3 Matrisler ve İşlemleri
Bir cismin elemanlarını dikdörtgen bir tabloya dizmek, ilk bakışta yalnızca bir düzenleme işi gibi görünür. Ama bu tabloya doğru işlemler tanımlandığında ortaya lineer cebirin baş nesnesi çıkar: denklem sistemlerini, dönüşümleri ve geometrik hareketleri aynı dille yazabilen matris. Bu bölümde matrisleri kurup dört temel işlemi tanımlıyoruz.
Bundan sonra \(K\) daima komutatif bir cismi gösterecektir; \(0_K\) ve \(1_K\) bu cismin sıfırı ve birimidir.
3.1 Matris Nedir?
Tanım 3.1 (Matris) \(K\) herhangi bir komutatif cisim ve \(a_{ij} \in K\) \((i = 1, \dots, m;\ j = 1, \dots, n)\) olmak üzere
\[A = \big(a_{ij}\big)_{(m,n)} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}\]
tablosuna \(K\) cismi üzerinde \(m\) satırlı, \(n\) sütunlu bir matris (\(A_{(m,n)}\) \(K\)-matrisi) denir. \(a_{ij}\) elemanına matrisin \((i,j)\) bileşeni denir: \(i\) satırın, \(j\) sütunun numarasıdır.
Tanım 3.2 (Satır ve Sütun Matrisleri) \(A_{(1,n)}\) biçimindeki bir matrise \(K\)-satır matrisi, \(A_{(m,1)}\) biçimindeki bir matrise \(K\)-sütun matrisi denir.
\(K = \mathbb{R}\) alındığında
\[A_{(1,4)} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & 2\end{pmatrix}, \qquad A_{(3,1)} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 0 \end{pmatrix}, \qquad A_{(2,3)} = \begin{pmatrix} 1 & -3 & 4 \\ 0 & 5 & -2 \end{pmatrix}\]
sırasıyla bir satır matrisi, bir sütun matrisi ve \(2 \times 3\) tipinde bir \(\mathbb{R}\)-matristir. \(K\)’nin her elemanı \(A_{(1,1)}\) tipinde bir matris olarak düşünülebilir.
Tanım 3.3 (Sıfır Matris) Bütün bileşenleri \(0_K\) olan matrise sıfır matris denir ve \(O_{(m,n)}\) ile gösterilir.
Tanım 3.4 (Matrislerin Eşitliği) Aynı tipteki iki matris, karşılıklı bütün bileşenleri eşitse eşittir:
\[A_{(m,n)} = B_{(m,n)} \iff a_{ij} = b_{ij} \quad (i = 1,\dots,m;\ j = 1,\dots,n)\]
3.2 Toplama ve Skalerle Çarpma
Tanım 3.5 (Matrislerin Toplamı) \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) ve \(B = (b_{ij})_{(m,n)}\) aynı tipte iki \(K\)-matris olsun. Bileşenleri
\[c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \qquad (i = 1,\dots,m;\ j = 1,\dots,n)\]
olan \(C = (c_{ij})_{(m,n)}\) matrisine \(A\) ile \(B\)’nin toplamı denir ve \(C = A + B\) yazılır.
Farklı tipteki matrisler toplanamaz; toplama işlemi bileşen bileşen, yani \(K\)’deki toplamayla yapılır.
Tanım 3.6 (Skalerle Çarpım) \(\lambda \in K\) ve \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) olsun. Bileşenleri \(c_{ij} = \lambda a_{ij}\) olan matrise \(A\)’nın \(\lambda\) skaleriyle çarpımı denir:
\[\lambda A = A\lambda = \big(\lambda a_{ij}\big)_{(m,n)}\]
Özel olarak \(-A = (-a_{ij})_{(m,n)}\)’dir; burada \(-a_{ij}\), \(a_{ij}\)’nin \(K\)’deki toplamsal tersidir.
Örnek 3.1 (Bir Skalerle Çarpım) \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & 0\end{pmatrix}\) \(\mathbb{R}\)-matrisi ve \(\lambda = -\sqrt{2}\) için \(\lambda A\) matrisini bulunuz.
