29 Bir Operatörün Matrisi

Sonlu boyutlu bir uzayda bir taban seçmek, her vektörü bir sayı dizisiyle temsil etmek demekti. Aynı seçim, o uzay üzerindeki her lineer operatörü de bir kare matrisle temsil etmemizi sağlar. Bu bölümde bu temsili kuruyor ve operatörün bir vektöre uygulanmasının, matrisin koordinat vektörüyle çarpılmasına karşılık geldiğini gösteriyoruz.

29.1 Koordinat Vektörünü Hatırlayalım

$V$, $K$ üzerinde bir vektör uzayı; $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ bir tabanı ve $v \in V$ olsun. $v$’yi

\[v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n \qquad (a_i \in K)\]

olarak tek türlü yazabiliyorduk. Bu bölümde koordinatları sütun matris olarak yazacağız:

\[[v]_e = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}_{(n,1)}\]

29.2 Matris Gösterimi

Tanım 29.1 (Bir Lineer Operatörün Matris Gösterimi) $V$, bir $K$ komutatif cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı; $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ bir tabanı ve $T \in A(V)$ bir lineer operatör olsun. $T(e_1), \dots, T(e_n) \in V$ vektörlerini, $a_{ij} \in K$ olmak üzere

\[ \begin{aligned} T(e_1) &= a_{11}e_1 + a_{12}e_2 + \cdots + a_{1n}e_n\\ T(e_2) &= a_{21}e_1 + a_{22}e_2 + \cdots + a_{2n}e_n\\ &\ \ \vdots\\ T(e_n) &= a_{n1}e_1 + a_{n2}e_2 + \cdots + a_{nn}e_n \end{aligned} \]

biçiminde tek türlü yazabiliriz. Bu durumda

\[[T]_e := \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & & & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix}_{(n,n)}\]

$K$-matrisine, $V$ üzerindeki $T$ lineer operatörünün $e$ tabanına göre matris gösterimi, kısaca $T$’nin $e$ tabanındaki matrisi denir.

Kuralı akılda tutmanın yolu

Yukarıdaki katsayı tablosunun devriği alınıyor. Pratikte tek bir cümle yeter:

$[T]_e$’nin $j$. sütunu, $T(e_j)$ vektörünün $e$ tabanındaki koordinatlarıdır.

Yani $[T]_e$’nin sütunları sırayla $[T(e_1)]_e, [T(e_2)]_e, \dots, [T(e_n)]_e$’dir.

Bundan sonraki örneklerde $e$ harfini standart taban için, $f$ harfini standart olmayan tabanlar için kullanacağız. Tanımdaki $e$ ise herhangi bir tabanı gösteren genel simgedir.

Örnek 29.1 (Bir Matris Gösteriminin Hesabı) $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$ operatörü $T(x,y) = (4x - 2y,\ 2x + y)$ biçiminde tanımlanıyor. $f_1 = (1,1)$, $f_2 = (-1,0)$ olmak üzere $f = \{f_1, f_2\}$ tabanına göre $[T]_f$’yi bulunuz.

Çözüm

Önce $f$’nin gerçekten bir taban olduğunu görelim: $f_1$ ile $f_2$ lineer bağımsızdır ve $\mathbb{R}^{2}$ iki boyutlu olduğundan lineer bağımsız iki vektör bir taban oluşturur.

Şimdi taban vektörlerinin görüntülerini yine $f$ cinsinden yazalım:

\[T(f_1) = T(1,1) = (4 - 2,\ 2 + 1) = (2,3)\]

$(2,3) = x(1,1) + y(-1,0) = (x - y,\ x)$ denkleminden $x = 3$ ve $x - y = 2$, yani $y = 1$ bulunur:

\[T(f_1) = 3(1,1) + 1\cdot(-1,0) = 3f_1 + f_2\]

Benzer biçimde

\[T(f_2) = T(-1,0) = (-4,\ -2)\]

ve $(-4,-2) = x(1,1) + y(-1,0)$ denkleminden $x = -2$, $x - y = -4$, yani $y = 2$:

\[T(f_2) = -2(1,1) + 2(-1,0) = -2f_1 + 2f_2\]

