40 Özdeğerler ve Özvektörler
Bir operatörün matrisini köşegen yapan taban aramak, benzerlik bölümünde ortaya çıkan sorumuzdu. \([T]_f\) matrisinin köşegen olması, \(f\) tabanının her \(f_j\) vektörü için
\[T(f_j) = k_j\,f_j\]
demektir: \(T\), \(f_j\)’nin yönünü değiştirmiyor, yalnızca bir katsayıyla ölçekliyor. Böyle vektörleri ve karşılarındaki katsayıları incelemeye başlıyoruz.
40.1 Tanım
Tanım 40.1 (Özdeğer ve Özvektör) \(V\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayı ve \(T \in A(V)\) olsun. Bir \(\lambda \in K\) skaleri için
\[T(v) = \lambda\,v\]
olacak biçimde sıfırdan farklı bir \(v \in V\) vektörü varsa, \(\lambda\)’ya \(T\)’nin bir özdeğeri, \(v\)’ye de \(\lambda\) özdeğerine ait bir özvektörü denir.
\(T(0) = 0 = \lambda\cdot 0\) eşitliği her \(\lambda\) için doğrudur; sıfır vektörü özvektör saysaydık her skaler özdeğer olurdu ve kavram anlamsızlaşırdı. Buna karşılık \(\lambda = 0\) özdeğer olabilir: \(T(v) = 0\) olacak biçimde sıfırdan farklı bir \(v\) varsa, yani \(T\) singülerse, \(0\) bir özdeğerdir.
Bir özvektörün sıfırdan farklı her katı yine aynı özdeğere ait bir özvektördür: \(T(kv) = kT(v) = k\lambda v = \lambda(kv)\). Dahası, aynı özdeğere ait özvektörler sıfır vektörüyle birlikte bir alt uzay oluşturur.
Önerme 40.1 (Öz Uzay) \(\lambda \in K\) ve
\[V_\lambda := \{v \in V : T(v) = \lambda v\}\]
olsun. \(V_\lambda\), \(V\)’nin bir alt uzayıdır ve
\[V_\lambda = \operatorname{Ker}\big(\lambda I - T\big)\]
\(\lambda\) bir özdeğer ise \(V_\lambda\)’ya \(\lambda\)’nın öz uzayı denir.
İspat
\(v \in V\) için
\[T(v) = \lambda v \iff \lambda v - T(v) = 0 \iff \big(\lambda I - T\big)(v) = 0\]
olduğundan \(V_\lambda\), \(\lambda I - T\) lineer operatörünün çekirdeğidir. Çekirdek bir alt uzay olduğundan \(V_\lambda\) bir alt uzaydır.
\(\blacksquare\)
Teorem 40.1 (Özdeğerin Singülerlik Ölçütü) \(\lambda \in K\) skalerinin \(T\)’nin bir özdeğeri olması için gerek ve yeter koşul, \(\lambda I - T\) operatörünün singüler olmasıdır.
İspat
\(\lambda\) bir özdeğerdir \(\iff\) \(T(v) = \lambda v\) olacak biçimde \(v \ne 0\) vardır \(\iff\) \((\lambda I - T)(v) = 0\) olacak biçimde \(v \ne 0\) vardır \(\iff\) \(\operatorname{Ker}(\lambda I - T) \ne \{0\}\) \(\iff\) \(\lambda I - T\) singülerdir.
\(\blacksquare\)
Örnek 40.1 (İki Basit Örnek)
Birim operatör \(I_V\)’nin özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.
\(T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\), \(T(x,y) = (y,x)\) operatörünün (yani \(y = x\) doğrusuna göre yansımanın) özdeğerlerini ve özvektörlerini bulunuz.