Çözüm
Her bileşen \(-\sqrt{2}\) ile çarpılır:
\[-\sqrt{2}\,A = \begin{pmatrix} -3\sqrt{2} & -\sqrt{2} & -2\sqrt{2} \\ 0 & -\sqrt{2} & \sqrt{2} \\ -4\sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0\end{pmatrix}\]
\(\blacksquare\)
Teorem 3.1 (Toplama ve Skalerle Çarpmanın Özellikleri) \(A\), \(B\), \(C\) aynı tipte \(K\)-matrisler ve \(k_1, k_2 \in K\) olsun. O hâlde
- \((A + B) + C = A + (B + C)\)
- \(A + B = B + A\)
- \(A + O_{(m,n)} = A\)
- \(A + (-A) = O_{(m,n)}\)
- \(k_1(A + B) = k_1 A + k_1 B\)
- \((k_1 + k_2)A = k_1 A + k_2 A\)
- \((k_1 k_2)A = k_1(k_2 A)\)
- \(1_K A = A\) ve \(0_K A = O_{(m,n)}\)
İspat
Bütün özellikler bileşen bileşen doğrulanır; her biri \(K\)’deki karşılık gelen özelliğe indirgenir. Örneğin birinci özellikte her iki tarafın \((i,j)\) bileşeni
\[\big[(A+B)+C\big]_{ij} = (a_{ij} + b_{ij}) + c_{ij} = a_{ij} + (b_{ij} + c_{ij}) = \big[A + (B+C)\big]_{ij}\]
olur; ortadaki eşitlik \(K\)’de toplamanın asosyatifliğidir. Beşinci özellikte
\[\big[k_1(A+B)\big]_{ij} = k_1(a_{ij} + b_{ij}) = k_1 a_{ij} + k_1 b_{ij} = \big[k_1 A + k_1 B\big]_{ij}\]
olur; kullanılan tek şey \(K\)’de çarpmanın toplama üzerine dağılmasıdır. Diğerleri de aynı yolla, sırasıyla \(K\)’de toplamanın komutatifliği, \(0_K\)’nin sıfır oluşu, \(-a\)’nın ters oluşu ve çarpmanın asosyatifliği kullanılarak elde edilir.
\(\blacksquare\)
İlk dört özellik tam olarak şunu söyler: sabit bir \((m,n)\) tipi için bütün \(K\)-matrislerin kümesi, matris toplamasına göre komutatif bir gruptur; sıfırı \(O_{(m,n)}\), bir \(A\) matrisinin tersi \(-A\)’dır. Kalan dört özellik ise skalerle çarpmanın bu grupla nasıl uyuştuğunu söyler — ileride göreceğimiz vektör uzayı tanımının aksiyomları tam olarak bunlardır.
3.3 Matris Çarpımı
Toplama tanımı beklenen biçimdeydi; çarpım ise satır ile sütunu eşleştirir ve bu yüzden tipler üzerinde bir uyum koşulu getirir.
Tanım 3.7 (Matrislerin Çarpımı) \(A = (a_{ij})_{(m,p)}\) ve \(B = (b_{ij})_{(p,n)}\) \(K\)-matrisler olsun; yani \(A\)’nın sütun sayısı \(B\)’nin satır sayısına eşit olsun. Bileşenleri
\[c_{ij} = \sum_{t=1}^{p} a_{it} b_{tj} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}\]
olan \(C = (c_{ij})_{(m,n)}\) matrisine \(A\) ile \(B\)’nin çarpımı denir: \(C = AB\).
\(c_{ij}\), \(A\)’nın \(i\)-inci satırı ile \(B\)’nin \(j\)-inci sütununun karşılıklı bileşenleri çarpılıp toplanarak elde edilir. \(A_{(m,p)}\) ve \(B_{(q,n)}\) matrislerinde \(p \neq q\) ise \(AB\) çarpımı tanımlanamaz.
1. Sıfır bölenler vardır. Sıfır matristen farklı iki matrisin çarpımı sıfır matris olabilir:
\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0\end{pmatrix} \neq O, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1\end{pmatrix} \neq O, \quad AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = O\]
2. Çarpım komutatif değildir. \(A_{(2,3)}\) ve \(B_{(3,2)}\) için \(AB\) bir \(2 \times 2\), \(BA\) ise bir \(3 \times 3\) matristir; tipleri bile farklıdır. Kare matrislerde tipler uyuşsa da eşitlik genel olarak sağlanmaz.
Örnek 3.2 (İki Matrisin Çarpımı) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 2 \\ 3 & -3 & -2 \end{pmatrix}\) ve \(B = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\) için \(AB\) çarpımını hesaplayınız ve \(AB \neq BA\) olduğunu gözlemleyiniz.
Çözüm
\(A\) bir \(2 \times 3\), \(B\) bir \(3 \times 2\) matristir; \(AB\) bir \(2 \times 2\) matristir. Bileşenleri tek tek yazalım:
\[c_{11} = 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 2 - 1 + 8 = 9\]
\[c_{12} = 1 \cdot 3 + (-1)(-2) + 2 \cdot 5 = 3 + 2 + 10 = 15\]
\[c_{21} = 3 \cdot 2 + (-3) \cdot 1 + (-2) \cdot 4 = 6 - 3 - 8 = -5\]
\[c_{22} = 3 \cdot 3 + (-3)(-2) + (-2) \cdot 5 = 9 + 6 - 10 = 5\]
Yani
\[AB = \begin{pmatrix} 9 & 15 \\ -5 & 5 \end{pmatrix}\]
\(BA\) çarpımı ise tanımlıdır ama \(3 \times 3\) tipindedir; iki matrisin tipleri farklı olduğundan \(AB \neq BA\)’dır.
