37 Kofaktör Açılımı ve Ters Matris

Determinantı tanımından hesaplamak \(n!\) terim yazmak demekti. Bir önceki bölümde satır işlemleriyle üçgensel şekle inip köşegeni çarpmanın çok daha kısa olduğunu gördük. Bu bölümde üçüncü bir yol kuruyoruz: \(n\). mertebeden bir determinantı, \((n-1)\). mertebeden \(n\) tane determinanta indirgeyen kofaktör açılımı. Bu açılım, hem hesap için hem de ters matrisin kapalı formülü için kullanılacak.

37.1 Minör ve Kofaktör

Tanım 37.1 (Minör ve Kofaktör) \(A = (a_{ij})\), \(n\). mertebeden bir kare matris olsun (\(n \ge 2\)). \(A\)’nın \(i\). satırı ile \(j\). sütunu silinerek elde edilen \((n-1)\). mertebeden kare matris \(M_{ij}\) ile gösterilir; \(|M_{ij}|\) sayısına \(a_{ij}\) elemanının minörü denir.

\[A_{ij} := (-1)^{i+j}\,\big|M_{ij}\big|\]

sayısına ise \(a_{ij}\) elemanının kofaktörü (işaretli minörü) denir.

İşaret şablonu

\((-1)^{i+j}\) çarpanı, satranç tahtası gibi dizilen bir işaret şablonundan okunur:

\[\begin{pmatrix} + & - & + & \cdots \\ - & + & - & \cdots \\ + & - & + & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots\end{pmatrix}\]

Sol üst köşe daima \(+\)’dır; komşu her adımda işaret değişir.

Örnek 37.1 (Bir Kofaktörün Hesabı)

\(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1\end{pmatrix}\) matrisinde \(a_{23} = 7\) elemanının kofaktörünü bulunuz.
\(B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & -3 & 4 \\ 5 & -4 & 7 & -2 \\ 4 & 0 & 6 & -3 \\ 3 & -2 & 5 & 2\end{pmatrix}\) matrisinde \(b_{23} = 7\) elemanının kofaktörünü bulunuz.

Çözüm

a) İkinci satır ile üçüncü sütunu silelim:

\[M_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 8 & 9\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad \big|M_{23}\big| = 18 - 24 = -6\]

\[A_{23} = (-1)^{2+3}(-6) = (-1)(-6) = 6\]

b) İkinci satır ile üçüncü sütun silinince

\[M_{23} = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & -3 \\ 3 & -2 & 2\end{pmatrix}\]

kalır. Üçüncü mertebe kuralıyla:

\[\big|M_{23}\big| = 2\big(0\cdot 2 - (-3)(-2)\big) - 1\big(4\cdot 2 - (-3)\cdot 3\big) + 4\big(4(-2) - 0\cdot 3\big)\]

\[= 2(-6) - 1(8 + 9) + 4(-8) = -12 - 17 - 32 = -61\]

\[B_{23} = (-1)^{2+3}(-61) = 61\]

\(\blacksquare\)

37.2 Laplace Açılımı

Teorem 37.1 (Bir Satıra veya Sütuna Göre Açılım) \(A\), \(n\). mertebeden bir kare matris olsun (\(n \ge 2\)). Her \(i\) için

\[|A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in}\]

ve her \(j\) için

\[|A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + \cdots + a_{nj}A_{nj}\]

Yani determinant, herhangi bir satırın (ya da sütunun) elemanları kendi kofaktörleriyle çarpılıp toplanarak hesaplanabilir.

İspat

İspatı üç adımda kuruyoruz.

