26 Dönüşümlerin Uzayı
Şimdiye kadar lineer dönüşümleri tek tek inceledik. Bu bölümde onları bir arada, tek bir kümenin elemanları olarak ele alıyoruz: iki lineer dönüşüm toplanabilir, bir dönüşüm skalerle çarpılabilir ve bu işlemler altında bütün lineer dönüşümler kümesi kendisi de bir vektör uzayı olur.
26.1 İki İşlem
Teorem 26.1 (Toplam ve Skalerle Çarpım Lineerdir) \(V\) ve \(U\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde iki vektör uzayı; \(F : V \to U\) ve \(G : V \to U\) iki lineer dönüşüm ve \(k \in K\) olsun. Bu durumda
\[F + G : V \to U, \qquad v \longmapsto (F+G)(v) = F(v) + G(v)\]
\[kF : V \to U, \qquad v \longmapsto (kF)(v) = k\,F(v)\]
biçiminde tanımlanan dönüşümlerin ikisi de lineerdir.
İspat
\(F + G\) lineerdir. Her \(a, b \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[ \begin{aligned} (F+G)(av + bw) &= F(av + bw) + G(av + bw)\\[1mm] &= a F(v) + b F(w) + a G(v) + b G(w)\\[1mm] &= a\big(F(v) + G(v)\big) + b\big(F(w) + G(w)\big)\\[1mm] &= a\,(F+G)(v) + b\,(F+G)(w) \end{aligned} \]
İkinci satırda \(F\) ile \(G\)’nin lineerliği kullanıldı.
\(kF\) lineerdir. Her \(a, b \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[ \begin{aligned} (kF)(av + bw) &= k\,F(av + bw) = k\big(a F(v) + b F(w)\big)\\[1mm] &= a\,k F(v) + b\,k F(w) = a\,(kF)(v) + b\,(kF)(w) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
26.2 Hom(V, U)
Teorem 26.2 (Lineer Dönüşümlerin Vektör Uzayı) \(V\) ve \(U\), bir \(K\) komutatif cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun. Bu durumda \(V\)’den \(U\)’ya tanımlanmış tüm lineer dönüşümlerin oluşturduğu küme, yani
\[\big\{ F : V \to U \ :\ F \text{ lineer} \big\}\]
yukarıda tanımlanan toplama ve skalerle çarpma işlemlerine göre \(K\) cismi üzerinde bir vektör uzayıdır. Bu vektör uzayı \(\operatorname{Hom}(V, U)\) ile gösterilir.
“Hom” kısaltması homomorfi kelimesinden gelir; lineer dönüşümlerin bir başka adı vektör uzayı homomorfisiydi.
Uzayın sıfırı ve ters elemanı doğrudan okunur.
Örnek 26.1 (Hom(V,U)’nun Sıfırı ve Ters Elemanı) \(\operatorname{Hom}(V,U)\) vektör uzayının sıfırını ve herhangi bir \(F \in \operatorname{Hom}(V,U)\) elemanının toplama işlemine göre tersini bulunuz.
Çözüm
Sıfır. Sıfır lineer dönüşümü
\[0 : V \to U, \qquad v \longmapsto 0_U\]
uzayın sıfırıdır. Gerçekten her \(F \in \operatorname{Hom}(V,U)\) ve her \(v \in V\) için
\[(F + 0)(v) = F(v) + 0(v) = F(v) + 0_U = F(v)\] \[(0 + F)(v) = 0(v) + F(v) = 0_U + F(v) = F(v)\]
olduğundan \(F + 0 = 0 + F = F\)’dir.
Ters eleman. \(-F := (-1)F\), yani her \(v \in V\) için \((-F)(v) = -F(v)\) olarak tanımlansın. Bir lineer dönüşümün skaler katı lineer olduğundan \(-F \in \operatorname{Hom}(V,U)\)’dur ve her \(v \in V\) için
\[(-F + F)(v) = -F(v) + F(v) = 0_U = 0(v)\] \[(F + (-F))(v) = F(v) - F(v) = 0_U = 0(v)\]
olduğundan
\[-F + F = F + (-F) = 0\]
dır; yani \(-F\), \(F\)’nin toplama işlemine göre tersidir.
\(\blacksquare\)
\(F_1, \dots, F_n \in \operatorname{Hom}(V,U)\), \(a_1, \dots, a_n \in K\) ve \(v \in V\) için
\[\big(a_1 F_1 + \cdots + a_n F_n\big)(v) = a_1 F_1(v) + \cdots + a_n F_n(v)\]
olur. Yani dönüşümler arasındaki bir lineer kombinezonun bir noktadaki değeri, o noktadaki değerlerin aynı lineer kombinezonudur. Bağımsızlık hesaplarında hep bu kullanılır.
