30 Operatör Cebri ile Matris Cebri
Bir taban seçtiğimizde her operatöre bir kare matris karşılık geliyordu. Bu karşılık gelme yalnızca bir etiketleme değil: operatörlerle yapılan her işlem, matrislerle yapılan karşılık gelen işleme dönüşür. Bu bölümde bunu üç eşitlikle kesinleştiriyoruz.
30.1 Toplama ve Skalerle Çarpma
Teorem 30.1 (A(V) ile Matris Uzayının İzomorfluğu) \(V\), bir \(K\) komutatif cismi üzerinde sonlu boyutlu bir vektör uzayı ve \(e = \{e_1, \dots, e_n\}\) bir tabanı olsun. \(A(V)\) ile \(V\) üzerindeki lineer operatörlerin \(K\) üzerinde oluşturdukları cebri, \(\mathcal{A}\) ile de \(n\). mertebeden kare \(K\)-matrislerin \(K\) üzerinde oluşturdukları cebri gösterelim. Bu durumda
\[A(V) \longrightarrow \mathcal{A}, \qquad T \longmapsto [T]_e\]
dönüşümü \(A(V)\)’den \(\mathcal{A}\) üzerine bir vektör uzayı izomorfizmidir; yani bire bir ve örtendir, ayrıca her \(S, T \in A(V)\) ve \(k \in K\) için
\[[S + T]_e = [S]_e + [T]_e \qquad \text{ve} \qquad [kT]_e = k\,[T]_e\]
İspat
Dönüşüm bire birdir. Farklı operatörlerin matrisleri farklıdır: \(S \neq T\) ise \(V\)’nin bir taban vektöründe \(S(e_i) \neq T(e_i)\) olmalıdır (aksi hâlde tabanda belirlenme gereği \(S = T\) olurdu), dolayısıyla matrislerin \(i\). sütunları farklıdır ve \([S]_e \neq [T]_e\)’dir.
Dönüşüm örtendir. \(M \in \mathcal{A}\) verilsin ve \((m_{ij}) = M^{t}\) olsun.
\[F(e_i) = \sum_{j=1}^{n} m_{ij} e_j \qquad (i = 1, \dots, n)\]
koşuluyla belirlenen bir \(F : V \to V\) lineer operatörü, tabanda belirlenme teoremi gereği vardır ve tektir; tanım gereği \([F]_e = M\)’dir.
İşlemlerle uyum. \(S, T \in A(V)\) için
\[S(e_i) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} e_j, \qquad T(e_i) = \sum_{j=1}^{n} b_{ij} e_j \qquad (i = 1, \dots, n)\]
olsun; \(A = (a_{ij})\) ve \(B = (b_{ij})\) diyelim. O hâlde tanım gereği \([S]_e = A^{t}\) ve \([T]_e = B^{t}\)’dir.
Toplam için:
\[(S+T)(e_i) = S(e_i) + T(e_i) = \sum_{j=1}^{n} \big(a_{ij} + b_{ij}\big) e_j \qquad (i = 1, \dots, n)\]
Katsayı tablosu \((a_{ij} + b_{ij}) = A + B\) olduğundan
\[[S+T]_e = (A+B)^{t} = A^{t} + B^{t} = [S]_e + [T]_e\]
Skalerle çarpım için, \(k \in K\) olmak üzere:
\[(kT)(e_i) = k\,T(e_i) = k \sum_{j=1}^{n} b_{ij} e_j = \sum_{j=1}^{n} \big(k b_{ij}\big) e_j\]
Katsayı tablosu \((k b_{ij}) = kB\) olduğundan
\[[kT]_e = (kB)^{t} = k\,B^{t} = k\,[T]_e\]
\(\blacksquare\)
30.2 Çarpma
Teorem 30.2 (Bileşkenin Matrisi Matrislerin Çarpımıdır) \(V\) sonlu boyutlu, \(e\) bir tabanı olsun. Her \(S, T \in A(V)\) için
\[[ST]_e = [S]_e \cdot [T]_e\]
İspat
\(T(e_i) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} e_j\) ve \(S(e_j) = \sum_{k=1}^{n} b_{jk} e_k\) olsun; \(A = (a_{ij})\), \(B = (b_{jk})\) diyelim. Tanım gereği \([T]_e = A^{t}\) ve \([S]_e = B^{t}\)’dir.
