22 Çekirdek ve Görüntü
Bir lineer dönüşümü iki alt uzay özetler: hangi vektörleri sıfıra ezdiği ve hangi vektörlere ulaştığı. Birincisi dönüşümün kaybettiği bilgiyi, ikincisi ürettiği bilgiyi ölçer. Bu bölümde ikisini de tanımlayıp hesaplamayı öğreneceğiz.
22.1 Tanım
Tanım 22.1 (Görüntü) \(U\) ve \(V\), aynı bir \(K\) komutatif cismi üzerinde tanımlanmış iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun. \(U\)’nun
\[\operatorname{Im} F = \big\{ F(v) \in U : v \in V \big\}\]
alt kümesine \(F\)’nin görüntüsü (resmi) denir.
Tanım 22.2 (Çekirdek) \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olmak üzere \(V\)’nin
\[\operatorname{Ker} F = \big\{ v \in V : F(v) = 0_U \big\}\]
alt kümesine \(F\)’nin çekirdeği denir.
Teorem 22.1 (Çekirdek ve Görüntü Birer Alt Uzaydır) \(U\) ve \(V\), \(K\) üzerinde iki vektör uzayı ve \(F : V \to U\) bir lineer dönüşüm olsun. Bu takdirde \(\operatorname{Im} F\), \(U\)’nun bir alt uzayı; \(\operatorname{Ker} F\) de \(V\)’nin bir alt uzayıdır.
İspat
\(\operatorname{Im} F \le U\). Her lineer dönüşüm için \(F(0_V) = 0_U\) olduğundan \(0_U \in \operatorname{Im} F\)’dir; dolayısıyla \(\operatorname{Im} F \neq \varnothing\) ve tanım gereği \(\operatorname{Im} F \subseteq U\)’dur.
\(a, b \in K\) ve \(u, u' \in \operatorname{Im} F\) alalım. Tanım gereği \(F(v) = u\) ve \(F(v') = u'\) olacak \(v, v' \in V\) vardır. \(V\) bir vektör uzayı olduğundan \(av + bv' \in V\)’dir ve \(F\) lineer olduğundan
\[F\big(av + bv'\big) = a F(v) + b F(v') = au + bu'\]
Sol taraf \(\operatorname{Im} F\)’de olduğuna göre \(au + bu' \in \operatorname{Im} F\)’dir. Tek koşullu ölçüt gereği \(\operatorname{Im} F\) bir alt uzaydır.
\(\operatorname{Ker} F \le V\). Yine \(F(0_V) = 0_U\) olduğundan \(0_V \in \operatorname{Ker} F\)’dir ve \(\operatorname{Ker} F \neq \varnothing\)’dir; ayrıca \(\operatorname{Ker} F \subseteq V\)’dir.
\(a, b \in K\) ve \(v, w \in \operatorname{Ker} F\) alalım; yani \(F(v) = 0_U\) ve \(F(w) = 0_U\)’dur. \(F\) lineer olduğundan
\[F\big(av + bw\big) = a F(v) + b F(w) = a\,0_U + b\,0_U = 0_U + 0_U = 0_U\]
Demek ki \(av + bw \in \operatorname{Ker} F\)’dir ve \(\operatorname{Ker} F\) bir alt uzaydır.
\(\blacksquare\)
22.2 Görüntüyü Doğuran Küme
Teorem 22.2 (Doğuran Kümenin Görüntüsü) \(F : V \to U\) lineer bir dönüşüm ve \(v_1, \dots, v_n \in V\) vektörleri \(V\)’yi doğursun, yani \(V = L(v_1, \dots, v_n)\) olsun. O hâlde \(F(v_1), \dots, F(v_n)\) vektörleri de \(\operatorname{Im} F\)’yi doğurur:
\[\operatorname{Im} F = L\big(F(v_1), F(v_2), \dots, F(v_n)\big)\]
İspat
\(\operatorname{Im} F \subseteq L(F(v_1), \dots, F(v_n))\). \(u \in \operatorname{Im} F\) olsun; \(F(v) = u\) olacak bir \(v \in V\) vardır. \(v\)’yi doğuran küme cinsinden yazalım:
\[v = a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n \qquad (a_i \in K)\]
\(F\) lineer olduğundan
\[u = F(v) = a_1 F(v_1) + \cdots + a_n F(v_n) \in L\big(F(v_1), \dots, F(v_n)\big)\]
Ters kapsama. Her \(i\) için \(F(v_i) \in \operatorname{Im} F\)’dir ve \(\operatorname{Im} F\) bir alt uzay olduğundan, gerilen uzayın en küçüklüğü gereği
\[L\big(F(v_1), \dots, F(v_n)\big) \subseteq \operatorname{Im} F\]
İki kapsama birlikte eşitliği verir.