\(\blacksquare\)
Teorem 3.2 (Çarpımın Özellikleri) Aşağıdaki çarpımların tanımlı olduğu tiplerde alınmak üzere, \(k \in K\) için
- \((AB)C = A(BC)\)
- \(A(B + C) = AB + AC\)
- \((B + C)A = BA + CA\)
- \(k(AB) = (kA)B = (Ak)B = A(kB)\)
- \(O_{(p,m)}A_{(m,n)} = O_{(p,n)}\) ve \(B_{(m,n)}O_{(n,p)} = O_{(m,p)}\)
- \(AB\) matrisinin \(i\)-inci satırı, (\(A\)’nın \(i\)-inci satırı) \(\cdot\, B\) çarpımına eşittir.
İspat
Altıncı özelliği yazalım; diğerleri de aynı biçimde bileşenler üzerinden yürür. \(A = (a_{ij})_{(m,p)}\) ve \(B = (b_{ij})_{(p,n)}\) olsun. \(AB\)’nin \(i\)-inci satırının \(j\)-inci bileşeni tanım gereği
\[a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}\]
Öte yandan \(A\)’nın \(i\)-inci satırı \(\begin{pmatrix} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{ip}\end{pmatrix}\) bir \(1 \times p\) matristir; bunu \(B\) ile çarparsak elde edilen \(1 \times n\) matrisin \(j\)-inci bileşeni yine aynı toplamdır. İki satır bileşen bileşen çakıştığından eşittirler.
\(\blacksquare\)
3.4 Birim Matris
Tanım 3.8 (Birim Matris) Esas köşegen üzerindeki bileşenleri \(1_K\), diğer bütün bileşenleri \(0_K\) olan \(n \times n\) matrise \(n\)-inci mertebeden birim matris denir ve \(I_n\) ile gösterilir:
\[I_n = \begin{pmatrix} 1_K & 0_K & \cdots & 0_K\\ 0_K & 1_K & \cdots & 0_K\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0_K & 0_K & \cdots & 1_K \end{pmatrix}\]
Her \(A_{(m,n)}\) için \(I_m A = A = A I_n\)’dir; özel olarak \(A\) \(n\)-inci mertebeden kare matris ise \(I_n A = A I_n = A\)’dır.
\(n\)-inci mertebeden bütün kare \(K\)-matrislerin kümesi, matris toplaması ve matris çarpımı işlemleriyle birimli bir halkadır; birimi \(I_n\)’dir. Bu halka \(n \ge 2\) için komutatif değildir ve sıfır bölenlidir — yukarıdaki iki uyarı tam olarak bunu söylüyordu.
3.5 Transpoze
Tanım 3.9 (Transpoze) \(A = (a_{ij})_{(m,n)}\) matrisinde satırlarla sütunların yeri değiştirilerek elde edilen \(n \times m\) matrise \(A\)’nın transpozesi denir ve \(A^{t}\) ile gösterilir. Yani \(A^{t}\)’nin \((j,i)\) bileşeni \(a_{ij}\)’dir.
Örneğin
\[A = \begin{pmatrix} 0 & 3 & 5 \\ 7 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 5\end{pmatrix} \implies A^{t} = \begin{pmatrix} 0 & 7 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \\ 5 & 2 & 5\end{pmatrix}\]
Teorem 3.3 (Transpozenin Özellikleri) Uygun tiplerde alınmak üzere \(k \in K\) için
- \((A + B)^{t} = A^{t} + B^{t}\)
- \(\big(A^{t}\big)^{t} = A\)
- \((kA)^{t} = k A^{t}\)
- \((AB)^{t} = B^{t} A^{t}\)
İspat
Dördüncü özelliği gösterelim; sıranın tersine dönmesi tam olarak burada ortaya çıkar. \(A = (a_{ij})_{(m,p)}\), \(B = (b_{ij})_{(p,n)}\) olsun.
\(AB\) matrisinin \((i,j)\) bileşeni \(a_{i1}b_{1j} + \cdots + a_{ip}b_{pj}\)’dir; dolayısıyla \((AB)^{t}\) matrisinin \((j,i)\) bileşeni de aynı sayıdır.
