39 Matris ve Operatör Polinomları
Bir kare matrisin kuvvetleri tanımlıydı ve skalerle çarpılıp toplanabiliyordu; bu iki işlem bir arada, bir polinomu bir matriste “hesaplama” imkânı verir. Sonraki bölümlerin bütün araçları — karakteristik polinom, Cayley-Hamilton teoremi, köşegenleştirme ölçütü — bu basit fikrin üzerine kurulur.
39.1 Bir Matriste Polinom
Tanım 39.1 (Matris Polinomu) \(K\) üzerinde
\[f(t) = a_nt^{n} + a_{n-1}t^{n-1} + \cdots + a_1t + a_0\]
bir polinom ve \(A\), \(m\). mertebeden bir kare \(K\)-matris olsun. \(f\)’nin \(A\)’daki değeri
\[f(A) := a_nA^{n} + a_{n-1}A^{n-1} + \cdots + a_1A + a_0I_m\]
kare matrisidir. Burada \(A^{0} = I_m\) olarak alınır; yani sabit terim birim matrisle çarpılır.
\(f(A)\) bir matristir; toplamın her terimi de matris olmalıdır. Bu yüzden sabit terim \(a_0\) değil \(a_0I_m\)’dir. \(f(A) = 0\) yazıldığında da sağ taraf sıfır matrisidir.
Örnek 39.1 (İki Polinomun Değeri) \(f(t) = 2t^{2} - 3t + 7\) ve \(g(t) = t^{2} - 5t - 2\) polinomları ile \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) matrisi veriliyor. \(f(A)\) ve \(g(A)\)’yı hesaplayınız.
Çözüm
Önce \(A^{2}\)’yi bulalım:
\[A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 6 & 2 + 8 \\ 3 + 12 & 6 + 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22\end{pmatrix}\]
\(f(A)\):
\[f(A) = 2A^{2} - 3A + 7I_2 = \begin{pmatrix} 14 & 20 \\ 30 & 44\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7\end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} 14 - 3 + 7 & 20 - 6 + 0 \\ 30 - 9 + 0 & 44 - 12 + 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 14 \\ 21 & 39\end{pmatrix}\]
\(g(A)\):
\[g(A) = A^{2} - 5A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
\(\blacksquare\)
Tanım 39.2 (Bir Polinomun Kökü Olan Matris) \(f(A) = 0\) ise \(A\) matrisine \(f(t)\) polinomunun bir kökü (sıfırı) denir.
Yukarıdaki örnekte \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) matrisi \(g(t) = t^{2} - 5t - 2\) polinomunun bir köküdür. Bu bir rastlantı değildir: ilerideki bölümlerde her kare matrisin, kendi karakteristik polinomunun bir kökü olduğunu göreceğiz — \(g\) tam olarak bu matrisin karakteristik polinomudur.
39.2 İşlemlerle Uyum
Teorem 39.1 (Değerlendirme İşlemleri Korur) \(f(t)\) ve \(g(t)\), \(K\) üzerinde polinomlar; \(A\) bir kare \(K\)-matris ve \(k \in K\) olsun. O zaman
\[(f + g)(A) = f(A) + g(A), \qquad (f\cdot g)(A) = f(A)\cdot g(A), \qquad (kf)(A) = k\,f(A)\]
İspat
\(f(t) = \sum_i a_it^{i}\) ve \(g(t) = \sum_j b_jt^{j}\) olsun.
Toplam. \((f+g)(t) = \sum_i (a_i + b_i)t^{i}\) olduğundan
\[(f+g)(A) = \sum_i (a_i + b_i)A^{i} = \sum_i a_iA^{i} + \sum_i b_iA^{i} = f(A) + g(A)\]
Çarpım. \((f\cdot g)(t) = \sum_{i}\sum_{j} a_ib_j\,t^{i+j}\)’dir. Değerlendirirsek
\[(f\cdot g)(A) = \sum_i\sum_j a_ib_j\,A^{i+j}\]
Öte yandan matris çarpımı toplama üzerine dağıldığından
\[f(A)\cdot g(A) = \Big(\sum_i a_iA^{i}\Big)\Big(\sum_j b_jA^{j}\Big) = \sum_i\sum_j a_ib_j\,A^{i}A^{j} = \sum_i\sum_j a_ib_j\,A^{i+j}\]
İki taraf aynıdır. Burada \(A^{i}A^{j} = A^{i+j}\) eşitliği kullanıldı.
