27 Bileşke ve Operatörler Cebri
Lineer dönüşümler toplanıp skalerle çarpılabildiği gibi, uygun oldukları yerde birbirleriyle bileşke de yapılabilir. Bir vektör uzayını kendi içine götüren dönüşümler için bu bileşke her zaman tanımlıdır ve uzaya bir çarpma işlemi kazandırır. Ortaya çıkan yapıya cebir denir.
27.1 Bileşke
Teorem 27.1 (Bileşke Lineerdir) \(V\), \(U\) ve \(W\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde üç vektör uzayı; \(F : V \to U\) ve \(G : U \to W\) iki lineer dönüşüm olsun. Bu durumda bileşke fonksiyon
\[G \circ F : V \to W, \qquad v \longmapsto (G \circ F)(v) = G\big(F(v)\big)\]
bir lineer dönüşümdür.
İspat
Her \(a, b \in K\) ve \(v, w \in V\) için
\[ \begin{aligned} (G \circ F)(av + bw) &= G\big(F(av + bw)\big) = G\big(a F(v) + b F(w)\big)\\[1mm] &= a\,G\big(F(v)\big) + b\,G\big(F(w)\big)\\[1mm] &= a\,(G \circ F)(v) + b\,(G \circ F)(w) \end{aligned} \]
İlk satırda \(F\)’nin, ikinci satırda \(G\)’nin lineerliği kullanıldı.
\(\blacksquare\)
Teorem 27.2 (Bileşkenin İşlemlerle Uyumu) \(V\), \(U\), \(W\) üç vektör uzayı; \(F, F' : V \to U\) ve \(G, G' : U \to W\) lineer dönüşümler ve \(k \in K\) olsun. Bu durumda
- \(G \circ (F + F') = G \circ F + G \circ F'\)
- \((G + G') \circ F = G \circ F + G' \circ F\)
- \(k(G \circ F) = (kG) \circ F = G \circ (kF)\)
İspat
Bütün eşitlikler dönüşüm eşitliği olduğundan her \(v \in V\) için değerleri karşılaştırmak yeterlidir.
(i)
\[ \begin{aligned} \big(G \circ (F + F')\big)(v) &= G\big((F+F')(v)\big)\\[1mm] &= G\big(F(v) + F'(v)\big)\\[1mm] &= G\big(F(v)\big) + G\big(F'(v)\big)\\[1mm] &= (G \circ F)(v) + (G \circ F')(v)\\[1mm] &= \big(G \circ F + G \circ F'\big)(v) \end{aligned} \]
\(G\)’nin lineerliği, \(G\big(F(v) + F'(v)\big)\) değerini iki terime ayırırken kullanıldı.
(ii)
\[ \begin{aligned} \big((G + G') \circ F\big)(v) &= (G + G')\big(F(v)\big)\\[1mm] &= G\big(F(v)\big) + G'\big(F(v)\big)\\[1mm] &= (G \circ F)(v) + (G' \circ F)(v)\\[1mm] &= \big(G \circ F + G' \circ F\big)(v) \end{aligned} \]
(iii) Önce birinci eşitlik:
\[\begin{aligned} \big(k(G \circ F)\big)(v) &= k\,(G \circ F)(v) = k\,G\big(F(v)\big)\\[1mm] &= (kG)\big(F(v)\big) = \big((kG) \circ F\big)(v) \end{aligned}\]
Sonra ikincisi; burada \(G\)’nin lineerliği kullanılır:
\[\begin{aligned} \big(k(G \circ F)\big)(v) &= k\,G\big(F(v)\big) = G\big(k F(v)\big)\\[1mm] &= G\big((kF)(v)\big) = \big(G \circ (kF)\big)(v) \end{aligned}\]
\(\blacksquare\)
27.2 Lineer Operatörler
Tanım 27.1 (Lineer Operatör) \(V\), bir \(K\) komutatif cismi üzerinde bir vektör uzayı olsun. \(V\)’yi kendi içine götüren bir
\[T : V \to V\]
lineer dönüşümüne \(V\) üzerinde bir lineer operatör denir. \(V\)’den \(V\)’ye tanımlanmış tüm lineer dönüşümlerin oluşturduğu vektör uzayı, yani \(\operatorname{Hom}(V,V)\),
\[A(V) := \operatorname{Hom}(V, V)\]
ile gösterilir.
