2 Halkalar ve Cisimler
Bir kümede iki işlem birlikte tanımlandığında, ikisinin birbirinden bağımsız yaşamasını istemeyiz: çarpma toplamayı dağılım kuralıyla tanıyorsa yapı zenginleşir. Bu bölümde tanımlayacağımız halka ve cisim kavramları, tüm dersin zeminidir — çünkü bir vektör uzayı, daima bir cisim üzerinde kurulur.
2.1 Halka
Tanım 2.1 (İki İşlemli Yapı) İçinde iki tane ikili işlem tanımlanmış bir cebirsel yapıya iki işlemli cebirsel yapı denir.
Tanım 2.2 (Halka) İki işlemli bir \(H\) cebirsel yapısı,
- “\(+\)” ile göstereceğimiz ve toplama adını vereceğimiz birinci işleme göre bir komutatif grup,
- “\(\cdot\)” ile göstereceğimiz ve çarpma adını vereceğimiz (komutatif olması gerekmeyen) ikinci işleme göre bir yarı grup
ise ve bundan başka çarpma işlemi toplama işlemi üzerine iki yanlı dağılımlı ise, yani
\[\forall a, b, c \in H \quad a(b+c) = ab + ac \ \text{ ve } \ (b+c)a = ba + ca\]
ise \(H\)’ye bir halka denir ve bu halka \(\langle H; +, \cdot \rangle\) ile gösterilir.
Tanımı aksiyom listesi olarak açtığımızda bir \(H \neq \varnothing\) kümesinin halka olması sekiz koşula iner. İlk beşi \(\langle H, + \rangle\)’nin komutatif grup, sonraki ikisi \(\langle H, \cdot \rangle\)’nin yarı grup olduğunu, sonuncusu da iki işlemin uyumunu söyler.
I. \(\forall a, b \in H\) için \(a + b \in H\)
II. \(\forall a, b, c \in H\) için \((a+b) + c = a + (b+c)\)
III. \(\forall a, b \in H\) için \(a + b = b + a\)
IV. \(\exists\, 0_H \in H\) öyle ki \(\forall a \in H\) için \(0_H + a = a\)
V. \(\forall a \in H\) için \(\exists\, (-a) \in H\) öyle ki \((-a) + a = 0_H\)
VI. \(\forall a, b \in H\) için \(ab \in H\)
VII. \(\forall a, b, c \in H\) için \((ab)c = a(bc)\)
VIII. \(\forall a, b, c \in H\) için \(a(b+c) = ab + ac\) ve \((b+c)a = ba + ca\)
Tanım 2.3 (Halkanın Sıfırı ve Birimi) \(\langle H; +, \cdot \rangle\) bir halka olsun. \(\langle H, + \rangle\) komutatif grubunun birim elemanına \(H\) halkasının sıfırı denir ve \(0_H\) ile gösterilir. Eğer \(\langle H, \cdot \rangle\) yapısının bir birim elemanı varsa buna \(H\) halkasının birimi denir, \(1_H\) ile gösterilir; birimi olan halkaya birimli halka adı verilir.
\(\langle \mathbb{Z}; +, \cdot \rangle\) birimli bir halkadır: \(0_{\mathbb{Z}} = 0\) ve \(1_{\mathbb{Z}} = 1\)’dir. Bir \(a \in H\) elemanının toplamaya göre tersi \(-a\) ile gösterilir; \(a + (-b)\) yerine \(a - b\) yazılır.