1. Adım: sol üst köşe. \(A\)’nın birinci satırı \((a_{11},\ 0,\ \dots,\ 0)\) olsun. Determinant tanımındaki terimlerden \(\sigma(1) \ne 1\) olanların hepsi sıfırdır (birinci satırdan gelen çarpan sıfır olur). Geriye \(\sigma(1) = 1\) olan permütasyonlar kalır; bunlar \(\{2, \dots, n\}\) kümesinin permütasyonlarıyla birebir eşleşir ve \(\sigma(1) = 1\) hiçbir ters üretmediğinden işaretleri de aynıdır. Öyleyse

\[|A| = a_{11}\sum_{\sigma' \in S_{n-1}}\operatorname{sgn}(\sigma')\,a_{2\sigma'(2)}\cdots a_{n\sigma'(n)} = a_{11}\big|M_{11}\big|\]

2. Adım: tek elemanlı satır, genel yer. Şimdi \(A\)’nın \(i\). satırı, yalnız \(j\). sütununda \(a_{ij}\) bulunan, kalanı sıfır olan bir satır olsun. \(i\). satırı, komşu satırlarla \(i-1\) kez yer değiştirerek en üste taşıyalım; sonra \(j\). sütunu, komşu sütunlarla \(j-1\) kez yer değiştirerek en sola taşıyalım. Her yer değiştirme determinantın işaretini çevirdiğinden toplam işaret çarpanı

\[(-1)^{i-1}(-1)^{j-1} = (-1)^{i+j}\]

olur. Bu taşımalar kalan satır ve sütunların göreli sırasını bozmaz; dolayısıyla elde edilen matrisin sol üst köşesi \(a_{ij}\), geri kalanı ise tam olarak \(M_{ij}\)’dir. 1. adım gereği

\[|A| = (-1)^{i+j}a_{ij}\big|M_{ij}\big| = a_{ij}A_{ij}\]

3. Adım: satırda toplamsallık. Herhangi bir \(A\) matrisinin \(i\). satırını

\[(a_{i1},\ a_{i2},\ \dots,\ a_{in}) = (a_{i1},\ 0,\ \dots,\ 0) + (0,\ a_{i2},\ 0,\ \dots,\ 0) + \cdots + (0,\ \dots,\ 0,\ a_{in})\]

biçiminde \(n\) satırın toplamı olarak yazalım. Determinantın her satırda toplamsal olduğunu bir önceki bölümde göstermiştik; öyleyse

\[|A| = \sum_{j=1}^{n}\big|A^{(j)}\big|\]

Burada \(A^{(j)}\), \(i\). satırı yalnız \(j\). sütunda \(a_{ij}\) taşıyan matristir. 2. adım gereği \(\big|A^{(j)}\big| = a_{ij}A_{ij}\)’dir; toplarsak satıra göre açılım elde edilir.

Sütun hâli. \(|A| = |A^{t}|\) olduğundan, satır açılımını \(A^{t}\)’ye uygulamak sütun açılımını verir.

\(\blacksquare\)

Hangi satırı seçmeli?

Açılım her satır ve sütun için geçerli olduğundan, en çok sıfır içeren satırı ya da sütunu seçmek en kısa hesabı verir. Daha da iyisi: önce satır (ya da sütun) işlemleriyle bir satırda tek bir sıfırdan farklı eleman bırakmak, sonra ona göre açmaktır. Bir satırın katını başka bir satıra eklemek determinantı değiştirmediğinden bu adım bedavadır.

Örnek 37.2 (Dördüncü Mertebeden Bir Determinant) \[\begin{vmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -2 \\ -5 & -7 & -3 & 9 \\ 1 & -2 & -1 & 4\end{vmatrix}\]

determinantını hesaplayınız.

Çözüm

Dördüncü satırın ilk elemanı \(1\); bunu kullanarak birinci sütunun kalanını sıfırlayalım. Kullanılan işlemler determinantı değiştirmez:

\[R_1 \to -5R_4 + R_1, \qquad R_2 \to -2R_4 + R_2, \qquad R_3 \to 5R_4 + R_3\]

Satırları tek tek hesaplayalım:

\[R_1: (5,4,2,1) - 5(1,-2,-1,4) = (0,\ 14,\ 7,\ -19)\] \[R_2: (2,3,1,-2) - 2(1,-2,-1,4) = (0,\ 7,\ 3,\ -10)\] \[R_3: (-5,-7,-3,9) + 5(1,-2,-1,4) = (0,\ -17,\ -8,\ 29)\]

\[\begin{vmatrix} 5 & 4 & 2 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & -2 \\ -5 & -7 & -3 & 9 \\ 1 & -2 & -1 & 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 14 & 7 & -19 \\ 0 & 7 & 3 & -10 \\ 0 & -17 & -8 & 29 \\ 1 & -2 & -1 & 4\end{vmatrix}\]