Dönüşümlerin uzayı bölümündeki iki teoremden hemen şunlar çıkar: \(A(V)\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayıdır ve \(V\) \(n\) boyutlu ise
\[\dim A(V) = n \cdot n = n^{2}\]
Ayrıca \(A(V)\)’nin iki elemanının bileşkesi yine \(A(V)\)’dedir. Bu, \(A(V)\) üzerinde bir çarpma işlemi verir:
\[ST := S \circ T \in A(V) \qquad (S, T \in A(V))\]
27.3 Cebir Yapısı
Tanım 27.2 (Cebir) \(\mathcal{A}\), bir \(K\) komutatif cismi üzerinde bir vektör uzayı ve \(\mathcal{A}\)’da bir “\(\cdot\)” (çarpma) işlemi tanımlanmış olsun. Eğer her \(F, G, H \in \mathcal{A}\) ve her \(k \in K\) için
- \(F(G + H) = FG + FH\)
- \((G + H)F = GF + HF\)
- \(k(GF) = (kG)F = G(kF)\)
sağlanıyorsa \(\mathcal{A}\)’ya \(K\) üzerinde bir cebir denir.
Tanım 27.3 (Asosyatif Cebir) \(K\) üzerinde bir \(\mathcal{A}\) cebri, ayrıca her \(F, G, H \in \mathcal{A}\) için
\[(FG)H = F(GH)\]
koşulunu da sağlıyorsa \(\mathcal{A}\)’ya bir asosyatif cebir denir.
Teorem 27.3 (A(V) Bir Asosyatif Cebirdir) \(V\), \(K\) üzerinde bir vektör uzayı olsun. \(A(V)\), \(ST = S \circ T\) çarpma işlemine göre \(K\) üzerinde bir asosyatif cebirdir. \(A(V)\)’ye \(V\) üzerindeki lineer operatörler cebri denir.
İspat
Cebir tanımının üç koşulu, bileşkenin işlemlerle uyumunu veren teoremin üç maddesinin ta kendisidir.
Geriye asosyatiflik kalıyor. \(F, G, H \in A(V)\) olsun; \(F, G, H : V \to V\) birer lineer dönüşümdür ve dolayısıyla \((F \circ G) \circ H\) ile \(F \circ (G \circ H)\) de \(V\)’den \(V\)’ye lineer dönüşümlerdir. Her \(v \in V\) için
\[\big((FG)H\big)(v) = \big((F \circ G) \circ H\big)(v) = (F \circ G)\big(H(v)\big) = F\Big(G\big(H(v)\big)\Big)\]
\[\big(F(GH)\big)(v) = \big(F \circ (G \circ H)\big)(v) = F\big((G \circ H)(v)\big) = F\Big(G\big(H(v)\big)\Big)\]
İki sağ taraf aynı olduğundan her \(v \in V\) için değerler eşittir, yani
\[(FG)H = F(GH)\]
Öyleyse \(A(V)\) bir asosyatif cebirdir.
\(\blacksquare\)
\(A(V)\) bir cebirdir ama komutatif bir cebir değildir: genel olarak \(ST \neq TS\)’dir. Dahası çarpımın sıfır bölenleri de vardır — \(TS = 0\) iken \(ST \neq 0\) olabilir. Aşağıdaki örnekler her ikisini de gösteriyor.
27.4 Birim, Kuvvetler ve Polinomlar
\(V\) üzerindeki identik lineer dönüşüm
\[I : V \to V, \qquad v \longmapsto v\]
\(A(V)\)’nin elemanıdır ve her \(T \in A(V)\) için
\[TI = IT = T\]
sağlanır; yani \(I\), çarpmanın birim elemanıdır.
