5 Kare Matrisler ve Ters Matris

Satır ve sütun sayısı eşit olan matrisler ayrı bir dünya kurar: yalnız onlar kendileriyle çarpılabilir, kuvvet alabilir ve — şanslıysa — bölünebilir. Bu bölümde kare matrislerin özel ailelerini tanıyıp lineer cebirin en çok kullanılan kavramlarından birine varıyoruz: ters matris.

5.1 Kare Matrisler ve Esas Köşegen

Tanım 5.1 (Kare Matris) Satır ve sütun sayıları eşit olan bir \(K\)-matrise kare matris denir. Bir kare matriste birbirine eşit olan satır ve sütun sayısına, kare matrisin mertebesi denir.

Tanım 5.2 (Esas Köşegen) \(A = (a_{ij})_{(n,n)}\) \(n\)-inci mertebeden bir kare \(K\)-matris olsun. \(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn}\) bileşenlerine esas köşegen üzerinde bulunan bileşenler denir.

Tanım 5.3 (Üçgensel Matris) Esas köşegeninin altındaki veya üstündeki bütün bileşenleri \(0_K\) olan kare matrise üçgensel matris denir.

Tanım 5.4 (Köşegen Matris) Esas köşegeninin dışında kalan bütün bileşenleri \(0_K\) olan kare matrise köşegen matris denir.

Tanım 5.5 (Skaler Matris) Esas köşegenindeki bileşenlerin tamamı aynı bir \(\lambda \neq 0_K\) skalerine eşit olan köşegen matrise skaler matris denir. Özel olarak \(\lambda = 1_K\) alınırsa birim matris \(I_n\) elde edilir: birim matris, \(\lambda = 1_K\) olan skaler matristir.

Örnekler \(K = \mathbb{R}\) üzerinde:

\[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 4 & 7 \\ -8 & 1 & 0 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 4 \\ -2 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \quad \text{(kare)}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 8\end{pmatrix} \quad \text{(üçgensel)}\]

\[C = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 3 & 7 & -1\end{pmatrix} \quad \text{(üçgensel)}, \qquad D = \begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2}\end{pmatrix} \quad \text{(köşegen)}\]

\[E = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4\end{pmatrix} \quad \text{(skaler)}, \qquad F = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = I_3 \quad \text{(birim)}\]

\(A\) matrisinin esas köşegeni üzerindeki bileşenler \(a_{11} = 1\), \(a_{22} = 1\), \(a_{33} = 1\) ve \(a_{44} = 0\)’dır.

Teorem 5.1 (Skaler Matrislerin Değişmeliliği) \(A\), \(n\)-inci mertebeden bir skaler \(K\)-matris ve \(B\) de \(n\)-inci mertebeden herhangi bir kare \(K\)-matris olsun. O hâlde

\[AB = BA\]

Ayrıca herhangi bir \(A_{(m,n)}\) için \(I_m A = A = A I_n\)’dir ve bir köşegen matrisin, dolayısıyla birim matrisin transpozesi kendisine eşittir.

İspat

\(A\) skaler olduğundan \(\lambda \in K \setminus \{0_K\}\) olmak üzere esas köşegeni \(\lambda\)’lardan, geri kalanı \(0_K\)’lardan oluşur. \(B = (b_{ij})_{(n,n)}\) alalım. Çarpım tanımında \(A\)’nın \(i\)-inci satırının yalnızca \(i\)-inci bileşeni sıfırdan farklı olduğundan

\[(AB)_{ij} = \sum_{t=1}^{n} a_{it}b_{tj} = \lambda b_{ij}\]

Benzer şekilde \(A\)’nın \(j\)-inci sütununun yalnızca \(j\)-inci bileşeni sıfırdan farklı olduğundan

\[(BA)_{ij} = \sum_{t=1}^{n} b_{it}a_{tj} = b_{ij}\lambda\]

\(K\) komutatif bir cisim olduğundan \(\lambda b_{ij} = b_{ij}\lambda\)’dır; iki matrisin bütün bileşenleri çakışır ve \(AB = BA\) olur.

\(\blacksquare\)

5.2 Ters Matris

Tanım 5.6 (Ters Matris) \(A\), \(n\)-inci mertebeden bir kare \(K\)-matris olsun.

\[AB = BA = I_n\]

olacak şekilde \(n\)-inci mertebeden bir kare \(B\) \(K\)-matrisi varsa, \(B\)’ye \(A\)’nın tersi denir ve \(B = A^{-1}\) biçiminde gösterilir.