\(ST = S \circ T\) operatörünün taban vektörlerindeki değerlerini hesaplayalım; \(S\) lineer olduğundan
\[ \begin{aligned} (ST)(e_i) &= S\big(T(e_i)\big) = S\Big( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} e_j \Big) = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,S(e_j)\\[1mm] &= \sum_{j=1}^{n} a_{ij} \Big( \sum_{k=1}^{n} b_{jk} e_k \Big) = \sum_{k=1}^{n} \Big( \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk} \Big) e_k \end{aligned} \]
Matris çarpımının tanımı gereği \(A \cdot B = (c_{ik})\) matrisinin girdileri
\[c_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij} b_{jk}\]
olduğundan, \(ST\)’nin katsayı tablosu tam olarak \(A \cdot B\)’dir. Öyleyse transpozenin çarpımla uyumu kullanılarak
\[[ST]_e = (A \cdot B)^{t} = B^{t} \cdot A^{t} = [S]_e \cdot [T]_e\]
\(\blacksquare\)
\([T]_e\)’yi katsayı tablosunun devriği olarak tanımlamamızın nedeni tam olarak bu teoremdir. Devrik alınmasaydı \((A \cdot B)^{t} = B^{t} A^{t}\) kuralı yüzünden çarpımların sırası ters dönerdi; bu tanımla ise bileşkenin sırası matris çarpımının sırasıyla birebir örtüşür.
Üç eşitliği bir araya getirince şu sonuç çıkar: \(A(V)\) ile \(n\). mertebeden kare matrisler cebri, bir taban seçimiyle aynı yapıdır. Operatörlerle yapılan bütün hesaplar matrislerle, matrislerle yapılan bütün hesaplar operatörlerle yürütülebilir.
Bu izomorfizm, operatör cebrinde karşılaştığımız tuhaflıkların matrislerdekiyle aynı olmasını açıklar: matris çarpımının komutatif olmaması ve sıfır bölenlerinin bulunması ile operatör çarpımınınkiler aynı olgunun iki yüzüdür. Boyut sayımı da tutar: \(\dim A(V) = n^{2}\) ve \(n\). mertebeden kare matrislerin uzayının boyutu da \(n^{2}\)’dir.
30.3 İki Boyutlu Durumda Açık Hesap
Örnek 30.1 (dim V = 2 İçin Üç Eşitliğin Doğrulanması) \(V\), \(K\) üzerinde iki boyutlu bir vektör uzayı ve \(e = \{e_1, e_2\}\) bir tabanı olsun. \(T, S \in A(V)\) operatörleri
\[T(e_1) = a_1 e_1 + a_2 e_2, \qquad T(e_2) = b_1 e_1 + b_2 e_2\] \[S(e_1) = c_1 e_1 + c_2 e_2, \qquad S(e_2) = d_1 e_1 + d_2 e_2\]
ile verilsin. \([T+S]_e\), \([kT]_e\) ve \([ST]_e\) matrislerini hesaplayınız.
Çözüm
Tanım gereği
\[[T]_e = \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix}, \qquad [S]_e = \begin{pmatrix} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}\]
Toplam.