Bir \(T\) lineer operatörünün kuvvetleri şöyle tanımlanır:
\[T^{1} = T, \qquad T^{2} = TT = T \circ T, \qquad T^{3} = T \circ T \circ T, \qquad \dots\]
genel olarak \(n\) bir pozitif tam sayı olmak üzere
\[T^{n} = \underbrace{T \circ T \circ \cdots \circ T}_{n \text{ tane}}\]
Tanım 27.4 (Operatör Polinomu) \(p(x)\), \(K\) üzerinde herhangi bir polinom olsun:
\[p(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^{2} + \cdots + a_n x^{n}, \qquad n \in \mathbb{Z}^{+} \cup \{0\},\ a_i \in K\]
Bu durumda \(V\) üzerindeki \(p(T)\) lineer operatörü
\[p(T) := a_0 I + a_1 T + a_2 T^{2} + \cdots + a_n T^{n}\]
olarak tanımlanır.
Tanım 27.5 (Polinomun Kökü) \(T\), \(V\) üzerinde bir lineer operatör ve \(p(x)\), \(K\) üzerinde bir polinom olsun. Eğer \(p(T) = 0\) ise \(T\)’ye \(p(x)\) polinomunun bir kökü (sıfırı) denir; buradaki \(0\), \(V\) üzerindeki sıfır operatörüdür.
Sabit terimin \(a_0\) değil \(a_0 I\) olarak yazıldığına dikkat edin: \(a_0\) bir skaler, \(p(T)\) ise bir operatördür. Skaleri operatöre çeviren şey birim operatördür.
27.5 Çözümlü Örnekler
Örnek 27.1 (Bir Polinomun Kökü Olan Operatör) \(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\) operatörü \(T(x,y,z) = (0,\ x,\ y)\) biçiminde tanımlanıyor. \(T + I\) ve \(T^{3}\) operatörlerini bulunuz.
Çözüm
Her \((a,b,c) \in \mathbb{R}^{3}\) için
\[\begin{aligned} (T + I)(a,b,c) &= T(a,b,c) + I(a,b,c)\\[1mm] &= (0,a,b) + (a,b,c) = (a,\ a+b,\ b+c) \end{aligned}\]
Kuvvetleri sırayla hesaplayalım:
\[T^{2}(a,b,c) = T\big(T(a,b,c)\big) = T(0,a,b) = (0,0,a)\]
\[T^{3}(a,b,c) = T\big(T^{2}(a,b,c)\big) = T(0,0,a) = (0,0,0)\]
Demek ki \(T^{3}\), her vektörü sıfıra götüren operatördür:
\[T^{3} = 0\]
Başka bir ifadeyle \(T\), \(p(x) = x^{3}\) polinomunun bir köküdür.
\(\blacksquare\)
Örnek 27.2 (Çarpımın Komutatif Olmayışı) \(\mathbb{R}^{2}\) üzerinde \(S(x,y) = (y,x)\) ve \(T(x,y) = (0,x)\) lineer operatörleri veriliyor. \(S+T\), \(2S - 3T\), \(ST\), \(TS\), \(S^{2}\) ve \(T^{2}\) operatörlerini bulunuz.
Çözüm
Her \((x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) için:
\[(S+T)(x,y) = (y,x) + (0,x) = (y,\ 2x)\]
\[(2S - 3T)(x,y) = 2(y,x) - 3(0,x) = (2y,\ -x)\]
\[(ST)(x,y) = S\big(T(x,y)\big) = S(0,x) = (x,\ 0)\]
\[(TS)(x,y) = T\big(S(x,y)\big) = T(y,x) = (0,\ y)\]
Görüldüğü gibi \(ST \neq TS\)’dir.
\[S^{2}(x,y) = S\big(S(x,y)\big) = S(y,x) = (x,y) \qquad \Longrightarrow \qquad S^{2} = I\]
\[T^{2}(x,y) = T\big(T(x,y)\big) = T(0,x) = (0,0) \qquad \Longrightarrow \qquad T^{2} = 0\]
\(\blacksquare\)
Örnek 27.3 (Operatör Çarpımında Sıfır Bölenler) \(\mathbb{R}^{2}\) üzerinde \(S(x,y) = (0,x)\) ve \(T(x,y) = (x,0)\) operatörleri veriliyor. \(TS = 0\) olduğunu, buna karşılık \(ST \neq 0\) olduğunu ve \(T^{2} = T\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
Her \((x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) için
\[(TS)(x,y) = T\big(S(x,y)\big) = T(0,x) = (0,0)\]
olduğundan \(TS = 0\)’dır; burada \(0\), \(\mathbb{R}^{2}\) üzerindeki sıfır operatörüdür.