Teorem 2.1 (Sıfırla Çarpım) \(\langle H; +, \cdot \rangle\) bir halka ise her \(a \in H\) için
\[0_H \cdot a = a \cdot 0_H = 0_H\]
İspat
Herhangi bir \(b \in H\) alalım. \(b = b + 0_H\) olduğundan sağdan dağılım kuralıyla
\[(b + 0_H)a = ba + 0_H a \implies ba = ba + 0_H a\]
Her iki tarafa soldan \(-(ba)\) ekleyelim:
\[-(ba) + ba = -(ba) + \big(ba + 0_H a\big) \implies 0_H = \big(-(ba) + ba\big) + 0_H a = 0_H + 0_H a\]
yani \(0_H \cdot a = 0_H\) bulunur. Aynı hesabı soldan dağılım kuralıyla tekrarlayalım:
\[a(b + 0_H) = ab + a\,0_H \implies ab = ab + a\,0_H\]
Her iki tarafa \(-(ab)\) eklenirse \(a \cdot 0_H = 0_H\) elde edilir. İki sonuç birlikte, her \(a \in H\) için \(0_H a = a\,0_H = 0_H\) olduğunu verir.
\(\blacksquare\)
2.2 Cisim
Tanım 2.4 (Cisim) \(\langle K; +, \cdot \rangle\) bir halka olsun. Eğer \(K \setminus \{0_K\}\) alt kümesi çarpma işlemine göre bir grup oluşturuyorsa, yani \(\langle K \setminus \{0_K\}, \cdot \rangle\) bir grup ise, \(\langle K; +, \cdot \rangle\) halkasına bir cisim denir.
Bir cismin aksiyomları, halka aksiyomlarına üç koşul daha eklenerek elde edilir:
IX. \(\forall a, b \in K \setminus \{0_K\}\) için \(ab \in K \setminus \{0_K\}\)
X. \(\exists\, 1_K \in K \setminus \{0_K\}\) öyle ki \(\forall a \in K\) için \(1_K a = a 1_K = a\)
XI. \(\forall a \in K \setminus \{0_K\}\) için \(\exists\, a^{-1} \in K \setminus \{0_K\}\) öyle ki \(a^{-1} a = a a^{-1} = 1_K\)
Tanım 2.5 (Komutatif Halka ve Komutatif Cisim) Bir halkanın (cismin) içinde tanımlı çarpma işlemi komutatif ise o halkaya komutatif halka, o cisme komutatif cisim denir.
\(\langle \mathbb{Q}; +, \cdot \rangle\) ve \(\langle \mathbb{R}; +, \cdot \rangle\) birer komutatif cisimdir. Bundan sonraki bölümlerde skaler olarak kullanacağımız \(K\) daima komutatif bir cisim olacaktır.
2.3 Sıfır Bölenler ve Tamlık Bölgesi
Tanım 2.6 (Sıfır Bölensiz Halka) \(\langle H; +, \cdot \rangle\) halkasında
\[a \in H \setminus \{0_H\},\ b \in H \setminus \{0_H\} \implies ab \in H \setminus \{0_H\}\]
koşulu sağlanıyorsa, başka bir deyişle \(a, b \in H\) için
\[ab = 0_H \iff a = 0_H \ \text{ veya } \ b = 0_H\]
oluyorsa \(H\)’ye sıfır bölensiz halka denir.
Tanım 2.7 (Sıfır Bölenli Halka) Bir \(\langle H; +, \cdot \rangle\) halkasında \(a \neq 0_H\), \(b \neq 0_H\) iken \(ab = 0_H\) olacak biçimde bir \(a, b \in H\) çifti varsa \(H\)’ye sıfır bölenli halka denir.
Tanım 2.8 (Tamlık Bölgesi) Komutatif, birimli ve sıfır bölensiz bir halkaya bir tamlık bölgesi denir.
\(\langle \mathbb{Z}; +, \cdot \rangle\) bir tamlık bölgesidir; ama cisim değildir, çünkü örneğin \(2x = 1\) olacak hiçbir \(x \in \mathbb{Z}\) yoktur.
Her komutatif cisim bir tamlık bölgesidir: \(ab = 0_K\) ve \(a \neq 0_K\) ise, \(a^{-1}\) ile soldan çarparak \(b = 0_K\) bulunur. Ters yön doğru değildir — \(\mathbb{Z}\), tamlık bölgesi olup cisim olmayan en tanıdık örnektir.
