4 Merdiven Matrisler ve Satır Eşdeğerlik
Bir matrisi sadeleştirmenin standart yolu, satırları üzerinde üç basit işlem yapmaktır. Bu işlemler matrisi tanınmaz hâle getirmez; taşıdığı bilgiyi korurken görünüşünü basamak basamak inen bir merdivene çevirir. Bu bölümde o merdiveni tanımlayıp her matrisin ona indirgenebildiğini göstereceğiz — ilerideki bütün hesap yöntemlerinin (ters bulma, denklem çözme, rank hesabı) motoru budur.
4.1 Merdiven Matrisler
Tanım 4.1 (Merdiven Matris) \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) bir \(K\)-matris olsun. \(j_1 < j_2 < \cdots < j_r\) olmak üzere
- \(a_{1j_1},\ a_{2j_2},\ \dots,\ a_{rj_r}\) bileşenleri \(0_K\)’dan farklı,
- \(i \le r\) ve \(j < j_i\) için \(a_{ij} = 0_K\), ayrıca \(i > r\) için bütün \(a_{ij} = 0_K\)
ise \(A\)’ya bir \(K\)-merdiven matris (ezelon matris) denir. Buradaki \(a_{ij_i}\) bileşenlerine ayrıcalıklı elemanlar denir.
Sözle söylersek: ilk \(r\) satırın her biri sıfırdan farklı bir bileşenle başlar, bu ilk sıfırdan farklı bileşenlerin sütun numaraları aşağı indikçe kesin artar ve \(r\)-inci satırdan sonraki bütün satırlar tamamen sıfırdır.
Tanım 4.2 (Satır İndirgenmiş Merdiven Matris) Bir \(K\)-merdiven matriste ayrıca
- \(j_1, j_2, \dots, j_r\) sütunlarında ayrıcalıklı elemanlardan başka \(0_K\)’dan farklı bileşen yoksa,
- ayrıcalıklı elemanların hepsi \(1_K\)’ya eşitse
bu matrise satır indirgenmiş merdiven matris denir.
Sıfır matris \(O_{(m,n)}\) bir merdiven matris değildir: tanım, sıfırdan farklı en az bir ayrıcalıklı eleman ister. Buna karşılık birim matris \(I_n\) bir satır indirgenmiş merdiven matristir — ayrıcalıklı elemanları köşegen üzerindeki \(1_K\)’lardır ve o sütunlarda başka bileşen yoktur.
4.2 Elemanter Satır İşlemleri
Tanım 4.3 (Elemanter Satır İşlemleri) Bir \(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrisi üzerinde tanımlı üç işleme elemanter satır işlemleri denir. \(R_i\) ile \(i\)-inci satır gösterilmek üzere:
\[[e_1]:\quad R_i \longleftrightarrow R_j \qquad \text{(iki satırın yeri değiştirilir)}\]
\[[e_2]:\quad R_i \longrightarrow k R_i \qquad \big(k \in K,\ k \neq 0_K\big)\]
\[[e_3]:\quad R_i \longrightarrow k R_j + R_i \qquad \big(k \in K \setminus \{0_K\},\ i \neq j\big)\]
Tanım 4.4 (Satır Eşdeğerlik) \(B_{(m,n)}\) matrisi, \(A_{(m,n)}\) matrisine sonlu sayıda elemanter satır işlemi uygulanarak elde ediliyorsa \(A\) ile \(B\)’ye satır eşdeğer matrisler denir ve
\[A \overset{\text{satır}}{\sim} B\]
yazılır.
Üç işlemin de geri alınabilir olduğuna dikkat edin: yer değiştirme kendi tersidir, \(k\) ile çarpma \(k^{-1}\) ile çarpılarak, \(kR_j + R_i\) ise \(-kR_j + R_i\) ile geri alınır. Bu yüzden satır eşdeğerlik gerçekten simetrik bir bağıntıdır.
4.3 Her Matris Bir Merdivene İnegelir
Teorem 4.1 (Merdiven Şekline İndirgeme) Sıfır matristen farklı her \(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrisi, bir \(K\)-merdiven matrise satır eşdeğerdir.
İspat
\(A \neq O_{(m,n)}\) olduğundan \(A\)’nın \(0_K\)’dan farklı en az bir bileşeni vardır. \(0_K\)’dan farklı bileşen içeren ilk sütunun numarası \(j_1\) olsun; tanım gereği \(j_1\)’den önceki bütün sütunlar tamamen sıfırdır.
Durum 1: \(a_{1j_1} \neq 0_K\). Her \(l = 2, \dots, m\) için \(a_{lj_1} \neq 0_K\) olduğunda
\[R_l \longrightarrow -\frac{a_{lj_1}}{a_{1j_1}} R_1 + R_l\]
işlemi uygulanır. Bu işlemden sonra \(j_1\)-inci sütunun ilk bileşeni dışındaki bütün bileşenleri \(0_K\) olur.
Durum 2: \(a_{1j_1} = 0_K\). \(j_1\)-inci sütunda \(0_K\)’dan farklı bir \(a_{tj_1}\) bileşeni vardır. \(R_1 \leftrightarrow R_t\) işlemiyle bu bileşen birinci satıra taşınır ve Durum 1’deki işlemler uygulanır.
