24 Singüler Olmayan Dönüşümler
Bir lineer dönüşümün sıfırdan farklı bir vektörü sıfıra ezip ezmediği, dönüşümün bilgi kaybedip kaybetmediğini belirler. Bu bölümde bu ayrımı adlandırıyor, bire birlikle ve lineer bağımsızlığın korunmasıyla nasıl aynı şey olduğunu görüyoruz.
24.1 Tanım
Tanım 24.1 (Singüler ve Singüler Olmayan Dönüşüm) \(V\) ve \(U\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun.
Eğer
\[F(v) = 0_U \ \text{ olacak şekilde bir } \ v \in V \setminus \{0_V\}\]
varsa \(F\)’ye singüler denir.
Eğer
\[F(v) = 0_U \iff v = 0_V,\]
yani başka bir deyişle \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) ise \(F\)’ye singüler değil (singüler olmayan) denir.
Her lineer dönüşüm \(0_V\)’yi \(0_U\)’ya götürür; bu kaçınılmazdır. Singüler olmak, bunun dışında da sıfıra giden bir vektörün bulunması demektir.
24.2 Bire Birlikle Denkliği
Teorem 24.1 (Singüler Olmama Ölçütü) \(V\) ve \(U\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı olsun. Bir \(F : V \to U\) lineer dönüşümünün bir izomorfizm, yani bire bir olması için gerek ve yeter koşul \(F\)’nin singüler olmamasıdır.
İspat
Gereklik. \(F\) bir izomorfizm, yani bire bir olsun. \(v \in \operatorname{Ker} F\) alalım; \(F(v) = 0_U\)’dur. Öte yandan her lineer dönüşüm için \(F(0_V) = 0_U\) olduğundan \(F(v) = F(0_V)\) olur. \(F\) bire bir olduğundan \(v = 0_V\)’dir. Demek ki \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\), yani \(F\) singüler değildir.
Yeterlik. \(F\) singüler olmasın, yani \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olsun. \(v, w \in V\) için \(F(v) = F(w)\) olduğunu varsayalım. O hâlde
\[F(v) - F(w) = 0_U \quad \Longrightarrow \quad F(v - w) = 0_U\]
\[\Longrightarrow \quad v - w \in \operatorname{Ker} F = \{0_V\}\]
Buradan \(v - w = 0_V\), yani \(v = w\) elde edilir. Demek ki \(F\) bire birdir.
\(\blacksquare\)
24.3 Lineer Bağımsızlığın Korunması
Singüler olmayan dönüşümleri tanımanın ikinci yolu, bağımsız kümelere ne yaptıklarına bakmaktır.
Teorem 24.2 (Bağımsızlık İleri Taşınır) \(F : V \to U\) singüler olmayan bir lineer dönüşüm olsun. \(\{v_1, \dots, v_n\}\), \(V\)’nin lineer bağımsız bir alt kümesi ise \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\) de \(U\)’nun lineer bağımsız bir alt kümesidir.
İspat
\(a_1, \dots, a_n \in K\) olmak üzere
\[a_1 F(v_1) + a_2 F(v_2) + \cdots + a_n F(v_n) = 0_U\]
olsun. \(F\) lineer olduğundan
\[F\big(a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n\big) = 0_U \quad \Longrightarrow \quad a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \in \operatorname{Ker} F\]
\(F\) singüler olmadığından \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\)’dir; dolayısıyla
\[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0_V\]
\(v_1, \dots, v_n\) lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılar sıfırdır:
\[a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0_K\]
Demek ki \(F(v_1), \dots, F(v_n)\) lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Bu özelliğin tersi de doğrudur; birlikte tam bir karakterizasyon verirler.
Teorem 24.3 (Bağımsızlık Korunmasıyla Karakterizasyon) \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun. \(F\)’nin singüler olmaması için gerek ve yeter koşul, \(V\)’nin lineer bağımsız her alt kümesinin \(F\) altındaki görüntüsünün \(U\)’nun lineer bağımsız bir alt kümesi olmasıdır.
İspat
Gereklik. Bir önceki teoremdir.
Yeterlik. \(V\)’nin her lineer bağımsız alt kümesinin görüntüsü lineer bağımsız olsun. \(v \in V \setminus \{0_V\}\) alalım. Tek elemanlı \(\{v\}\) kümesi, \(v \neq 0_V\) olduğundan lineer bağımsızdır. Varsayım gereği \(\{F(v)\}\) de lineer bağımsızdır; tek elemanlı bir kümenin bağımsız olması ise
\[F(v) \neq 0_U\]
demektir. Sıfırdan farklı hiçbir vektör sıfıra gitmediğinden \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\), yani \(F\) singüler değildir.
