14 Lineer Kombinezonlar ve Doğuran Kümeler
Elimizde birkaç vektör varsa, onlarla ulaşabileceğimiz bütün vektörler nelerdir? Yanıt basittir: her birini bir skalerle çarpıp toplayarak elde edilenler. Bu işleme lineer kombinezon denir ve bu bölümde göstereceğimiz gibi, bir kümenin bütün lineer kombinezonları o kümeyi içeren en küçük alt uzayı oluşturur.
14.1 Lineer Kombinezon
Tanım 14.1 (Lineer Kombinezon) \(V(K)\) bir vektör uzayı, \(v_1, v_2, \dots, v_m \in V\) ve \(a_1, a_2, \dots, a_m \in K\) olsun.
\[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m \in V\]
biçiminde yazılan her elemana, \(v_1, v_2, \dots, v_m\) vektörlerinin bir lineer kombinezonu denir.
Teorem 14.1 (Gerilen Alt Uzay) \(V(K)\) bir vektör uzayı ve \(\varnothing \neq S \subseteq V\) olsun. \(S\) içindeki elemanların bütün lineer kombinezonlarının kümesi, \(V\)’nin \(S\)’yi içeren bir alt uzayıdır; bu alt uzay \(L(S)\) ile gösterilir.
Ayrıca \(W\), \(V\)’nin \(S\)’yi içeren herhangi bir alt uzayı ise \(L(S) \subseteq W\)’dir.
İspat
\(S \subseteq L(S)\) ve \(L(S) \neq \varnothing\). Her \(v \in S\) için \(v = 1_K v\) tek terimli bir lineer kombinezondur; dolayısıyla \(v \in L(S)\)’dir.
\(L(S)\) bir alt uzaydır. \(u, w \in L(S)\) alalım:
\[u = a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m, \qquad w = b_1 w_1 + \cdots + b_n w_n\]
burada \(u_i, w_j \in S\) ve \(a_i, b_j \in K\)’dir. O hâlde
\[u + w = a_1 u_1 + \cdots + a_m u_m + b_1 w_1 + \cdots + b_n w_n\]
ifadesi yine \(S\) elemanlarının bir lineer kombinezonudur, yani \(u + w \in L(S)\)’dir. Benzer şekilde \(k \in K\) için
\[ku = \big(ka_1\big)u_1 + \cdots + \big(ka_m\big)u_m \in L(S)\]
Ölçüt gereği \(L(S)\) bir alt uzaydır.
En küçüklük. \(W\), \(S\)’yi içeren bir alt uzay olsun. \(v_1, \dots, v_m \in S \subseteq W\) ve \(W\) bir alt uzay olduğundan, kapalılık tekrar tekrar uygulanarak
\[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_m v_m \in W\]
bulunur. Yani \(S\) elemanlarının her lineer kombinezonu \(W\)’dedir: \(L(S) \subseteq W\).
\(\blacksquare\)
\(L(S)\) alt uzayına, \(S\) tarafından doğurulan (gerilen) alt uzay denir; \(S\)’ye de \(L(S)\)’nin bir doğuran kümesi denir. Teoremin son kısmı şunu söyler: \(L(S)\), \(S\)’yi içeren bütün alt uzayların en küçüğüdür.
\(S = \{v_1, \dots, v_m\}\) sonlu bir küme olduğunda \(L(S)\) yerine kısaca \(L(v_1, \dots, v_m)\) yazılır. \(V = L(v_1, \dots, v_m)\) ifadesi “\(V\) uzayı \(v_1, \dots, v_m\) vektörleri tarafından doğrulur” diye okunur.
14.2 Standart Doğuran Küme
Örnek 14.1 (Kⁿ’i Doğuran Vektörler) \(K\) komutatif bir cisim olmak üzere \(K^{n}\) uzayında
\[e_1 = (1_K, 0_K, \dots, 0_K), \quad e_2 = (0_K, 1_K, 0_K, \dots, 0_K), \quad \dots, \quad e_n = (0_K, \dots, 0_K, 1_K)\]
vektörlerini ve \(S = \{e_1, \dots, e_n\}\) kümesini alalım. \(K^{n} = L(S)\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(L(S)\) bir alt uzay ve \(S \subseteq K^{n}\) olduğundan \(L(S) \subseteq K^{n}\)’dir.
Ters kapsama için keyfi bir \((a_1, a_2, \dots, a_n) \in K^{n}\) alalım. Skalerle çarpma ve toplama bileşen bileşen işlediğinden
\[\begin{aligned} &a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n\\[1mm] &\qquad = (a_1, 0_K, \dots, 0_K) + (0_K, a_2, 0_K, \dots, 0_K) + \cdots + (0_K, \dots, 0_K, a_n)\\[1mm] &\qquad = (a_1, a_2, \dots, a_n) \end{aligned}\]
Demek ki her vektör \(e_i\)’lerin bir lineer kombinezonudur: \(K^{n} \subseteq L(S)\). İki kapsama birlikte \(K^{n} = L(S)\) verir.
