15 Satır Uzayı ve Sütun Uzayı
Bir matrisin satırlarına \(K^{n}\)’in vektörleri gözüyle bakılabilir. O zaman matrisin taşıdığı bilgi, bu satırların gerdiği alt uzaydır — ve elemanter satır işlemleri bu alt uzayı değiştirmez. Bu gözlem, “iki vektör ailesi aynı alt uzayı mı geriyor?” sorusunu tamamen mekanik bir hesaba indirger.
15.1 Tanım
Tanım 15.1 (Satır Uzayı) \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) bir \(K\)-matris olsun. \(A\)’nın satırları
\[R_1 = (a_{11}, \dots, a_{1n}), \quad \dots, \quad R_m = (a_{m1}, \dots, a_{mn})\]
\(K^{n}\)’in elemanları olarak düşünülürse, \(L(R_1, \dots, R_m) \subseteq K^{n}\) alt uzayına \(A\)’nın satır uzayı denir.
Tanım 15.2 (Sütun Uzayı) \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) matrisinin sütunları
\[C_1 = (a_{11}, a_{21}, \dots, a_{m1}), \quad \dots, \quad C_n = (a_{1n}, a_{2n}, \dots, a_{mn})\]
\(K^{m}\)’in elemanları olarak düşünülürse, \(L(C_1, \dots, C_n) \subseteq K^{m}\) alt uzayına \(A\)’nın sütun uzayı denir.
15.2 Satır İşlemleri Satır Uzayını Korur
Teorem 15.1 (Satır Eşdeğerlik ve Satır Uzayı) Satır eşdeğer matrislerin satır uzayları aynıdır.
İspat
\(A \overset{\text{satır}}{\sim} B\) olsun. Elemanter satır işlemlerinin her biri — iki satırın yer değiştirmesi, bir satırın sıfırdan farklı bir skalerle çarpılması, bir satıra başka bir satırın katının eklenmesi — yeni satırları eski satırların lineer kombinezonu olarak verir. Dolayısıyla \(B\)’nin her satırı ya \(A\)’nın bir satırıdır ya da \(A\)’nın satırlarının bir lineer kombinezonudur; hepsi \(A\)’nın satır uzayındadır.
\(A\)’nın satır uzayı bir alt uzay olduğundan, gerilen alt uzayın en küçüklüğü gereği
\[B\text{'nin satır uzayı} \subseteq A\text{'nın satır uzayı}\]
Öte yandan her elemanter satır işlemi geri alınabilir olduğundan \(B\)’ye uygun işlemler uygulanarak \(A\) elde edilir; aynı akıl yürütmeyle
\[A\text{'nın satır uzayı} \subseteq B\text{'nin satır uzayı}\]
İki kapsama birlikte eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
Teorem 15.2 (Kanonik Şekiller ve Eşitlik) İki satır indirgenmiş merdiven matrisin satır uzaylarının aynı olması için gerek ve yeter koşul, sıfırdan farklı satırlarının birbirinin aynı olmasıdır.
Buna bir de şu olguyu ekleyelim: her \(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrisi bir tek satır indirgenmiş merdiven matrise satır eşdeğerdir; bu matrise \(A\)’nın satır kanonik şekli denir. İkisi birlikte pratik bir ölçüt verir.
\(L(u_1, \dots, u_p)\) ile \(L(v_1, \dots, v_q)\) alt uzaylarının aynı olup olmadığını anlamak için:
- \(u_i\)’leri satır kabul eden \(A\) matrisini, \(v_j\)’leri satır kabul eden \(C\) matrisini yaz.
- Her ikisini de satır kanonik şekline indir.
- Sıfırdan farklı satırlar birebir aynıysa iki uzay eşittir; değilse farklıdır.
15.3 Çözümlü Örnekler
Örnek 15.1 (İki Uzay Aynı mı?) \(u_1 = (1,2,-1,3)\), \(u_2 = (2,4,1,-2)\), \(u_3 = (3,6,3,-7)\) tarafından doğrulan \(U\) ile \(v_1 = (1,2,-4,11)\), \(v_2 = (2,4,-5,14)\) tarafından doğrulan \(V\) alt uzayları aynı mıdır?
Çözüm
\(u_i\)’leri satır kabul eden matrisi indirgeyelim:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3\\ 2 & 4 & 1 & -2\\ 3 & 6 & 3 & -7\end{pmatrix} \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -8\\ 0 & 0 & 6 & -16\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -8\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \overset{R_2 \to \frac{1}{3}R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 3\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_1 \to R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{3}\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} =: B\]
(Son adımda \(3 - \frac{8}{3} = \frac{1}{3}\) kullanıldı.) Şimdi \(v_j\)’ler için aynısını yapalım:
\[C = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 11\\ 2 & 4 & -5 & 14\end{pmatrix} \overset{R_2 \to -2R_1 + R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 11\\ 0 & 0 & 3 & -8\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_2 \to \frac{1}{3}R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -4 & 11\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{3}\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_1 \to 4R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & \frac{1}{3}\\ 0 & 0 & 1 & -\frac{8}{3}\end{pmatrix} =: D\]
(Burada \(11 - \frac{32}{3} = \frac{1}{3}\)’tür.)