\(\blacksquare\)
Teorem 22.3 (Bağımsızlık Geri Taşınır) \(T : V \to U\) lineer bir dönüşüm ve \(v_1, \dots, v_n \in V\) olsun. \(T(v_1), \dots, T(v_n) \in U\) vektörleri lineer bağımsız ise \(v_1, \dots, v_n \in V\) vektörleri de lineer bağımsızdır.
İspat
\(a_1, \dots, a_n \in K\) olmak üzere
\[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0_V\]
olsun. Her iki tarafa \(T\) uygulayalım; \(T\) lineer olduğundan ve \(T(0_V) = 0_U\) olduğundan
\[0_U = T\big(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\big) = a_1 T(v_1) + a_2 T(v_2) + \cdots + a_n T(v_n)\]
\(T(v_1), \dots, T(v_n)\) lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılar sıfırdır:
\[a_1 = a_2 = \cdots = a_n = 0_K\]
Demek ki \(v_1, \dots, v_n\) lineer bağımsızdır.
\(\blacksquare\)
Teorem yalnızca bir yönde çalışır: görüntülerin bağımsızlığı, orijinallerin bağımsızlığını gerektirir. Tersi doğru değildir — sıfır dönüşümünü düşünün: \(V\)’de ne kadar bağımsız vektör alırsanız alın, hepsinin görüntüsü \(0_U\)’dur ve bunlar bağımlıdır. Ters yönün de geçerli olması için \(\operatorname{Ker} T = \{0_V\}\) olması gerekir.
22.3 Görüntü Hesabı
Az önceki teorem, görüntüyü bulmayı tamamen mekanik bir işe çevirir.
\(F : K^{n} \to K^{m}\) lineer dönüşümü verilsin.
- Standart taban vektörlerinin görüntülerini \(F(e_1), \dots, F(e_n)\) hesaplayın; doğuran kümenin görüntüsü teoremi gereği bu vektörler \(\operatorname{Im} F\)’yi doğurur.
- Bu görüntüleri satır kabul eden matrisi merdiven şekline indirin; satır işlemleri satır uzayını değiştirmez.
- Sıfırdan farklı satırlar \(\operatorname{Im} F\)’nin bir tabanıdır; sayıları da \(\dim(\operatorname{Im} F)\)’yi verir.
Örnek 22.1 (Görüntünün Bulunması) \(F : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{3}\) dönüşümü
\[F(x, y, s, t) = \big(x + y + s,\ x + 2y - t,\ 2x + 3y + s - t\big)\]
biçiminde tanımlanıyor.
- \(\operatorname{Im} F\)’nin bir tabanını ve boyutunu bulunuz.
- \(u = (1,2,3)\) ve \(w = (1,1,1)\) vektörlerinin \(\operatorname{Im} F\)’de olup olmadığını belirleyiniz.