Her iki durumda da elde edilen matriste birinci satır \(j_1\)-inci sütunda sıfırdan farklı bir bileşenle başlar ve o sütunun altı tamamen sıfırdır. Şimdi bu matrisin birinci satırı dışında kalan \((m-1) \times n\) alt matrisine aynı işlem tekrarlanır. Her adımda geriye kalan alt matrisin satır sayısı bir azaldığından, işlem sonlu adımda ya alt matris sıfır matrise dönerek ya da satırlar tükenerek durur. Duruş anında elde edilen matris, tanımdaki iki koşulu da sağlayan bir merdiven matristir.
\(\blacksquare\)
Tanım 4.5 (Merdiven Şekli) Yukarıdaki teoremle bulunan, \(A\)’ya satır eşdeğer olan merdiven matrise \(A\)’nın bir merdiven şekli denir.
Örnek 4.1 (Bir Merdiven Şekli) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) matrisinin bir merdiven şeklini bulunuz.
Çözüm
Birinci sütunun altını temizleyelim:
\[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix} \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2 \\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 7 & -7 & 6\end{pmatrix}\]
Şimdi ikinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{R_3 \to -\frac{7}{3}R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & \frac{7}{3} & -\frac{10}{3}\end{pmatrix}\]
Ayrıcalıklı elemanlar \(1\), \(3\) ve \(\dfrac{7}{3}\)’tür; sütun numaraları \(j_1 = 1 < j_2 = 2 < j_3 = 3\) olarak artmaktadır. Bulunan matris \(A\)’nın bir merdiven şeklidir.
\(\blacksquare\)
Aynı matris, işlemlerin sırasına göre farklı merdiven matrislere indirgenebilir. \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 1 & 8 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 4 & 2\end{pmatrix}\) matrisi için
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 4 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & -8 & -2\end{pmatrix}, \qquad C = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & -\frac{3}{4} & 0 \\ 0 & 0 & -8 & -2\end{pmatrix}\]
matrislerinin ikisi de \(A\)’nın birer merdiven şeklidir; ikinci yolda yalnızca ikinci satır \(\frac{1}{4}\) ile çarpılmıştır. \(B \neq C\) olduğundan merdiven şekli tek değildir.
4.4 Satır Kanonik Şekil
Teorem 4.2 (Satır İndirgenmiş Merdivene İndirgeme) Her \(K\)-merdiven matris, bir \(K\)-satır indirgenmiş merdiven matrise satır eşdeğerdir. Dolayısıyla sıfır matristen farklı her \(A_{(m,n)}\) matrisi bir satır indirgenmiş merdiven matrise satır eşdeğerdir.
İspat
\(A\)’nın bir merdiven şekli alınsın; ayrıcalıklı elemanları \(a_{1j_1}, \dots, a_{rj_r}\) olsun. Önce her \(i = 1, \dots, r\) için
\[R_i \longrightarrow \big(a_{ij_i}\big)^{-1} R_i\]
işlemi uygulanır; \(a_{ij_i} \neq 0_K\) ve \(K\) bir cisim olduğundan bu tersler vardır ve bütün ayrıcalıklı elemanlar \(1_K\) olur. Ardından \(i = r, r-1, \dots, 2\) sırasıyla, \(j_i\)-inci sütunda \(i\)-inci satırın üstünde kalan her \(a_{lj_i}\) bileşeni için
\[R_l \longrightarrow -a_{lj_i}R_i + R_l \qquad (l < i)\]
uygulanır. Alttan yukarı doğru ilerlendiğinden, temizlenen bir sütun sonraki adımlarda bozulmaz. Sonuçta ayrıcalıklı sütunlarda tek sıfırdan farklı bileşen \(1_K\)’lar olarak kalır; bu bir satır indirgenmiş merdiven matristir.
\(\blacksquare\)
Merdiven şeklinin aksine, satır indirgenmiş merdiven şekli tek türlü belirlidir; bu yüzden ona \(A\)’nın satır kanonik şekli denir.
Örnek 4.2 (Satır Kanonik Şekil) \(A = \begin{pmatrix} 6 & 3 & -4 \\ -4 & 1 & -6 \\ 1 & 2 & -5\end{pmatrix}\) matrisinin satır kanonik şeklini bulunuz.
Çözüm
Hesabı kolaylaştırmak için ayrıcalıklı eleman olarak \(1\)’i seçelim:
\[\begin{pmatrix} 6 & 3 & -4 \\ -4 & 1 & -6 \\ 1 & 2 & -5\end{pmatrix} \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ -4 & 1 & -6 \\ 6 & 3 & -4\end{pmatrix}\]
Birinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{\substack{R_2 \to 4R_1 + R_2 \\ R_3 \to -6R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 9 & -26 \\ 0 & -9 & 26\end{pmatrix} \overset{R_3 \to R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 9 & -26 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
Elde edilen matris bir merdiven matristir. Şimdi ayrıcalıklı elemanı \(1\) yapıp üstünü temizleyelim:
\[\overset{R_2 \to \frac{1}{9}R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -5 \\ 0 & 1 & -\frac{26}{9} \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \overset{R_1 \to -2R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & \frac{7}{9} \\ 0 & 1 & -\frac{26}{9} \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
Son matris \(A\)’nın satır kanonik şeklidir.