\(\blacksquare\)
Singüler olmayan lineer dönüşümler — yani izomorfizmler — lineer bağımsız kümeleri lineer bağımsız kümelere götürürler. Tersine, herhangi bir lineer bağımsız kümeyi yine lineer bağımsız bir kümeye götüren bir lineer dönüşüm singüler değildir.
24.4 Boyut Engeli
Bazı uzay çiftleri arasında singüler olmayan bir dönüşüm kurmak, boyutlar yüzünden baştan imkânsızdır.
Örnek 24.1 (Singüler Olmayan Bir Dönüşümün Bulunmadığı Durum) Bütün singüler olmayan \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) lineer dönüşümlerini bulunuz.
Çözüm
\(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) herhangi bir lineer dönüşüm olsun. Tanım kümesi \(V = \mathbb{R}^{4}\) için
\[\dim V = \dim \mathbb{R}^{4} = 4\]
Öte yandan \(\operatorname{Im} T\), \(\mathbb{R}^{3}\)’ün bir alt uzayı olduğundan
\[\dim(\operatorname{Im} T) \le \dim \mathbb{R}^{3} = 3\]
Buradan \(\dim \mathbb{R}^{4} \neq \dim(\operatorname{Im} T)\) çıkar. Boyut teoreminin sonucu gereği \(\dim V = \dim(\operatorname{Im} T)\) ile \(T\)’nin singüler olmaması denk olduğundan, \(T\) singülerdir.
Demek ki her \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) lineer dönüşümü singülerdir; başka bir ifadeyle singüler olmayan bir \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) lineer dönüşümü yoktur.
\(\blacksquare\)
\(\dim V > \dim U\) ise \(V\)’den \(U\)’ya giden her lineer dönüşüm singülerdir: boyut teoremi gereği böyle bir dönüşümün Nullity’si en az \(\dim V - \dim U > 0\) olur, yani çekirdek yalnız sıfırdan ibaret kalamaz. Dar bir uzaya sığmak için mutlaka bilgi kaybetmek gerekir.
24.5 Alıştırma
Alıştırma 24.1 (Singülerlik Üzerine)
- \(V\) ve \(U\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı; \(T : V \to U\) lineer bir dönüşüm ve \(k \in K \setminus \{0_K\}\) olsun. \(T\)’nin singüler olması için gerek ve yeter koşulun \(kT\) dönüşümünün singüler olması olduğunu gösteriniz. (Burada \(kT\), her \(v \in V\) için \((kT)(v) = k\,T(v)\) ile tanımlıdır.)
- \(F : V \to W\) lineer ve \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olsun. \(v_1, \dots, v_n \in V\) lineer bağımsız ise \(F(v_1), \dots, F(v_n)\) vektörlerinin de lineer bağımsız olduğunu gösteriniz.
- \(F : V \to W\) üzerine bir izomorfizm olsun. \(\{v_1, \dots, v_n\}\), \(V\)’nin bir tabanı ise \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\) kümesinin \(W\)’nin bir tabanı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. Gereklik. \(T\) singüler olsun. O hâlde \(T(v) = 0_U\) olacak bir \(v \in V \setminus \{0_V\}\) vardır. Bu \(v\) için
\[(kT)(v) = k\,T(v) = k\,0_U = 0_U\]
olur; yani \(kT\) de sıfırdan farklı bir vektörü sıfıra götürür ve singülerdir.
Yeterlik. \(kT\) singüler olsun; \((kT)(w) = 0_U\) olacak bir \(w \in V \setminus \{0_V\}\) vardır. \(T\) lineer olduğundan
\[T(kw) = k\,T(w) = (kT)(w) = 0_U\]
\(k \neq 0_K\) ve \(w \neq 0_V\) olduğundan \(kw \neq 0_V\)’dir, yani \(kw \in V \setminus \{0_V\}\)’dir. Demek ki \(T\) sıfırdan farklı bir vektörü sıfıra götürüyor: \(T\) singülerdir.
2. \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olması \(F\)’nin singüler olmaması demektir; iddia doğrudan bağımsızlığın ileri taşınması teoremidir.
3. \(F\) bire bir olduğundan singüler değildir; (2) gereği \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\) lineer bağımsızdır. Ayrıca \(V = L(v_1, \dots, v_n)\) olduğundan doğuran kümenin görüntüsü gereği
\[\operatorname{Im} F = L\big(F(v_1), \dots, F(v_n)\big)\]
\(F\) örten olduğundan \(\operatorname{Im} F = W\)’dir, yani bu vektörler \(W\)’yi doğurur. Hem doğuran hem lineer bağımsız olduklarından \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\), \(W\)’nin bir tabanıdır.
\(\blacksquare\)