Öte yandan
\[(ST)(x,y) = S\big(T(x,y)\big) = S(x,0) = (0,x)\]
olup \(x \neq 0\) için \((0,x) \neq (0,0)\) olacağından \(ST \neq 0\)’dır.
Son olarak
\[T^{2}(x,y) = T\big(T(x,y)\big) = T(x,0) = (x,0) = T(x,y)\]
olduğundan \(T^{2} = T\)’dir.
\(\blacksquare\)
İki sıfırdan farklı operatörün çarpımı sıfır olabiliyor (\(TS = 0\)), üstelik çarpanların sırası değişince sonuç değişebiliyor (\(ST \neq 0\)). \(A(V)\), sayılarla çalışmaya alışkın sezginin geçerli olmadığı bir cebirdir; buna karşılık kare matrislerin cebri de tam olarak böyledir. Bu benzerlik tesadüf değil — matris gösterimi bölümünde ikisinin aynı yapı olduğunu göreceğiz.
27.6 Alıştırma
Alıştırma 27.1 (Operatör Cebri Üzerine)
- \(F : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\), \(F(x,y,z) = (2x,\ y+z)\) ve \(G : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\), \(G(x,y) = (y,x)\) olsun. \(G \circ F\) dönüşümünü bulunuz; \(F \circ G\) tanımlı mıdır?
- \(T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}\), \(T(x,y) = (0,x)\) olsun. \(T\)’nin kökü olduğu bir polinom bulunuz.
- \(S, T \in A(V)\) olsun. \((S+T)^{2} = S^{2} + ST + TS + T^{2}\) olduğunu gösteriniz. Bu ifade neden \(S^{2} + 2ST + T^{2}\) değildir?
Çözüm
1. \(G \circ F : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}\) tanımlıdır ve her \((x,y,z) \in \mathbb{R}^{3}\) için
\[(G \circ F)(x,y,z) = G\big(F(x,y,z)\big) = G(2x,\ y+z) = (y+z,\ 2x)\]
\(F \circ G\) ise tanımlı değildir: \(G\)’nin görüntü kümesi \(\mathbb{R}^{2}\), \(F\)’nin tanım kümesi ise \(\mathbb{R}^{3}\)’tür, dolayısıyla \(F\) bir \(G(x,y)\) değerine uygulanamaz.
2. Her \((x,y) \in \mathbb{R}^{2}\) için
\[T^{2}(x,y) = T(0,x) = (0,0)\]
olduğundan \(T^{2} = 0\)’dır. Demek ki \(T\), \(p(x) = x^{2}\) polinomunun bir köküdür.
3. Cebir aksiyomlarındaki dağılma özelliklerini kullanalım:
\[ \begin{aligned} (S+T)^{2} &= (S+T)(S+T)\\[1mm] &= S(S+T) + T(S+T) \qquad \text{(sağdan dağılma)}\\[1mm] &= SS + ST + TS + TT\ \ \ \ \ \, \text{(soldan dağılma)}\\[1mm] &= S^{2} + ST + TS + T^{2} \end{aligned} \]
Ortadaki iki terimi \(2ST\) olarak birleştirebilmek için \(ST = TS\) olması gerekirdi; oysa operatör çarpımı genel olarak komutatif değildir. Yukarıdaki örnekte \(S(x,y) = (y,x)\) ve \(T(x,y) = (0,x)\) için \(ST(x,y) = (x,0)\) iken \(TS(x,y) = (0,y)\) bulmuştuk; bu iki operatör eşit olmadığından açılım dört terimli kalır.
\(\blacksquare\)