Sütunları bu koordinatlardan kurarak

\[[T]_f = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\]

$\blacksquare$

29.3 Standart Tabanda: Matrisin Kendisi

Örnek 29.2 (Matris Dönüşümünün Standart Tabandaki Matrisi) $K$ komutatif bir cisim, $A = (a_{ij})$ $n$. mertebeden bir kare $K$-matris ve

\[T : K^{n} \to K^{n}, \qquad v \longmapsto A \cdot v\]

lineer operatörü olsun. $K^{n}$’in standart tabanı $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ olmak üzere $[T]_e = A$ olduğunu gösteriniz.

Çözüm

$K^{n}$’in elemanlarını sütun matris olarak düşünüyoruz; $e_i$, $i$. bileşeni $1_K$, diğerleri $0_K$ olan sütun matristir. $A \cdot e_i$ çarpımı $A$’nın $i$. sütununu verir:

\[T(e_i) = A \cdot e_i = \begin{pmatrix} a_{1i} \\ a_{2i} \\ \vdots \\ a_{ni} \end{pmatrix} = a_{1i}e_1 + a_{2i}e_2 + \cdots + a_{ni}e_n\]

Demek ki $T(e_i)$’nin standart tabandaki koordinatları $A$’nın $i$. sütunudur. $[T]_e$’nin $i$. sütunu tam olarak bu koordinatlardan kurulduğuna göre

\[[T]_e = A\]

$\blacksquare$

Bu, gösterimin tutarlı olduğunu söyler: bir matrisin belirlediği operatörün standart tabandaki matrisi yine o matristir. Başka bir taban seçildiğinde ise farklı bir matris çıkar — taban değiştirme bölümünde ikisinin nasıl bağlandığını göreceğiz.

29.4 Temel Teorem

Matris gösterimi bir isimlendirme değil, bir hesap aracıdır: operatörü uygulamak, matrisle çarpmaya dönüşür.

Teorem 29.1 (Operatörün Uygulanması Matrisle Çarpımdır) $V$ sonlu boyutlu, $e = \{e_1, \dots, e_n\}$ bir tabanı ve $T \in A(V)$ olsun. Bu durumda

\[\text{her } v \in V \text{ için} \qquad [T]_e \cdot [v]_e = \big[T(v)\big]_e\]

İspat

$i = 1, \dots, n$ için

\[T(e_i) = a_{i1}e_1 + a_{i2}e_2 + \cdots + a_{in}e_n = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}e_j\]

olsun; tanım gereği $[T]_e$, $(a_{ij})$ tablosunun devriğidir.

$v \in V$ ve $k_i \in K$ olmak üzere

\[v = k_1 e_1 + k_2 e_2 + \cdots + k_n e_n = \sum_{i=1}^{n} k_i e_i\]

olsun; o hâlde $[v]_e = (k_1, k_2, \dots, k_n)^{t}$’dir. $T$ lineer olduğundan

\[ \begin{aligned} T(v) &= T\Big( \sum_{i=1}^{n} k_i e_i \Big) = \sum_{i=1}^{n} k_i\,T(e_i) = \sum_{i=1}^{n} k_i \Big( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} e_j \Big)\\[1mm] &= \sum_{j=1}^{n} \Big( \sum_{i=1}^{n} a_{ij} k_i \Big) e_j = \sum_{j=1}^{n} \big( a_{1j}k_1 + a_{2j}k_2 + \cdots + a_{nj}k_n \big)\,e_j \end{aligned} \]

Öyleyse $T(v)$’nin $e$ tabanına göre koordinat vektörü

\[\big[T(v)\big]_e = \begin{pmatrix} a_{11}k_1 + a_{21}k_2 + \cdots + a_{n1}k_n\\ a_{12}k_1 + a_{22}k_2 + \cdots + a_{n2}k_n\\ \vdots\\ a_{1n}k_1 + a_{2n}k_2 + \cdots + a_{nn}k_n \end{pmatrix}_{(n,1)}\]

