7 Lineer Denklemler ve Sistemleri
Lineer cebirin çıkış noktası, adını da veren nesnedir: bilinmeyenlerin yalnızca birinci kuvvetleriyle göründüğü denklemler. Bu bölümde önce tek bir lineer denklemin ne zaman çözüldüğünü, ardından bir denklem sisteminin çözüm kümesinin nasıl bir yapı taşıdığını inceliyoruz. Çıkacak sonuç şaşırtıcı derecede düzenlidir: bir sistemin bütün çözümleri, tek bir çözümün etrafına dizilmiş olarak bulunur.
7.1 Lineer Denklem
Tanım 7.1 (Lineer Denklem) \(K\) komutatif bir cisim olsun. \(x_i\) \((i = 1, \dots, n)\) bilinmeyenler (değişkenler), \(a_i \in K\) ve \(b \in K\) olmak üzere
\[a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = b \tag{1}\]
ifadesine \(K\) cismi üzerinde \(n\) bilinmeyenli bir lineer denklem denir. \(a_i\)’ye \(x_i\) değişkeninin katsayısı, \(b\)’ye denklemin sabit terimi denir.
\(x_i\) yerine \(k_i \in K\) konulduğunda
\[a_1 k_1 + a_2 k_2 + \cdots + a_n k_n = b\]
oluyorsa, \(x_1 = k_1, \dots, x_n = k_n\)’ye \((1)\) denkleminin bir çözümü denir ve bu çözüm
\[u = (k_1, k_2, \dots, k_n)\]
biçiminde gösterilir.
Örnek 7.1 (Bir n-li Çözüm mü?) \(K = \mathbb{R}\) üzerinde \(x_1 + 2x_2 - 4x_3 + x_4 = 3\) denklemi için \(u = (3, 2, 1, 0)\) ve \(v = (1, 2, 4, 5)\) dörtlülerini sınayınız.
Çözüm
\(u\) için bilinmeyenlerin yerine sırayla \(3, 2, 1, 0\) koyalım:
\[3 + 2 \cdot 2 - 4 \cdot 1 + 0 = 3 + 4 - 4 = 3\]
Eşitlik sağlandığından \(u\) bir çözümdür. \(v\) için ise
\[1 + 2 \cdot 2 - 4 \cdot 4 + 5 = 1 + 4 - 16 + 5 = -6 \neq 3\]
olduğundan \(v\) bir çözüm değildir.
\(\blacksquare\)
Tek bir lineer denklemin çözümleri üç duruma ayrılır.
1. Katsayılardan en az biri sıfırdan farklı. Diyelim \(a_1 \neq 0_K\) olsun. \(K\) bir cisim olduğundan \(a_1^{-1}\) vardır ve denklem
\[x_1 = a_1^{-1}b - a_1^{-1}a_2 x_2 - \cdots - a_1^{-1}a_n x_n\]
biçiminde yazılabilir. \(x_2, \dots, x_n\) bilinmeyenlerine keyfi değerler verilerek \(x_1\) için bir değer bulunur; bu değerlerin tümü birlikte bir çözüm oluşturur. Ayrıca denklemin her çözümü bu biçimde elde edilir. Özel olarak tek bilinmeyenli \(ax = b\) \((a \neq 0_K)\) denkleminin tek çözümü \(x = a^{-1}b\)’dir.
2. Bütün katsayılar sıfır, sabit terim sıfırdan farklı. Denklem
\[0_K x_1 + \cdots + 0_K x_n = b, \qquad b \neq 0_K\]
biçimindedir ve sol taraf hangi değerler için de olsa \(0_K\) olduğundan çözümü yoktur.
3. Bütün katsayılar ve sabit terim sıfır. Bu durumda her \((k_1, \dots, k_n)\) \(n\)-lisi denklemi sağlar; çözüm kümesi \(K^{n}\)’in tamamıdır.