\(\blacksquare\)
14.3 Bir Vektör Lineer Kombinezon mudur?
Soru her zaman bir denklem sistemine dönüşür: bilinmeyenler skalerlerdir.
Örnek 14.2 (R⁴’te Bir Sınama) \(v = (3, 9, -4, -2) \in \mathbb{R}^{4}\) vektörü
\[u_1 = (1,-2,0,3), \qquad u_2 = (2,3,0,-1), \qquad u_3 = (2,-1,2,1)\]
vektörlerinin bir lineer kombinezonu mudur? Yani \(v \in L(u_1, u_2, u_3)\) midir?
Çözüm
\(v = x u_1 + y u_2 + z u_3\) olacak \(x, y, z \in \mathbb{R}\) arıyoruz. Sağ tarafı bileşenlerine ayıralım:
\[\begin{aligned} &x(1,-2,0,3) + y(2,3,0,-1) + z(2,-1,2,1)\\[1mm] &\qquad = \big(x + 2y + 2z,\ -2x + 3y - z,\ 2z,\ 3x - y + z\big) \end{aligned}\]
Bunu \(v\)’ye eşitlemek şu sistemi verir:
\[x + 2y + 2z = 3, \qquad -2x + 3y - z = 9, \qquad 2z = -4, \qquad 3x - y + z = -2\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3\\ -2 & 3 & -1 & 9\\ 0 & 0 & 2 & -4\\ 3 & -1 & 1 & -2\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to 2R_1 + R_2\\ R_4 \to -3R_1 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3\\ 0 & 7 & 3 & 15\\ 0 & 0 & 2 & -4\\ 0 & -7 & -5 & -11\end{array}\right)\]
\[\overset{R_4 \to R_2 + R_4}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3\\ 0 & 7 & 3 & 15\\ 0 & 0 & 2 & -4\\ 0 & 0 & -2 & 4\end{array}\right) \overset{R_4 \to R_3 + R_4}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 2 & 3\\ 0 & 7 & 3 & 15\\ 0 & 0 & 2 & -4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Sistem tutarlıdır ve \(r = n = 3\) olduğundan tek çözüm vardır. Aşağıdan yukarı çözelim:
\[2z = -4 \implies z = -2\]
\[7y + 3(-2) = 15 \implies 7y = 21 \implies y = 3\]
\[x = 3 - 2y - 2z = 3 - 6 + 4 = 1\]
Demek ki
\[v = u_1 + 3u_2 - 2u_3\]
Sağlama:
\[(1,-2,0,3) + (6,9,0,-3) + (-4,2,-4,-2) = (3,9,-4,-2)\]
\(\blacksquare\)
Örnek 14.3 (R³’ü Doğuran Üç Vektör) \(\mathbb{R}^{3}\) uzayının \(u = (1,2,3)\), \(v = (0,1,2)\), \(w = (0,0,1)\) vektörleri tarafından doğrulduğunu gösteriniz.
Çözüm
Keyfi bir \((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\) vektörünün bu üçünün lineer kombinezonu olduğunu göstereceğiz:
\[(a,b,c) = xu + yv + zw = \big(x,\ 2x + y,\ 3x + 2y + z\big)\]
Bileşenler eşitlenirse
\[x = a, \qquad 2x + y = b, \qquad 3x + 2y + z = c\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a\\ 2 & 1 & 0 & b\\ 3 & 2 & 1 & c\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & -2a + b\\ 0 & 2 & 1 & -3a + c\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & a\\ 0 & 1 & 0 & -2a + b\\ 0 & 0 & 1 & a - 2b + c\end{array}\right)\]
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğundan (\(r = n = 3\)) sistemin tek çözümü vardır:
\[x = a, \qquad y = -2a + b, \qquad z = a - 2b + c\]
Bu değerler her \((a,b,c)\) için var olduğuna göre \(\mathbb{R}^{3} = L(u, v, w)\)’dir.
Sağlama olarak \((a,b,c) = (1,0,0)\) alalım: \(x = 1\), \(y = -2\), \(z = 1\) ve
\[1 \cdot (1,2,3) - 2 \cdot (0,1,2) + 1 \cdot (0,0,1) = (1,\ 2-2,\ 3-4+1) = (1,0,0)\]
\(\blacksquare\)
14.4 Alıştırma
Alıştırma 14.1 (Lineer Kombinezonlar)
\(v = (1, -2, 5)\) vektörü \(L\big((1,1,1),\ (1,2,3),\ (2,-1,1)\big)\) alt uzayının bir elemanı mıdır?