26.3 Boyut
Teorem 26.3 (Hom(V,U)’nun Boyutu) \(V\) ve \(U\) sonlu boyutlu, \(\dim V = m\) ve \(\dim U = n\) olsun. Bu durumda \(\operatorname{Hom}(V,U)\) de sonlu boyutludur ve
\[\dim \operatorname{Hom}(V, U) = m \cdot n\]
İspat
\(\{v_1, \dots, v_m\}\), \(V\)’nin bir tabanı ve \(\{u_1, \dots, u_n\}\), \(U\)’nun bir tabanı olsun. Dönüşümün tabanda belirlenmesi teoremi gereği, her \(i = 1, \dots, m\) ve \(j = 1, \dots, n\) için
\[F_{ij}(v_i) = u_j \qquad \text{ve} \qquad F_{ij}(v_k) = 0_U \ \ (k \neq i)\]
olacak biçimde bir tek \(F_{ij} : V \to U\) lineer dönüşümü vardır. Bu dönüşümlerin sayısı \(m \cdot n\)’dir. Şimdi
\[\big\{ F_{ij} \big\}_{i=1,\ j=1}^{m,\ \ n}\]
kümesinin \(\operatorname{Hom}(V,U)\)’nun bir tabanı olduğunu gösterelim.
(i) Kümemiz \(\operatorname{Hom}(V,U)\)’yu doğurur. \(F \in \operatorname{Hom}(V,U)\) olsun ve
\[F(v_k) =: w_k \qquad (k = 1, \dots, m)\]
diyelim. \(w_k \in U\) ve \(\{u_1, \dots, u_n\}\), \(U\)’nun tabanı olduğundan uygun \(a_{k1}, \dots, a_{kn} \in K\) için
\[w_k = a_{k1}u_1 + a_{k2}u_2 + \cdots + a_{kn}u_n \qquad (k = 1, \dots, m)\]
yazılır. Şimdi
\[G = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} F_{ij} \ \in\ \operatorname{Hom}(V,U)\]
dönüşümünü alalım. \(k \neq i\) için \(F_{ij}(v_k) = 0_U\) ve \(F_{kj}(v_k) = u_j\) olduğundan, toplamda yalnız \(i = k\) terimleri sağ kalır:
\[ \begin{aligned} G(v_k) &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} F_{ij}(v_k) = \sum_{j=1}^{n} a_{kj} F_{kj}(v_k)\\[1mm] &= \sum_{j=1}^{n} a_{kj} u_j = a_{k1}u_1 + a_{k2}u_2 + \cdots + a_{kn}u_n = w_k \end{aligned} \]
Demek ki \(F\) ile \(G\) lineer dönüşümleri \(V\)’nin bir tabanının her elemanında aynı değeri alıyor:
\[F(v_k) = w_k = G(v_k) \qquad (k = 1, \dots, m)\]
Tabanda belirlenme teoreminin teklik kısmı gereği \(F = G\)’dir. Böylece her \(F\), \(F_{ij}\)’lerin bir lineer kombinezonu olarak yazıldı.
(ii) Kümemiz lineer bağımsızdır. \(a_{ij} \in K\) olmak üzere
\[\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} F_{ij} = 0\]
olsun; burada sağ taraf sıfır lineer dönüşümüdür. Her \(k = 1, \dots, m\) için bu eşitliğin \(v_k\)’daki değerine bakalım:
\[0_U = 0(v_k) = \sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} F_{ij}(v_k) = \sum_{j=1}^{n} a_{kj} u_j\]
yani
\[a_{k1}u_1 + a_{k2}u_2 + \cdots + a_{kn}u_n = 0_U\]
\(\{u_1, \dots, u_n\}\), \(U\)’nun bir tabanı, dolayısıyla lineer bağımsız olduğundan
\[a_{k1} = a_{k2} = \cdots = a_{kn} = 0_K \qquad (k = 1, \dots, m)\]
Demek ki bütün \(a_{ij}\)’ler sıfırdır; küme lineer bağımsızdır.
- ve (ii)’den \(\{F_{ij}\}\) kümesi \(\operatorname{Hom}(V,U)\)’nun bir tabanıdır. Eleman sayısı \(m \cdot n\) olduğundan
\[\dim \operatorname{Hom}(V, U) = m \cdot n\]
\(\blacksquare\)
26.4 Çözümlü Örnekler
Örnek 26.2 (Dönüşümler Arasında İşlemler) \(F : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\) ve \(G : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\) dönüşümleri
\[F(x,y,z) = (2x,\ y+z), \qquad G(x,y,z) = (x-z,\ y)\]
biçiminde tanımlanıyor. \(F + G\), \(3F\) ve \(2F - 5G\) dönüşümlerini bulunuz.