Çözüm
a) Standart taban vektörlerinin görüntülerini hesaplayalım:
\[F(1,0,0,0) = (1,1,2), \qquad F(0,1,0,0) = (1,2,3)\] \[F(0,0,1,0) = (1,0,1), \qquad F(0,0,0,1) = (0,-1,-1)\]
Doğuran kümenin görüntüsü teoremi gereği bu dört vektör \(\operatorname{Im} F\)’yi doğurur. Bunları satır kabul eden matrisi merdiven şekline indirelim:
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & -1 \end{pmatrix} \overset{\substack{R_3 \to R_2 + R_3\\ R_4 \to R_2 + R_4}}{\sim} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]
Satır uzayı değişmediğinden ve merdiven matrisin sıfırdan farklı satırları lineer bağımsız olduğundan
\[\big\{ (1,1,2),\ (0,1,1) \big\} \ \text{ bir tabandır}, \qquad \dim(\operatorname{Im} F) = 2\]
b) Taban elimizde olduğuna göre üyelik sorusu iki bilinmeyenli bir sisteme iner:
\[a(1,1,2) + b(0,1,1) = (a,\ a+b,\ 2a+b)\]
\(u = (1,2,3)\) için \(a = 1\), \(a + b = 2\) yani \(b = 1\); üçüncü bileşen \(2a + b = 3\) ✔ sağlanır. Demek ki
\[u = (1,1,2) + (0,1,1) \in \operatorname{Im} F\]
\(w = (1,1,1)\) için \(a = 1\), \(a + b = 1\) yani \(b = 0\); ama üçüncü bileşen \(2a + b = 2 \neq 1\) olur. Sistem tutarsızdır:
\[w = (1,1,1) \notin \operatorname{Im} F\]
Yani \(F\) hangi girdiyle beslenirse beslensin çıktısı asla \((1,1,1)\) olamaz.
\(\blacksquare\)
22.4 Çekirdek Hesabı
Çekirdeği bulmak, bir homojen lineer denklem sistemi çözmektir.
Örnek 22.2 (Çekirdeği Yalnız Sıfır Olan Bir Dönüşüm) \(T : \mathbb{R}^{4} \to \mathbb{R}^{4}\) dönüşümü
\[T(a_1, a_2, a_3, a_4) = \big(a_1,\ a_1 + a_2,\ a_1 + a_2 + a_3,\ a_1 + a_2 + a_3 + a_4\big)\]
biçiminde tanımlanıyor. \(\operatorname{Ker} T\)’yi ve boyutunu bulunuz.
Çözüm
\(T(a_1,a_2,a_3,a_4) = (0,0,0,0)\) koşulu şu homojen sistemi verir:
\[a_1 = 0, \qquad a_1 + a_2 = 0\] \[a_1 + a_2 + a_3 = 0, \qquad a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 0\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3\\ R_4 \to -R_1 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{\substack{R_3 \to -R_2 + R_3\\ R_4 \to -R_2 + R_4}}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0\end{array}\right) \overset{R_4 \to -R_3 + R_4}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\]
Denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşittir (\(r = n = 4\)); homojen sistemin sıfır çözümden başka çözümü yoktur:
\[a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0\]
Demek ki
\[\operatorname{Ker} T = \big\{(0,0,0,0)\big\} = \big\{0_{\mathbb{R}^{4}}\big\}, \qquad \dim(\operatorname{Ker} T) = 0\]
\(\blacksquare\)
Örnek 22.3 (Çekirdeği Bir Doğru Olan Dönüşüm) \(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\) dönüşümü
\[T(x,y,z) = \big(x + 2y - z,\ y + z,\ x + y - 2z\big)\]
biçiminde tanımlanıyor. \(\operatorname{Ker} T\)’nin bir tabanını ve boyutunu bulunuz.
Çözüm
\(T(x,y,z) = (0,0,0)\) koşulu şu sistemi verir:
\[x + 2y - z = 0, \qquad y + z = 0, \qquad x + y - 2z = 0\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & -2 & 0\end{array}\right) \overset{R_3 \to -R_1 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{array}\right)\]
Kalan sistem
\[x + 2y - z = 0, \qquad y + z = 0\]
olup \(n = 3\), \(r = 2\)’dir. Çözüm uzayının boyutu
\[\dim(\operatorname{Ker} T) = n - r = 3 - 2 = 1\]
Serbest değişken \(z\)’dir. \(z = a\) alalım:
\[y = -a, \qquad x = -2y + z = 2a + a = 3a\]
Demek ki
\[\operatorname{Ker} T = \big\{(3a, -a, a) : a \in \mathbb{R}\big\} = L\big((3,-1,1)\big)\]
ve \(\{(3,-1,1)\}\), \(\operatorname{Ker} T\)’nin bir tabanıdır. Sağlama: \(3 - 2 - 1 = 0\), \(-1 + 1 = 0\), \(3 - 1 - 2 = 0\).
