1 Tek İşlemli Cebirsel Yapılar
Lineer cebir vektörleri toplayıp skalerle çarparak iş görür. Ama “toplama” ve “çarpma” sözcüklerinin ne anlama geldiği, üzerinde çalışılan kümeye göre değişir. Bu yüzden derse işlemin kendisini soyut olarak tanımlayarak başlıyoruz: bir kümede tanımlı bir işlem hangi kuralları sağlarsa o kümeye ne ad verilir? Buradaki sınıflandırma — yarı grup, monoid, grup — ilerideki bütün yapıların iskeletidir.
1.1 İkili İşlem ve Cebirsel Yapı
Tanım 1.1 (İkili İşlem) \(M \neq \varnothing\) bir küme olsun. \(M \times M\) kümesini \(M\) içine resmeden bir
\[\circ : M \times M \longrightarrow M, \qquad (a, b) \longmapsto c \in M\]
fonksiyonu varsa, \(M\)’de bir ikili işlem tanımlanmıştır denir. \(\circ\big((a,b)\big) = c\) yazımı yerine kısaca
\[a \circ b = c\]
gösterimi kullanılır.
Tanımın gizli ama en önemli parçası, sonucun yine \(M\)’de olmasıdır: bir işlemin ikili işlem sayılabilmesi için kümenin o işleme göre kapalı olması gerekir.
Tanım 1.2 (Cebirsel Yapı) İçinde en az bir ikili işlem tanımlanmış, boş olmayan bir kümeye bir cebirsel yapı denir. \(M\) kümesinde \(\circ\) gibi bir ikili işlem tanımlıysa bu cebirsel yapı \(\langle M, \circ \rangle\) ile gösterilir.
1.2 İşlemin İki Temel Özelliği
Tanım 1.3 (Birleşme Özelliği) \(M \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) ikili işlemi
\[\forall a, b, c \in M \quad (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\]
koşulunu sağlıyorsa \(\circ\) işlemine \(M\)’de asosyatif (birleşmeli) bir işlem denir.
Tanım 1.4 (Değişme Özelliği) \(M \neq \varnothing\) kümesinde tanımlı bir \(\circ\) ikili işlemi
\[\forall a, b \in M \quad a \circ b = b \circ a\]
koşulunu sağlıyorsa \(\circ\) işlemine \(M\)’de komutatif (değişmeli) bir işlem denir.
1.3 Birim Eleman ve Ters Eleman
Tanım 1.5 (Birim Eleman) \(\langle M, \circ \rangle\) bir cebirsel yapı olsun. Eğer
\[\exists\, e \in M \ \text{ öyle ki } \ \forall a \in M \quad e \circ a = a \circ e = a\]
oluyorsa \(e\)’ye \(\langle M, \circ \rangle\) cebirsel yapısının bir birim elemanı denir.
Teorem 1.1 (Birim Elemanın Tekliği) Bir \(\langle M, \circ \rangle\) cebirsel yapısının birim elemanı varsa tektir.
İspat
\(e\) ve \(e'\) gibi iki birim elemanın bulunduğunu varsayalım. \(e\) birim eleman ve \(e' \in M\) olduğundan
\[e \circ e' = e' \circ e = e'\]
\(e'\) birim eleman ve \(e \in M\) olduğundan da
\[e \circ e' = e' \circ e = e\]
İki eşitliğin sol tarafları aynı olduğuna göre \(e = e'\) bulunur.
\(\blacksquare\)
Tanım 1.6 (Ters Eleman) \(\langle M, \circ \rangle\) cebirsel yapısında bir \(e\) birim elemanı var olsun. Bir \(a \in M\) için
\[a^{*} \circ a = a \circ a^{*} = e\]
olacak biçimde bir \(a^{*} \in M\) varsa, \(a^{*}\) elemanına \(a\)’nın \(\langle M, \circ \rangle\)’deki bir tersi denir.
Teorem 1.2 (Ters Elemanın Tekliği) \(M \neq \varnothing\) kümesinde asosyatif bir \(\circ\) ikili işlemi tanımlıysa, herhangi bir \(a \in M\)’nin en çok bir tersi vardır: tersi varsa tektir.