Çözüm
Her \((x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}\) için değerleri doğrudan hesaplayalım.
\[(F+G)(x,y,z) = (2x,\ y+z) + (x-z,\ y) = (3x - z,\ 2y + z)\]
\[(3F)(x,y,z) = 3\,(2x,\ y+z) = (6x,\ 3y + 3z)\]
\[ \begin{aligned} (2F - 5G)(x,y,z) &= 2\,(2x,\ y+z) - 5\,(x-z,\ y)\\[1mm] &= (4x,\ 2y+2z) + (-5x + 5z,\ -5y)\\[1mm] &= (-x + 5z,\ -3y + 2z) \end{aligned} \]
\(\blacksquare\)
Örnek 26.3 (Üç Dönüşümün Lineer Bağımsızlığı) \(F, G, H \in \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2})\) dönüşümleri
\[F(x,y,z) = (x+y+z,\ x+y), \qquad G(x,y,z) = (2x+z,\ x+y)\]
\[H(x,y,z) = (2y,\ x)\]
biçiminde tanımlanıyor. Bu üç vektörün \(\mathbb{R}\) üzerinde lineer bağımsız olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(a, b, c \in \mathbb{R}\) olmak üzere
\[aF + bG + cH = 0\]
olsun; burada \(0\), \(\mathbb{R}^{3}\)’ten \(\mathbb{R}^{2}\)’ye sıfır lineer dönüşümüdür. Bu bir dönüşüm eşitliği olduğundan, her noktada sağlanmalıdır; uygun noktalar seçelim.
\((1,0,0)\) noktası.
\[ \begin{aligned} &(aF + bG + cH)(1,0,0)\\[1mm] &\quad= a F(1,0,0) + b G(1,0,0) + c H(1,0,0)\\[1mm] &\quad= a(1,1) + b(2,1) + c(0,1) = (a + 2b,\ a + b + c) \end{aligned} \]
Bu \((0,0)\)’a eşit olmalı:
\[a + 2b = 0 \qquad \text{ve} \qquad a + b + c = 0 \tag{1}\]
\((0,1,0)\) noktası.
\[ \begin{aligned} &(aF + bG + cH)(0,1,0)\\[1mm] &\quad= a F(0,1,0) + b G(0,1,0) + c H(0,1,0)\\[1mm] &\quad= a(1,1) + b(0,1) + c(2,0) = (a + 2c,\ a + b) \end{aligned} \]
Bu da \((0,0)\)’a eşit olmalı:
\[a + 2c = 0 \qquad \text{ve} \qquad a + b = 0 \tag{2}\]
\((1)\)’in birinci denklemi ile \((2)\)’nin ikinci denklemini birlikte alalım: \(a + 2b = 0\) ve \(a + b = 0\)’dan \(b = 0\), dolayısıyla \(a = 0\) bulunur. \((2)\)’nin birinci denkleminden \(c = 0\) çıkar.
Demek ki
\[aF + bG + cH = 0 \iff a = b = c = 0\]
olup \(F, G, H\) vektörleri \(\mathbb{R}\) üzerinde lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Bu örnekte \(\dim \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{3}, \mathbb{R}^{2}) = 3 \cdot 2 = 6\)’dır; bulduğumuz üç bağımsız dönüşüm, altı boyutlu bir uzayın üç boyutlu bir alt uzayını gerer.
26.5 Alıştırma
Alıştırma 26.1 (Dönüşüm Uzayı Üzerine)
- \(T, F : V \to W\) lineer dönüşümler olsun. \(T + F\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
- \(T : V \to W\) lineer ve \(a \in K\) olsun. \(aT\) dönüşümünün lineer olduğunu gösteriniz.
- \(\dim \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}^{3})\) ve \(\dim \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R})\) boyutlarını bulunuz.
Çözüm
1. Her \(a, b \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[ \begin{aligned} (T+F)(av + bw) &= T(av+bw) + F(av+bw)\\[1mm] &= a T(v) + b T(w) + a F(v) + b F(w)\\[1mm] &= a\big(T(v)+F(v)\big) + b\big(T(w)+F(w)\big)\\[1mm] &= a\,(T+F)(v) + b\,(T+F)(w) \end{aligned} \]
olduğundan \(T + F\) lineerdir.
2. Her \(b, c \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[ \begin{aligned} (aT)(bv + cw) &= a\,T(bv + cw) = a\big(b\,T(v) + c\,T(w)\big)\\[1mm] &= b\,a T(v) + c\,a T(w) = b\,(aT)(v) + c\,(aT)(w) \end{aligned} \]
olduğundan \(aT\) lineerdir.
3. Boyut formülünden
\[\dim \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{4}, \mathbb{R}^{3}) = 4 \cdot 3 = 12\]
\[\dim \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^{n}, \mathbb{R}) = n \cdot 1 = n\]
İkincisi, \(\mathbb{R}^{n}\) üzerindeki lineer fonksiyonellerin uzayının yine \(n\) boyutlu olduğunu söyler.
\(\blacksquare\)