2.4 Kompleks Sayılar Bir Cisimdir
Örnek 2.1 (Kompleks Sayılar Cismi) \(\mathbb{C} = \big\{ a + bi : a, b \in \mathbb{R},\ i = \sqrt{-1} \big\}\) kümesinde
\[(a+bi) \oplus (c+di) = (a+c) + (b+d)i\]
\[(a+bi) \odot (c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\]
işlemleri tanımlanıyor. \(\langle \mathbb{C}; \oplus, \odot \rangle\)’nin komutatif bir cisim olduğunu gösteriniz.
Çözüm
\(1 + 0i \in \mathbb{C}\) olduğundan \(\mathbb{C} \neq \varnothing\)’dir. İki kompleks sayının eşitliği bileşen bileşen okunur: \(a + bi = c + di \iff a = c\) ve \(b = d\).
I. Toplamaya göre kapalılık. \(a + c \in \mathbb{R}\) ve \(b + d \in \mathbb{R}\) olduğundan \((a+c) + (b+d)i \in \mathbb{C}\)’dir.
II. Toplamanın asosyatifliği. \(\mathbb{R}\)’de toplamanın asosyatifliğinden
\[\big[(a+bi) \oplus (c+di)\big] \oplus (e+fi) = \big((a+c)+e\big) + \big((b+d)+f\big)i\]
\[= \big(a + (c+e)\big) + \big(b + (d+f)\big)i = (a+bi) \oplus \big[(c+di) \oplus (e+fi)\big]\]
III. Toplamanın komutatifliği. \(\mathbb{R}\)’de toplama komutatif olduğundan
\[\begin{aligned} (a+bi) \oplus (c+di) &= (a+c) + (b+d)i\\[1mm] &= (c+a) + (d+b)i = (c+di) \oplus (a+bi) \end{aligned}\]
IV. Sıfır. Her \(a+bi\) için \((x+yi) \oplus (a+bi) = a+bi\) isteniyor:
\[(x+a) + (y+b)i = a + bi \implies x + a = a,\ y + b = b \implies x = y = 0\]
Demek ki \(0_{\mathbb{C}} = 0 + 0i\)’dir.
V. Toplamsal ters. \((a^{*} + b^{*}i) \oplus (a+bi) = 0 + 0i\) koşulu
\[a^{*} + a = 0, \quad b^{*} + b = 0 \implies a^{*} = -a, \quad b^{*} = -b\]
verir; yani \(a + bi\)’nin toplamsal tersi \(-a - bi \in \mathbb{C}\)’dir. I–V ile \(\langle \mathbb{C}, \oplus \rangle\) komutatif bir gruptur.
VI. Çarpmaya göre kapalılık. \(ac - bd \in \mathbb{R}\) ve \(ad + bc \in \mathbb{R}\) olduğundan çarpım yine \(\mathbb{C}\)’dedir.
VII. Çarpmanın asosyatifliği. İki tarafı da açalım:
\[\begin{aligned} \big[(a+bi) \odot (c+di)\big] \odot (e+fi) &= \big((ac-bd)e - (ad+bc)f\big)\\[1mm] &\quad + \big((ac-bd)f + (ad+bc)e\big)i \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} (a+bi) \odot \big[(c+di) \odot (e+fi)\big] &= \big(a(ce-df) - b(cf+de)\big)\\[1mm] &\quad + \big(a(cf+de) + b(ce-df)\big)i \end{aligned}\]
Reel sayıların dağılım ve birleşme özellikleriyle iki ifadenin reel kısımları da sanal kısımları da aynıdır.