Birinci sütunda yalnız \(a_{41} = 1\) sıfırdan farklı; bu sütuna göre açalım. İşaret \((-1)^{4+1} = -1\)’dir:

\[= 1\cdot(-1)\begin{vmatrix} 14 & 7 & -19 \\ 7 & 3 & -10 \\ -17 & -8 & 29\end{vmatrix}\]

Kalan üçüncü mertebeden determinantı birinci satıra göre açalım:

\[14\big(3\cdot 29 - (-10)(-8)\big) - 7\big(7\cdot 29 - (-10)(-17)\big) + (-19)\big(7(-8) - 3(-17)\big)\]

\[= 14(87 - 80) - 7(203 - 170) - 19(-56 + 51) = 14(7) - 7(33) - 19(-5)\]

\[= 98 - 231 + 95 = -38\]

Öyleyse determinant \((-1)(-38) = 38\)’dir.

\(\blacksquare\)

Örnek 37.3 (Önce Sıfır Üretmek) \(\begin{vmatrix} 3 & 2 & -4 \\ 1 & 0 & -2 \\ -2 & 3 & 3\end{vmatrix}\) determinantını hesaplayınız.

Çözüm

İkinci satırda zaten bir sıfır var. Sütun işlemi yaparak ikinci satırı tek elemanlı hâle getirelim: \(C_3 \to 2C_1 + C_3\) (sütun işlemleri de determinantı değiştirmez, çünkü \(|A| = |A^{t}|\)):

\[\begin{vmatrix} 3 & 2 & -4 + 6 \\ 1 & 0 & -2 + 2 \\ -2 & 3 & 3 - 4\end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & -1\end{vmatrix}\]

Şimdi ikinci satıra göre açalım; yalnız \(a_{21} = 1\) kaldı ve işareti \((-1)^{2+1} = -1\)’dir:

\[= 1\cdot(-1)\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -1\end{vmatrix} = -\big(-2 - 6\big) = 8\]

\(\blacksquare\)

37.3 Ek Matris

Kofaktör açılımı yalnızca bir hesap yöntemi değildir; ters matrisin kapalı formülünü de verir. Bunun için kofaktörleri bir matrise yerleştiriyoruz — dikkat: transpoze alarak.

Tanım 37.2 (Ek (Adjoint) Matris) \(A\), \(n\). mertebeden bir kare matris ve \(A_{ij}\), \(a_{ij}\) elemanının kofaktörü olsun. Kofaktörler matrisinin transpozesine \(A\)’nın ek matrisi denir ve \(\operatorname{ek} A\) ile gösterilir:

\[\operatorname{ek} A = \big(A_{ij}\big)^{t} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix}\]

Yani \(\operatorname{ek} A\) matrisinin \((i,j)\) girdisi \(A_{ji}\)’dir.

Örnek 37.4 (Bir Ek Matrisin Hesabı) \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 5\end{pmatrix}\) matrisinin ek matrisini bulunuz.

Çözüm

Dokuz kofaktörü işaret şablonuna dikkat ederek hesaplayalım:

\[A_{11} = +\begin{vmatrix} -4 & 2 \\ -1 & 5\end{vmatrix} = -20 + 2 = -18, \qquad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 5\end{vmatrix} = -(0 - 2) = 2\]

\[A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = 0 + 4 = 4, \qquad A_{21} = -\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -1 & 5\end{vmatrix} = -(15 - 4) = -11\]

\[A_{22} = +\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 5\end{vmatrix} = 10 + 4 = 14, \qquad A_{23} = -\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1\end{vmatrix} = -(-2 - 3) = 5\]

\[A_{31} = +\begin{vmatrix} 3 & -4 \\ -4 & 2\end{vmatrix} = 6 - 16 = -10, \qquad A_{32} = -\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 2\end{vmatrix} = -(4 - 0) = -4\]

\[A_{33} = +\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & -4\end{vmatrix} = -8\]