Skalerle çarpım. \((kf)(t) = \sum_i (ka_i)t^{i}\) olduğundan \((kf)(A) = \sum_i ka_iA^{i} = k f(A)\)’dır.
\(\blacksquare\)
Sonuç 39.1 (Aynı Matrisin Polinomları Değişmelidir) Her \(f\), \(g\) polinomu ve her kare \(A\) matrisi için
\[f(A)\cdot g(A) = g(A)\cdot f(A)\]
İspat
Polinom çarpımı değişmelidir: \(f\cdot g = g\cdot f\). Bir önceki teoremi iki yönde de uygulayalım:
\[f(A)g(A) = (f\cdot g)(A) = (g\cdot f)(A) = g(A)f(A)\]
\(\blacksquare\)
Matris çarpımı genel olarak değişmeli değildir; ama aynı matristen üretilen polinomlar birbiriyle değişir. Sebep basittir: \(A^{i}A^{j} = A^{j}A^{i}\)’dir. Bu, ileride çarpanlara ayırma yaparken serbestçe kullanacağımız bir kolaylıktır.
39.3 Operatör Polinomları
Aynı tanım lineer operatörler için operatörler cebri bölümünde verilmişti: \(f(t) = a_nt^{n} + \cdots + a_0\) ve \(T \in A(V)\) olmak üzere
\[f(T) = a_nT^{n} + a_{n-1}T^{n-1} + \cdots + a_1T + a_0I\]
operatörü tanımlanıyor ve \(f(T) = 0\) olduğunda \(T\)’ye \(f\)’nin bir kökü deniyordu. Tek fark, birim matrisin yerini birim operatörün almasıdır.
Matrisler için yukarıda ispatlanan üç eşitlik, operatörler için de aynen geçerlidir; ispatları sözcüğü sözcüğüne aynıdır, çünkü operatörler cebri de toplama, skalerle çarpma ve bileşke işlemleriyle matris cebriyle aynı kuralları sağlar. Aşağıdaki teorem bu benzerliğin tesadüf olmadığını gösterir.
Teorem 39.2 (Polinom Matris Gösterimiyle Değişir) \(V\) sonlu boyutlu, \(e\) bir tabanı ve \(T \in A(V)\) olsun. \(A = [T]_e\) olmak üzere her \(f\) polinomu için
\[\big[f(T)\big]_e = f(A)\]
Özel olarak
\[f(T) = 0 \iff f(A) = 0\]
İspat
Operatör cebri ile matris cebri bölümünde \(T \mapsto [T]_e\) eşlemesinin bir cebir izomorfizmi olduğunu görmüştük: toplamı toplama, skalerle çarpımı skalerle çarpıma, bileşkeyi matris çarpımına götürür ve birim operatörü birim matrise gönderir. Bileşkeyi koruduğundan kuvvetleri de korur:
\[\big[T^{i}\big]_e = \big([T]_e\big)^{i} = A^{i}\]
\(f(t) = \sum_i a_it^{i}\) olsun. Toplama ve skalerle çarpma korunduğundan
\[\big[f(T)\big]_e = \Big[\sum_i a_iT^{i}\Big]_e = \sum_i a_i\big[T^{i}\big]_e = \sum_i a_iA^{i} = f(A)\]
Son ifade için: eşleme bire bir olduğundan \(f(T)\) sıfır operatörü olması ile \([f(T)]_e\) sıfır matris olması aynı şeydir.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, operatörlerle ilgili polinom sorularını matris hesabına çevirir. “\(T\) şu polinomun kökü müdür?” sorusunu cevaplamak için bir taban seçip matrisi yazmak ve sayısal bir hesap yapmak yeter; üstelik hangi tabanın seçildiği sonucu değiştirmez, çünkü farklı tabanlardaki matrisler benzerdir ve benzerlik polinom almayla uyumludur: \(\big[f(T)\big]_f = P^{-1}f\big([T]_e\big)P\).