\(B\) ile \(D\)’nin sıfırdan farklı satırları birebir aynıdır; dolayısıyla satır uzayları eşittir. \(A \overset{\text{satır}}{\sim} B\) ve \(C \overset{\text{satır}}{\sim} D\) olduğundan
\[\begin{aligned} U &= A\text{'nın satır uzayı} = B\text{'nin satır uzayı}\\[1mm] &= D\text{'nin satır uzayı} = C\text{'nin satır uzayı} = V \end{aligned}\]
İki alt uzay aynıdır.
\(\blacksquare\)
Örnek 15.2 (Üç Matrisin Satır Uzayları) \[A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5\\ 2 & 3 & 13\end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\ 3 & -2 & -3\end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 4 & -3 & -1\\ 3 & -1 & 3\end{pmatrix}\]
matrislerinden hangilerinin satır uzayları aynıdır?
Çözüm
Üçünün de satır kanonik şeklini bulalım.
\[A \overset{R_2 \to -2R_1 + R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 5\\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix} \overset{R_1 \to -R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
\[B \overset{R_2 \to -3R_1 + R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix} \overset{R_1 \to R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
\[C \overset{\substack{R_2 \to -4R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 2 & 6\end{pmatrix} \overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \overset{R_1 \to R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
\(A\) ile \(C\)’nin sıfırdan farklı satırları \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\end{pmatrix}\) ve \(\begin{pmatrix} 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\) olarak çakışır; dolayısıyla \(A\) ile \(C\)’nin satır uzayları aynıdır.
\(B\)’nin birinci satırı \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) olup diğerlerinden farklıdır; \(B\)’nin satır uzayı \(A\) ile \(C\)’ninkinden farklıdır.
\(\blacksquare\)
15.4 Alıştırma
Alıştırma 15.1 (Satır Uzayları)
\(u_1 = (1,1,-1)\), \(u_2 = (2,3,-1)\), \(u_3 = (3,1,-5)\) ve \(v_1 = (1,-1,-3)\), \(v_2 = (3,-2,-8)\), \(v_3 = (2,1,-3)\) olsun. \(L(u_1,u_2,u_3)\) ile \(L(v_1,v_2,v_3)\) uzayları \(\mathbb{R}^{3}\)’ün aynı alt uzayı mıdır?
\(A\) bir \(K\)-matris ise \(A\)’nın satır uzayının, \(A^{t}\)’nin sütun uzayına eşit olduğunu gözlemleyiniz.
Çözüm
a) \(u_i\)’lerin matrisini indirgeyelim:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 2 & 3 & -1\\ 3 & 1 & -5\end{pmatrix} \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & -2 & -2\end{pmatrix} \overset{R_3 \to 2R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_1 \to -R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
Şimdi \(v_j\)’ler için:
\[\begin{pmatrix} 1 & -1 & -3\\ 3 & -2 & -8\\ 2 & 1 & -3\end{pmatrix} \overset{\substack{R_2 \to -3R_1 + R_2\\ R_3 \to -2R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 3 & 3\end{pmatrix} \overset{R_3 \to -3R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -1 & -3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_1 \to R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
İki satır kanonik şekil birebir aynıdır; dolayısıyla iki alt uzay eşittir:
\[L(u_1,u_2,u_3) = L(v_1,v_2,v_3) = L\big((1,0,-2),\ (0,1,1)\big)\]
b) Transpoze tanımı gereği \(A^{t}\)’nin \(i\)-inci sütunu, \(A\)’nın \(i\)-inci satırının kendisidir. Aynı vektör ailesi söz konusu olduğundan gerdikleri alt uzaylar da aynıdır:
\[A\text{'nın satır uzayı} = A^{t}\text{'nin sütun uzayı}\]
Simetrik olarak \(A\)’nın sütun uzayı, \(A^{t}\)’nin satır uzayına eşittir. Bu gözlem sayesinde sütun uzayıyla ilgili her soru, transpoze alınarak satır uzayı sorusuna çevrilebilir — ve satır uzayında elimizde satır işlemleri gibi güçlü bir araç vardır.
\(\blacksquare\)
Bir alt uzayı doğuran kümede gereksiz vektörler bulunabilir: biri diğerlerinin lineer kombinezonuysa onu atmak uzayı değiştirmez. “Gereksiz vektör yok” durumunu kesinleştiren kavram sıradaki bölümün konusudur: lineer bağımlılık ve bağımsızlık.