Öte yandan matris çarpımını yapalım:

\[[T]_e \cdot [v]_e = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{21} & \cdots & a_{n1}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{n2}\\ \vdots & & & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_n \end{pmatrix}\]

\[= \begin{pmatrix} a_{11}k_1 + a_{21}k_2 + \cdots + a_{n1}k_n\\ a_{12}k_1 + a_{22}k_2 + \cdots + a_{n2}k_n\\ \vdots\\ a_{1n}k_1 + a_{2n}k_2 + \cdots + a_{nn}k_n \end{pmatrix}\]

İki sütun matris aynı olduğundan

\[[T]_e \cdot [v]_e = \big[T(v)\big]_e\]

$\blacksquare$

Örnek 29.3 (Teoremin Sayısal Doğrulaması) $T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}^{2}$, $T(x,y) = (4x - 2y,\ 2x + y)$ ve $f_1 = (1,1)$, $f_2 = (-1,0)$ olsun. $v = (5,7)$ için teoremi doğrulayınız.

Çözüm

Koordinat vektörleri. $v$’yi $f$ cinsinden yazalım: $(5,7) = x(1,1) + y(-1,0) = (x-y,\ x)$’ten $x = 7$, $y = 2$ bulunur:

\[v = (5,7) = 7f_1 + 2f_2 \qquad \Longrightarrow \qquad [v]_f = \begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix}\]

$T(v)$’yi hesaplayıp onu da $f$ cinsinden yazalım:

\[T(v) = T(5,7) = (20 - 14,\ 10 + 7) = (6,17)\]

$(6,17) = x(1,1) + y(-1,0)$’dan $x = 17$, $y = 11$:

\[T(v) = 17f_1 + 11f_2 \qquad \Longrightarrow \qquad \big[T(v)\big]_f = \begin{pmatrix} 17 \\ 11 \end{pmatrix}\]

Çarpım. $[T]_f = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ olduğunu yukarıda hesaplamıştık:

\[[T]_f \cdot [v]_f = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 7 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 21 - 4 \\ 7 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ 11 \end{pmatrix} = \big[T(v)\big]_f\]

$\blacksquare$

29.5 Çözümlü Örnekler

Örnek 29.4 (Standart Tabanda Matris Gösterimleri) $e_1 = (1,0)$, $e_2 = (0,1)$ olmak üzere $\mathbb{R}^{2}$ üzerinde aşağıdaki operatörlerin $e = \{e_1,e_2\}$ tabanına göre matris gösterimlerini bulunuz.

$T(x,y) = (2y,\ 3x - y)$
$T(x,y) = (3x - 4y,\ x + 5y)$

Çözüm

(i)

\[T(e_1) = T(1,0) = (0,3) = 0\,e_1 + 3\,e_2\] \[T(e_2) = T(0,1) = (2,-1) = 2\,e_1 - e_2\]

\[[T]_e = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\]

(ii)

\[T(e_1) = T(1,0) = (3,1) = 3\,e_1 + e_2\] \[T(e_2) = T(0,1) = (-4,5) = -4\,e_1 + 5\,e_2\]

\[[T]_e = \begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 5 \end{pmatrix}\]

Her iki durumda da matris, operatörün katsayı tablosunun kendisidir; standart tabanda bu hep böyledir.

$\blacksquare$

Örnek 29.5 (Standart Olmayan Bir Tabanda) $f_1 = (1,3)$, $f_2 = (2,5)$ olmak üzere $f = \{f_1, f_2\}$, $\mathbb{R}^{2}$’nin bir tabanıdır. Yukarıdaki iki operatörün $f$ tabanına göre matris gösterimlerini bulunuz.

Çözüm

Her iki şıkta da $(a,b)$’yi $f$ cinsinden yazmamız gerekecek:

\[(a,b) = x(1,3) + y(2,5) = (x + 2y,\ 3x + 5y)\]

\[\Longrightarrow \quad x + 2y = a,\ \ 3x + 5y = b\]

Birinci denklemi $3$ ile çarpıp ikinciden çıkaralım: $y = 3a - b$, buradan $x = a - 2y = 2b - 5a$. Yani

\[(a,b) = (2b - 5a)\,f_1 + (3a - b)\,f_2 \tag{$\star$}\]

(i) $T(x,y) = (2y,\ 3x-y)$.

