36 Determinant ve Özellikleri

Bir kare matrise, satırlarının “bağımsız olup olmadığını” tek bir sayıyla bildiren bir büyüklük karşılık getirmek istiyoruz. İkinci mertebede bu sayıyı zaten tanıyoruz: \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\) matrisi ancak ve ancak \(ad - bc \ne 0\) iken tersinirdir. Bu bölümde aynı sayının her mertebe için tanımını verip özelliklerini çıkarıyoruz.

36.1 Tanım

Tanım 36.1 (Determinant) \(K\) komütatif bir cisim ve \(A = (a_{ij})\), \(K\) üzerinde \(n\). mertebeden bir kare matris olsun. \(A\)’nın determinantı

\[|A| = \det(A) = \sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{1\sigma(1)}\,a_{2\sigma(2)}\cdots a_{n\sigma(n)}\]

biçiminde tanımlanır. Toplam, \(S_n\)’in bütün \(n!\) permütasyonu üzerinden alınır.

Tanımı okuyalım: her terim, matrisin her satırından ve her sütunundan tam olarak bir eleman seçilerek kurulan bir çarpımdır. Birinci çarpan birinci satırdan, ikinci çarpan ikinci satırdan gelir; hangi sütunlardan alındığını \(\sigma\) belirler ve \(\sigma\) bire bir olduğundan hiçbir sütun iki kez kullanılmaz. Terimin işareti ise \(\sigma\)’nın işaretidir.

Determinant yalnız kare matrisler için tanımlıdır

Tanım, satır sayısıyla sütun sayısının eşit olmasına dayanır. Dikdörtgen bir matrisin determinantından söz edilemez.

36.2 Küçük Mertebeler

Birinci mertebe. \(S_1\) tek elemanlıdır, o da birim permütasyondur:

\[\big|a_{11}\big| = a_{11}\]

İkinci mertebe. \(S_2 = \{12,\ 21\}\); birincisi çift, ikincisi tektir:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}\]

Üçüncü mertebe. \(S_3\)’ün üç çift (\(123\), \(231\), \(312\)) ve üç tek (\(132\), \(213\), \(321\)) elemanı vardır:

\[\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33}\]

Üçüncü mertebeyi hatırlamak

Altı terim şöyle gruplanabilir:

\[|A| = a_{11}\big(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}\big) - a_{12}\big(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}\big) + a_{13}\big(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}\big)\]

yani birinci satırın elemanları, sırasıyla \(+,-,+\) işaretleriyle, kendi satır ve sütunları silindiğinde kalan \(2\times 2\) determinantlarla çarpılıp toplanıyor. Bu, kofaktör açılımı bölümünde her mertebe için ispatlanacak kuralın üçüncü mertebedeki hâlidir.

Örnek 36.1 (İkinci ve Üçüncü Mertebeden Hesaplar) Aşağıdaki determinantları hesaplayınız.

\(\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 5\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} a - b & a \\ a & a + b\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 \\ 8 & 9 & 1\end{vmatrix}\)
\(\begin{vmatrix} 2 & 3 & -4 \\ 0 & -4 & 2 \\ 1 & -1 & 5\end{vmatrix}\)

Çözüm

a) \(3\cdot 5 - (-2)\cdot 4 = 15 + 8 = 23\).

b) \((a-b)(a+b) - a\cdot a = a^{2} - b^{2} - a^{2} = -b^{2}\).

c) Üçüncü mertebe kuralını uygulayalım:

\[2\big(6\cdot 1 - 7\cdot 9\big) - 3\big(5\cdot 1 - 7\cdot 8\big) + 4\big(5\cdot 9 - 6\cdot 8\big)\]

\[= 2(6 - 63) - 3(5 - 56) + 4(45 - 48) = 2(-57) - 3(-51) + 4(-3)\]

\[= -114 + 153 - 12 = 27\]

d) İlk satıra göre açalım:

\[2\big((-4)(5) - 2(-1)\big) - 3\big(0\cdot 5 - 2\cdot 1\big) + (-4)\big(0\cdot(-1) - (-4)\cdot 1\big)\]

\[= 2(-20 + 2) - 3(0 - 2) - 4(0 + 4) = -36 + 6 - 16 = -46\]