Çözüm
a) Her \(v\) için \(I_V(v) = v = 1\cdot v\) olduğundan sıfırdan farklı her vektör bir özvektördür ve tek özdeğer \(\lambda = 1\)’dir. Öz uzay bütün \(V\)’dir.
b) \(T(x,y) = \lambda(x,y)\) eşitliğini yazalım:
\[y = \lambda x, \qquad x = \lambda y\]
Birinciyi ikincide yerine koyalım: \(x = \lambda^{2}x\). \(x = 0\) olursa birinci denklemden \(y = 0\) çıkar; bu sıfır vektörüdür, kabul edilmez. Öyleyse \(x \ne 0\) ve \(\lambda^{2} = 1\), yani \(\lambda = 1\) ya da \(\lambda = -1\)’dir.
\(\lambda = 1\) için \(y = x\); öz uzay \(y = x\) doğrusudur ve \((1,1)\) bir özvektördür.
\(\lambda = -1\) için \(y = -x\); öz uzay \(y = -x\) doğrusudur ve \((1,-1)\) bir özvektördür.
Geometrik olarak beklenen sonuç: yansıma, ayna doğrusu üzerindeki vektörleri değiştirmez, doğruya dik olanları ters çevirir. \(\{(1,1),\ (1,-1)\}\) tabanında \(T\)’nin matrisi \(\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1\end{pmatrix}\) köşegen matrisidir.
\(\blacksquare\)
40.2 Matrisler İçin
\(A\), \(n\). mertebeden bir kare \(K\)-matris olsun. \(A\)’yı, \(K^{n}\) üzerinde \(v \mapsto A\cdot v\) operatörü olarak okuyabiliriz; bu operatörün özdeğer ve özvektörlerine \(A\)’nın özdeğer ve özvektörleri denir. Açık yazılışı:
\[A\cdot v = \lambda\,v, \qquad v \ne 0\]
Bu denklemi \(\big(\lambda I_n - A\big)v = 0\) biçiminde yazarsak, aradığımız şey bir homojen sistemin sıfırdan farklı çözümü olur. Homojen sistem ölçütü tam olarak bu durumu bir determinanta bağlar:
\[\lambda,\ A\text{'nın bir özdeğeridir} \iff \big|\lambda I_n - A\big| = 0\]
Örnek 40.2 (İkinci Mertebeden Bir Matrisin Özdeğerleri) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2\end{pmatrix}\) matrisinin özdeğerlerini ve her özdeğere ait öz uzayı bulunuz.
Çözüm
Özdeğerler. \(\big(tI_2 - A\big)v = 0\) homojen sisteminin sıfırdan farklı çözümü olması için determinantı sıfır olmalıdır:
\[\big|tI_2 - A\big| = \begin{vmatrix} t - 1 & -2 \\ -3 & t - 2\end{vmatrix} = (t-1)(t-2) - 6 = t^{2} - 3t - 4\]
\[t^{2} - 3t - 4 = (t - 4)(t + 1) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad t = 4 \ \text{ veya } \ t = -1\]
\(\lambda = 4\) için öz uzay. \(t = 4\) yazalım:
\[\begin{pmatrix} 3 & -2 \\ -3 & 2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad 3x - 2y = 0\]
İki denklem birbirinin katıdır; serbest değişkene keyfî değer verelim. \(x = 2\) için \(y = 3\):
\[v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3\end{pmatrix}, \qquad V_4 = \{k\,v : k \in \mathbb{R}\}\]
Kontrol. \(A\,v = \begin{pmatrix} 2 + 6 \\ 6 + 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 \\ 12\end{pmatrix} = 4v\) ✔
\(\lambda = -1\) için öz uzay. \(t = -1\) yazalım:
\[\begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -3 & -3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad x + y = 0\]
\(x = 1\) için \(y = -1\):
\[w = \begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}, \qquad V_{-1} = \{k\,w : k \in \mathbb{R}\}\]
Kontrol. \(A\,w = \begin{pmatrix} 1 - 2 \\ 3 - 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1\end{pmatrix} = -w\) ✔
\(\blacksquare\)
Bir matrisin özdeğer ve özvektörlerini bulmak daima üç adımdır:
- \(\big|tI_n - A\big| = 0\) denklemini kurup köklerini bulun — bunlar özdeğerlerdir.
- Her özdeğer \(\lambda\) için \(t\) yerine \(\lambda\) koyup \(\big(\lambda I_n - A\big)x = 0\) homojen sistemini çözün.