\[T(f_1) = T(1,3) = (6,\ 0)\]

$(\star)$’da $a = 6$, $b = 0$: katsayılar $2\cdot 0 - 5\cdot 6 = -30$ ve $3 \cdot 6 - 0 = 18$, yani $T(f_1) = -30 f_1 + 18 f_2$.

\[T(f_2) = T(2,5) = (10,\ 1)\]

$(\star)$’da $a = 10$, $b = 1$: katsayılar $2 - 50 = -48$ ve $30 - 1 = 29$, yani $T(f_2) = -48 f_1 + 29 f_2$.

\[[T]_f = \begin{pmatrix} -30 & -48 \\ 18 & 29 \end{pmatrix}\]

(ii) $T(x,y) = (3x - 4y,\ x + 5y)$.

\[T(f_1) = T(1,3) = (3 - 12,\ 1 + 15) = (-9,\ 16)\]

$(\star)$: katsayılar $32 + 45 = 77$ ve $-27 - 16 = -43$, yani $T(f_1) = 77 f_1 - 43 f_2$.

\[T(f_2) = T(2,5) = (6 - 20,\ 2 + 25) = (-14,\ 27)\]

$(\star)$: katsayılar $54 + 70 = 124$ ve $-42 - 27 = -69$, yani $T(f_2) = 124 f_1 - 69 f_2$.

\[[T]_f = \begin{pmatrix} 77 & 124 \\ -43 & -69 \end{pmatrix}\]

$\blacksquare$

Matris tabana bağlıdır

Aynı operatörün iki farklı tabandaki matrisleri bambaşka görünebilir — yukarıdaki $T(x,y) = (2y, 3x-y)$ operatörü standart tabanda $\begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}$, $f$ tabanında ise $\begin{pmatrix} -30 & -48 \\ 18 & 29 \end{pmatrix}$ matrisiyle temsil ediliyor. Matris gösterimini yazarken alt indiste hangi tabanın kullanıldığını belirtmek bu yüzden şart.

29.6 İki Uzay Arasında: Dikdörtgen Matris Gösterimi

Şimdiye kadar bir uzayı kendi içine götüren operatörleri ele aldık; bu durumda tek bir taban seçmek yetiyordu. $T : V \to U$ gibi iki farklı uzay arasındaki bir dönüşüm için ise iki taban seçilir: biri $V$’de, biri $U$’da.

Tanım 29.2 (İki Tabana Göre Matris Gösterimi) $V$ ve $U$, $K$ üzerinde sırasıyla $m$ ve $n$ boyutlu iki vektör uzayı; $B = \{v_1, \dots, v_m\}$ $V$’nin, $C = \{u_1, \dots, u_n\}$ ise $U$’nun bir tabanı ve $T : V \to U$ lineer bir dönüşüm olsun. $j$. sütunu $\big[T(v_j)\big]_C$ olan

\[[T]_{C,B} := \Big( \big[T(v_1)\big]_C \ \Big|\ \big[T(v_2)\big]_C \ \Big|\ \cdots \ \Big|\ \big[T(v_m)\big]_C \Big)_{(n,m)}\]

$K$-matrisine, $T$’nin $B$ ve $C$ tabanlarına göre matris gösterimi denir.

Boyutlara dikkat: $[T]_{C,B}$ matrisi $(n, m)$ tipindedir — satır sayısı varış uzayının, sütun sayısı çıkış uzayının boyutudur. $V = U$ ve $B = C = e$ alınırsa $[T]_{e,e} = [T]_e$ olur ve önceki tanıma dönülür.

Temel teoremin karşılığı aynen geçerlidir; ispatı da operatör durumundakiyle sözcüğü sözcüğüne aynıdır:

\[\text{her } v \in V \text{ için} \qquad [T]_{C,B} \cdot [v]_B = \big[T(v)\big]_C\]

Örnek 29.6 (Bir Dikdörtgen Matris Gösterimi) $T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{2}$ dönüşümü

\[T(x,y,z) = (x + 2y - z,\ 3x - y)\]

biçiminde tanımlanıyor. $B$, $\mathbb{R}^{3}$’ün standart tabanı ve $C = \{u_1, u_2\}$ ile $u_1 = (1,0)$, $u_2 = (1,1)$ olmak üzere $[T]_{C,B}$ matrisini bulunuz ve $v = (1,1,1)$ için temel eşitliği doğrulayınız.