\(\blacksquare\)

Tanımdaki terim sayısı \(n!\)’dir: \(n = 4\) için \(24\), \(n = 5\) için \(120\), \(n = 10\) için \(3\,628\,800\). Tanımdan doğrudan hesaplamak bu yüzden pratik değildir. Aşağıdaki özellikler, determinantı satır işlemleriyle hesaplamayı — yani \(n^{3}\) mertebesinde bir işle bitirmeyi — mümkün kılar.

36.3 Transpoze

Teorem 36.1 (Bir Matris ile Transpozesinin Determinantları Eşittir) Her \(n\). mertebeden kare \(A\) matrisi için \(|A^{t}| = |A|\)’dır.

İspat

\(B = A^{t}\) diyelim; tanım gereği \(b_{ij} = a_{ji}\)’dir. Determinant tanımını \(B\) için yazalım:

\[|A^{t}| = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\, b_{1\sigma(1)}\cdots b_{n\sigma(n)} = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma)\, a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n}\]

Sabit bir \(\sigma\) için çarpanları yeniden sıralayalım. \(K\) komütatif olduğundan çarpanların sırası önemsizdir; \(a_{\sigma(i)\,i}\) çarpanında \(j = \sigma(i)\), yani \(i = \sigma^{-1}(j)\) diyelim. \(\sigma\) bire bir olduğundan \(j\), \(1\)’den \(n\)’e kadar bütün değerleri bir kez alır:

\[a_{\sigma(1)1}\cdots a_{\sigma(n)n} = a_{1\sigma^{-1}(1)}\,a_{2\sigma^{-1}(2)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}\]

Ayrıca \(\operatorname{sgn}(\sigma) = \operatorname{sgn}(\sigma^{-1})\)’dir. Öyleyse

\[|A^{t}| = \sum_{\sigma \in S_n}\operatorname{sgn}(\sigma^{-1})\,a_{1\sigma^{-1}(1)}\cdots a_{n\sigma^{-1}(n)}\]

\(\sigma \mapsto \sigma^{-1}\) eşlemesi \(S_n\)’i kendisine birebir götürdüğünden, \(\sigma^{-1}\) yerine \(\tau\) yazıp toplamı \(\tau\) üzerinden almak aynı toplamı verir:

\[|A^{t}| = \sum_{\tau \in S_n}\operatorname{sgn}(\tau)\,a_{1\tau(1)}\cdots a_{n\tau(n)} = |A|\]

\(\blacksquare\)

Satır neyse sütun odur

Bu teoremin pratik değeri büyüktür: aşağıda satırlar için ispatlanan her özellik, transpoze alınarak sütunlar için de geçerli olur. Bir determinant hesabında satır işlemleri kadar sütun işlemleri de serbestçe kullanılabilir.

36.4 Satır Değişimi

Önerme 36.1 (İki Satır Yer Değiştirirse İşaret Değişir) \(B\) matrisi, \(A\)’nın iki satırının yer değiştirmesiyle elde edilsin. O zaman \(|B| = -|A|\)’dır.

İspat

Yer değiştiren satırlar \(k\) ve \(l\) olsun ve \(\tau\), \(k\) ile \(l\)’yi değiştiren transpozisyonu göstersin. Bu durumda \(B\)’nin satırları \(b_{ij} = a_{\tau(i)j}\) eşitliğiyle verilir. Determinant tanımından

\[|B| = \sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\,b_{1\sigma(1)}\cdots b_{n\sigma(n)} = \sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^{n} a_{\tau(i)\,\sigma(i)}\]

