10  Parametreli Sistemlerin Tartışması

Katsayılardan biri sabit bir sayı yerine \(a\) ya da \(k\) gibi bir parametre olduğunda soru değişir: “çözüm nedir?” yerine “hangi parametre değerinde çözüm vardır, hangisinde tektir?” diye sorulur. Yöntem yine aynıdır — genişletilmiş matris merdiven şekline indirilir — ama son ayrıcalıklı elemanı sıfırlayan parametre değerlerine ayrı ayrı bakmak gerekir. Bu bölümde o tartışma tekniğini kuruyoruz.

10.1 Kritik Değer Nereden Çıkar?

Merdiven şekline inildiğinde en alttaki denklem tipik olarak

\[p(a)\,x_n = q(a)\]

biçimini alır; burada \(p\) ve \(q\), parametreye bağlı ifadelerdir. Üç durum vardır:

• \(p(a) \neq 0_K\) ise denklem \(x_n\) için tek türlü çözülür; merdiven şeklinde \(r = n\) olur ve çözüm tektir.
• \(p(a) = 0_K\) ve \(q(a) \neq 0_K\) ise denklem \(0_K = q(a) \neq 0_K\) hâline gelir; çözüm yoktur.
• \(p(a) = 0_K\) ve \(q(a) = 0_K\) ise denklem \(0_K = 0_K\) olur ve atılır; geriye kalan denklem sayısı bilinmeyen sayısından küçük olduğundan birden fazla çözüm vardır.

Tartışma, tam olarak \(p(a) = 0_K\) denkleminin köklerini bulup bu üç dala ayırmaktır.

10.2 Tek Parametreli Bir Sistem

Örnek 10.1 (a Parametresine Göre Tartışma) \[x_1 + x_2 - x_3 = 1, \qquad 2x_1 + 3x_2 + ax_3 = 3, \qquad x_1 + ax_2 + 3x_3 = 2\]

sisteminde \(a \in \mathbb{R}\) değerini, (i) sistemin çözümü yoktur, (ii) sistemin birden fazla çözümü vardır, (iii) sistemin bir tek çözümü vardır hâllerinin her biri için belirleyiniz.

Çözüm

Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\ 2 & 3 & a & 3\\ 1 & a & 3 & 2\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -2R_1 + R_2\\ R_3 \to -R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & a + 2 & 1\\ 0 & a - 1 & 4 & 1\end{array}\right)\]

İkinci sütunun altını temizleyelim:

\[\overset{R_3 \to -(a-1)R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 1 & a+2 & 1\\ 0 & 0 & 4 - (a-1)(a+2) & 1 - (a-1)\end{array}\right)\]

Üçüncü satırdaki ifadeleri sadeleştirelim:

\[4 - (a-1)(a+2) = 4 - \big(a^{2} + a - 2\big) = -\big(a^{2} + a - 6\big) = (a+3)(2-a)\]

\[1 - (a - 1) = 2 - a\]

Buna karşılık gelen sistem

\[x_1 + x_2 - x_3 = 1, \qquad x_2 + (a+2)x_3 = 1, \qquad (a+3)(2-a)\,x_3 = 2 - a\]

(i) \(a = -3\) ise. Üçüncü denklem \(0 = 5\) hâline gelir; bu denklemin çözümü olmadığından sistemin çözümü yoktur.

(ii) \(a = 2\) ise. Üçüncü denklem \(0 = 0\) olur ve atılır. Geriye

\[x_1 + x_2 - x_3 = 1, \qquad x_2 + 4x_3 = 1\]

sistemi kalır; burada denklem sayısı \(2\), bilinmeyen sayısı \(3\)’tür, yani \(r < n\)’dir. Bir serbest değişken vardır ve birden fazla çözüm bulunur. \(x_3 = t\) alınırsa \(x_2 = 1 - 4t\) ve

\[x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - (1 - 4t) + t = 5t\]

olur; çözüm kümesi \(\big\{(5t,\ 1 - 4t,\ t) : t \in \mathbb{R}\big\}\)’dir.