Çözüm

Sütunlar. Önce $\mathbb{R}^{2}$’de $C$ tabanına göre koordinat almayı hazırlayalım: $(p,q) = a(1,0) + b(1,1) = (a+b,\ b)$ olduğundan $b = q$ ve $a = p - q$’dur.

\[T(1,0,0) = (1,\ 3) \quad\Longrightarrow\quad b = 3,\ a = 1 - 3 = -2\] \[\Longrightarrow\quad \big[T(1,0,0)\big]_C = (-2,\ 3)^{t}\] \[T(0,1,0) = (2,\ -1) \quad\Longrightarrow\quad b = -1,\ a = 2 + 1 = 3\] \[\Longrightarrow\quad \big[T(0,1,0)\big]_C = (3,\ -1)^{t}\] \[T(0,0,1) = (-1,\ 0) \quad\Longrightarrow\quad b = 0,\ a = -1\] \[\Longrightarrow\quad \big[T(0,0,1)\big]_C = (-1,\ 0)^{t}\]

Bu üç sütunu yan yana koyalım:

\[[T]_{C,B} = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix}_{(2,3)}\]

Doğrulama. $v = (1,1,1)$ için $B$ standart taban olduğundan $[v]_B = (1,1,1)^{t}$’dir:

\[[T]_{C,B} \cdot [v]_B = \begin{pmatrix} -2 & 3 & -1 \\ 3 & -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 + 3 - 1 \\ 3 - 1 + 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}\]

Öte yandan $T(1,1,1) = (1 + 2 - 1,\ 3 - 1) = (2,2)$ olup bunun $C$ koordinatları $b = 2$, $a = 2 - 2 = 0$, yani $(0,2)^{t}$’dir:

\[\big[T(v)\big]_C = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix} = [T]_{C,B} \cdot [v]_B \ ✔\]

$\blacksquare$

Taban değişirse

Burada kullanılan geçiş matrisi kavramı taban değiştirme bölümünde tanımlanacak, aşağıdaki formül de iki uzay arasında matris gösterimi bölümünde ispatlanacak; şimdilik sonucu ileriye dönük bir not olarak kaydediyoruz. $V$’de $B$’den $B'$’ne geçiş matrisi $P$, $U$’da $C$’den $C'$’ne geçiş matrisi $Q$ olmak üzere

\[[T]_{C',B'} = Q^{-1} \cdot [T]_{C,B} \cdot P\]

Operatör durumunda $V = U$, $B = C$ ve $B' = C'$ olduğundan $Q = P$ çıkar ve bu formül tanıdık $[T]_f = P^{-1}[T]_e P$ benzerlik bağıntısına indirgenir.

Dönüşümlerin uzayı bölümünde $\dim \operatorname{Hom}(V,U) = m \cdot n$ olduğunu ispatlarken kurduğumuz $F_{ij}$ dönüşümleri, bu gösterimde tam olarak tek bir girdisi $1_K$, kalanı $0_K$ olan matrislere karşılık gelir. Boyut sayımının neden $m \cdot n$ çıktığı böylece somutlaşır: $(n,m)$ tipinde bir matrisin $m \cdot n$ tane girdisi vardır.

29.7 Alıştırma

Alıştırma 29.1 (Matris Gösterimi Hesapları)

$\mathbb{R}^{3}$ üzerinde bir $T$ operatörü şöyle tanımlansın:

\[T(x,y,z) = (a_1x + a_2y + a_3z,\ b_1x + b_2y + b_3z,\ c_1x + c_2y + c_3z)\]

Bu operatörün standart tabandaki matrisini bulunuz.
Standart tabanı kullanarak aşağıdaki operatörlerin matrislerini yazınız:
1. $T(x,y,z) = (2x - 3y + 4z,\ 5x - y + 2z,\ 4x + 7y)$
2. $T(x,y,z) = (2y + z,\ x - 4y,\ 3x)$
$\mathbb{R}^{3}$ üzerinde $T(x,y,z) = (2y+z,\ x-4y,\ 3x)$ ve $f_1 = (1,1,1)$, $f_2 = (1,1,0)$, $f_3 = (1,0,0)$ olsun. $[T]_f$ matrisini bulunuz ve $v = (a,b,c)$ için $[T]_f \cdot [v]_f = [T(v)]_f$ eşitliğini doğrulayınız.