Çarpımda \(i\) yerine \(\tau(i)\) yazarak satır indislerini artan sıraya alalım; \(\tau \circ \tau = I\) olduğundan

\[\prod_{i} a_{\tau(i)\sigma(i)} = \prod_{i} a_{i\,\sigma(\tau(i))} = \prod_i a_{i\,(\sigma\circ\tau)(i)}\]

İşaretlerin çarpımsallığı ve \(\operatorname{sgn}(\tau) = -1\) olduğu göz önüne alınırsa

\[\operatorname{sgn}(\sigma) = -\operatorname{sgn}(\sigma\circ\tau)\]

Öyleyse

\[|B| = -\sum_{\sigma}\operatorname{sgn}(\sigma\circ\tau)\prod_i a_{i(\sigma\circ\tau)(i)}\]

\(\sigma \mapsto \sigma\circ\tau\) eşlemesi \(S_n\)’i kendisine birebir götürdüğünden, toplam bütün permütasyonlar üzerinden alınan aynı toplamdır:

\[|B| = -\sum_{\rho}\operatorname{sgn}(\rho)\prod_i a_{i\rho(i)} = -|A|\]

\(\blacksquare\)

36.5 Sıfır Satır, Eşit Satırlar, Üçgensellik

Teorem 36.2 (Determinantın Üç Temel Özelliği) \(A\), \(n\). mertebeden bir kare matris olsun.

(i) \(A\)’nın bir satırı (ya da bir sütunu) tamamen sıfırlardan oluşuyorsa \(|A| = 0\)’dır.

(ii) \(A\)’nın iki satırı (ya da iki sütunu) birbirinin aynı ise \(|A| = 0\)’dır.

(iii) \(A\) üçgensel ise \(|A|\), esas köşegen elemanlarının çarpımıdır:

\[|A| = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

Özel olarak \(|I_n| = 1\)’dir.

İspat

(i) Determinantın her terimi her satırdan bir çarpan içerir; sıfır satırdan gelen çarpan \(0\) olduğundan bütün terimler sıfırdır.

(ii) \(k\) ve \(l\) satırları aynı olsun: her \(j\) için \(a_{kj} = a_{lj}\). \(\tau\), \(k\) ile \(l\)’yi değiştiren transpozisyon olsun. \(S_n\)’in elemanlarını \(\{\sigma,\ \sigma\circ\tau\}\) ikilileri hâlinde eşleyelim; \(\tau \ne I\) olduğundan \(\sigma \ne \sigma\circ\tau\)’dur ve her permütasyon tam olarak bir ikilide bulunur, yani \(n!/2\) ikili oluşur.

Bir ikilinin iki teriminin toplamına bakalım. \(\rho = \sigma\circ\tau\) olsun; \(\rho(k) = \sigma(l)\), \(\rho(l) = \sigma(k)\) ve \(i \ne k,l\) için \(\rho(i) = \sigma(i)\)’dir. \(\rho\)’nun terimindeki çarpımda \(k\) ve \(l\) satırlarından gelen çarpanlar

\[a_{k\,\sigma(l)}\ \text{ve}\ a_{l\,\sigma(k)}\]

olur. İki satır aynı olduğundan \(a_{k\sigma(l)} = a_{l\sigma(l)}\) ve \(a_{l\sigma(k)} = a_{k\sigma(k)}\)’dır; yani \(\rho\)’nun çarpımı \(\sigma\)’nınkiyle aynı sayıdır. İşaretler ise zıttır: \(\operatorname{sgn}(\rho) = -\operatorname{sgn}(\sigma)\). Demek ki her ikilinin iki terimi birbirini götürür ve toplam sıfırdır.