VIII. Çarpmanın komutatifliği. \(\mathbb{R}\)’de toplama ve çarpma komutatif olduğundan
\[\begin{aligned} (c+di) \odot (a+bi) &= (ca - db) + (cb + da)i\\[1mm] &= (ac - bd) + (ad + bc)i = (a+bi) \odot (c+di) \end{aligned}\]
IX. Dağılma. Sol taraf
\[(a+bi) \odot \big[(c+di) \oplus (e+fi)\big] = \big(a(c+e) - b(d+f)\big) + \big(a(d+f) + b(c+e)\big)i\]
sağ taraf ise
\[\begin{aligned} \big[(a+bi) \odot (c+di)\big] \oplus \big[(a+bi) \odot (e+fi)\big] &= \big((ac-bd) + (ae-bf)\big)\\[1mm] &\quad + \big((ad+bc) + (af+be)\big)i \end{aligned}\]
olur; reel sayılarda \(a(c+e) - b(d+f) = (ac-bd) + (ae-bf)\) ve \(a(d+f) + b(c+e) = (ad+bc) + (af+be)\) olduğundan iki taraf eşittir. I–IX ile \(\langle \mathbb{C}; \oplus, \odot \rangle\) komutatif bir halkadır.
X. \(\mathbb{C} \setminus \{0_{\mathbb{C}}\}\) çarpmaya göre kapalıdır. \(a+bi \neq 0_{\mathbb{C}}\), \(c+di \neq 0_{\mathbb{C}}\) iken çarpımın sıfır olduğunu varsayalım:
\[(ac - bd) + (ad + bc)i = 0 + 0i \implies ac = bd, \quad ad = -bc\]
\(a + bi \neq 0\) olduğundan \(a\) ile \(b\)’den en az biri sıfırdan farklıdır; simetri gereği \(a \neq 0\) kabul edebiliriz. Birinci eşitliği \(c\) ile, ikincisini \(d\) ile çarpalım:
\[ac^{2} = bcd, \qquad ad^{2} = -bcd\]
Taraf tarafa toplanırsa
\[a\big(c^{2} + d^{2}\big) = 0 \overset{a \neq 0}{\implies} c^{2} + d^{2} = 0 \implies c = d = 0\]
Bu, \(c + di \neq 0_{\mathbb{C}}\) varsayımıyla çelişir. O hâlde çarpım sıfırdan farklıdır.
XI. Birim. \((1 + 0i) \odot (a+bi) = (1 \cdot a - 0 \cdot b) + (1 \cdot b + 0 \cdot a)i = a + bi\) olduğundan \(1_{\mathbb{C}} = 1 + 0i\)’dir.
XII. Çarpımsal ters. \(a + bi \neq 0_{\mathbb{C}}\) olsun; \((a^{*} + b^{*}i) \odot (a+bi) = 1 + 0i\) koşulu
\[a a^{*} - b b^{*} = 1, \qquad a^{*} b + b^{*} a = 0\]
denklemlerini verir. Birinciyi \(a\), ikinciyi \(b\) ile çarpıp toplarsak
\[a^{*}\big(a^{2} + b^{2}\big) = a\]
\(a + bi \neq 0\) olduğundan \(a^{2} + b^{2} \neq 0\)’dır ve \(a^{*} = \dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}\) bulunur. Aynı iki denklemi bu kez \(-b\) ve \(a\) ile çarpıp toplarsak
\[b^{*}\big(a^{2} + b^{2}\big) = -b \implies b^{*} = \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\]
\(a\) ile \(b\)’den biri sıfırdan farklı olduğu için \(a^{*}\) ile \(b^{*}\)’den de biri sıfırdan farklıdır; yani
\[a^{*} + b^{*} i = \frac{a}{a^{2}+b^{2}} - \frac{b}{a^{2}+b^{2}}\, i \in \mathbb{C} \setminus \{0_{\mathbb{C}}\}\]
X–XII ile \(\mathbb{C} \setminus \{0_{\mathbb{C}}\}\) çarpmaya göre bir gruptur. Dolayısıyla \(\langle \mathbb{C}; \oplus, \odot \rangle\) komutatif bir cisimdir.
