Ayrıca \(U, W \subseteq V\) ve \(V\) toplamaya göre kapalı olduğundan \(U + W \subseteq V\)’dir.
Toplama. \(u_1 + w_1\) ve \(u_2 + w_2\) kümenin iki elemanı olsun (\(u_i \in U\), \(w_i \in W\)). \(V\)’de toplama asosyatif ve komutatif olduğundan terimler yeniden gruplanabilir:
\[\big(u_1 + w_1\big) + \big(u_2 + w_2\big) = \underbrace{\big(u_1 + u_2\big)}_{\in\, U} + \underbrace{\big(w_1 + w_2\big)}_{\in\, W} \in U + W\]
Skalerle çarpma. \(k \in K\) için M2 aksiyomuyla
\[k(u + w) = \underbrace{ku}_{\in\, U} + \underbrace{kw}_{\in\, W} \in U + W\]
Ölçüt gereği \(U + W\) bir alt uzaydır.
\(\blacksquare\)
\(U \subseteq U + W\) ve \(W \subseteq U + W\)’dir (birinde \(w = 0_V\), diğerinde \(u = 0_V\) alınır); dolayısıyla \(U + W\), hem \(U\)’yu hem \(W\)’yi içeren bir alt uzaydır — üstelik böyle alt uzayların en küçüğüdür.
13.2 Direkt Toplam
Tanım 13.1 (Direkt Toplam) \(U\) ve \(W\), \(V(K)\)’nin alt uzayları olsun. Her \(v \in V\) için
\[v = u + w \qquad (u \in U,\ w \in W)\]
biçiminde bir ve yalnız bir türlü bir yazılış varsa, \(V\)’ye \(U\) ile \(W\)’nin direkt toplamı denir ve
\[V = U \oplus W\]
yazılır.
Tanımda iki şey birden isteniyor: yazılışın var olması ve tek olması. Aşağıdaki teorem bu ikisini denetlenmesi kolay iki koşula çevirir.
Teorem 13.2 (Direkt Toplam Ölçütü) \(V = U \oplus W\) olması için gerek ve yeter koşullar şunlardır:
- \(V = U + W\)
- \(U \cap W = \{0_V\}\)
İspat
Gereklik. \(V = U \oplus W\) olsun.
Her \(v \in V\) bir \(u + w\) olarak yazıldığından \(V \subseteq U + W\)’dir; \(U + W \subseteq V\) zaten geçerli olduğundan \(V = U + W\)’dir. Birinci koşul sağlanır.
Şimdi \(a \in U \cap W\) alalım. \(a\)’yı iki farklı biçimde yazabiliriz:
\[a = \underbrace{a}_{\in\, U} + \underbrace{0_V}_{\in\, W}, \qquad a = \underbrace{0_V}_{\in\, U} + \underbrace{a}_{\in\, W}\]
Yazılış tek olduğundan bu iki gösterilişin karşılıklı parçaları eşit olmalıdır: \(a = 0_V\). Demek ki \(U \cap W = \{0_V\}\)’dir (\(0_V\) her iki alt uzayda da bulunduğundan kesişim boş değildir).
Yeterlik. (1) ve (2) sağlansın. \(v \in V\) alalım. \(V = U + W\) olduğundan
\[v = u + w \qquad (u \in U,\ w \in W)\]
biçiminde bir yazılış vardır. Bunun tek olduğunu görelim: \(v = u' + w'\) ikinci bir yazılış olsun (\(u' \in U\), \(w' \in W\)). O hâlde
\[u + w = u' + w' \implies u - u' = w' - w\]
Sol taraf \(U\)’da, sağ taraf \(W\)’dedir ve ikisi eşit olduğundan bu ortak eleman \(U \cap W = \{0_V\}\)’dedir:
\[u - u' = w' - w = 0_V \implies u = u', \quad w = w'\]
Yazılış tek olduğundan \(V = U \oplus W\)’dir.
\(\blacksquare\)
13.3 Çözümlü Örnekler
Örnek 13.1 (Simetrik ve Antisimetrik Ayrışımı) \(V\), \(n\)-inci mertebeden reel kare matrislerin uzayı olsun.
\[U = \big\{ M \in V : M^{t} = M \big\}, \qquad W = \big\{ M \in V : M^{t} = -M \big\}\]
\(U\) simetrik, \(W\) antisimetrik matrislerin kümesidir. \(V = U \oplus W\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Önce \(U\) ve \(W\)’nin birer alt uzay olduğunu görelim: \(O^{t} = O = -O\) olduğundan sıfır matris her ikisindedir ve transpoze işlemi \((kA + lB)^{t} = kA^{t} + lB^{t}\) ile lineer davrandığından her iki koşul da toplam ve skalerle çarpma altında korunur.