\(\blacksquare\)
Örnek 4.3 (Sıfır Satır İçeren Bir Kanonik Şekil) \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & -4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & -1\end{pmatrix}\) matrisinin satır kanonik şeklini bulunuz.
Çözüm
Birinci sütunun ilk bileşeni sıfır olduğundan önce satır değiştirelim:
\[\overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 2 & 3 & 2 & -1\end{pmatrix} \overset{R_3 \to -R_1 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 2 & 6 & -4\end{pmatrix}\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 2 & 1 & -4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
Bu bir merdiven matristir; üçüncü satırın tamamen sıfır olması tanıma aykırı değildir (\(r = 2\)). Şimdi kanonik şekle geçelim:
\[\overset{R_1 \to \frac{1}{2}R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & -2 & \frac{3}{2} \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \overset{R_1 \to -\frac{1}{2}R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\frac{7}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 3 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]
\(\blacksquare\)
4.5 Alıştırma
Alıştırma 4.1 (Merdiven ve Kanonik Şekiller)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 2 \\ 3 & 6 & -4 & 3\end{pmatrix}\) matrisinin bir merdiven şeklini bulunuz.
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 3 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\) matrisinin satır kanonik şeklini bulunuz.
\(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 2 & -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 2 & 3\end{pmatrix}\) matrisinin satır kanonik şeklini bulunuz.
Çözüm
a) Birinci sütunun altını temizleyelim:
\[\overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2 \\ R_3 \to -3R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 5 & 3\end{pmatrix}\]
İkinci sütun tamamen sıfır olduğundan sıradaki ayrıcalıklı eleman üçüncü sütundadır (\(j_2 = 3\)):
\[\overset{R_3 \to -\frac{5}{4}R_2 + R_3}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix}\]
Ayrıcalıklı elemanların sütunları \(j_1 = 1 < j_2 = 3 < j_3 = 4\) olarak arttığından bu bir merdiven matristir.
b) Matris zaten merdiven şeklindedir; ayrıcalıklı elemanlar \(2\), \(3\) ve \(2\)’dir. Önce hepsini \(1\) yapalım:
\[\overset{\substack{R_1 \to \frac{1}{2}R_1 \\ R_2 \to \frac{1}{3}R_2 \\ R_3 \to \frac{1}{2}R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 & \frac{5}{2} & 3 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & \frac{5}{3} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Şimdi alttan yukarı doğru ayrıcalıklı sütunları temizleyelim. Beşinci sütun için
\[\overset{\substack{R_2 \to -\frac{5}{3}R_3 + R_2 \\ R_1 \to -3R_3 + R_1}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 2 & \frac{5}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Üçüncü sütun için
\[\overset{R_1 \to -2R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & 0 & \frac{7}{6} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1\end{pmatrix}\]
Son matris satır kanonik şekildir; birinci satırın dördüncü bileşeni \(\dfrac{5}{2} - \dfrac{4}{3} = \dfrac{15 - 8}{6} = \dfrac{7}{6}\)’dır.
c) Yukarıdaki örnekte bu matrisin merdiven şeklini bulmuştuk:
\[\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 3 & -4 & 4 \\ 0 & 0 & \frac{7}{3} & -\frac{10}{3}\end{pmatrix}\]
Ayrıcalıklı elemanları \(1\) yapalım:
\[\overset{\substack{R_2 \to \frac{1}{3}R_2 \\ R_3 \to \frac{3}{7}R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 & -1 \\ 0 & 1 & -\frac{4}{3} & \frac{4}{3} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{10}{7}\end{pmatrix}\]
Üçüncü sütunu temizleyelim:
\[\overset{\substack{R_2 \to \frac{4}{3}R_3 + R_2 \\ R_1 \to -3R_3 + R_1}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 & \frac{23}{7} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{10}{7}\end{pmatrix}\]
İkinci satırın son bileşeni \(\dfrac{4}{3} - \dfrac{40}{21} = \dfrac{28 - 40}{21} = -\dfrac{4}{7}\), birinci satırınki ise \(-1 + \dfrac{30}{7} = \dfrac{23}{7}\)’dir. Son olarak ikinci sütunu temizleyelim:
\[\overset{R_1 \to 2R_2 + R_1}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & \frac{15}{7} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{4}{7} \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{10}{7}\end{pmatrix}\]
çünkü \(\dfrac{23}{7} - \dfrac{8}{7} = \dfrac{15}{7}\)’dir. Bu, \(A\)’nın satır kanonik şeklidir.
\(\blacksquare\)
Satır işlemleri şimdilik elle uygulanan kurallar gibi duruyor. Sıradaki bölümde kare matrislerin özel ailelerini tanıyacak ve bir matrisin “bölünebilir” olmasının ne demek olduğunu soracağız: kare matrisler ve ters matris.