İspat
\(a\)’nın \(a^{*}\) ve \(a^{**}\) gibi iki tersinin bulunduğunu varsayalım; \(e\) birim eleman olmak üzere
\[a^{*} \circ a = a \circ a^{*} = e, \qquad a^{**} \circ a = a \circ a^{**} = e\]
Birinci eşitlikteki \(a \circ a^{*} = e\) ifadesini soldan \(a^{**}\) ile birleştirelim:
\[a^{**} \circ \big(a \circ a^{*}\big) = a^{**} \circ e = a^{**}\]
İkinci eşitlikteki \(a^{**} \circ a = e\) ifadesini de sağdan \(a^{*}\) ile birleştirelim:
\[\big(a^{**} \circ a\big) \circ a^{*} = e \circ a^{*} = a^{*}\]
\(\circ\) asosyatif olduğundan bu iki ifadenin sol tarafları eşittir; dolayısıyla \(a^{*} = a^{**}\)’dır.
\(\blacksquare\)
Birim elemanın tekliği hiçbir ek koşul istemiyordu; ters elemanın tekliği ise asosyatifliğe dayanıyor. İspattaki tek hamle \(a^{**} \circ (a \circ a^{*})\) ile \((a^{**} \circ a) \circ a^{*}\) ifadelerini eşitlemekti — parantezleri kaydırma hakkı elimizden alınırsa bir elemanın birden çok tersi olabilir.
1.4 Çözümlü Örnekler
Örnek 1.1 (Birim Elemanı Olmayan Bir Yapı) \(\mathbb{Q}\) kümesinde \(a \circ b = ab + 1\) biçiminde bir işlem tanımlanıyor.
\(\circ\) işlemi asosyatif midir?
\(\circ\) işlemi komutatif midir?
\(\langle \mathbb{Q}, \circ \rangle\) yapısının birim elemanı var mıdır?
Çözüm
a) \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) olmak üzere iki tarafı ayrı ayrı açalım:
\[(a \circ b) \circ c = (ab + 1) \circ c = (ab+1)c + 1 = abc + c + 1\]
\[a \circ (b \circ c) = a \circ (bc + 1) = a(bc+1) + 1 = abc + a + 1\]
\(c \neq a\) olduğu her durumda \(abc + c + 1 \neq abc + a + 1\)’dir; örneğin \(a = 1\), \(b = 1\), \(c = 2\) için sol taraf \(5\), sağ taraf \(4\) çıkar. Demek ki işlem asosyatif değildir.
b) \(\mathbb{Q}\)’da çarpma komutatif olduğundan her \(a, b\) için
\[a \circ b = ab + 1 = ba + 1 = b \circ a\]
olur; işlem komutatiftir.
c) Her \(a \in \mathbb{Q}\) için \(e \circ a = a\) olacak sabit bir \(e\) arıyoruz:
\[e \circ a = ea + 1 = a \implies e = \frac{a - 1}{a} \qquad (a \neq 0)\]
Bulunan değer \(a\)’ya bağlı çıktı; oysa birim elemanın \(a\)’dan bağımsız tek bir eleman olması gerekir. O hâlde \(\langle \mathbb{Q}, \circ \rangle\)’nin birim elemanı yoktur.
\(\blacksquare\)
Örnek 1.2 (Birimi ve Tersleri Olan Bir Yapı) \(\mathbb{Q}\) kümesinde \(a \circ b = \dfrac{ab}{2}\) işlemi tanımlanıyor. İşlemin asosyatif ve komutatif olduğunu gösterip birim elemanı ile ters elemanları belirleyiniz.
Çözüm
Asosyatiflik. Her \(a, b, c \in \mathbb{Q}\) için
\[(a \circ b) \circ c = \frac{ab}{2} \circ c = \frac{abc}{4}, \qquad a \circ (b \circ c) = a \circ \frac{bc}{2} = \frac{abc}{4}\]
İki sonuç aynı olduğundan işlem asosyatiftir.
Komutatiflik. \(a \circ b = \dfrac{ab}{2} = \dfrac{ba}{2} = b \circ a\) olduğundan işlem komutatiftir.
Birim eleman. Her \(a\) için \(e \circ a = a\) isteniyor:
\[e \circ a = \frac{ea}{2} = a \implies e = 2\]
Bu değer \(a\)’dan bağımsızdır ve \(2 \in \mathbb{Q}\)’dur; dolayısıyla birim eleman \(e = 2\)’dir.
