21 Koordinatlar ve İzomorfizm
Sonlu boyutlu bir uzayda taban seçmek, her vektöre bir sayı listesi adresi vermek demektir. Bu bölümde önce bu adresin tek türlü belirli olduğunu gösterecek, ardından iki büyük sonuca varacağız: \(n\)-boyutlu her vektör uzayı aslında \(K^{n}\)’dir ve bir lineer dönüşüm, taban vektörlerindeki değerleriyle tamamen belirlenir.
21.1 Koordinatlar
Tanım 21.1 (İzomorf Uzaylar) \(U\) ve \(V\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı olsun. \(V\)’nin \(U\) üzerine bir izomorfizmi varsa “\(V\), \(U\)’ya izomorftur” denir ve
\[V \cong U\]
biçiminde gösterilir.
\(V\), \(K\) üzerinde \(n\)-boyutlu bir vektör uzayı, \(E = \{e_1, \dots, e_n\}\) bir tabanı ve \(v \in V\) olsun. \(\{e_1, \dots, e_n\}\) uzayı doğurduğundan \(v\), bu vektörlerin bir lineer kombinezonudur:
\[v = a_1 e_1 + a_2 e_2 + \cdots + a_n e_n \qquad (a_i \in K)\]
Bu gösteriliş tektir. Gerçekten \(v = b_1 e_1 + \cdots + b_n e_n\) ikinci bir gösteriliş olsaydı, iki ifadeyi taraf tarafa çıkararak
\[\big(a_1 - b_1\big)e_1 + \big(a_2 - b_2\big)e_2 + \cdots + \big(a_n - b_n\big)e_n = 0_V\]
bulunurdu. \(\{e_1, \dots, e_n\}\) bir taban, dolayısıyla lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılar sıfır olmalıdır:
\[a_i - b_i = 0_K \implies a_i = b_i \qquad (i = 1, \dots, n)\]
Tanım 21.2 (Koordinatlar) Yukarıdaki \(a_1, a_2, \dots, a_n \in K\) skalerleri, \(E\) tabanı ve \(v\) vektörü tarafından tamamen belirlidir. Bu skalerlere \(v\)’nin \(E = \{e_1, \dots, e_n\}\) tabanına göre koordinatları denir ve
\[[v]_E = (a_1, a_2, \dots, a_n)\]
biçiminde gösterilir.
En sık sorulan soru şudur: “\([v]_E = (a_1, \dots, a_n)\) yazdığımızda, \(v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n\) eşitliğindeki \(v\) standart tabanda mı?” Hayır. \(v\), uzayın bir elemanıdır — bir ok, bir polinom, bir matris — ve hiçbir tabana bağlı değildir. Eşitlik, vektörlerin kendileri arasındadır; taban seçmek \(v\)’yi değiştirmez, yalnızca \(v\)’ye hangi sayı listesiyle ad verdiğimizi değiştirir.
\(\mathbb{R}^{n}\)’de kafa karıştıran incelik şudur: \(v = (3,5)\) yazımının kendisi zaten standart tabana göre koordinatlardır, çünkü
\[(3,5) = 3(1,0) + 5(0,1)\]
Yani standart taban \(s\) için \([v]_s = (3,5) = v\)’dir — vektörle koordinatları çakışır. Başka bir taban seçildiğinde bu çakışma bozulur: \(f_1 = (1,1)\), \(f_2 = (1,2)\) tabanında aynı vektör
\[(3,5) = 1 \cdot (1,1) + 2 \cdot (1,2) \implies [v]_f = (1,2)\]
olur. Vektör aynı vektördür; değişen yalnızca adresidir.
Örnek 21.1 (Koordinatların Bulunması) \(v = (3, 1, -4) \in \mathbb{R}^{3}\) vektörünün \(\mathbb{R}^{3}\)’ün \(E = \{(1,1,1),\ (0,1,1),\ (0,0,1)\}\) tabanına göre koordinatlarını bulunuz.