Kofaktörler matrisini yazıp transpozesini alalım:

\[\big(A_{ij}\big) = \begin{pmatrix} -18 & 2 & 4 \\ -11 & 14 & 5 \\ -10 & -4 & -8\end{pmatrix} \qquad \Longrightarrow \qquad \operatorname{ek} A = \begin{pmatrix} -18 & -11 & -10 \\ 2 & 14 & -4 \\ 4 & 5 & -8\end{pmatrix}\]

\(\blacksquare\)

Teorem 37.2 (Ek Matris Çarpımı) \(n\). mertebeden her \(A\) kare matrisi için

\[A\cdot\operatorname{ek} A = \operatorname{ek} A\cdot A = |A|\cdot I_n\]

İspat

\(A\cdot\operatorname{ek}A\) çarpımının \((i,k)\) girdisini yazalım. \(\operatorname{ek}A\)’nın \((j,k)\) girdisi \(A_{kj}\) olduğundan

\[\big(A\cdot\operatorname{ek}A\big)_{ik} = \sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,A_{kj}\]

Köşegen üzerinde (\(i = k\)). Toplam, \(|A|\)’nın \(i\). satıra göre kofaktör açılımıdır:

\[\sum_{j} a_{ij}A_{ij} = |A|\]

Köşegen dışında (\(i \ne k\)). \(A\) matrisinin \(k\). satırını silip yerine \(i\). satırının bir kopyasını koyarak elde edilen matrise \(B\) diyelim. \(B\)’nin \(i\). ve \(k\). satırları aynı olduğundan \(|B| = 0\)’dır. Öte yandan \(B\)’nin \(k\). satırı \((a_{i1}, \dots, a_{in})\)’dir ve \(k\). satır dışındaki satırlar \(A\) ile aynı olduğundan \(B\)’nin \(k\). satıra ait kofaktörleri \(A\)’nınkilerle birebir aynıdır: \(B_{kj} = A_{kj}\). \(|B|\)’yi \(k\). satıra göre açalım:

\[0 = |B| = \sum_{j} b_{kj}B_{kj} = \sum_{j} a_{ij}A_{kj}\]

Demek ki çarpımın köşegen girdileri \(|A|\), diğer girdileri \(0\)’dır:

\[A\cdot\operatorname{ek}A = |A|\,I_n\]

\(\operatorname{ek}A\cdot A\) için aynı hesap sütun açılımıyla yapılır.

\(\blacksquare\)

Sonuç 37.1 (Tersin Ek Matrisle Formülü) \(|A| \ne 0\) ise \(A\) regülerdir ve

\[A^{-1} = \frac{1}{|A|}\operatorname{ek}A\]

İspat

\(|A| \ne 0\) olduğundan \(A\cdot\operatorname{ek}A = |A|I_n\) eşitliğinin iki tarafını \(|A|\)’ya bölebiliriz:

\[A\cdot\left(\frac{1}{|A|}\operatorname{ek}A\right) = I_n\]

Kare matrisler için \(AB = I_n\) olması \(B = A^{-1}\) demek olduğundan sonuç çıkar.

\(\blacksquare\)

Örnek 37.5 (Ek Matrisle Ters Hesabı) Bir önceki örnekteki \(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 5\end{pmatrix}\) matrisinin tersini bulunuz.

Çözüm

Determinantı, birinci sütuna göre açarak hesaplayalım (bu sütunda bir sıfır var):

\[|A| = 2\cdot A_{11} + 0\cdot A_{21} + 1\cdot A_{31} = 2(-18) + 1(-10) = -46\]

\(|A| = -46 \ne 0\) olduğundan \(A\) regülerdir:

\[A^{-1} = \frac{1}{-46}\begin{pmatrix} -18 & -11 & -10 \\ 2 & 14 & -4 \\ 4 & 5 & -8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{9}{23} & \tfrac{11}{46} & \tfrac{5}{23} \\[2mm] -\tfrac{1}{23} & -\tfrac{7}{23} & \tfrac{2}{23} \\[2mm] -\tfrac{2}{23} & -\tfrac{5}{46} & \tfrac{4}{23}\end{pmatrix}\]

Kontrol. Birinci satır ile birinci sütunu çarpalım:

\[2\cdot\tfrac{9}{23} + 3\cdot\left(-\tfrac{1}{23}\right) + (-4)\left(-\tfrac{2}{23}\right) = \tfrac{18 - 3 + 8}{23} = \tfrac{23}{23} = 1 \ ✔\]

\(\blacksquare\)

Hangi yöntem?