Sıfırın tersi. \(x \circ 0 = 2\) olacak bir \(x \in \mathbb{Q}\) olsaydı
\[x \circ 0 = \frac{x \cdot 0}{2} = 0 = 2\]
çelişkisi doğardı. O hâlde \(0\)’ın tersi yoktur.
Sıfırdan farklı elemanların tersi. \(a \in \mathbb{Q} \setminus \{0\}\) için
\[x \circ a = 2 \implies \frac{xa}{2} = 2 \implies x = \frac{4}{a} \in \mathbb{Q}\]
Demek ki her \(a \neq 0\) rasyonel sayısının tersi \(\dfrac{4}{a}\)’dır.
\(\blacksquare\)
1.5 Yarı Grup, Monoid ve Grup
Tek bir işlem taşıyan yapılar, işlemin sağladığı koşullara göre adlandırılır.
Tanım 1.7 (Tek İşlemli Yapı) İçinde bir tane ikili işlem tanımlanmış bir cebirsel yapıya tek işlemli cebirsel yapı denir.
Tanım 1.8 (Yarı Grup) İçinde asosyatif bir ikili işlem tanımlanmış tek işlemli cebirsel yapıya bir yarı grup denir. Yarı gruptaki işlem komutatif ise yapıya komutatif (abelyen) yarı grup adı verilir.
Bir \(M \neq \varnothing\) kümesinin yarı grup olması, yarı grup aksiyomları denen iki koşulu sağlamasıyla aynı şeydir:
I. \(\forall a, b \in M\) için \(a \circ b \in M\) (kapalılık aksiyomu)
II. \(\forall a, b, c \in M\) için \((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\) (asosyatiflik aksiyomu)
Komutatif yarı grup için bunlara
III. \(\forall a, b \in M\) için \(a \circ b = b \circ a\) (komutatiflik aksiyomu)
eklenir.
Tanım 1.9 (Monoid) Birimli, yani birim elemanı olan bir yarı gruba monoid denir. Monoiddeki işlem komutatif ise yapıya komutatif (abelyen) monoid denir.
Tanım 1.10 (Grup) Bir \(G \neq \varnothing\) kümesinde tanımlanmış bir \(\circ\) ikili işlemi aşağıdaki dört koşulu sağlıyorsa \(\langle G, \circ \rangle\) tek işlemli cebirsel yapısına bir grup denir:
I. \(\forall a, b \in G\) için \(a \circ b \in G\)
II. \(\forall a, b, c \in G\) için \((a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)\)
III. \(\exists\, e \in G\) öyle ki \(\forall a \in G\) için \(e \circ a = a \circ e = a\)
IV. \(\forall a \in G\) için \(\exists\, a^{*} \in G\) öyle ki \(a^{*} \circ a = a \circ a^{*} = e\)
Gruptaki işlem komutatif ise \(\langle G, \circ \rangle\)’ye komutatif (abelyen) grup denir.
Bir \(\langle G, \circ \rangle\) grubundaki işlem “\(+\)” ile gösteriliyorsa gruba toplamsal grup, “\(\cdot\)” ile gösteriliyorsa çarpımsal grup denir. Toplamsal yazımda birim elemana yapının sıfırı, \(a\)’nın tersine \(-a\); çarpımsal yazımda birim elemana birim, tersine \(a^{-1}\) denir. Değişen yalnızca gösterimdir, tanımlar aynı kalır.
1.6 Tanıdık Kümeler Hangi Sınıfa Girer?
Aşağıdaki liste, alışılmış sayı kümelerinin bilinen işlemlere göre yerini gösterir. Burada \(\mathbb{Z}_{\text{ç}} = \{0, \pm 2, \pm 4, \dots\}\) çift tam sayıları, \(\mathbb{Z}_{\text{t}} = \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \dots\}\) tek tam sayıları göstermektedir.