Çözüm
\(e_1 = (1,1,1)\), \(e_2 = (0,1,1)\), \(e_3 = (0,0,1)\) olsun ve \(v = x e_1 + y e_2 + z e_3\) yazalım:
\[(3,1,-4) = x(1,1,1) + y(0,1,1) + z(0,0,1) = \big(x,\ x + y,\ x + y + z\big)\]
Bileşenler eşitlenirse
\[x = 3, \qquad x + y = 1, \qquad x + y + z = -4\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & -4\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 1 & 1 & -7\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3\\ 0 & 1 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 1 & -5\end{array}\right)\]
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğundan tek çözüm vardır:
\[x = 3, \qquad y = -2, \qquad z = -5\]
Demek ki \(v = 3e_1 - 2e_2 - 5e_3\) ve
\[[v]_E = (3, -2, -5)\]
Sağlama:
\[3(1,1,1) - 2(0,1,1) - 5(0,0,1) = (3,\ 3-2,\ 3-2-5) = (3,1,-4)\]
\(\blacksquare\)
21.2 Koordinatları Bir Tabandan Diğerine Çevirmek
İki taban, aynı vektöre iki farklı sayı listesi verir. Birinden diğerine geçmenin en yalın yolu iki adımdır ve yeni hiçbir araç gerektirmez.
\(f = \{f_1, \dots, f_n\}\) ve \(g = \{g_1, \dots, g_n\}\), \(V\)’nin iki tabanı olsun; \([v]_f = (a_1, \dots, a_n)\) verilsin ve \([v]_g\) istensin.
- Vektörü kurun: \(v = a_1 f_1 + \cdots + a_n f_n\) toplamını hesaplayın; artık \(v\)’nin kendisi elinizdedir.
- Yeni tabanda çözün: \(v = x_1 g_1 + \cdots + x_n g_n\) denklemini \(x_1, \dots, x_n\) için çözün; çıkan liste \([v]_g\)’dir.
Örnek 21.2 (İki Adımın Uygulanması) \(\mathbb{R}^{2}\)’de \(f_1 = (1,1)\), \(f_2 = (1,2)\) ve \(g_1 = (2,1)\), \(g_2 = (1,1)\) tabanları veriliyor. \([v]_f = (1, 2)\) olduğuna göre \([v]_g\)’yi bulunuz.
Çözüm
1. adım. Vektörü kuralım:
\[v = 1 \cdot f_1 + 2 \cdot f_2 = (1,1) + 2(1,2) = (3,5)\]
2. adım. \(v = x g_1 + y g_2\) yazalım:
\[(3,5) = x(2,1) + y(1,1) = (2x + y,\ x + y)\]
\(2x + y = 3\) ve \(x + y = 5\) denklemlerinden, taraf tarafa çıkararak \(x = -2\), buradan \(y = 7\) bulunur:
\[[v]_g = (-2, 7)\]
Kontrol. \(-2(2,1) + 7(1,1) = (-4 + 7,\ -2 + 7) = (3,5)\) ✔
\(\blacksquare\)
Bu iki adım her zaman çalışır; ama aynı taban çiftiyle çok sayıda vektör çevrilecekse her seferinde sistem çözmek israftır. İki adımı tek bir matris çarpımına sıkıştıran araç geçiş matrisidir; onu taban değiştirme bölümünde kuracağız, hesap pratiği ise Problemler bölümünde toplanmıştır.
21.3 Her n-Boyutlu Uzay Kⁿ’dir
Teorem 21.1 (n-Boyutlu Uzaylar Kⁿ’e İzomorftur) \(V\), \(K\) üzerinde \(n\)-boyutlu bir vektör uzayı ise \(V\), \(K^{n}\)’e izomorftur:
\[V \cong K^{n}\]
İspat
\(E = \{e_1, \dots, e_n\}\), \(V\)’nin bir tabanı olsun. Her \(v \in V\)
\[v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n \qquad (a_i \in K)\]
biçiminde tek türlü yazıldığından
\[F : V \longrightarrow K^{n}, \qquad v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n \longmapsto (a_1, \dots, a_n) = [v]_E\]
dönüşümü tanımlanabilir. Bunun bir izomorfizm olduğunu dört adımda görelim.