- Çözüm uzayının bir tabanını yazın; bu, \(\lambda\)’nın öz uzayının tabanıdır.
İkinci adımda sistemin her zaman sıfırdan farklı çözümü vardır; çıkmıyorsa birinci adımda ya da çözümde bir hesap hatası var demektir.
40.3 Farklı Özdeğerler, Bağımsız Özvektörler
Köşegenleştirmeye giden yolun kilit taşı aşağıdaki teoremdir.
Teorem 40.2 (Farklı Özdeğerlere Ait Özvektörler Lineer Bağımsızdır) \(v_1, v_2, \dots, v_m\), \(T\) operatörünün sırasıyla \(\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_m\) özdeğerlerine ait özvektörleri olsun. Özdeğerler ikişer ikişer farklı ise (\(i \ne j\) için \(\lambda_i \ne \lambda_j\)) \(v_1, \dots, v_m\) lineer bağımsızdır.
İspat
\(m\) üzerinden tümevarım yapalım.
Başlangıç. \(m = 1\) için: \(v_1 \ne 0\) olduğundan tek elemanlı \(\{v_1\}\) kümesi lineer bağımsızdır.
Adım. İddia \(m - 1\) için doğru olsun ve
\[a_1v_1 + a_2v_2 + \cdots + a_mv_m = 0 \qquad (\ast)\]
olsun. \(T\)’yi uygulayalım; \(T\) lineer ve \(T(v_i) = \lambda_iv_i\) olduğundan
\[a_1\lambda_1v_1 + a_2\lambda_2v_2 + \cdots + a_m\lambda_mv_m = 0 \qquad (\ast\ast)\]
Şimdi \((\ast)\)’ı \(\lambda_m\) ile çarpıp \((\ast\ast)\)’dan çıkaralım. Son terimler birbirini götürür:
\[a_1(\lambda_1 - \lambda_m)v_1 + a_2(\lambda_2 - \lambda_m)v_2 + \cdots + a_{m-1}(\lambda_{m-1} - \lambda_m)v_{m-1} = 0\]
Tümevarım varsayımı gereği \(v_1, \dots, v_{m-1}\) lineer bağımsızdır; öyleyse bütün katsayılar sıfırdır:
\[a_i(\lambda_i - \lambda_m) = 0 \qquad (i = 1, \dots, m-1)\]
Özdeğerler farklı olduğundan \(\lambda_i - \lambda_m \ne 0\)’dır ve \(K\) bir cisim olduğundan \(a_i = 0\) çıkar. Bunları \((\ast)\)’da yerine koyarsak \(a_mv_m = 0\) kalır; \(v_m \ne 0\) olduğundan \(a_m = 0\)’dır. Bütün katsayılar sıfır olduğuna göre \(v_1, \dots, v_m\) lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Sonuç 40.1 (n Farklı Özdeğer) \(\dim V = n\) ve \(T \in A(V)\) operatörünün \(n\) tane farklı özdeğeri varsa, bu özdeğerlere ait özvektörler \(V\)’nin bir tabanını oluşturur.
İspat
\(n\) tane farklı özdeğere ait \(n\) özvektör, yukarıdaki teorem gereği lineer bağımsızdır. \(n\) boyutlu bir uzayda \(n\) tane lineer bağımsız vektör bir taban oluşturur.
\(\blacksquare\)
Teorem, farklı özdeğerlere ait özvektörlerin bağımsız olduğunu söyler; bunun tersi, yani “lineer bağımsız özvektörlerin özdeğerleri farklıdır” ifadesi yanlıştır. Aynı özdeğere ait öz uzay birden çok boyutlu olabilir; o zaman aynı özdeğerin lineer bağımsız birden çok özvektörü bulunur. Birim operatör bunun en uç örneğidir: tek özdeğeri \(1\)’dir, ama sıfırdan farklı her vektör özvektörüdür.