\(\blacksquare\)
2.5 Sıfır Bölenli Bir Halka
Örnek 2.2 (Birimsiz ve Sıfır Bölenli Bir Halka) \(M = \big\{ (a, b) : a \in \mathbb{Z},\ b \in \mathbb{R} \setminus \{0\} \big\}\) kümesinde
\[(a,b) \oplus (c,d) = (a + c,\ bd), \qquad (a,b) \odot (c,d) = (ac,\ 1)\]
işlemleri tanımlanıyor. \(\langle M; \oplus, \odot \rangle\)’nin ne tür bir cebirsel yapı olduğunu belirleyiniz.
Çözüm
\((1,1) \in M\) olduğundan \(M \neq \varnothing\)’dir.
I. Toplamaya göre kapalılık. \(a, c \in \mathbb{Z}\) için \(a + c \in \mathbb{Z}\); \(b, d \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) için \(bd \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır.
II–III. Asosyatiflik ve komutatiflik. \(\mathbb{Z}\)’de toplamanın, \(\mathbb{R}\)’de çarpmanın asosyatif ve komutatif olmasından
\[\begin{aligned} (a,b) \oplus \big[(c,d) \oplus (e,f)\big] &= \big(a + (c+e),\ b(df)\big)\\[1mm] &= \big((a+c)+e,\ (bd)f\big) = \big[(a,b) \oplus (c,d)\big] \oplus (e,f) \end{aligned}\]
\[(a,b) \oplus (c,d) = (a+c,\ bd) = (c+a,\ db) = (c,d) \oplus (a,b)\]
IV. Sıfır. \((x,y) \oplus (a,b) = (a,b)\) koşulu \(x + a = a\) ve \(yb = b\) verir; \(b \neq 0\) olduğundan \(x = 0\), \(y = 1\) bulunur. Demek ki \(0_M = (0, 1)\)’dir.
V. Toplamsal ters. \((a^{*}, b^{*}) \oplus (a,b) = (0,1)\) koşulu \(a^{*} + a = 0\) ve \(b^{*} b = 1\) verir; buradan \(a^{*} = -a \in \mathbb{Z}\) ve \(b^{*} = \dfrac{1}{b} \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\)’dır. Yani \((a,b)\)’nin toplamsal tersi \(\left(-a, \dfrac{1}{b}\right)\)’dir.
VI–VIII. Çarpma. \(ac \in \mathbb{Z}\) ve \(1 \in \mathbb{R} \setminus \{0\}\) olduğundan çarpma kapalıdır. Asosyatiflik ve komutatiflik \(\mathbb{Z}\)’deki çarpmadan gelir:
\[\big[(a,b) \odot (c,d)\big] \odot (e,f) = \big((ac)e,\ 1\big) = \big(a(ce),\ 1\big) = (a,b) \odot \big[(c,d) \odot (e,f)\big]\]
\[(a,b) \odot (c,d) = (ac, 1) = (ca, 1) = (c,d) \odot (a,b)\]
IX. Dağılma. Sol taraf
\[(a,b) \odot \big[(c,d) \oplus (e,f)\big] = (a,b) \odot (c+e,\ df) = \big(a(c+e),\ 1\big) = (ac + ae,\ 1)\]
sağ taraf
\[\big[(a,b) \odot (c,d)\big] \oplus \big[(a,b) \odot (e,f)\big] = (ac,1) \oplus (ae,1) = (ac + ae,\ 1)\]
İkisi eşittir; dolayısıyla \(\langle M; \oplus, \odot \rangle\) komutatif bir halkadır.
Sıfır bölen var mı? \((5,4)\) ve \((0,3)\) elemanlarının ikisi de \(0_M = (0,1)\)’den farklıdır; buna karşın
\[(5,4) \odot (0,3) = (5 \cdot 0,\ 1) = (0,1) = 0_M\]
O hâlde \(M \setminus \{0_M\}\) çarpmaya göre kapalı değildir: halka sıfır bölenlidir. Dolayısıyla bir cisim ya da tamlık bölgesi olamaz.