Örnek 7.2 (Tek Denklemin Çözümleri) \(K = \mathbb{R}\) üzerinde \(2x_1 - 4x_2 + x_3 = 8\) denkleminin çözümlerini betimleyiniz ve bir örnek veriniz.
Çözüm
\(x_1\)’in katsayısı \(2 \neq 0\) olduğundan denklem \(x_1\) için çözülebilir:
\[2x_1 = 8 + 4x_2 - x_3 \implies x_1 = 4 + 2x_2 - \frac{1}{2}x_3\]
\(x_2\) ve \(x_3\)’e herhangi bir değer verildiğinde \(x_1\)’in değeri belirlenir ve üç değer birlikte bir çözüm oluşturur. Örneğin \(x_2 = 3\), \(x_3 = 2\) alalım:
\[x_1 = 4 + 2 \cdot 3 - \frac{1}{2}\cdot 2 = 4 + 6 - 1 = 9\]
Yani \((9, 3, 2)\) denklemin bir çözümüdür.
\(\blacksquare\)
7.2 Lineer Denklem Sistemleri
Tanım 7.2 (Lineer Denklem Sistemi) \(K\) komutatif bir cisim, \(a_{ij}, b_i \in K\) \((i = 1,\dots,m;\ j = 1,\dots,n)\) olmak üzere \(x_1, \dots, x_n\) bilinmeyenlerinden oluşan \(m\) tane lineer denklemin oluşturduğu
\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= b_1\\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2n}x_n &= b_2\\ &\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= b_m \end{aligned} \tag{2}\]
topluluğuna \(n\) bilinmeyenli \(m\) denklemli bir lineer denklem sistemi denir.
\(b_1, b_2, \dots, b_m\)’nin hepsi birden \(0_K\) değilse sisteme homojen olmayan, hepsi \(0_K\) ise homojen lineer denklem sistemi denir.
\(u = (k_1, \dots, k_n)\) \(n\)-lisi \((2)\) sistemindeki denklemlerin her birini sağlıyorsa \(u\)’ya sistemin bir (özel) çözümü denir. Bütün özel çözümlerin oluşturduğu kümeye sistemin çözüm kümesi (veya genel çözümü) denir.
\((2)\) sistemindeki sabit terimlerin yerine \(0_K\) konulmasıyla elde edilen
\[\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1n}x_n &= 0_K\\ &\ \vdots\\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \cdots + a_{mn}x_n &= 0_K \end{aligned} \tag{3}\]
sistemine, \((2)\) ile ilgili homojen sistem denir.
\((3)\) sisteminin en az bir çözümü daima vardır: \((0_K, 0_K, \dots, 0_K)\) \(n\)-lisi bütün denklemleri sağlar. Bu çözüme sıfır çözüm veya triviyal çözüm denir. Bir homojen sistemin sıfır çözümden farklı çözümleri varsa bunlara triviyal olmayan çözümler denir. Homojen sistemlerde asıl soru “çözüm var mı?” değil, “sıfırdan başka çözüm var mı?” sorusudur.
7.3 Katsayılar Matrisi ve Genişletilmiş Matris
Tanım 7.3 (Katsayılar Matrisi) \((2)\) sistemindeki bilinmeyenlerin katsayılarıyla oluşturulan
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}_{(m,n)}\]
matrisine sistemin katsayılar matrisi denir.
Tanım 7.4 (Genişletilmiş Matris) Katsayılar matrisine sabit terimlerin bir sütun olarak eklenmesiyle elde edilen
\[\big(A \mid b\big) = \left(\begin{array}{cccc|c} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{array}\right)_{(m,\,n+1)}\]
matrisine sistemin genişletilmiş matrisi denir.
Genişletilmiş matris, sistemin bütün bilgisini taşıyan tek nesnedir: bilinmeyenlerin adları unutulup yalnızca sayılarla çalışılabilir. Sonraki bölümlerde çözüm yöntemleri tam olarak bu matris üzerinde yürütülecektir.