(iii) \((a+3)(2-a) \neq 0\), yani \(a \neq -3\) ve \(a \neq 2\) ise. Merdiven şeklinde denklem sayısı bilinmeyen sayısına eşittir (\(r = n = 3\)); bir tek çözüm vardır. Üçüncü denklemin iki tarafı \(2 - a \neq 0\) ile sadeleştirilirse

\[(a + 3)x_3 = 1 \implies x_3 = \frac{1}{a+3}\]

İkinci denklemden

\[x_2 = 1 - (a+2)x_3 = 1 - \frac{a+2}{a+3} = \frac{1}{a+3}\]

Birinci denklemden

\[x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - \frac{1}{a+3} + \frac{1}{a+3} = 1\]

Yani tek çözüm \(\left(1,\ \dfrac{1}{a+3},\ \dfrac{1}{a+3}\right)\)’tür. \(a = 0\) için bu \(\left(1, \frac13, \frac13\right)\) verir; sağlama: \(1 + \frac13 - \frac13 = 1\), \(2 + 1 + 0 = 3\), \(1 + 0 + 1 = 2\).

\(\blacksquare\)

10.3 İki Parametreli Bir Sistem

Örnek 10.2 (a ve b Parametrelerine Göre Tartışma) \(\mathbb{R}\) üzerinde

\[2x_1 + x_2 = 0, \qquad x_1 + 3x_3 = 0, \qquad -a\,x_2 = 0, \qquad x_3 + x_4 = b\]

sisteminin çözümünü \(a\) ve \(b\)’nin değerlerine göre inceleyiniz.

Çözüm

Genişletilmiş matrisi yazıp köşeye \(1\) getirelim:

\[\left(\begin{array}{cccc|c} 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & -a & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\end{array}\right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_2}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -a & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\end{array}\right)\]

\[\overset{R_2 \to -2R_1 + R_2}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -6 & 0 & 0\\ 0 & -a & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\end{array}\right) \overset{R_3 \to aR_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -6a & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\end{array}\right)\]

Üçüncü ve dördüncü satırların yerini değiştirip son sütunu temizleyelim:

\[\overset{R_3 \leftrightarrow R_4}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\\ 0 & 0 & -6a & 0 & 0\end{array}\right) \overset{R_4 \to 6aR_3 + R_4}{\sim} \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 3 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -6 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & b\\ 0 & 0 & 0 & 6a & 6ab\end{array}\right)\]

Karşılık gelen sistem

\[x_1 + 3x_3 = 0, \qquad x_2 - 6x_3 = 0, \qquad x_3 + x_4 = b, \qquad 6a\,x_4 = 6ab\]

1. \(a \neq 0\) ise. Son denklem \(x_4 = b\) verir ve merdiven şeklinde \(r = n = 4\)’tür; çözüm tektir. Üçüncü denklemden \(x_3 = b - x_4 = 0\), ikinciden \(x_2 = 6x_3 = 0\), birinciden \(x_1 = -3x_3 = 0\) bulunur:

\[\text{Çözüm kümesi} = \big\{(0, 0, 0, b)\big\}\]

Özel olarak \(b = 0\) ise sistem homojendir ve tek çözüm \((0,0,0,0)\), yani sıfır çözümdür — homojen bir sistemin \(r = n\) hâlinde triviyal olmayan çözümü olmadığı sonucuyla uyumlu.