Geometrik okuma: \(T\), başlangıçtan geçen bir doğruyu tamamen sıfıra ezmektedir.
\(\blacksquare\)
22.5 Alıştırma
Alıştırma 22.1 (Çekirdek Hesapları)
\(F : V \to W\) lineer bir dönüşüm ve \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olsun. \(v_1, \dots, v_n \in V\) lineer bağımsız ise \(F(v_1), \dots, F(v_n) \in W\) vektörlerinin de lineer bağımsız olduğunu gösteriniz.
\(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), \((x,y,z) \mapsto (y - z,\ x + y,\ z - 2x)\) dönüşümünün çekirdeğini ve boyutunu bulunuz.
\(T : \mathbb{R}^{3} \to \mathbb{R}^{3}\), \((x,y,z) \mapsto (z - 3y,\ 4x,\ x + 2y - z)\) dönüşümünün çekirdeğini ve boyutunu bulunuz.
Çözüm
a) \(a_1, \dots, a_n \in K\) için
\[a_1 F(v_1) + a_2 F(v_2) + \cdots + a_n F(v_n) = 0_W\]
olsun. \(F\) lineer olduğundan sol taraf tek bir görüntü olarak yazılır:
\[F\big(a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n\big) = 0_W\]
Bu, \(a_1 v_1 + \cdots + a_n v_n\) vektörünün \(\operatorname{Ker} F\)’de olduğu anlamına gelir. Varsayım gereği \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olduğundan
\[a_1 v_1 + a_2 v_2 + \cdots + a_n v_n = 0_V\]
\(v_1, \dots, v_n\) lineer bağımsız olduğundan bütün katsayılar sıfırdır: \(a_1 = \cdots = a_n = 0_K\). Demek ki \(F(v_1), \dots, F(v_n)\) lineer bağımsızdır.
Bu, “bağımsızlık geri taşınır” teoreminin tersidir ve tam olarak \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) koşulu altında geçerlidir. Nitekim \(\operatorname{Ker} F = \{0_V\}\) olması, \(F\)’nin bire bir olmasıyla eşdeğerdir:
\[F(v) = F(w) \Rightarrow F(v-w) = 0_W \Rightarrow v - w \in \operatorname{Ker} F = \{0_V\} \Rightarrow v = w\]
b) \(T(x,y,z) = (0,0,0)\) koşulu:
\[y - z = 0, \qquad x + y = 0, \qquad z - 2x = 0\]
Genişletilmiş matrisi indirgeyelim (sütunlar \(x,y,z\)):
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & -1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to 2R_1 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 2 & 1 & 0\end{array}\right)\]
\[\overset{R_3 \to -2R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 3 & 0\end{array}\right)\]
\(r = n = 3\) olduğundan yalnızca sıfır çözüm vardır: \(z = 0 \Rightarrow y = 0 \Rightarrow x = 0\). Demek ki
\[\operatorname{Ker} T = \big\{(0,0,0)\big\}, \qquad \dim(\operatorname{Ker} T) = 0\]
c) \(T(x,y,z) = (0,0,0)\) koşulu:
\[z - 3y = 0, \qquad 4x = 0, \qquad x + 2y - z = 0\]
İkinci denklem doğrudan \(x = 0\) verir. Birinci denklemden \(z = 3y\); bunu üçüncüye taşıyalım:
\[0 + 2y - 3y = 0 \implies -y = 0 \implies y = 0 \implies z = 3 \cdot 0 = 0\]
Demek ki
\[\operatorname{Ker} T = \big\{(0,0,0)\big\}, \qquad \dim(\operatorname{Ker} T) = 0\]
(Aynı sonuç matris diliyle de görülür: katsayılar matrisinin rankı \(3\)’tür, \(\dim(\operatorname{Ker} T) = 3 - 3 = 0\). Çekirdeğin yalnız sıfırdan ibaret olması, bu iki dönüşümün de bire bir olduğunu söyler.)
\(\blacksquare\)
Buraya kadar bir lineer dönüşümün iki temel alt uzayını tanıdık. Sıradaki bölüm bu ikisinin boyutlarını tek bir eşitlikle birbirine bağlıyor.