7.4 Çözüm Kümesinin Yapısı
Teorem 7.1 (Genel Çözümün Yapısı) \(u\), \((2)\) homojen olmayan sisteminin bir özel çözümü ve \(W\) da \((2)\) ile ilgili \((3)\) homojen sisteminin genel çözümü olsun. Bu takdirde \((2)\) sisteminin \(U\) genel çözümü
\[U = u + W = \{u + w : w \in W\}\]
kümesidir.
İspat
Teoremin hipotezi gereği \(U \neq \varnothing\)’dir. İki kapsamayı ayrı ayrı göstereceğiz.
\(u + W \subseteq U\). \(u = (u_1, \dots, u_n)\), \((2)\)’nin bir çözümü olduğundan
\[a_{i1}u_1 + a_{i2}u_2 + \cdots + a_{in}u_n = b_i \qquad (i = 1, \dots, m) \tag{4}\]
\(w = (w_1, \dots, w_n) \in W\) alalım; \(w\), \((3)\)’ün bir çözümü olduğundan
\[a_{i1}w_1 + a_{i2}w_2 + \cdots + a_{in}w_n = 0_K \qquad (i = 1, \dots, m) \tag{5}\]
\((4)\) ve \((5)\) taraf tarafa toplanır ve dağılma özelliği kullanılırsa
\[a_{i1}(u_1 + w_1) + a_{i2}(u_2 + w_2) + \cdots + a_{in}(u_n + w_n) = b_i + 0_K = b_i\]
bulunur. Demek ki \(u + w = (u_1 + w_1, \dots, u_n + w_n)\) de \((2)\)’nin bir çözümüdür; her \(w \in W\) için bu doğru olduğundan \(u + W \subseteq U\)’dur.
\(U \subseteq u + W\). \(v = (v_1, \dots, v_n) \in U\) keyfi bir çözüm olsun:
\[a_{i1}v_1 + a_{i2}v_2 + \cdots + a_{in}v_n = b_i \qquad (i = 1, \dots, m)\]
\(v\)’yi \(u\)’nun etrafında yazalım:
\[v = \big(u_1 + (v_1 - u_1),\ \dots,\ u_n + (v_n - u_n)\big) = u + (v - u)\]
Şimdi \(v - u = (v_1 - u_1, \dots, v_n - u_n)\) \(n\)-lisinin \((3)\)’ü sağladığını görelim. Her \(i\) için
\[\begin{aligned} a_{i1}(v_1 - u_1) + \cdots + a_{in}(v_n - u_n) &= \big(a_{i1}v_1 + \cdots + a_{in}v_n\big)\\[1mm] &\qquad - \big(a_{i1}u_1 + \cdots + a_{in}u_n\big)\\[1mm] &= b_i - b_i = 0_K \end{aligned}\]
Burada \(K\)’nin komutatif bir halka olmasından gelen \(-(ab) = a(-b)\) ve \(-(c_1 + \cdots + c_n) = (-c_1) + \cdots + (-c_n)\) kuralları kullanılmıştır. Demek ki \(v - u \in W\) ve \(v = u + (v-u) \in u + W\)’dir.
İki kapsama birlikte \(U = u + W\) verir.
\(\blacksquare\)
Homojen olmayan bir sistemin çözüm kümesi, ilgili homojen sistemin çözüm kümesinin bir vektör kadar kaydırılmış hâlidir. Bunun iki pratik sonucu var: bir sistemin bütün çözümlerini bulmak için tek bir özel çözüm ile homojen sistemin genel çözümünü bilmek yeterlidir; ve bir sistemin tek çözümü olması, ilgili homojen sistemin sıfır çözümden başka çözümünün olmaması demektir.
7.5 Alıştırma
Alıştırma 7.1 (Denklemler ve Çözüm Kümeleri)
\(K = \mathbb{R}\) üzerinde \(3x_1 - x_2 + 2x_3 = 5\) denkleminin bütün çözümlerini betimleyiniz ve iki farklı çözüm yazınız.