Teorem 5.2 (Tersin Özellikleri)

\(n\)-inci mertebeden bir \(A\) kare \(K\)-matrisinin tersi varsa, bu ters tek olarak belirlidir.
Tersi olan bir \(A\) kare matrisi için \(\big(A^{-1}\big)^{-1} = A\)’dır.
\(A\) ve \(B\) tersleri olan \(n\)-inci mertebeden kare matrisler ise \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)’dir.
\(A_1, A_2, \dots, A_m\) tersleri olan \(n\)-inci mertebeden kare matrisler ise

\[\big(A_1 A_2 \cdots A_m\big)^{-1} = A_m^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}\]

İspat

1. \(A\)’nın birbirinden farklı \(B\) ve \(C\) gibi iki tersi olduğunu varsayalım:

\[AB = BA = I_n, \qquad AC = CA = I_n\]

Matris çarpımının asosyatifliğini kullanalım:

\[B = I_n B = (CA)B = C(AB) = C I_n = C\]

Bu, \(B \neq C\) varsayımıyla çelişir. O hâlde ters varsa tektir.

2. \(AA^{-1} = A^{-1}A = I_n\) bağıntısı, \(A^{-1}\) için okunduğunda tam olarak \(A\)’nın \(A^{-1}\)’in tersi olduğunu söyler; yani \(\big(A^{-1}\big)^{-1} = A\)’dır.

3. \(B^{-1}A^{-1}\) matrisinin \(AB\)’nin tersi olduğunu doğrudan çarparak görelim:

\[(AB)\big(B^{-1}A^{-1}\big) = A\big(BB^{-1}\big)A^{-1} = A I_n A^{-1} = A A^{-1} = I_n\]

\[\big(B^{-1}A^{-1}\big)(AB) = B^{-1}\big(A^{-1}A\big)B = B^{-1} I_n B = B^{-1}B = I_n\]

Her iki çarpım da \(I_n\) verdiğinden \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\)’dir.

4. Üçüncü özellikten tümevarımla elde edilir: \(m = 2\) için iddia üçüncü özelliktir. \(m-1\) çarpan için doğru olduğu varsayılırsa, \(A_1 \cdots A_{m-1}\)’i tek bir matris sayarak

\[\big(A_1 \cdots A_{m-1}A_m\big)^{-1} = A_m^{-1}\big(A_1 \cdots A_{m-1}\big)^{-1} = A_m^{-1}\big(A_{m-1}^{-1}\cdots A_1^{-1}\big)\]

bulunur; bu da iddia edilen ifadedir.

\(\blacksquare\)

Tanım 5.7 (Regüler ve Singüler Matris) Tersi olan bir matrise regüler (tersinir) matris, tersi olmayan bir matrise singüler matris denir.

Her kare matrisin tersi yoktur

\(A = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) matrisi singülerdir. Gerçekten \(AB = BA = I_2\) olacak bir \(B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix}\) olsaydı

\[AB = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}\]

çıkardı; bu ise \(1 \neq 0\) olmasıyla çelişir.

5.3 Matrisin Kuvvetleri

Tanım 5.8 (Matris Kuvvetleri) \(A\), \(n\)-inci mertebeden bir kare \(K\)-matris ve \(m\) bir pozitif tam sayı olmak üzere

\[A^{0} = I_n, \qquad A^{1} = A, \qquad A^{m+1} = A^{m}A\]

biçiminde tanımlanır. Örneğin \(A^{2} = AA\) ve \(A^{3} = A^{2}A\)’dır.

\(\ell\) ve \(m\) negatif olmayan tam sayılar olmak üzere

\[A^{\ell}A^{m} = A^{\ell + m}, \qquad \big(A^{\ell}\big)^{m} = A^{\ell m}\]

eşitlikleri geçerlidir. \(A\) regüler ise negatif tam sayı kuvvetleri de

\[A^{-m} = \big(A^{-1}\big)^{m}\]

biçiminde tanımlanır ve \(\big(A^{-1}\big)^{m} = \big(A^{m}\big)^{-1}\)’dir.