| Yapı | Sınıfı | Nedeni |
|---|---|---|
| \(\langle \mathbb{N}, + \rangle\) | komutatif yarı grup | birim elemanı yok |
| \(\langle \mathbb{N}, \cdot \rangle\) | komutatif monoid | birimi \(1\); \(2\)’nin tersi yok |
| \(\langle \mathbb{Z}, + \rangle\) | komutatif grup | sıfırı \(0\), tersi \(-a\) |
| \(\langle \mathbb{Z}, \cdot \rangle\) | komutatif monoid | birimi \(1\); \(2\)’nin tersi yok |
| \(\langle \mathbb{Q}, + \rangle\), \(\langle \mathbb{R}, + \rangle\) | komutatif grup | sıfırı \(0\), tersi \(-a\) |
| \(\langle \mathbb{Q} \setminus \{0\}, \cdot \rangle\) | komutatif grup | birimi \(1\), tersi \(1/a\) |
| \(\langle \mathbb{R} \setminus \{0\}, \cdot \rangle\) | komutatif grup | birimi \(1\), tersi \(1/a\) |
| \(\langle \mathbb{R}^{+}, + \rangle\), \(\langle \mathbb{R}^{-}, + \rangle\) | komutatif yarı grup | sıfırı içermiyor |
| \(\langle \mathbb{R}^{+}, \cdot \rangle\) | komutatif grup | birimi \(1\), tersi \(1/\alpha\) |
| \(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, + \rangle\) | komutatif grup | sıfırı \(0\), tersi \(-a\) |
| \(\langle \mathbb{Z}_{\text{ç}}, \cdot \rangle\) | komutatif yarı grup | birimi yok |
| \(\langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle\) | komutatif monoid | yalnız \(\pm 1\) tersinir |
Burada \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) alınmıştır; \(\{0, 1, 2, \dots\}\) alınsaydı sıfır işe karışır ve toplamsal yapı monoide yükselirdi. \(\mathbb{Z}_{\text{t}}\) toplamaya göre kapalı bile değildir: \(1 + 3 = 4 \notin \mathbb{Z}_{\text{t}}\).
Örnek 1.3 (Sıralı Üçlülerden Bir Grup) \(G = \big\{ (a, b, 2) : a, b \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \big\}\) kümesinin
\[(a, b, 2) \circ (c, d, 2) = (ac,\, bd,\, 2)\]
işlemine göre komutatif bir grup olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\((1, 1, 2) \in G\) olduğundan \(G \neq \varnothing\)’dir. Dört grup aksiyomunu sırayla denetleyelim.
I. Kapalılık. \((a,b,2), (c,d,2) \in G\) olsun. Tanım gereği \(a, b, c, d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır. Sıfırdan farklı iki reel sayının çarpımı sıfırdan farklı olduğundan \(ac \neq 0\) ve \(bd \neq 0\); yani
\[(a,b,2) \circ (c,d,2) = (ac, bd, 2) \in G\]
II. Asosyatiflik. \(\mathbb{R}\)’de çarpmanın asosyatifliğinden
\[\big[(a,b,2) \circ (c,d,2)\big] \circ (e,f,2) = (ac, bd, 2) \circ (e,f,2) = \big((ac)e,\, (bd)f,\, 2\big)\]
\[= \big(a(ce),\, b(df),\, 2\big) = (a,b,2) \circ (ce, df, 2) = (a,b,2) \circ \big[(c,d,2) \circ (e,f,2)\big]\]
III. Birim eleman. Her \((a,b,2) \in G\) için \((x,y,2) \circ (a,b,2) = (a,b,2)\) olacak bir \((x,y,2)\) arıyoruz:
\[(xa,\, yb,\, 2) = (a, b, 2) \implies xa = a, \quad yb = b\]
\(a \neq 0\) ve \(b \neq 0\) olduğundan \(x = 1\), \(y = 1\) bulunur. Demek ki birim eleman \((1, 1, 2) \in G\)’dir.
IV. Ters eleman. \((a,b,2) \in G\) için \((a^{*}, b^{*}, 2) \circ (a,b,2) = (1,1,2)\) isteniyor:
\[(a^{*}a,\, b^{*}b,\, 2) = (1, 1, 2) \implies a^{*}a = 1, \quad b^{*}b = 1\]
\(a \neq 0\), \(b \neq 0\) olduğundan \(a^{*} = \dfrac{1}{a}\), \(b^{*} = \dfrac{1}{b}\) ve ikisi de \(\mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dadır. Yani \((a,b,2)\)’nin tersi \(\left(\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, 2\right) \in G\)’dir.