\((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\) vektörünün \(u = (2,1,0)\), \(v = (1,-1,2)\), \(w = (0,3,-4)\) tarafından doğrulan alt uzaya ait olması için \(a\), \(b\), \(c\) arasındaki bağıntıyı bulunuz.
\(W = \big\{ (a,b,0) : a,b \in \mathbb{R} \big\}\) alt uzayının \(u = (2,-1,0)\) ve \(v = (1,3,0)\) tarafından doğrulduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(v = x(1,1,1) + y(1,2,3) + z(2,-1,1)\) olacak \(x,y,z\) arıyoruz. Bileşenler:
\[x + y + 2z = 1, \qquad x + 2y - z = -2, \qquad x + 3y + z = 5\]
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 1 & 2 & -1 & -2\\ 1 & 3 & 1 & 5\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -3 & -3\\ 0 & 2 & -1 & 4\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & -3 & -3\\ 0 & 0 & 5 & 10\end{array}\right)\]
Sistem tutarlıdır; aşağıdan yukarı çözelim:
\[5z = 10 \implies z = 2, \qquad y = -3 + 3z = 3\] \[x = 1 - y - 2z = 1 - 3 - 4 = -6\]
Demek ki \(v\) bu alt uzayın bir elemanıdır:
\[(1,-2,5) = -6(1,1,1) + 3(1,2,3) + 2(2,-1,1)\]
Sağlama: \((-6+3+4,\ -6+6-2,\ -6+9+2) = (1,-2,5)\).
b) \((a,b,c) = xu + yv + zw\) koşulunu yazalım:
\[x(2,1,0) + y(1,-1,2) + z(0,3,-4) = \big(2x + y,\ x - y + 3z,\ 2y - 4z\big)\]
Sistem:
\[2x + y = a, \qquad x - y + 3z = b, \qquad 2y - 4z = c\]
Bu kez soru “çözüm var mı?” olduğundan sistemin tutarlılık koşulunu arıyoruz. Genişletilmiş matriste köşeye \(1\) getirelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & a\\ 1 & -1 & 3 & b\\ 0 & 2 & -4 & c\end{array}\right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & b\\ 2 & 1 & 0 & a\\ 0 & 2 & -4 & c\end{array}\right)\]
\[\overset{R_2 \to -2R_1 + R_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & b\\ 0 & 3 & -6 & a - 2b\\ 0 & 2 & -4 & c\end{array}\right)\]
Üçüncü satırı \(3\), ikinciyi \(2\) ile çarpıp çıkaralım — eşdeğer olarak \(R_3 \to -\frac{2}{3}R_2 + R_3\):
\[\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 3 & b\\ 0 & 3 & -6 & a-2b\\ 0 & 0 & 0 & c - \frac{2(a-2b)}{3}\end{array}\right)\]
Sistemin çözümü olması için son satırın sabit teriminin sıfır olması gerekir:
\[c - \frac{2a - 4b}{3} = 0 \implies 3c = 2a - 4b \implies 2a - 4b - 3c = 0\]
Aranan bağıntı budur: \((a,b,c)\) vektörü ancak ve ancak \(2a - 4b - 3c = 0\) olduğunda \(L(u,v,w)\)’dedir. (Bu, üç vektörün \(\mathbb{R}^{3}\)’ü doğurmadığını, yalnızca bir düzlem gerdiğini de gösterir.)
c) İki kapsamayı ayrı ayrı görelim.
\(L(u,v) \subseteq W\): \(u\) ve \(v\)’nin üçüncü bileşeni sıfır olduğundan, her \(x u + y v\) kombinezonunun üçüncü bileşeni de sıfırdır; yani \(L(u,v) \subseteq W\)’dir.
\(W \subseteq L(u,v)\): Keyfi bir \((a,b,0) \in W\) için \(x u + y v = (a,b,0)\) arayalım:
\[x(2,-1,0) + y(1,3,0) = \big(2x + y,\ -x + 3y,\ 0\big)\]
Üçüncü bileşen kendiliğinden uyuyor; kalan sistem
\[2x + y = a, \qquad -x + 3y = b\]
Birinci denklemden \(y = a - 2x\); ikincide yerine koyalım:
\[-x + 3(a - 2x) = b \implies -7x = b - 3a \implies x = \frac{3a - b}{7}\]
\[y = a - 2x = \frac{a + 2b}{7}\]
Her \((a,b,0)\) için bu değerler var olduğundan \(W \subseteq L(u,v)\)’dir. İki kapsama birlikte \(W = L(u,v)\) verir.
\(\blacksquare\)
Bir matrisin satırlarına \(K^{n}\)’in vektörleri gözüyle bakarsak, doğuran küme kavramı doğrudan matris hesabına bağlanır. Sıradaki bölümde bu köprüyü kuruyoruz: satır uzayı ve sütun uzayı.