\(x + y + z = 6\) denkleminin bir özel çözümünün \((1, 2, 3)\) olduğunu doğrulayınız; ilgili homojen denklemin genel çözümünü bulup denklemin genel çözümünü \(u + W\) biçiminde yazınız.
Homojen olmayan bir sistemin iki farklı çözümü varsa, sonsuz çoklukta çözümü olduğunu gösteriniz. (Burada \(K\) sonsuz bir cisim, örneğin \(\mathbb{R}\), alınsın.)
Çözüm
a) \(x_1\)’in katsayısı \(3 \neq 0\) olduğundan denklem \(x_1\) için çözülür:
\[3x_1 = 5 + x_2 - 2x_3 \implies x_1 = \frac{5 + x_2 - 2x_3}{3}\]
\(x_2 = a\), \(x_3 = b\) serbest bırakılırsa çözüm kümesi
\[\left\{\left(\frac{5 + a - 2b}{3},\ a,\ b\right) : a, b \in \mathbb{R}\right\}\]
olur. \(a = 1\), \(b = 0\) için \(\left(2, 1, 0\right)\); \(a = 0\), \(b = 1\) için \(\left(1, 0, 1\right)\) çözümleri elde edilir. Sağlama: \(3 \cdot 2 - 1 + 0 = 5\) ve \(3 \cdot 1 - 0 + 2 = 5\).
b) Doğrudan yerine koyalım: \(1 + 2 + 3 = 6\) olduğundan \(u = (1,2,3)\) bir çözümdür.
İlgili homojen denklem \(x + y + z = 0\)’dır. Buradan \(x = -y - z\) olur; \(y = a\), \(z = b\) serbest bırakılırsa
\[W = \big\{(-a - b,\ a,\ b) : a, b \in \mathbb{R}\big\}\]
Genel çözüm, teoremin verdiği biçimde
\[U = u + W = \big\{(1 - a - b,\ 2 + a,\ 3 + b) : a, b \in \mathbb{R}\big\}\]
olur. Bileşenler toplandığında \(1 - a - b + 2 + a + 3 + b = 6\) çıkması, kümenin gerçekten çözümlerden oluştuğunu doğrular.
c) Sistemin \(u \neq v\) gibi iki çözümü olsun. Teoremin ispatındaki hesabın aynısıyla \(w = v - u\) farkı ilgili homojen sistemin bir çözümüdür ve \(u \neq v\) olduğundan \(w \neq (0,\dots,0)\)’dır.
Şimdi herhangi bir \(t \in \mathbb{R}\) için \(tw\)’nin de homojen sistemi sağladığını görelim: \(i\)-inci denklemde
\[a_{i1}(tw_1) + \cdots + a_{in}(tw_n) = t\big(a_{i1}w_1 + \cdots + a_{in}w_n\big) = t \cdot 0 = 0\]
Demek ki \(tw \in W\)’dir ve teoreme göre \(u + tw\) sistemin bir çözümüdür. \(w \neq 0\) olduğundan \(w\)’nin sıfırdan farklı bir \(w_j\) bileşeni vardır; farklı \(t\) değerleri \(u + tw\) çözümünün \(j\)-inci bileşenini farklı yapar. \(\mathbb{R}\) sonsuz olduğundan böylece sonsuz çoklukta farklı çözüm elde edilir.
Bunun tersi de aynı akıl yürütmeyle görülür: bir sistemin çözüm sayısı ya sıfırdır, ya birdir, ya da sonsuzdur — “tam olarak iki çözüm” diye bir durum yoktur.
\(\blacksquare\)
Çözüm kümesinin yapısını biliyoruz ama henüz onu bulacak bir yöntemimiz yok. Sıradaki adım, sistemi çözüm kümesini bozmadan sadeleştirmektir: eşdeğer sistemler ve merdiven şekli.