(iii) \(A\) üst üçgensel olsun, yani \(i > j\) için \(a_{ij} = 0\). Bir terimin sıfırdan farklı olabilmesi için her \(i\)’de \(a_{i\sigma(i)} \ne 0\), yani \(\sigma(i) \ge i\) olmalıdır. \(i = n\) için \(\sigma(n) \ge n\), yani \(\sigma(n) = n\)’dir. \(i = n-1\) için \(\sigma(n-1) \ge n-1\) ve \(n\) değeri kullanıldığından \(\sigma(n-1) = n-1\)’dir. Aynı akıl yürütme yukarı doğru sürdürülürse \(\sigma = I\) çıkar. Geriye tek bir terim kalır:

\[|A| = \operatorname{sgn}(I)\,a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} = a_{11}a_{22}\cdots a_{nn}\]

Alt üçgensel durum, transpoze alınarak buna indirgenir. \(I_n\) köşegeninde \(1\)’ler bulunan üçgensel bir matris olduğundan \(|I_n| = 1\)’dir.

\(\blacksquare\)

36.6 Satır İşlemleri

Teorem 36.3 (Determinant Satır İşlemleri Altında) \(A\), \(n\). mertebeden bir kare matris olsun.

(i) \(B\), \(A\)’nın bir satırının \(c \in K\) ile çarpılmasıyla elde edilirse \(|B| = c\,|A|\)’dır.

(ii) \(B\), \(A\)’nın bir satırının \(c\) katının başka bir satıra eklenmesiyle elde edilirse \(|B| = |A|\)’dır.

İspat

(i) \(k\). satır \(c\) ile çarpılmış olsun. Determinantın her terimi \(k\). satırdan tam olarak bir çarpan içerdiğinden her terim \(c\) ile çarpılır:

\[|B| = \sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma)\,a_{1\sigma(1)}\cdots\big(c\,a_{k\sigma(k)}\big)\cdots a_{n\sigma(n)} = c\,|A|\]

(ii) Önce bir ara adım: determinant her satırda toplamsaldır. \(A\)’nın \(k\). satırı iki satırın toplamı, yani \(a_{kj} = u_j + v_j\) biçiminde olsun. \(A'\) ile \(k\). satırı \((u_j)\), \(A''\) ile \(k\). satırı \((v_j)\) olan (kalan satırları \(A\) ile aynı) matrisleri gösterelim. Her terimde \(k\). satırdan gelen çarpanı ayırıp dağıtalım:

\[|A| = \sum_\sigma \operatorname{sgn}(\sigma)\big(u_{\sigma(k)} + v_{\sigma(k)}\big)\prod_{i \ne k}a_{i\sigma(i)} = |A'| + |A''|\]

Şimdi \(B\), \(A\)’nın \(l\). satırının \(c\) katının \(k\). satıra eklenmesiyle elde edilsin (\(k \ne l\)). \(B\)’nin \(k\). satırı \(\big(a_{kj} + c\,a_{lj}\big)\)’dir. Yukarıdaki toplamsallıkla

\[|B| = |A| + \big|C\big|\]

Burada \(C\), \(k\). satırı \(\big(c\,a_{lj}\big)\) olan matristir. (i) gereği \(|C| = c\,|D|\)’dir; \(D\) ise \(k\). satırı \(l\). satırın aynısı olan matristir. İki satırı aynı olan bir matrisin determinantı sıfır olduğundan \(|D| = 0\), dolayısıyla

\[|B| = |A| + c\cdot 0 = |A|\]

\(\blacksquare\)

Hesap yöntemi

Bu iki özellik ile satır değişimi kuralı, determinant hesabının pratik yöntemini verir: matrisi elemanter satır işlemleriyle üçgensel şekle indirgeyin, sonra köşegeni çarpın. Yalnız iki noktaya dikkat edin — satır değişimi işareti çevirir, bir satırı \(c\) ile çarpmak determinantı \(c\) katına çıkarır. Bir satırın katını başka bir satıra eklemek ise determinantı hiç değiştirmez; hesabın omurgası budur.

Örnek 36.2 (Satır İşlemleriyle Determinant) \(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 8 & -4 \end{vmatrix}\) determinantını satır işlemleriyle hesaplayınız.