1. \(F\) iyi tanımlıdır. \(v = w\) olsun. Koordinatlar tek türlü belirli olduğundan \(v\)’nin ve \(w\)’nin katsayı listeleri çakışır, yani \([v]_E = [w]_E\) ve \(F(v) = F(w)\)’dir.
2. \(F\) örtendir. Herhangi bir \((a_1, \dots, a_n) \in K^{n}\) verildiğinde \(v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n \in V\) vektörü kurulabilir ve \(F(v) = (a_1, \dots, a_n)\)’dir.
3. \(F\) bire birdir. \(v = a_1 e_1 + \cdots + a_n e_n\) ve \(w = b_1 e_1 + \cdots + b_n e_n\) için \(F(v) = F(w)\) olsun. O hâlde
\[(a_1, \dots, a_n) = (b_1, \dots, b_n) \implies a_i = b_i \ \ (i = 1, \dots, n) \implies v = w\]
4. \(F\) lineerdir. Aynı gösterimlerle
\[\begin{aligned} F(v + w) &= F\big((a_1 + b_1)e_1 + \cdots + (a_n + b_n)e_n\big)\\[1mm] &= (a_1 + b_1,\ \dots,\ a_n + b_n)\\[1mm] &= (a_1, \dots, a_n) + (b_1, \dots, b_n) = F(v) + F(w) \end{aligned}\]
ve \(k \in K\) için
\[\begin{aligned} F(kv) &= F\big((ka_1)e_1 + \cdots + (ka_n)e_n\big) = (ka_1, \dots, ka_n)\\[1mm] &= k(a_1, \dots, a_n) = k F(v) \end{aligned}\]
Dört adım birlikte \(F\)’nin \(V\)’den \(K^{n}\) üzerine bir izomorfizm olduğunu verir: \(V \cong K^{n}\).
\(\blacksquare\)
\(K\) üzerinde \(n\)-boyutlu bütün vektör uzayları — matrisler, polinomlar, fonksiyonların uygun alt uzayları — cebirsel olarak \(K^{n}\)’in aynısıdır. Bir taban seçmek, o uzayı \(K^{n}\)’e çevirmekten başka bir şey değildir. Bu yüzden sonlu boyutlu uzaylarda çalışırken sıralı \(n\)-lilerle uğraşmak genellik kaybı yaratmaz.
21.4 Dönüşüm Tabanda Belirlenir
Teorem 21.2 (Lineer Dönüşümün Tabanla Belirlenmesi) \(V\) ve \(U\), aynı \(K\) cismi üzerinde iki vektör uzayı olsun. \(\{v_1, v_2, \dots, v_n\}\), \(V\)’nin bir tabanı ve \(u_1, u_2, \dots, u_n\) da \(U\)’nun herhangi \(n\) elemanı olsun. O hâlde
\[F(v_1) = u_1, \quad F(v_2) = u_2, \quad \dots, \quad F(v_n) = u_n\]
olacak biçimde bir \(F : V \to U\) lineer dönüşümü vardır ve bu dönüşüm tek olarak belirlidir.
İspat
1. Dönüşüm tanımlanabilir. \(\{v_1, \dots, v_n\}\) bir taban olduğundan her \(v \in V\)
\[v = a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n\]
biçiminde tek türlü yazılır. Bu katsayıları kullanarak
\[F(v) := a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n \in U\]
tanımını yapalım. Katsayılar tek türlü belirli olduğundan \(F\) iyi tanımlıdır: \(v = w\) ise katsayılar aynıdır ve \(F(v) = F(w)\)’dir.
Ayrıca her \(i\) için
\[v_i = 0_K v_1 + \cdots + 1_K v_i + \cdots + 0_K v_n\]
\[\implies F(v_i) = 0_K u_1 + \cdots + 1_K u_i + \cdots + 0_K u_n = u_i\]
yani istenen koşullar sağlanır.