Birimi var mı? \((x,y) \odot (a,b) = (xa, 1) = (a,b)\) olması \(b = 1\) gerektirir. Oysa \(b \neq 1\) olan elemanlar var, örneğin \((0,3)\). Demek ki birim eleman yoktur.
Sonuç: \(\langle M; \oplus, \odot \rangle\) komutatif, birimsiz ve sıfır bölenli bir halkadır.
\(\blacksquare\)
2.6 Alıştırma
Alıştırma 2.1 (Halka mı, Cisim mi?)
- \(H = \big\{ (a,\, 5^{b}) : a \in \mathbb{R},\ b \in \mathbb{Z} \big\}\) kümesinde
\[(a, 5^{b}) \oplus (c, 5^{d}) = \big(a + c,\ 5^{b+d}\big), \qquad (a, 5^{b}) \odot (c, 5^{d}) = (ac,\ 1)\]
işlemleri tanımlanıyor. \(\langle H; \oplus, \odot \rangle\) ne tür bir cebirsel yapıdır?
- \(H = \big\{ (a, b) : a \in \mathbb{Z}_{\text{ç}},\ b \in \mathbb{Z}_{\text{t}} \big\}\) kümesinde
\[(a,b) \oplus (c,d) = (a+c,\ b+d-1), \qquad (a,b) \odot (c,d) = (ac,\ 1)\]
işlemleri tanımlanıyor. \(\langle H; \oplus, \odot \rangle\) ne tür bir cebirsel yapıdır?
Çözüm
a) \((0, 5^{0}) = (0,1) \in H\) olduğundan \(H \neq \varnothing\)’dir.
Toplama. \(a + c \in \mathbb{R}\) ve \(b + d \in \mathbb{Z}\) olduğundan kapalıdır. Asosyatiflik ile komutatiflik \(\mathbb{R}\)’de toplamanın ve \(\mathbb{Z}\)’de üstlerin toplanmasının aynı özelliklerinden gelir:
\[\begin{aligned} (a,5^{b}) \oplus \big[(c,5^{d}) \oplus (e,5^{f})\big] &= \big(a + (c+e),\ 5^{b+(d+f)}\big)\\[1mm] &= \big[(a,5^{b}) \oplus (c,5^{d})\big] \oplus (e,5^{f}) \end{aligned}\]
Sıfır için \((x, 5^{y}) \oplus (a, 5^{b}) = (a, 5^{b})\) koşulu \(x + a = a\) ve \(5^{y+b} = 5^{b}\), yani \(x = 0\), \(y = 0\) verir: \(0_H = (0, 5^{0}) = (0,1)\). Toplamsal ters ise \(\big(-a,\ 5^{-b}\big)\)’dir.
Çarpma. \(ac \in \mathbb{R}\) ve \(1 = 5^{0}\) olduğundan kapalıdır; \(\big[(a,5^{b}) \odot (c,5^{d})\big] \odot (e,5^{f}) = \big((ac)e, 1\big) = \big(a(ce), 1\big)\) ile asosyatif, \((ac,1) = (ca,1)\) ile komutatiftir.
Dağılma.
\[\begin{aligned} (a,5^{b}) \odot \big[(c,5^{d}) \oplus (e,5^{f})\big] &= (a,5^{b}) \odot \big(c+e,\ 5^{d+f}\big)\\[1mm] &= \big(a(c+e),\ 1\big) = (ac + ae,\ 1) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \big[(a,5^{b}) \odot (c,5^{d})\big] \oplus \big[(a,5^{b}) \odot (e,5^{f})\big] &= (ac, 1) \oplus (ae, 1)\\[1mm] &= \big(ac + ae,\ 5^{0+0}\big) = (ac + ae,\ 1) \end{aligned}\]
İkisi eşit olduğundan yapı komutatif bir halkadır.