Çözüm

Birinci sütunu temizleyelim; kullanılan işlemler bir satırın katını başka bir satıra eklemek olduğundan determinant değişmez:

\[R_2 \to -2R_1 + R_2, \qquad R_3 \to -3R_1 + R_3\]

\[\begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 8 & -4 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 2 & -1 \end{vmatrix}\]

Şimdi \(R_3 \to 2R_2 + R_3\):

\[= \begin{vmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix} = 1\cdot(-1)\cdot 5 = -5\]

Kontrol. Üçüncü mertebe kuralı da aynı sonucu verir ✔

\[\begin{aligned} &1(3\cdot(-4) - 1\cdot 8) - 2(2\cdot(-4) - 1\cdot 3) + (-1)(2\cdot 8 - 3\cdot 3)\\ &\qquad = 1(-20) - 2(-11) - 1(7)\\ &\qquad = -20 + 22 - 7 = -5 \end{aligned}\]

\(\blacksquare\)

36.7 Regülerlik Ölçütü

Önerme 36.2 (Elemanter Matrisle Çarpım) \(\widehat{E}\) bir elemanter matris ve \(A\) aynı mertebeden bir kare matris olsun. O zaman

\[\big|\widehat{E}A\big| = \big|\widehat{E}\big|\cdot|A|\]

Ayrıca \(\big|\widehat{E}\big| \ne 0\)’dır.

İspat

\(\widehat{E}A\) matrisi, \(A\)’ya karşılık gelen elemanter satır işleminin uygulanmasıyla elde edilir. Üç işlemi tek tek ele alalım; \(\widehat{E}\)’nin determinantı, aynı işlemin \(I_n\)’e uygulanmasıyla bulunur.

Satır değişimi. \(\big|\widehat{E}\big| = -|I_n| = -1\) ve \(\big|\widehat{E}A\big| = -|A|\)’dır; eşitlik sağlanır.

Bir satırı \(c \ne 0\) ile çarpmak. \(\widehat{E}\) köşegeninde bir tane \(c\), kalanında \(1\) bulunan köşegen bir matristir, yani \(\big|\widehat{E}\big| = c\); ayrıca \(\big|\widehat{E}A\big| = c|A|\)’dır.

Bir satırın katını başka satıra eklemek. \(\widehat{E}\) üçgenseldir ve köşegeni bütünüyle \(1\)’lerden oluşur, yani \(\big|\widehat{E}\big| = 1\); ayrıca \(\big|\widehat{E}A\big| = |A|\)’dır.

Üç durumda da \(\big|\widehat{E}\big| \in \{-1,\ c,\ 1\}\) sıfırdan farklıdır.

\(\blacksquare\)

Teorem 36.4 (Regülerliğin Determinant Ölçütü) \(n\). mertebeden bir \(A\) kare matrisinin regüler olması için gerek ve yeter koşul \(|A| \ne 0\) olmasıdır.

İspat

\(A\), satır işlemleriyle bir \(R\) satır kanonik şekline indirgensin. Her satır işlemi bir elemanter matrisle soldan çarpmaya karşılık geldiğinden

\[R = \widehat{E}_m \cdots \widehat{E}_2\widehat{E}_1 A\]

Determinant alıp bir önceki önermeyi ardışık olarak uygulayalım:

\[|R| = \big|\widehat{E}_m\big|\cdots\big|\widehat{E}_1\big|\cdot |A|\]

Baştaki çarpanların hepsi sıfırdan farklı olduğundan

\[|A| \ne 0 \iff |R| \ne 0\]

Şimdi iki hâli ayıralım. Regülerlik ölçütü gereği \(A\) regülerse \(R = I_n\)’dir ve \(|R| = 1 \ne 0\) olur. \(A\) regüler değilse aynı sonucun notunda belirtildiği gibi \(R\)’nin bir satırı tamamen sıfırdır ve \(|R| = 0\) olur. İki hâl birleştirilirse

\[A \text{ regüler} \iff |R| \ne 0 \iff |A| \ne 0\]

\(\blacksquare\)

Denk koşullar listesi

\(A\), \(n\). mertebeden bir kare matris olmak üzere aşağıdaki ifadeler denktir:

\(A\) regülerdir (tersi vardır).
\(A \overset{\text{satır}}{\sim} I_n\)’dir.
\(A\cdot x = 0\) homojen sisteminin yalnız sıfır çözümü vardır.
\(\operatorname{rank}(A) = n\)’dir, yani satırları (ve sütunları) lineer bağımsızdır.
\(A\) elemanter matrislerin bir çarpımıdır.
\(|A| \ne 0\)’dır.