2. \(F\) lineerdir. \(v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\) ve \(w = b_1 v_1 + \cdots + b_n v_n\) olsun. Toplamın koordinatları katsayıların toplamıdır:
\[\begin{aligned} F(v + w) &= F\big((a_1 + b_1)v_1 + \cdots + (a_n + b_n)v_n\big)\\[1mm] &= (a_1 + b_1)u_1 + \cdots + (a_n + b_n)u_n\\[1mm] &= \big(a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n\big) + \big(b_1 u_1 + \cdots + b_n u_n\big)\\[1mm] &= F(v) + F(w) \end{aligned}\]
\(k \in K\) için
\[\begin{aligned} F(kv) &= F\big((ka_1)v_1 + \cdots + (ka_n)v_n\big) = (ka_1)u_1 + \cdots + (ka_n)u_n\\[1mm] &= k\big(a_1 u_1 + \cdots + a_n u_n\big) = k F(v) \end{aligned}\]
3. \(F\) tektir. \(G : V \to U\) de lineer olsun ve \(G(v_i) = u_i\) \((i = 1, \dots, n)\) koşulunu sağlasın. Herhangi bir \(v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \in V\) için \(G\)’nin lineerliğini kullanalım:
\[\begin{aligned} G(v) &= a_1 G(v_1) + a_2 G(v_2) + \cdots + a_n G(v_n)\\[1mm] &= a_1 u_1 + a_2 u_2 + \cdots + a_n u_n = F(v) \end{aligned}\]
Her \(v \in V\) için \(G(v) = F(v)\) olduğundan \(G = F\)’dir.
\(\blacksquare\)
Örnek 21.3 (Dönüşümü Taban Değerlerinden Kurmak) \(T : \mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}\) lineer dönüşümü \(T(1,1) = 3\) ve \(T(0,1) = -2\) koşullarını sağlasın. Böyle bir dönüşüm var mıdır? Varsa \((a,b) \in \mathbb{R}^{2}\) için \(T(a,b)\)’yi bulunuz.
Çözüm
Önce \(\{(1,1),\ (0,1)\}\) kümesinin \(\mathbb{R}^{2}\)’nin bir tabanı olduğunu görelim: iki vektör de sıfırdan farklıdır ve hiçbiri diğerinin katı değildir, dolayısıyla bağımsızdırlar; \(\dim \mathbb{R}^{2} = 2\) olduğundan iki elemanlı bağımsız küme bir tabandır.
Taban vektörlerindeki değerler verildiğine göre, önceki teorem gereği böyle bir \(T\) vardır ve tektir.
\(T(a,b)\)’yi hesaplamak için \((a,b)\)’yi taban cinsinden yazalım:
\[(a,b) = x(1,1) + y(0,1) = (x,\ x + y) \implies x = a, \quad x + y = b\]
\[\left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & a\\ 1 & 1 & b\end{array}\right) \overset{R_2 \to -R_1 + R_2}{\sim} \left(\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & a\\ 0 & 1 & b-a\end{array}\right)\]
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğundan tek çözüm vardır: \(x = a\), \(y = b - a\). Şimdi \(T\)’nin lineerliğini kullanalım:
\[T(a,b) = T\big(x(1,1) + y(0,1)\big) = x\,T(1,1) + y\,T(0,1) = 3x - 2y\]
\[= 3a - 2(b - a) = 5a - 2b\]
Demek ki \(T(a,b) = 5a - 2b\)’dir. Sağlama: \(T(1,1) = 5 - 2 = 3\) ve \(T(0,1) = 0 - 2 = -2\).
\(\blacksquare\)
21.5 Alıştırma
Alıştırma 21.1 (Koordinatlar ve Tabanla Belirlenme)
- \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{2}\) lineer dönüşümü
\[T(2,0,0,0) = (4,0), \qquad T(2,2,0,0) = (1,-1)\]
\[T(2,2,2,0) = (0,-2), \qquad T(2,2,2,2) = (-4,0)\]
koşullarını sağlasın. Böyle bir dönüşüm var mıdır? Varsa \(T(8,6,4,2)\)’yi bulunuz.
