25 Dönüşümler ve Denklem Sistemleri
Bir lineer denklem sistemi, aslında bir lineer dönüşümün belirli bir değeri aldığı noktaları sormaktan başka bir şey değildir. Bu bakış açısı, sistemler hakkında daha önce ölçütlerle kurduğumuz sonuçları tek bir teoremden — boyut teoreminden — türetmeyi sağlar.
25.1 Sistemin Dönüşüm Dili
\(K\) komutatif bir cisim olmak üzere, \(m\) lineer denklemli ve \(n\) bilinmeyenli
\[ \begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2\\ &\ \ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \]
sistemini ele alalım. Matris gösterimiyle bu sistem
\[A X = B\]
biçiminde yazılır; burada \(A = (a_{ij})\) katsayılar matrisi \((m,n)\) tipinde, \(X = (x_1, \dots, x_n)^{t}\) bilinmeyenler matrisi \((n,1)\) tipinde ve \(B = (b_1, \dots, b_m)^{t}\) sabitler matrisi \((m,1)\) tipindedir.
Şimdi bu matrisin belirlediği lineer dönüşümü düşünelim:
\[T : K^{n} \longrightarrow K^{m}, \qquad v \longmapsto A \cdot v\]
Bu dilde sistemin çözüm kümesi
\[\big\{ X \in K^{n} : T(X) = A X = B \big\}\]
kümesidir; yani \(B\) vektörünün \(T\) altındaki ters görüntüsüdür. İlgili homojen sistemin çözüm uzayı ise
\[W = \big\{ X \in K^{n} : T(X) = A X = O \big\} = \operatorname{Ker} T\]
olur.
İki gözlem sistemin bütün yapısını verir: çözüm uzayı bir çekirdektir ve görüntü, \(A\)’nın sütun uzayıdır. Birincisi çözümlerin sayısını, ikincisi sistemin çözülebilirliğini yönetir.
25.2 Çözüm Uzayının Boyutu
Teorem 25.1 (Homojen Sistemin Çözüm Uzayının Boyutu) \(A X = O\) homojen lineer denklem sisteminin \(W\) çözüm uzayının boyutu
\[\dim W = n - r\]
dir; burada \(n\) bilinmeyenlerin sayısı, \(r = \operatorname{rank}(A)\)’dır.
İspat
\(T : K^{n} \to K^{m}\), \(v \mapsto A \cdot v\) lineer dönüşümünü alalım. Yukarıda gördüğümüz gibi
\[W = \operatorname{Ker} T\]
dir. \(K^{n}\) sonlu boyutlu olduğundan boyut teoremi uygulanabilir:
\[\dim K^{n} = \dim(\operatorname{Ker} T) + \dim(\operatorname{Im} T)\]
Buradan
\[\dim(\operatorname{Ker} T) = \dim K^{n} - \dim(\operatorname{Im} T)\]
elde edilir. Sağ taraftaki iki terimi de tanıyoruz:
- \(\dim K^{n} = n\), yani sistemdeki bilinmeyenlerin sayısı;
- \(\operatorname{Im} T\), \(A\)’nın sütun uzayı olduğundan \(\dim(\operatorname{Im} T) = \operatorname{rank}(A) = r\)’dir.
Demek ki
\[\dim W = \dim(\operatorname{Ker} T) = n - r\]
\(\blacksquare\)
Bu formülü rank bölümünde merdiven şeklinden okuyarak kullanmıştık: serbest değişken sayısı \(n - r\)’dir. Yukarıdaki ispat, aynı formülün merdiven hesabından bağımsız, tamamen yapısal bir nedeni olduğunu gösteriyor.
25.3 Kare Sistemler
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşit olduğunda (\(m = n\)) \(T\) bir operatör, yani \(K^{n}\)’i kendi içine götüren bir lineer dönüşüm olur. Bu durumda homojen sistemin tek bir sorusu bütün sistemin kaderini belirler.