İlk beşi regülerlik ölçütü ve rank bölümlerinde kurulmuştu; determinant listeye altıncı ve hesaplanması en kolay olan maddeyi ekler.

36.8 Çarpımın Determinantı

Teorem 36.5 (Çarpımın Determinantı Determinantların Çarpımıdır) Aynı mertebeden her \(A\), \(B\) kare matrisleri için

\[|A\cdot B| = |A|\cdot|B|\]

İspat

Birinci hâl: \(A\) regüler değil. O zaman \(|A| = 0\) olduğundan sağ taraf sıfırdır; sol tarafın da sıfır olduğunu görelim. \(A\) regüler olmadığından \(\operatorname{rank}(A) < n\)’dir. Öte yandan \(AB\)’nin \(j\). sütunu, \(A\) ile \(B\)’nin \(j\). sütununun çarpımıdır; yani \(AB\)’nin her sütunu \(A\)’nın sütunlarının bir lineer kombinezonudur. Demek ki \(AB\)’nin sütun uzayı \(A\)’nın sütun uzayının içinde kalır:

\[\operatorname{rank}(AB) \le \operatorname{rank}(A) < n\]

Öyleyse \(AB\) de regüler değildir ve \(|AB| = 0\)’dır. İki taraf da sıfırdır.

İkinci hâl: \(A\) regüler. Bu durumda \(A\), elemanter matrislerin bir çarpımıdır:

\[A = \widehat{E}_1\widehat{E}_2\cdots\widehat{E}_m\]

Elemanter matrisle çarpım önermesini ardışık olarak uygulayalım. Önce \(B = I_n\) alarak

\[|A| = \big|\widehat{E}_1\big|\big|\widehat{E}_2\big|\cdots\big|\widehat{E}_m\big|\]

Sonra aynı önermeyi \(AB\) çarpımına uygulayalım:

\[|AB| = \big|\widehat{E}_1\widehat{E}_2\cdots\widehat{E}_mB\big| = \big|\widehat{E}_1\big|\big|\widehat{E}_2\big|\cdots\big|\widehat{E}_m\big|\cdot|B| = |A|\cdot|B|\]

\(\blacksquare\)

Sonuç 36.1 (Ters Matrisin Determinantı) \(A\) regüler ise

\[\big|A^{-1}\big| = \frac{1}{|A|}\]

İspat

\(AA^{-1} = I_n\) eşitliğinin determinantını alalım:

\[|A|\cdot\big|A^{-1}\big| = |I_n| = 1\]

\(A\) regüler olduğundan \(|A| \ne 0\)’dır; her iki tarafı \(|A|\)’ya bölmek yeter.

\(\blacksquare\)

Toplam için benzer bir kural yoktur

\(|A + B|\) ile \(|A| + |B|\) genellikle farklıdır. Örneğin \(A = I_2\) ve \(B = -I_2\) için \(|A| + |B| = 1 + 1 = 2\) iken \(A + B\) sıfır matristir ve \(|A+B| = 0\)’dır.