- \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{2}\) lineer dönüşümü
\[T(3,0,0,0) = (1,-1), \qquad T(3,3,0,0) = (0,-1)\]
\[T(3,3,3,0) = (2,0), \qquad T(3,3,3,3) = (0,2)\]
koşullarını sağlasın. \(T(12,9,6,3)\)’ü bulunuz.
- \(F : V \to W\) üzerine bir vektör uzayı izomorfizmi olsun (\(V \cong W\)). \(\{v_1, \dots, v_n\}\), \(V\)’nin bir tabanı ise \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\)’in de \(W\)’nin bir tabanı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Önce verilen dört vektörün bir taban olduğunu görelim. Bunları satır kabul eden matris
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 2 & 0\\ 2 & 2 & 2 & 2\end{pmatrix}\]
alt üçgenseldir; ikinci satırdan birinciyi, üçüncüden ikinciyi, dördüncüden üçüncüyü çıkarırsak
\[\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]
merdiven matrisi elde edilir; dört vektör lineer bağımsızdır. \(\dim \mathbb{R}^{4} = 4\) olduğundan bir tabandır ve dönüşüm vardır, üstelik tektir.
Şimdi \((8,6,4,2)\)’yi bu taban cinsinden yazalım:
\[(8,6,4,2) = a(2,0,0,0) + b(2,2,0,0) + c(2,2,2,0) + d(2,2,2,2)\]
Bileşenleri sondan başa doğru okuyalım:
\[2d = 2 \implies d = 1\]
\[2c + 2d = 4 \implies c = 1\]
\[2b + 2c + 2d = 6 \implies b = 1\]
\[2a + 2b + 2c + 2d = 8 \implies a = 1\]
Yani dördünün toplamı. \(T\) lineer olduğundan
\[T(8,6,4,2) = T(2,0,0,0) + T(2,2,0,0) + T(2,2,2,0) + T(2,2,2,2)\]
\[= (4,0) + (1,-1) + (0,-2) + (-4,0) = (1, -3)\]
b) Aynı yapı: dört vektör yine bir tabandır (aynı üçgen argüman, çarpan \(3\) ile). \((12,9,6,3)\)’ü yazalım:
\[3d = 3 \implies d = 1, \qquad 3c + 3d = 6 \implies c = 1\]
\[3b + 3c + 3d = 9 \implies b = 1\] \[3a + 3b + 3c + 3d = 12 \implies a = 1\]
Yine dördünün toplamı çıktı:
\[T(12,9,6,3) = (1,-1) + (0,-1) + (2,0) + (0,2) = (3, 0)\]
c) İki koşulu ayrı ayrı denetleyelim.
Doğurma. \(w \in W\) alalım. \(F\) örten olduğundan \(F(v) = w\) olacak bir \(v \in V\) vardır. \(v\)’yi taban cinsinden yazalım: \(v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\). \(F\) lineer olduğundan
\[w = F(v) = a_1 F(v_1) + \cdots + a_n F(v_n)\]
Demek ki \(W = L\big(F(v_1), \dots, F(v_n)\big)\)’dir.
Bağımsızlık. \(a_1 F(v_1) + \cdots + a_n F(v_n) = 0_W\) olsun. \(F\) lineer olduğundan sol taraf
\[F\big(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\big) = 0_W\]
biçiminde yazılır. Öte yandan her lineer dönüşüm için \(F(0_V) = 0_W\)’dir ve \(F\) bire bir olduğundan \(0_W\)’ye giden tek vektör \(0_V\)’dir:
\[a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n = 0_V\]
\(\{v_1, \dots, v_n\}\) bağımsız olduğundan bütün \(a_i\)’ler sıfırdır. Demek ki \(\{F(v_1), \dots, F(v_n)\}\) bağımsızdır.
İki koşul birlikte kümenin \(W\)’nin bir tabanı olduğunu verir. Bunun bir sonucu da şudur: izomorf uzayların boyutları eşittir.
\(\blacksquare\)
Bir lineer dönüşümü incelemenin iki doğal yolu vardır: hangi vektörleri sıfıra gönderdiğine bakmak ve hangi vektörlere ulaştığına bakmak. Sıradaki bölüm bu iki alt uzayı tanıtıyor: çekirdek ve görüntü.