Ek matris formülü kuramsal olarak değerlidir: tersin girdilerinin, \(A\)’nın girdilerinin bir polinomu (bölü \(|A|\)) olduğunu gösterir. Hesap için ise pahalıdır — \(n\). mertebede \(n^{2}\) tane \((n-1)\). mertebeden determinant istenir. Sayısal hesapta Gauss-Jordan yöntemi tercih edilir. Formül asıl olarak \(2\times 2\) ve \(3\times 3\) matrislerde ve teorik akıl yürütmelerde kullanılır.

Örnek 37.6 (İkinci Mertebede Ek Matris) \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) olsun. \(\operatorname{ek}A\)’yı ve \(\operatorname{ek}\big(\operatorname{ek}A\big)\)’yı bulunuz.

Çözüm

İkinci mertebede minörler tek elemanlıdır: \(a_{11}\)’in minörü \(d\), \(a_{12}\)’ninki \(c\), \(a_{21}\)’inki \(b\), \(a_{22}\)’ninki \(a\)’dır. İşaret şablonuyla

\[A_{11} = d, \quad A_{12} = -c, \quad A_{21} = -b, \quad A_{22} = a\]

Kofaktörler matrisi \(\begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a\end{pmatrix}\); transpozesini alalım:

\[\operatorname{ek}A = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}\]

Bu, “köşegeni değiştir, diğer ikisinin işaretini çevir” biçiminde bilinen kuraldır; \(|A| = ad - bc \ne 0\) iken

\[A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a\end{pmatrix}\]

Aynı kuralı \(\operatorname{ek}A\)’ya uygularsak

\[\operatorname{ek}\big(\operatorname{ek}A\big) = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} = A\]

yani ikinci mertebede ek matris almak, iki kez uygulandığında matrisi geri verir.

\(\blacksquare\)

37.4 Alıştırma

Alıştırma 37.1 (Determinant Hesapları) Aşağıdaki determinantları hesaplayınız.

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & -2 & 3 \\ 2 & 5 & -1\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & -3 \\ 5 & 3 & 1\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & 2 & -3 \\ -1 & -3 & 5\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & -4 \\ 4 & 1 & 3\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 4 & -3 & 7\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 3 & -2 & -5 & 4 \\ -5 & 2 & 8 & -5 \\ -2 & 4 & 7 & -3 \\ 2 & -3 & -5 & 8\end{vmatrix}\)

Çözüm

1. Birinci satıra göre açalım:

\[1\big((-2)(-1) - 3\cdot 5\big) - 2\big(4(-1) - 3\cdot 2\big) + 3\big(4\cdot 5 - (-2)\cdot 2\big)\]

\[= (2 - 15) - 2(-4 - 6) + 3(20 + 4) = -13 + 20 + 72 = 79\]

2. Birinci satırda bir sıfır var; yine birinci satıra göre açalım:

\[2\big(2\cdot 1 - (-3)\cdot 3\big) - 0 + 1\big(4\cdot 3 - 2\cdot 5\big) = 2(2 + 9) + (12 - 10) = 22 + 2 = 24\]

3. Aynı biçimde:

\[2\big(2\cdot 5 - (-3)(-3)\big) - 0 + 1\big(3(-3) - 2(-1)\big) = 2(10 - 9) + (-9 + 2) = 2 - 7 = -5\]

4. Birinci satırda iki sıfır var; açılımda tek terim kalır:

\[1\cdot\begin{vmatrix} 2 & -4 \\ 1 & 3\end{vmatrix} = 6 + 4 = 10\]

5. Bu kez ikinci sütuna göre açmak en kısasıdır; o sütunda yalnız \(a_{32} = -3\) sıfırdan farklıdır ve işareti \((-1)^{3+2} = -1\)’dir:

\[-(-3)\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 2\end{vmatrix} = 3(4 + 3) = 21\]