\(B^{t}A^{t}\) matrisinin \((j,i)\) bileşeni ise, \(B^{t}\)’nin \(j\)-inci satırı ile \(A^{t}\)’nin \(i\)-inci sütununun çarpımıdır; bunlar sırasıyla \(B\)’nin \(j\)-inci sütunu ile \(A\)’nın \(i\)-inci satırıdır:
\[b_{1j}a_{i1} + b_{2j}a_{i2} + \cdots + b_{pj}a_{ip}\]
\(K\) komutatif bir cisim olduğundan \(b_{tj}a_{it} = a_{it}b_{tj}\)’dir ve iki ifade terim terim aynıdır. Bileşenler çakıştığından \((AB)^{t} = B^{t}A^{t}\)’dir.
\(\blacksquare\)
3.6 Alt Matris
Tanım 3.10 (Alt Matris) \(A_{(m,n)}\) matrisinin \(p\) satırı ve \(q\) sütunu \((p < m,\ q < n)\) silinerek elde edilen \((m-p) \times (n-q)\) tipindeki matrise \(A\)’nın bir alt matrisi denir.
Örnek 3.3 (Bir Alt Matrisin Bulunması) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 4 \\ -5 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 7\end{pmatrix}\) matrisinde ikinci satır ile ikinci ve dördüncü sütunları silerek elde edilen alt matrisi yazınız.
Çözüm
Geriye birinci ve üçüncü satırlar ile birinci ve üçüncü sütunlar kalır:
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\]
\(\blacksquare\)
3.7 Alıştırma
Alıştırma 3.1 (Matris İşlemleri)
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4\end{pmatrix}\) ve \(B = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 1\end{pmatrix}\) için \(AB\) ve \(BA\) çarpımlarını hesaplayıp karşılaştırınız.
\(A_{(2,3)} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix}\) için \(\big(A^{t}\big)^{t} = A\) eşitliğini doğrulayınız ve \(A A^{t}\) çarpımının tipini belirleyip hesaplayınız.
\(A\) ve \(B\) \(n\)-inci mertebeden kare matrisler olmak üzere \((A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2}\) eşitliğinin genel olarak doğru olmadığını gösteriniz; hangi ek koşul altında doğru olur?
Çözüm
a) Önce \(AB\)’yi hesaplayalım:
\[AB = \begin{pmatrix} 1 \cdot 0 + 2 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 + 4 \cdot 2 & 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 8 & 1 \end{pmatrix}\]
Şimdi \(BA\)’yı hesaplayalım:
\[BA = \begin{pmatrix} 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 & 0 \cdot 2 + (-1) \cdot 4 \\ 2 \cdot 1 + 1 \cdot 3 & 2 \cdot 2 + 1 \cdot 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix}\]
İki matris aynı tipte olduğu hâlde eşit değildir: matris çarpımı komutatif değildir.
b) Transpozeyi alalım:
\[A^{t} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \\ 0 & 4\end{pmatrix} \implies \big(A^{t}\big)^{t} = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & 4\end{pmatrix} = A\]
Satırla sütunun yerini iki kez değiştirmek başlangıçtaki matrisi verir. \(A\) bir \(2 \times 3\), \(A^{t}\) bir \(3 \times 2\) matris olduğundan \(AA^{t}\) bir \(2 \times 2\) matristir:
\[AA^{t} = \begin{pmatrix} 2^2 + (-1)^2 + 0^2 & 2 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 + 0 \cdot 4 \\ 1 \cdot 2 + 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 0 & 1^2 + 3^2 + 4^2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -1 \\ -1 & 26\end{pmatrix}\]
c) Dağılma özelliğini iki kez uygulayalım:
\[(A+B)^{2} = (A+B)(A+B) = A(A+B) + B(A+B) = A^{2} + AB + BA + B^{2}\]
Bu ifadenin \(A^{2} + 2AB + B^{2}\) olması için \(AB + BA = 2AB\), yani \(BA = AB\) gerekir. Genel olarak matris çarpımı komutatif olmadığından eşitlik doğru değildir. Somut bir karşı örnek için (a) şıkkındaki matrisleri alalım: orada \(AB \neq BA\) olduğundan
\[(A+B)^{2} = A^2 + AB + BA + B^2 \neq A^{2} + 2AB + B^{2}\]
olur. Eşitlik ancak ve ancak \(A\) ile \(B\) değişmeli olduğunda, yani \(AB = BA\) olduğunda geçerlidir.
\(\blacksquare\)
Matrisleri toplayıp çarpmayı öğrendik; şimdi onları sadeleştirmeyi öğreneceğiz. Satırlar üzerinde yapılan üç basit işlem, her matrisi olabildiğince yalın bir biçime indirger: merdiven matrisler ve satır eşdeğerlik.