36.9 Alıştırma

Alıştırma 36.1 (Determinant Hesapları)

\(\begin{vmatrix} k & k \\ 4 & 2k\end{vmatrix} = 0\) olacak biçimdeki bütün \(k \in \mathbb{R}\) değerlerini bulunuz.
\(\begin{vmatrix} \tfrac{1}{2} & -1 & -\tfrac{1}{3} \\[1mm] \tfrac{3}{4} & \tfrac{1}{2} & -1 \\[1mm] 1 & -4 & 1 \end{vmatrix}\) determinantını hesaplayınız.
\(A = \begin{pmatrix} t + 3 & -1 & 1 \\ 5 & t - 3 & 1 \\ 6 & -6 & t + 4\end{pmatrix}\) için \(|A| = 0\) denklemini çözünüz.
\(A\) ve \(B\) aynı mertebeden regüler matrisler olsun. \(\big|A^{-1}BA\big| = |B|\) olduğunu gösteriniz.

Çözüm

1. \(|A| = 2k^{2} - 4k = 2k(k-2)\) olduğundan \(k = 0\) ya da \(k = 2\)’dir.

2. Kesirlerden kurtulmak için birinci satırı \(6\), ikinci satırı \(4\) ile çarpalım. Her çarpma determinantı o çarpanla büyüttüğünden, sonuçta çıkan sayıyı \(24\)’e bölmemiz gerekecek:

\[24\,|A| = \begin{vmatrix} 3 & -6 & -2 \\ 3 & 2 & -4 \\ 1 & -4 & 1 \end{vmatrix}\]

Sağdaki determinantı üçgensel şekle indirgeyerek hesaplayalım. Önce \(R_1 \leftrightarrow R_3\) ile başa \(1\) getirelim; satır değişimi işareti çevirir:

\[= -\begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 3 & 2 & -4 \\ 3 & -6 & -2 \end{vmatrix}\]

\(R_2 \to -3R_1 + R_2\) ve \(R_3 \to -3R_1 + R_3\) (determinant değişmez):

\[= -\begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & 14 & -7 \\ 0 & 6 & -5 \end{vmatrix}\]

\(R_3 \to -\tfrac{3}{7}R_2 + R_3\) ile üçgensel şekle inelim; son köşe \(-5 + 3 = -2\) olur:

\[= -\begin{vmatrix} 1 & -4 & 1 \\ 0 & 14 & -7 \\ 0 & 0 & -2 \end{vmatrix} = -\big(1\cdot 14\cdot(-2)\big) = 28\]

Öyleyse \(24|A| = 28\) ve \(|A| = \dfrac{28}{24} = \dfrac{7}{6}\)’dır.

3. Determinantı, üçüncü mertebe kuralını birinci satıra göre gruplayarak açalım:

\[ \begin{aligned} |A| &= (t+3)\big[(t-3)(t+4) + 6\big] - (-1)\big[5(t+4) - 6\big] + 1\big[-30 - 6(t-3)\big]\\[1mm] &= (t+3)\big[t^{2} + t - 12 + 6\big] + \big[5t + 14\big] + \big[-30 - 6t + 18\big]\\[1mm] &= (t+3)\big(t^{2} + t - 6\big) + 5t + 14 - 6t - 12\\[1mm] &= (t+3)(t+3)(t-2) - t + 2\\[1mm] &= (t+3)^{2}(t-2) - (t - 2) = (t-2)\big[(t+3)^{2} - 1\big] \end{aligned} \]

Köşeli parantezi çarpanlara ayıralım: \((t+3)^{2} - 1 = (t + 3 - 1)(t + 3 + 1) = (t+2)(t+4)\). Öyleyse

\[|A| = (t-2)(t+2)(t+4)\]

ve \(|A| = 0\) denkleminin çözümleri \(t = 2\), \(t = -2\), \(t = -4\)’tür.

4. Çarpımın determinantı kuralını iki kez ve ters matrisin determinantı sonucunu bir kez kullanalım:

\[\big|A^{-1}BA\big| = \big|A^{-1}\big|\cdot|B|\cdot|A| = \frac{1}{|A|}\cdot|B|\cdot|A| = |B|\]

(Skalerler değişmeli olduğundan sıralama serbesttir.) Bu, benzer matrislerin determinantlarının eşit olduğunu söyler; iz ve rank gibi determinant da tabandan bağımsız bir büyüklüktür.

\(\blacksquare\)