\[(T+S)(e_1) = T(e_1) + S(e_1) = (a_1 + c_1)e_1 + (a_2 + c_2)e_2\] \[(T+S)(e_2) = T(e_2) + S(e_2) = (b_1 + d_1)e_1 + (b_2 + d_2)e_2\]
\[[T+S]_e = \begin{pmatrix} a_1 + c_1 & b_1 + d_1 \\ a_2 + c_2 & b_2 + d_2 \end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix} = [T]_e + [S]_e\]
Skalerle çarpım. \(k \in K\) için
\[(kT)(e_1) = (ka_1)e_1 + (ka_2)e_2, \qquad (kT)(e_2) = (kb_1)e_1 + (kb_2)e_2\]
\[[kT]_e = \begin{pmatrix} ka_1 & kb_1 \\ ka_2 & kb_2 \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} = k\,[T]_e\]
Çarpım. \(S\) lineer olduğundan
\[ \begin{aligned} (ST)(e_1) &= S\big(T(e_1)\big) = S(a_1 e_1 + a_2 e_2) = a_1 S(e_1) + a_2 S(e_2)\\[1mm] &= a_1(c_1 e_1 + c_2 e_2) + a_2(d_1 e_1 + d_2 e_2)\\[1mm] &= (a_1 c_1 + a_2 d_1)\,e_1 + (a_1 c_2 + a_2 d_2)\,e_2 \end{aligned} \]
\[ \begin{aligned} (ST)(e_2) &= S\big(T(e_2)\big) = b_1 S(e_1) + b_2 S(e_2)\\[1mm] &= (b_1 c_1 + b_2 d_1)\,e_1 + (b_1 c_2 + b_2 d_2)\,e_2 \end{aligned} \]
Sütunları kurarak
\[[ST]_e = \begin{pmatrix} a_1 c_1 + a_2 d_1 & b_1 c_1 + b_2 d_1 \\ a_1 c_2 + a_2 d_2 & b_1 c_2 + b_2 d_2 \end{pmatrix}\]
\[= \begin{pmatrix} c_1 & d_1 \\ c_2 & d_2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{pmatrix} = [S]_e \cdot [T]_e\]
\(\blacksquare\)
30.4 Alıştırma
Alıştırma 30.1 (İzomorfizmin Kullanımı)
- \(\mathbb{R}^{2}\) üzerinde \(S(x,y) = (y,x)\) ve \(T(x,y) = (0,x)\) operatörlerinin standart tabandaki matrislerini bulunuz; \([ST]_e\) ile \([TS]_e\)’yi hem doğrudan hem de matris çarpımıyla hesaplayıp karşılaştırınız.
- \(T \in A(V)\) tersinir ve \(e\) bir taban olsun. \([T^{-1}]_e = \big([T]_e\big)^{-1}\) olduğunu gösteriniz.
- \(\dim V = n\) olsun. Bir \(T \in A(V)\) operatörünün tersinir olması için gerek ve yeter koşulun \([T]_e\) matrisinin regüler olması olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. Standart tabanda
\[S(e_1) = S(1,0) = (0,1) = e_2, \qquad S(e_2) = S(0,1) = (1,0) = e_1\]
\[T(e_1) = T(1,0) = (0,1) = e_2, \qquad T(e_2) = T(0,1) = (0,0)\]
olduğundan
\[[S]_e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \qquad [T]_e = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\]
Doğrudan hesapla \((ST)(x,y) = S(0,x) = (x,0)\) ve \((TS)(x,y) = T(y,x) = (0,y)\) bulunur; bunların matrisleri
\[[ST]_e = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad [TS]_e = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
Matris çarpımıyla da aynı sonuçlar çıkar:
\[[S]_e[T]_e = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\]
\[[T]_e[S]_e = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\]
İki matris farklı olduğundan \(ST \neq TS\)’dir.
2. Önce birim operatörün matrisini bulalım: \(I(e_i) = e_i\) olduğundan \([I]_e = I_n\)’dir. Şimdi \(TT^{-1} = T^{-1}T = I\) eşitliklerinin matrisini alalım; çarpım teoremi gereği
\[[T]_e \cdot [T^{-1}]_e = [T T^{-1}]_e = [I]_e = I_n\] \[[T^{-1}]_e \cdot [T]_e = [T^{-1} T]_e = [I]_e = I_n\]
Bu, \([T^{-1}]_e\) matrisinin \([T]_e\)’nin tersi olduğunu söyler:
\[[T^{-1}]_e = \big([T]_e\big)^{-1}\]
3. Gereklik. \(T\) tersinir ise (2) gereği \([T]_e\)’nin tersi vardır, yani \([T]_e\) regülerdir.
Yeterlik. \([T]_e\) regüler olsun; \([T]_e \cdot M = M \cdot [T]_e = I_n\) olacak bir \(M\) kare matrisi vardır. İzomorfizm örten olduğundan \([F]_e = M\) olacak bir \(F \in A(V)\) bulunur. O hâlde
\[[TF]_e = [T]_e \cdot [F]_e = I_n = [I]_e, \qquad [FT]_e = [F]_e \cdot [T]_e = I_n = [I]_e\]
İzomorfizm bire bir olduğundan \(TF = I\) ve \(FT = I\)’dır; yani \(F = T^{-1}\) ve \(T\) tersinirdir.
\(\blacksquare\)