Komutatiflik. \(\mathbb{R}\)’de çarpmanın komutatifliğinden
\[(a,b,2) \circ (c,d,2) = (ac, bd, 2) = (ca, db, 2) = (c,d,2) \circ (a,b,2)\]
Dört aksiyom ve komutatiflik sağlandığından \(\langle G, \circ \rangle\) komutatif bir gruptur.
\(\blacksquare\)
1.7 Alıştırma
Alıştırma 1.1 (Tek İşlemli Yapılar)
\(\mathbb{Z}\) kümesinde \(a \circ b = a + b - 3\) işlemi tanımlansın. \(\langle \mathbb{Z}, \circ \rangle\)’nin komutatif bir grup olduğunu gösterip birim elemanı ile \(a\)’nın tersini bulunuz.
\(M = \mathbb{Z} \cup \left\{ \dfrac{1}{n} : n = 2, 3, \dots \right\}\) kümesinin \(\mathbb{Q}\)’daki çarpma işlemine göre kapalı olmadığını gösteriniz.
\(\langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle\) yapısında tersi olan elemanları belirleyiniz.
Çözüm
a) Dört aksiyomu sırayla denetleyelim.
Kapalılık: \(a, b \in \mathbb{Z}\) ise \(a + b - 3 \in \mathbb{Z}\)’dir.
Asosyatiflik: İki tarafı da açalım:
\[(a \circ b) \circ c = (a + b - 3) \circ c = (a + b - 3) + c - 3 = a + b + c - 6\]
\[a \circ (b \circ c) = a \circ (b + c - 3) = a + (b + c - 3) - 3 = a + b + c - 6\]
İki sonuç aynıdır.
Birim eleman: Her \(a\) için \(e \circ a = a\) isteniyor:
\[e + a - 3 = a \implies e = 3\]
Bu değer \(a\)’dan bağımsızdır ve \(3 \in \mathbb{Z}\)’dir; birim eleman \(e = 3\)’tür.
Ters eleman: \(a^{*} \circ a = 3\) olacak \(a^{*}\)’yı arayalım:
\[a^{*} + a - 3 = 3 \implies a^{*} = 6 - a \in \mathbb{Z}\]
Komutatiflik: \(a \circ b = a + b - 3 = b + a - 3 = b \circ a\).
Dördü de sağlandığından \(\langle \mathbb{Z}, \circ \rangle\) komutatif bir gruptur; birim elemanı \(3\), \(a\)’nın tersi \(6 - a\)’dır.
b) Kapalılığın bozulması için tek bir karşı örnek yeterlidir. \(2 \in \mathbb{Z} \subset M\) ve \(\dfrac{1}{3} \in M\)’dir; fakat
\[2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\]
sayısı ne bir tam sayıdır ne de \(\dfrac{1}{n}\) biçimindedir. O hâlde \(\dfrac{2}{3} \notin M\) ve \(M\) çarpmaya göre kapalı değildir.
c) \(\mathbb{Z}_{\text{t}}\) çarpmaya göre kapalıdır (tek \(\times\) tek \(=\) tek), asosyatif ve komutatiftir; birimi \(1\)’dir. Bir \(a \in \mathbb{Z}_{\text{t}}\) elemanının tersi \(x \in \mathbb{Z}_{\text{t}}\) ise \(ax = 1\) olmalıdır. Bu denklem tam sayılarda ancak
\[a = 1,\ x = 1 \qquad \text{veya} \qquad a = -1,\ x = -1\]
durumlarında çözülebilir; çünkü \(|a| \ge 3\) iken \(|ax| = |a|\,|x| \ge 3 > 1\) olur. Demek ki \(\langle \mathbb{Z}_{\text{t}}, \cdot \rangle\)’de yalnızca \(1\) ve \(-1\) tersinirdir ve her ikisi de kendi tersidir; yapı bir grup değil, komutatif bir monoiddir.
\(\blacksquare\)
Tek işlem yeterince yapı taşımıyor: vektörleri toplamak için bir gruba, skalerlerle çarpmak için ikinci bir işleme ihtiyacımız var. Sıradaki adım, iki işlemin aynı küme üzerinde nasıl uyum içinde çalıştığıdır: halkalar ve cisimler.