Çözüm

1. Standart taban vektörlerinin görüntüleri:

\[T(e_1) = T(1,0,0) = (a_1, b_1, c_1) = a_1 e_1 + b_1 e_2 + c_1 e_3\] \[T(e_2) = T(0,1,0) = (a_2, b_2, c_2) = a_2 e_1 + b_2 e_2 + c_2 e_3\] \[T(e_3) = T(0,0,1) = (a_3, b_3, c_3) = a_3 e_1 + b_3 e_2 + c_3 e_3\]

Sütunları bu koordinatlardan kurunca

\[[T]_e = \begin{pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix}\]

yani katsayı tablosunun kendisi çıkar.

2. Birinci şıktan doğrudan okunur:

\[\text{a.}\quad [T]_e = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 4 \\ 5 & -1 & 2 \\ 4 & 7 & 0 \end{pmatrix} \qquad\qquad \text{b.}\quad [T]_e = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & -4 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

3. Önce $(a,b,c)$’nin $f$ tabanındaki koordinatlarını bulalım:

\[(a,b,c) = x(1,1,1) + y(1,1,0) + z(1,0,0) = (x+y+z,\ x+y,\ x)\]

Buradan $x = c$, $x + y = b$ yani $y = b - c$, ve $x+y+z = a$ yani $z = a - b$:

\[(a,b,c) = c\,f_1 + (b-c)\,f_2 + (a-b)\,f_3 \tag{$\star\star$}\]

Şimdi taban vektörlerinin görüntülerini yazalım:

\[T(f_1) = T(1,1,1) = (2+1,\ 1-4,\ 3) = (3,-3,3)\]

$(\star\star)$: $c = 3$, $b - c = -3-3 = -6$, $a - b = 3 - (-3) = 6$, yani $T(f_1) = 3f_1 - 6f_2 + 6f_3$.

\[T(f_2) = T(1,1,0) = (2,\ -3,\ 3) \quad \Longrightarrow \quad T(f_2) = 3f_1 - 6f_2 + 5f_3\]

\[T(f_3) = T(1,0,0) = (0,\ 1,\ 3) \quad \Longrightarrow \quad T(f_3) = 3f_1 - 2f_2 - f_3\]

Sütunları kurarak

\[[T]_f = \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -6 & -6 & -2 \\ 6 & 5 & -1 \end{pmatrix}\]

Doğrulama. $v = (a,b,c)$ için $(\star\star)$ gereği $[v]_f = (c,\ b-c,\ a-b)^{t}$’dir. Öte yandan

\[T(v) = (2b + c,\ a - 4b,\ 3a)\]

olup $(\star\star)$ bu vektöre uygulanırsa katsayılar sırayla $3a$, $(a - 4b) - 3a = -2a - 4b$ ve $(2b+c) - (a-4b) = -a + 6b + c$ çıkar:

\[\big[T(v)\big]_f = \begin{pmatrix} 3a \\ -2a - 4b \\ -a + 6b + c \end{pmatrix}\]

Çarpımı yapalım:

\[ \begin{aligned} [T]_f \cdot [v]_f &= \begin{pmatrix} 3 & 3 & 3 \\ -6 & -6 & -2 \\ 6 & 5 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} c \\ b-c \\ a-b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3c + 3(b-c) + 3(a-b) \\ -6c - 6(b-c) - 2(a-b) \\ 6c + 5(b-c) - (a-b) \end{pmatrix}\\[2mm] &= \begin{pmatrix} 3a \\ -2a - 4b \\ -a + 6b + c \end{pmatrix} \end{aligned} \]

İki sütun aynı olduğundan eşitlik doğrulanmış olur.

$\blacksquare$