40.4 Alıştırma
Alıştırma 40.1 (Özdeğer ve Özvektör Hesapları)
- \(A = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3\end{pmatrix}\) matrisinin özdeğerlerini ve öz uzaylarını bulunuz.
- \(\lambda\), \(T\)’nin bir özdeğeri ve \(v\) buna ait bir özvektör ise, her \(m \in \mathbb{Z}^{+}\) için \(\lambda^{m}\)’nin \(T^{m}\)’nin bir özdeğeri ve \(v\)’nin buna ait bir özvektörü olduğunu gösteriniz.
- \(0 \in K\) skalerinin \(T\)’nin bir özdeğeri olması için gerek ve yeter koşulun \(T\)’nin singüler olması olduğunu gösteriniz.
- \(T\) tersinir ve \(\lambda\) bir özdeğeri ise \(\lambda \ne 0\) olduğunu ve \(\lambda^{-1}\)’in \(T^{-1}\)’in bir özdeğeri olduğunu gösteriniz.
- \(\lambda\), \(A\)’nın bir özdeğeri ise her \(f\) polinomu için \(f(\lambda)\)’nın \(f(A)\)’nın bir özdeğeri olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. \[\big|tI_2 - A\big| = \begin{vmatrix} t - 2 & -2 \\ -1 & t - 3\end{vmatrix} = (t-2)(t-3) - 2 = t^{2} - 5t + 4 = (t-1)(t-4)\]
Özdeğerler \(1\) ve \(4\)’tür.
\(t = 1\): \(\begin{pmatrix} -1 & -2 \\ -1 & -2\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x + 2y = 0\). \(y = 1\) için \(x = -2\):
\[V_1 = \big\{k(-2,\ 1) : k \in \mathbb{R}\big\}\]
\(t = 4\): \(\begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = 0 \Rightarrow x - y = 0\). \(x = 1\) için \(y = 1\):
\[V_4 = \big\{k(1,\ 1) : k \in \mathbb{R}\big\}\]
2. \(T(v) = \lambda v\) olsun. \(T\)’yi bir kez daha uygulayalım:
\[T^{2}(v) = T\big(T(v)\big) = T(\lambda v) = \lambda\,T(v) = \lambda^{2}v\]
Aynı adımı tekrarlayarak (tümevarımla) her \(m\) için \(T^{m}(v) = \lambda^{m}v\) elde edilir. \(v \ne 0\) olduğundan \(\lambda^{m}\), \(T^{m}\)’nin bir özdeğeridir.
3. Tanımı \(\lambda = 0\) için yazalım:
\[0,\ T\text{'nin özdeğeridir} \iff T(v) = 0\cdot v = 0 \text{ olacak biçimde } v \ne 0 \text{ vardır}\]
Sağ taraf, \(\operatorname{Ker} T \ne \{0\}\) demektir; bu da tanım gereği \(T\)’nin singüler olmasıdır.
4. \(\lambda = 0\) olsaydı 3. şık gereği \(T\) singüler, yani tersinmez olurdu. Öyleyse \(\lambda \ne 0\)’dır ve \(\lambda^{-1}\) vardır.
\(T(v) = \lambda v\) eşitliğine soldan \(T^{-1}\) uygulayalım:
\[v = T^{-1}(\lambda v) = \lambda\,T^{-1}(v) \qquad \Longrightarrow \qquad T^{-1}(v) = \lambda^{-1}v\]
\(v \ne 0\) olduğundan \(\lambda^{-1}\), \(T^{-1}\)’in bir özdeğeridir.
5. \(f(t) = \sum_i a_it^{i}\) olsun. 2. şıktaki hesabın matris hâli her \(i\) için \(A^{i}v = \lambda^{i}v\) verir (\(A^{0}v = I v = v = \lambda^{0}v\)). Toplayalım:
\[f(A)\,v = \sum_i a_iA^{i}v = \sum_i a_i\lambda^{i}v = \Big(\sum_i a_i\lambda^{i}\Big)v = f(\lambda)\,v\]
\(v \ne 0\) olduğundan \(f(\lambda)\), \(f(A)\)’nın bir özdeğeridir.
\(\blacksquare\)