Birim. \((x, 5^{y}) \odot (a, 5^{b}) = (xa, 1) = (a, 5^{b})\) olması \(5^{b} = 1\), yani \(b = 0\) gerektirir; oysa \(b \neq 0\) olan elemanlar vardır, örneğin \((0, 5)\). Birim eleman yoktur.
Sıfır bölen. \((0, 5) \neq 0_H\) ve \((3, 25) \neq 0_H\) iken
\[(0,5) \odot (3,25) = (0 \cdot 3,\ 1) = (0,1) = 0_H\]
olduğundan yapı sıfır bölenlidir.
Sonuç: \(\langle H; \oplus, \odot \rangle\) komutatif, birimsiz ve sıfır bölenli bir halkadır.
b) \((0, 1) \in H\) olduğundan \(H \neq \varnothing\)’dir.
Toplama kapalı mı? \(a, c\) çift ise \(a + c\) çifttir; \(b, d\) tek ise \(b + d\) çift, \(b + d - 1\) tektir. Kapalıdır.
Asosyatiflik. İkinci bileşenler için
\[\big[(b + d - 1) + f\big] - 1 = b + d + f - 2 = b + \big[(d + f - 1) - 1\big] + 1 - 1\]
hesabının iki ucu da \(b + d + f - 2\)’dir; birinci bileşenlerde zaten \(\mathbb{Z}\)’de toplamanın asosyatifliği geçerlidir.
Komutatiflik. \((a+c,\ b+d-1) = (c+a,\ d+b-1)\).
Sıfır. \((x,y) \oplus (a,b) = (a,b)\) koşulu \(x + a = a\) ve \(y + b - 1 = b\) verir: \(x = 0\) (çift) ve \(y = 1\) (tek). Demek ki \(0_H = (0,1)\)’dir.
Toplamsal ters. \((a^{*}, b^{*}) \oplus (a,b) = (0,1)\) koşulu \(a^{*} = -a\) (çift) ve \(b^{*} + b - 1 = 1\), yani \(b^{*} = 2 - b\) verir; \(b\) tek olduğundan \(2 - b\) de tektir.
Çarpma. \(a, c\) çift ise \(ac\) çifttir ve ikinci bileşen \(1\) tektir; kapalıdır. Asosyatiflik ve komutatiflik \(\mathbb{Z}\)’deki çarpmadan gelir.
Dağılma.
\[\begin{aligned} (a,b) \odot \big[(c,d) \oplus (e,f)\big] &= (a,b) \odot (c+e,\ d+f-1)\\[1mm] &= \big(a(c+e),\ 1\big) = (ac+ae,\ 1) \end{aligned}\]
\[\begin{aligned} \big[(a,b) \odot (c,d)\big] \oplus \big[(a,b) \odot (e,f)\big] &= (ac,1) \oplus (ae,1)\\[1mm] &= (ac+ae,\ 1+1-1) = (ac+ae,\ 1) \end{aligned}\]
İkisi eşittir; yapı komutatif bir halkadır.
Birim. \((x,y) \odot (a,b) = (xa, 1) = (a,b)\) olması \(b = 1\) gerektirir; \(b = 3\) olan elemanlar bulunduğundan birim yoktur.
Sıfır bölen. \((0,3) \neq 0_H\) ve \((2,5) \neq 0_H\) iken \((0,3) \odot (2,5) = (0,1) = 0_H\)’dır.
Sonuç: bu yapı da komutatif, birimsiz ve sıfır bölenli bir halkadır. İki soruda da çarpımın ikinci bileşeni sabit \(1\) olduğu için birim ve tersinirlik baştan kaybolur.
\(\blacksquare\)
Cisim kavramı elimizde; artık üzerinde çalışacağımız sayıları sabitleyebiliriz. Sıradaki bölümde bu cismin elemanlarını bir tabloya dizip lineer cebirin baş nesnesini kuruyoruz: matrisler.