1. \(V = U + W\). \(A \in V\) keyfi bir matris olsun ve şu ayrışımı yazalım:
\[A = \frac{1}{2}\big(A + A^{t}\big) + \frac{1}{2}\big(A - A^{t}\big)\]
Birinci terim simetriktir:
\[\left[\frac{1}{2}\big(A + A^{t}\big)\right]^{t} = \frac{1}{2}\big(A^{t} + A\big) = \frac{1}{2}\big(A + A^{t}\big)\]
İkinci terim antisimetriktir:
\[\left[\frac{1}{2}\big(A - A^{t}\big)\right]^{t} = \frac{1}{2}\big(A^{t} - A\big) = -\frac{1}{2}\big(A - A^{t}\big)\]
Demek ki her \(A\) matrisi bir simetrik ile bir antisimetriğin toplamıdır: \(V = U + W\).
2. \(U \cap W = \{O\}\). \(A \in U \cap W\) olsun. O hâlde hem \(A^{t} = A\) hem de \(A^{t} = -A\)’dır; buradan
\[A = -A \implies 2A = O \implies A = O\]
(Reel sayılarda \(2 \neq 0\) olduğundan bölme yapılabilir.)
İki koşul da sağlandığından \(V = U \oplus W\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.2 (R³’te Bir Direkt Toplam) \(U = \big\{ (a,b,c) \in \mathbb{R}^{3} : a = b = c \big\}\) ve \(W = \big\{ (0,b,c) : b, c \in \mathbb{R} \big\}\) olsun. \(\mathbb{R}^{3} = U \oplus W\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. \(\mathbb{R}^{3} = U + W\). Keyfi bir \((a,b,c)\) vektörünü şöyle ayıralım:
\[(a,b,c) = \underbrace{(a,a,a)}_{\in\, U} + \underbrace{(0,\ b-a,\ c-a)}_{\in\, W}\]
Birinci terimin üç bileşeni de eşittir, ikinci terimin ilk bileşeni sıfırdır; ikisi de ait oldukları kümededir.
2. \(U \cap W = \{(0,0,0)\}\). \((a,b,c) \in U \cap W\) olsun. \(U\)’da olmak \(a = b = c\) demektir; \(W\)’de olmak \(a = 0\) demektir. İkisi birlikte \(a = b = c = 0\) verir.
İki koşul sağlandığından \(\mathbb{R}^{3} = U \oplus W\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 13.3 (Toplam Direkt Olmayabilir) \(U = \big\{ (a,b,0) : a,b \in \mathbb{R} \big\}\) ve \(W = \big\{ (0,b,c) : b,c \in \mathbb{R} \big\}\) olsun. \(\mathbb{R}^{3} = U + W\) olduğunu, fakat toplamın direkt olmadığını gösteriniz.
Çözüm
Toplam \(\mathbb{R}^{3}\)’tür. Her \((a,b,c)\) için
\[(a,b,c) = \underbrace{(a,b,0)}_{\in\, U} + \underbrace{(0,0,c)}_{\in\, W}\]
yazılabilir; dolayısıyla \(\mathbb{R}^{3} = U + W\)’dir.
Yazılış tek değildir. \((3,5,7)\) vektörünü iki farklı biçimde yazalım:
\[(3,5,7) = (3,1,0) + (0,4,7) = (3,-4,0) + (0,9,7)\]
Her iki ayrışımda da birinci terim \(U\)’da, ikinci terim \(W\)’dedir; ama ayrışımlar farklıdır. Demek ki \(\mathbb{R}^{3}\), \(U\) ile \(W\)’nin direkt toplamı değildir.
Bunun nedenini ölçüt açıkça gösterir:
\[U \cap W = \big\{ (0,b,0) : b \in \mathbb{R} \big\} \neq \{(0,0,0)\}\]
Kesişim yalnızca sıfır vektöründen ibaret olmadığı için tekliğin bozulması kaçınılmazdır: kesişimdeki herhangi bir \((0,t,0)\) vektörü birinci terimden çıkarılıp ikinciye eklenerek yeni bir ayrışım üretilebilir.