2. \(a = 0\) ise. Son denklem \(0 = 0\) olur ve atılır. Geriye üç denklem kalır:

\[x_1 + 3x_3 = 0, \qquad x_2 - 6x_3 = 0, \qquad x_3 + x_4 = b\]

Burada \(r = 3\), \(n = 4\)’tür; serbest değişken sayısı \(n - r = 1\)’dir ve serbest değişken \(x_4\)’tür. \(x_4 = c\) alalım:

\[x_3 = b - c, \qquad x_2 = 6(b - c) = 6b - 6c, \qquad x_1 = -3(b-c) = 3c - 3b\]

Çözüm kümesi

\[\big\{(3c - 3b,\ 6b - 6c,\ b - c,\ c) : c \in \mathbb{R}\big\}\]

\(b = 0\), \(c = 1\) için \((3, -6, -1, 1)\) elde edilir; sağlama: \(6 - 6 = 0\), \(3 - 3 = 0\), \(0 \cdot (-6) = 0\), \(-1 + 1 = 0\).

\(\blacksquare\)

10.4 Alıştırma

Alıştırma 10.1 (Parametreli Sistemler)  

1. \(\mathbb{R}\) üzerinde

\[kx + y + z = 1, \qquad x + ky + z = 1, \qquad x + y + kz = 1\]

sistemindeki \(k\) değerini, (i) bir tek çözüm vardır, (ii) çözüm yoktur, (iii) birden fazla çözüm vardır hâlleri için belirleyiniz.

2. \(\mathbb{R}\) üzerinde

\[x + y + kz = 2, \qquad 3x + 4y + 2z = k, \qquad 2x + 3y - z = 1\]

sistemi için aynı tartışmayı yapınız.

3. \(x_1 + 2x_2 - 3x_3 = -1\); \(3x_1 - x_2 + 2x_3 = 7\); \(5x_1 + 3x_2 - 4x_3 = 2\) sisteminin çözümünün olmadığını gösteriniz.

Çözüm

a) Köşeye \(1\) getirmek için birinci ve üçüncü satırların yerini değiştirelim:

\[\left(\begin{array}{ccc|c} k & 1 & 1 & 1\\ 1 & k & 1 & 1\\ 1 & 1 & k & 1\end{array}\right) \overset{R_1 \leftrightarrow R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 1\\ 1 & k & 1 & 1\\ k & 1 & 1 & 1\end{array}\right)\]

Birinci sütunun altını temizleyelim:

\[\overset{\substack{R_2 \to -R_1 + R_2\\ R_3 \to -kR_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 1\\ 0 & k-1 & 1-k & 0\\ 0 & 1-k & 1-k^{2} & 1-k\end{array}\right)\]

\[\overset{R_3 \to R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 1\\ 0 & k-1 & 1-k & 0\\ 0 & 0 & 2 - k - k^{2} & 1-k\end{array}\right)\]

Son satırdaki katsayıyı çarpanlara ayıralım:

\[2 - k - k^{2} = -\big(k^{2} + k - 2\big) = -(k+2)(k-1) = (k+2)(1-k)\]

Yani son denklem \((k+2)(1-k)z = 1-k\)’dir.

(iii) \(k = 1\) ise: İkinci ve üçüncü satırlar tamamen sıfır olur ve atılır. Geriye tek bir denklem, \(x + y + z = 1\), kalır. Üç bilinmeyen, bir denklem: iki serbest değişken vardır ve birden fazla çözüm bulunur.

\(k \neq 1\) ise: Son denklemin iki tarafı \(1 - k \neq 0\) ile sadeleştirilir: \((k+2)z = 1\).

(ii) \(k = -2\) ise: Denklem \(0 = 1\) hâline gelir; çözüm yoktur.

(i) \(k \neq 1\) ve \(k \neq -2\) ise: \(r = n = 3\)’tür ve bir tek çözüm vardır:

\[z = \frac{1}{k+2}\]

İkinci denklem \((k-1)(y - z) = 0\) biçimindedir; \(k \neq 1\) olduğundan \(y = z\)’dir. Birinci denklemden

\[x = 1 - y - kz = 1 - (k+1)z = 1 - \frac{k+1}{k+2} = \frac{1}{k+2}\]