6. Önce köşede bir \(1\) üretelim: \(R_1 \to R_3 + R_1\) işlemi determinantı değiştirmez ve

\[R_1: (3,-2,-5,4) + (-2,4,7,-3) = (1,\ 2,\ 2,\ 1)\]

verir. Şimdi bu satırla birinci sütunun kalanını temizleyelim:

\[R_2 \to 5R_1 + R_2 = (0,\ 12,\ 18,\ 0)\] \[R_3 \to 2R_1 + R_3 = (0,\ 8,\ 11,\ -1)\] \[R_4 \to -2R_1 + R_4 = (0,\ -7,\ -9,\ 6)\]

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 & 1 \\ 0 & 12 & 18 & 0 \\ 0 & 8 & 11 & -1 \\ 0 & -7 & -9 & 6\end{vmatrix} = 1\cdot\begin{vmatrix} 12 & 18 & 0 \\ 8 & 11 & -1 \\ -7 & -9 & 6\end{vmatrix}\]

Kalan determinantı birinci satıra göre açalım (üçüncü elemanı sıfırdır):

\[12\big(11\cdot 6 - (-1)(-9)\big) - 18\big(8\cdot 6 - (-1)(-7)\big) = 12(66 - 9) - 18(48 - 7)\]

\[= 12(57) - 18(41) = 684 - 738 = -54\]

\(\blacksquare\)

Alıştırma 37.2 (Kofaktör ve Ek Matris) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 7\end{pmatrix}\) matrisi veriliyor.

\(|A|\) determinantını hesaplayınız.
\(\operatorname{ek}A\) matrisini bulunuz.
\(A\cdot\operatorname{ek}A = |A|\,I_3\) eşitliğini doğrulayınız.
\(A^{-1}\) matrisini bulunuz.

Çözüm

1. Birinci satıra göre açalım:

\[|A| = 1\big(3\cdot 7 - 4\cdot 5\big) - 2\big(2\cdot 7 - 4\cdot 1\big) + 3\big(2\cdot 5 - 3\cdot 1\big)\]

\[= 1(21 - 20) - 2(14 - 4) + 3(10 - 3) = 1 - 20 + 21 = 2\]

2. Dokuz kofaktör:

\[A_{11} = +(21 - 20) = 1, \qquad A_{12} = -(14 - 4) = -10, \qquad A_{13} = +(10 - 3) = 7\]

\[A_{21} = -(14 - 15) = 1, \qquad A_{22} = +(7 - 3) = 4, \qquad A_{23} = -(5 - 2) = -3\]

\[A_{31} = +(8 - 9) = -1, \qquad A_{32} = -(4 - 6) = 2, \qquad A_{33} = +(3 - 4) = -1\]

Kofaktörler matrisinin transpozesi:

\[\operatorname{ek}A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -10 & 4 & 2 \\ 7 & -3 & -1\end{pmatrix}\]

3. Çarpalım:

\[A\cdot\operatorname{ek}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 7\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -10 & 4 & 2 \\ 7 & -3 & -1\end{pmatrix}\]

Birinci satır: \((1 - 20 + 21,\ 1 + 8 - 9,\ -1 + 4 - 3) = (2,\ 0,\ 0)\).

İkinci satır: \((2 - 30 + 28,\ 2 + 12 - 12,\ -2 + 6 - 4) = (0,\ 2,\ 0)\).

Üçüncü satır: \((1 - 50 + 49,\ 1 + 20 - 21,\ -1 + 10 - 7) = (0,\ 0,\ 2)\).

\[A\cdot\operatorname{ek}A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix} = 2I_3 = |A|\,I_3 \ ✔\]

4. \(|A| = 2\) olduğundan

\[A^{-1} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ -10 & 4 & 2 \\ 7 & -3 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \tfrac{1}{2} & \tfrac{1}{2} & -\tfrac{1}{2} \\[2mm] -5 & 2 & 1 \\[2mm] \tfrac{7}{2} & -\tfrac{3}{2} & -\tfrac{1}{2}\end{pmatrix}\]

\(\blacksquare\)