5.4 Alıştırma

Alıştırma 5.1 (Kare Matrisler ve Ters)

\(A\) ve \(B\) \(n\)-inci mertebeden köşegen \(K\)-matrisler ve \(k \in K \setminus \{0_K\}\) olsun. \(A + B\), \(AB\) ve \(kA\) matrislerinin de köşegen olduğunu gösteriniz.
\(A\) kare matrisinin tersi varsa \(A^{t}\)’nin de tersi olduğunu ve \(\big(A^{t}\big)^{-1} = \big(A^{-1}\big)^{t}\) olduğunu gösteriniz.
\(A = \operatorname{diag}(a_{11}, a_{22}, \dots, a_{nn})\) köşegen matrisinin tersinin olması için gerek ve yeter koşulun her \(i\) için \(a_{ii} \neq 0_K\) olduğunu gösterip \(A^{-1}\)’i bulunuz.

Çözüm

a) \(A = (a_{ij})\) ve \(B = (b_{ij})\) köşegen olsun; yani \(i \neq j\) iken \(a_{ij} = b_{ij} = 0_K\)’dır.

Toplam: \(i \neq j\) için \((A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} = 0_K + 0_K = 0_K\); toplam köşegendir.

Skalerle çarpım: \(i \neq j\) için \((kA)_{ij} = k \cdot 0_K = 0_K\); sonuç köşegendir.

Çarpım: Bileşeni açalım:

\[(AB)_{ij} = \sum_{t=1}^{n} a_{it}b_{tj}\]

\(A\) köşegen olduğundan \(a_{it} = 0_K\) olmayan tek terim \(t = i\) olanıdır; toplam \(a_{ii}b_{ij}\)’ye iner. \(B\) de köşegen olduğundan \(i \neq j\) iken \(b_{ij} = 0_K\)’dır, yani \((AB)_{ij} = 0_K\)’dır. Köşegen üzerinde ise \((AB)_{ii} = a_{ii}b_{ii}\) bulunur:

\[\operatorname{diag}(a_{11},\dots,a_{nn}) \cdot \operatorname{diag}(b_{11},\dots,b_{nn}) = \operatorname{diag}(a_{11}b_{11},\dots,a_{nn}b_{nn})\]

b) \(A\) regüler olsun: \(AA^{-1} = A^{-1}A = I_n\). Her iki eşitliğin transpozesini alalım ve \((XY)^{t} = Y^{t}X^{t}\) kuralını kullanalım:

\[\big(AA^{-1}\big)^{t} = \big(A^{-1}\big)^{t}A^{t} = I_n^{t} = I_n\]

\[\big(A^{-1}A\big)^{t} = A^{t}\big(A^{-1}\big)^{t} = I_n^{t} = I_n\]

İki çarpım da \(I_n\) verdiğinden \(A^{t}\) regülerdir ve tanım gereği tersi \(\big(A^{-1}\big)^{t}\)’dir. (Burada \(I_n^{t} = I_n\) olduğunu, birim matrisin köşegen olmasından kullandık.)

c) Yeterlik. Her \(a_{ii} \neq 0_K\) olsun. \(K\) bir cisim olduğundan her \(a_{ii}\)’nin tersi vardır. (a) şıkkındaki köşegen çarpım kuralıyla

\[\operatorname{diag}(a_{11},\dots,a_{nn}) \cdot \operatorname{diag}\big(a_{11}^{-1},\dots,a_{nn}^{-1}\big) = \operatorname{diag}(1_K,\dots,1_K) = I_n\]

olur; çarpım köşegen matrislerde değişmeli olduğundan diğer sıra da \(I_n\) verir. Demek ki \(A\) regülerdir ve

\[A^{-1} = \operatorname{diag}\big(a_{11}^{-1}, a_{22}^{-1}, \dots, a_{nn}^{-1}\big)\]

Gereklik. Bir \(k\) için \(a_{kk} = 0_K\) olsun. \(A\) köşegen olduğundan \(k\)-inci satırının bütün bileşenleri \(0_K\)’dır. Herhangi bir \(B\) matrisi için, çarpımın satırlarına ilişkin kuraldan

\[(AB) \text{ matrisinin } k\text{-inci satırı} = (A \text{'nın } k\text{-inci satırı}) \cdot B = \begin{pmatrix} 0_K & \cdots & 0_K\end{pmatrix}\]

olur. Oysa \(I_n\)’nin \(k\)-inci satırında \(1_K \neq 0_K\) bulunur; dolayısıyla hiçbir \(B\) için \(AB = I_n\) olamaz ve \(A\) singülerdir.

\(\blacksquare\)

Bir matrisin tersinin olup olmadığını, tanıma dönüp bilinmeyen bir \(B\) aramadan anlayabilir miyiz? Ve varsa bu tersi sistemli biçimde hesaplayabilir miyiz? İki sorunun da yanıtı satır işlemlerinde saklı: elemanter matrisler ve ters hesabı.