Yani tek çözüm \(\left(\dfrac{1}{k+2},\ \dfrac{1}{k+2},\ \dfrac{1}{k+2}\right)\)’dir; simetrik bir sistemde simetrik bir çözüm bulunması beklenen sonuçtur.

b) İndirgeyelim:

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 2\\ 3 & 4 & 2 & k\\ 2 & 3 & -1 & 1\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -3R_1 + R_2\\ R_3 \to -2R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 2\\ 0 & 1 & 2-3k & k-6\\ 0 & 1 & -1-2k & -3\end{array}\right)\]

\[\overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & k & 2\\ 0 & 1 & 2-3k & k-6\\ 0 & 0 & k-3 & 3-k\end{array}\right)\]

Son denklem \((k-3)z = 3-k = -(k-3)\)’tür.

(i) \(k \neq 3\) ise: İki taraf \(k - 3 \neq 0\) ile sadeleştirilir ve \(z = -1\) bulunur; \(r = n = 3\) olduğundan çözüm tektir. İkinci denklem \(y + (2 - 3k)z = k - 6\) idi; \(z = -1\) konursa

\[y - (2 - 3k) = k - 6 \implies y = k - 6 + 2 - 3k = -4 - 2k\]

bulunur. Birinci denklemden

\[x = 2 - y - kz = 2 + 4 + 2k + k = 6 + 3k\]

Tek çözüm \((6 + 3k,\ -4 - 2k,\ -1)\)’dir. \(k = 0\) için \((6, -4, -1)\) çıkar; sağlama: \(6 - 4 + 0 = 2\), \(18 - 16 - 2 = 0\), \(12 - 12 + 1 = 1\).

(iii) \(k = 3\) ise: Son denklem \(0 = 0\) olur ve atılır. Geriye iki denklem, üç bilinmeyen kalır (\(r = 2 < n = 3\)); birden fazla çözüm vardır. \(z = t\) alınırsa ikinci denklemden \(y = -3 + 7t\) ve birinciden

\[x = 2 - y - 3t = 2 + 3 - 7t - 3t = 5 - 10t\]

bulunur.

(ii) Son denklemin sabit terimi ile katsayısı daima birbirinin ters işaretlisi olduğundan \(0 = q \neq 0\) hâli hiçbir \(k\) için ortaya çıkmaz: sistemin çözümsüz olduğu bir \(k\) değeri yoktur.

c) Genişletilmiş matrisi indirgeyelim:

\[\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -1\\ 3 & -1 & 2 & 7\\ 5 & 3 & -4 & 2\end{array}\right) \overset{\substack{R_2 \to -3R_1 + R_2\\ R_3 \to -5R_1 + R_3}}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -1\\ 0 & -7 & 11 & 10\\ 0 & -7 & 11 & 7\end{array}\right)\]

\[\overset{R_3 \to -R_2 + R_3}{\sim} \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & -3 & -1\\ 0 & -7 & 11 & 10\\ 0 & 0 & 0 & -3\end{array}\right)\]

Son satır \(0x_1 + 0x_2 + 0x_3 = -3\) denklemine karşılık gelir; sol taraf daima \(0\) olduğundan bu denklemin çözümü yoktur. Merdiven şekli asıl sisteme eşdeğer olduğundan sistemin çözümü yoktur.

Aynı sonucu şöyle de okuyabiliriz: ikinci ve üçüncü denklemler indirgeme sonunda aynı sol tarafa (\(-7x_2 + 11x_3\)) fakat farklı sabit terimlere (\(10\) ve \(7\)) sahip olmuştur; bir ifade aynı anda iki farklı değer alamaz.

\(\blacksquare\)

Denklem sistemlerinin kuramı ve hesabı tamamlandı. Buradan sonra bakış açısı değişiyor: \(n\)-lileri tek tek çözümler olarak değil, üzerinde toplama ve skalerle çarpma tanımlı bir uzayın elemanları olarak göreceğiz. Bu, dersin ikinci yarısının konusu olan vektör uzaylarıdır.