Örnek 25.1 (Kare Sistemde Homojen Sistemin Rolü) \(K\) üzerinde \(n\) denklemli ve \(n\) bilinmeyenli bir \(A X = B\) sisteminde, ilgili \(A X = O\) homojen sisteminin yalnız sıfır çözümü olsun. Sistemin çözüm sayısı hakkında ne söylenebilir?
Çözüm
\(T : K^{n} \to K^{n}\), \(v \mapsto A \cdot v\) dönüşümünü alalım; bu bir lineer operatördür. Varsayım gereği
\[\operatorname{Ker} T = \big\{ X \in K^{n} : A X = O \big\} = \{0_{K^{n}}\}\]
olduğundan \(T\) singüler değildir, dolayısıyla bire birdir. Ayrıca boyut teoreminden
\[\dim(\operatorname{Im} T) = \dim K^{n} - \dim(\operatorname{Ker} T) = n - 0 = n\]
olup \(\operatorname{Im} T\), \(K^{n}\)’in \(n\) boyutlu bir alt uzayı, yani \(K^{n}\)’in kendisidir: \(T\) örtendir.
\(T\) hem bire bir hem örten olduğundan, her \(B \in K^{n}\) için \(T(X) = A X = B\) olacak bir ve yalnız bir \(X \in K^{n}\) vardır. Demek ki sistem hangi sabitler matrisiyle kurulursa kurulsun tek çözümlüdür.
\(\blacksquare\)
Bu gözlemin tam karşılığını, tersinir operatörleri tanımladıktan sonra bir teorem olarak yazacağız.
25.4 Alıştırma
Alıştırma 25.1 (Dönüşüm Diliyle Sistemler)
- \(A\), \((3,5)\) tipinde bir \(\mathbb{R}\)-matris ve \(\operatorname{rank}(A) = 3\) olsun. \(A X = O\) sisteminin çözüm uzayının boyutunu bulunuz.
- \(A X = O\) homojen sisteminde denklem sayısı bilinmeyen sayısından küçükse (\(m < n\)), sistemin sıfırdan farklı bir çözümü olduğunu gösteriniz.
- \(A\), \((m,n)\) tipinde bir \(K\)-matris olsun. \(A X = B\) sisteminin her \(B \in K^{m}\) için çözülebilir olması ile \(\operatorname{rank}(A) = m\) olmasının denk olduğunu gösteriniz.
Çözüm
1. Bilinmeyen sayısı \(n = 5\), rank \(r = 3\)’tür. Boyut formülünden
\[\dim W = n - r = 5 - 3 = 2\]
2. \(T : K^{n} \to K^{m}\), \(v \mapsto A \cdot v\) dönüşümünü alalım. \(\operatorname{Im} T\), \(K^{m}\)’in bir alt uzayı olduğundan
\[r = \dim(\operatorname{Im} T) \le m < n\]
Boyut teoreminden
\[\dim(\operatorname{Ker} T) = n - r > 0\]
Boyutu sıfırdan büyük bir uzay yalnız sıfır vektöründen ibaret olamaz; dolayısıyla \(\operatorname{Ker} T\) sıfırdan farklı bir vektör içerir. Bu vektör, sistemin sıfırdan farklı bir çözümüdür.
3. \(T : K^{n} \to K^{m}\), \(v \mapsto A \cdot v\) olsun. Sistem her \(B \in K^{m}\) için çözülebilirdir ancak ve ancak her \(B\) bir \(T(X)\) değeri olarak yazılabilirse, yani
\[\operatorname{Im} T = K^{m}\]
ise. \(\operatorname{Im} T\), \(K^{m}\)’in bir alt uzayı olduğundan bu eşitlik
\[\dim(\operatorname{Im} T) = \dim K^{m} = m\]
ile denktir. \(\operatorname{Im} T\), \(A\)’nın sütun uzayı olduğundan \(\dim(\operatorname{Im} T) = \operatorname{rank}(A)\)’dır; koşul \(\operatorname{rank}(A) = m\)’e indirgenir.
\(\blacksquare\)