Örnek 39.2 (İki Hesap)
\(f(t) = t^{2} - 3t + 7\) ve \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5\end{pmatrix}\) için \(f(A)\)’yı bulunuz.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\) matrisinin \(f(t) = t^{2} - 4t - 5\) polinomunun bir kökü olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \[A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 4 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 - 8 & -2 - 10 \\ 4 + 20 & -8 + 25\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17\end{pmatrix}\]
\[f(A) = A^{2} - 3A + 7I_2 = \begin{pmatrix} -7 & -12 \\ 24 & 17\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 12 & 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7\end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} -7 - 3 + 7 & -12 + 6 \\ 24 - 12 & 17 - 15 + 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -6 \\ 12 & 9\end{pmatrix}\]
b) \[A^{2} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 8 & 4 + 12 \\ 2 + 6 & 8 + 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17\end{pmatrix}\]
\[f(A) = A^{2} - 4A - 5I_2 = \begin{pmatrix} 9 & 16 \\ 8 & 17\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 16 \\ 8 & 12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
Demek ki \(A\), \(f(t)\)’nin bir köküdür.
\(\blacksquare\)
39.4 Alıştırma
Alıştırma 39.1 (Polinom Hesapları)
- \(A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\) ve \(f(t) = t^{2} - 5t + 6\) için \(f(A)\)’yı hesaplayınız.
- \(A\) köşegen bir matris ve köşegen elemanları \(d_1, \dots, d_n\) ise \(f(A)\)’nın da köşegen olduğunu ve köşegen elemanlarının \(f(d_1), \dots, f(d_n)\) olduğunu gösteriniz.
- \(A\), \(f(t)\)’nin bir kökü ve \(P\) regüler ise \(P^{-1}AP\) matrisinin de \(f(t)\)’nin bir kökü olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. \[A^{2} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 - 3 \\ 0 & 9\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 0 & 9\end{pmatrix}\]
\[f(A) = A^{2} - 5A + 6I_2 = \begin{pmatrix} 4 & -5 \\ 0 & 9\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 10 & -5 \\ 0 & 15\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\]
\(A\) üçgensel olduğundan köşegeni \(2\) ve \(3\)’tür; \(f(t) = (t-2)(t-3)\) polinomu bu iki sayıda sıfırlanıyor. Bir sonraki alıştırma bunun neden beklendiğini açıklıyor.
2. Köşegen matrislerin çarpımı köşegendir ve köşegen elemanları çarpılır; tümevarımla
\[A^{i} = \operatorname{diag}\big(d_1^{i},\ d_2^{i},\ \dots,\ d_n^{i}\big)\]
Skalerle çarpma ve toplama da köşegen üzerinde ayrı ayrı yapıldığından
\[f(A) = \sum_i a_iA^{i} = \operatorname{diag}\Big(\sum_i a_id_1^{i},\ \dots,\ \sum_i a_id_n^{i}\Big) = \operatorname{diag}\big(f(d_1), \dots, f(d_n)\big)\]
3. Benzerlik ve kuvvetler teoremi gereği her \(i\) için \(\big(P^{-1}AP\big)^{i} = P^{-1}A^{i}P\)’dir. Öyleyse
\[f\big(P^{-1}AP\big) = \sum_i a_iP^{-1}A^{i}P = P^{-1}\Big(\sum_i a_iA^{i}\Big)P = P^{-1}f(A)P = P^{-1}\cdot 0\cdot P = 0\]
(Sabit terimde \(a_0I_n = P^{-1}a_0I_nP\) olduğu kullanıldı.)
\(\blacksquare\)