\(\blacksquare\)
Son iki örnek yan yana konduğunda direkt toplamın ne anlama geldiği netleşir: toplam her zaman vardır, tek olan yazılıştır. Kesişim ne kadar büyükse yazılış o kadar çok çeşitlenir; kesişim yalnızca sıfır vektörüne indiğinde her vektörün tek bir adresi kalır.
13.4 Alıştırma
Alıştırma 13.1 (Toplam ve Direkt Toplam)
\(U = \big\{ (a,b,0) : a,b \in \mathbb{R} \big\}\) ve \(W = \big\{ (0,0,c) : c \in \mathbb{R} \big\}\) için \(\mathbb{R}^{3} = U \oplus W\) olduğunu gösteriniz.
\(U = \{(a,b) \in \mathbb{R}^{2} : b = a\}\) ve \(W = \{(a,b) \in \mathbb{R}^{2} : b = -a\}\) için \(\mathbb{R}^{2} = U \oplus W\) olduğunu gösterip \((5,1)\) vektörünün ayrışımını bulunuz.
\(V = \{f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\}\) uzayında \(U\) çift fonksiyonların, \(W\) tek fonksiyonların kümesi olsun. \(V = U \oplus W\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Önce ikisinin de alt uzay olduğunu not edelim; her biri bileşenlerinden bazılarının sıfır olmasıyla tanımlıdır ve bu koşul toplam ile skalerle çarpma altında korunur.
Toplam: Her \((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\) için
\[(a,b,c) = (a,b,0) + (0,0,c)\]
olduğundan \(\mathbb{R}^{3} = U + W\)’dir.
Kesişim: \((a,b,c) \in U \cap W\) olsun. \(U\)’da olmak \(c = 0\), \(W\)’de olmak \(a = b = 0\) demektir; ikisi birlikte \((a,b,c) = (0,0,0)\) verir.
Demek ki \(\mathbb{R}^{3} = U \oplus W\)’dir. (Önceki örnekten farkı: orada ikinci uzay \((0,b,c)\) biçimindeydi ve \(b\) bileşeni her iki uzayda da serbestti.)
b) \(U\), \(y = x\) doğrusu; \(W\), \(y = -x\) doğrusudur. İkisi de başlangıçtan geçtiğinden birer alt uzaydır.
Toplam: \((a,b)\) verilsin; \((a,b) = (s,s) + (t,-t)\) olacak \(s,t\) arıyoruz:
\[s + t = a, \qquad s - t = b \implies s = \frac{a+b}{2}, \quad t = \frac{a-b}{2}\]
Her \((a,b)\) için bu \(s\) ve \(t\) bulunduğundan \(\mathbb{R}^{2} = U + W\)’dir.
Kesişim: \((a,b) \in U \cap W\) ise \(b = a\) ve \(b = -a\); buradan \(a = -a\), yani \(a = 0\) ve \(b = 0\)’dır.
Demek ki \(\mathbb{R}^{2} = U \oplus W\)’dir. \((5,1)\) için \(s = \dfrac{5+1}{2} = 3\) ve \(t = \dfrac{5-1}{2} = 2\):
\[(5,1) = (3,3) + (2,-2)\]
c) \(f\) çift ise \(f(-x) = f(x)\), tek ise \(f(-x) = -f(x)\)’tir. Her iki koşul da lineer olduğundan \(U\) ve \(W\) birer alt uzaydır.
Toplam: Keyfi bir \(f\) için
\[f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{g(x)} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{h(x)}\]
yazalım. \(g(-x) = \dfrac{f(-x) + f(x)}{2} = g(x)\) olduğundan \(g\) çifttir; \(h(-x) = \dfrac{f(-x) - f(x)}{2} = -h(x)\) olduğundan \(h\) tektir. Demek ki \(V = U + W\)’dir.
Kesişim: \(f \in U \cap W\) ise her \(x\) için \(f(x) = f(-x) = -f(x)\), yani \(2f(x) = 0\) ve \(f(x) = 0\)’dır. Demek ki \(f\) sıfır fonksiyonudur.
Sonuç: \(V = U \oplus W\). Bu, simetrik–antisimetrik matris ayrışımının fonksiyonlardaki tam karşılığıdır; ikisinde de aynı \(\frac{1}{2}(A \pm A^{t})\) hilesi kullanılmıştır.
\(\blacksquare\)
Alt uzayları toplayarak yenilerini üretmeyi öğrendik. Peki elimizde birkaç vektör varsa, onların ürettiği en küçük alt uzay hangisidir? Bu soru bizi dersin merkezindeki kavrama götürür: lineer kombinezonlar ve doğuran kümeler.