42 Kuvvet Serileri ve Yakınsaklık Yarıçapı
Serilerin Yeniden Düzenlenmesi ve Gruplanması bölümüyle birlikte sayı serilerinin kuramını tamamlamış olduk. Şimdiye kadar incelediğimiz bütün serilerde terimler sabit reel sayılardı: \(\sum a_n\) ya yakınsıyordu ya ıraksıyordu, verilecek tek bir yanıt vardı. Bu bölümde terimleri bir değişkene bağlı olan serileri incelemeye başlıyoruz. Böyle bir seride yakınsaklık artık “evet” ya da “hayır” biçiminde tek bir yanıt değildir; değişkenin bazı değerlerinde seri yakınsayabilir, bazılarında ıraksayabilir. Dolayısıyla asıl soru şuna dönüşür: değişkenin hangi değerleri için seri yakınsaktır?
Bu tür serilerin en önemlisi, terimleri \(a_n (x - x_0)^n\) biçiminde olan kuvvet serileridir (power series). Kuvvet serileri, polinomların sonsuz terimli genelleştirmesi olarak düşünülebilir; nitekim kısmi toplamları birer polinomdur. Bu yüzden bir kuvvet serisi yakınsadığında, ortaya “sonsuz dereceli polinom” gibi davranan bir fonksiyon çıkar. Bu fonksiyonların türevlenebilirlik, integrallenebilirlik ve süreklilik açısından şaşırtıcı derecede uysal olduklarını bir sonraki bölümde göreceğiz.
Kuvvet serilerinin niçin bu kadar merkezî olduğunu aslında sezmiş durumdayız. Taylor Formülü bölümünde bir fonksiyonu bir nokta civarında polinomlarla yaklaştırmayı öğrendik: \(n\)’inci Taylor polinomu (Tanım 12.1) ve kalan terimi (Teorem 12.1) bize \(f(x) \approx \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k\) yaklaşımını verdi. Bu ifadede \(n \to \infty\) limitine geçmek, tam olarak bir kuvvet serisi yazmak demektir. O limitin ne zaman anlamlı olduğunu, yani serinin hangi \(x\)’lerde yakınsadığını bilmeden bu adımı atamayız. İşte bu bölüm, o adımın zeminini hazırlar.
Bu bölümde şunları öğreneceğiz: bir kuvvet serisinin tanımı ve merkezinde her zaman yakınsadığı; bir noktada yakınsayan serinin, merkeze daha yakın her noktada mutlak yakınsadığı; buna karşılık bir noktada ıraksayan serinin merkezden daha uzak her noktada ıraksadığı; bu iki olgunun yakınsaklık kümesini bir aralığa hapsettiği; bu aralığın yarıçapını veren Cauchy–Hadamard formülü ve pratikte çok kullanılan katsayı oranı formülü; ve son olarak, hiçbir testin bilgi vermediği tek yer olan uç noktaların elle incelenmesi gerektiği.
42.1 Kuvvet Serisi Kavramı
Tanımla başlayalım. Bir kuvvet serisi, iki veriyle belirlenir: katsayı dizisi ve merkez.
Tanım 42.1 (Kuvvet Serisi) \((a_0, a_1, a_2, \dots)\) bir reel sayı dizisi ve \(x_0 \in \mathbb{R}\) sabit bir sayı olsun. Her \(x \in \mathbb{R}\) için tanımlanan
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n = a_0 + a_1 (x - x_0) + a_2 (x - x_0)^2 + a_3 (x-x_0)^3 + \cdots\]
serisine \(x_0\) merkezli kuvvet serisi (power series centered at \(x_0\)) ya da \(x = x_0\) noktasındaki kuvvet serisi denir.
\(a_0, a_1, \dots, a_n, \dots\) sayılarına serinin katsayıları (coefficients) denir; bunlar \(x\) değişkeninden bağımsızdır. Özel olarak \(x_0 = 0\) alınırsa seri
\[\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots\]
biçimini alır ve sıfır merkezli kuvvet serisi adını alır.
Tanımın üç ayrıntısı üzerinde ayrıca durmak gerekir; bunlar ileride sessizce kullanılacaktır.
Sıfırıncı terim. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) ifadesinin ilk terimi \(a_0 (x-x_0)^0\)’dır. Kolaylık olsun diye, \(x = x_0\) olduğunda bile \((x - x_0)^0 = 1\) kabul edilir. Yani sıfırıncı terim her zaman \(a_0\)’dır; \(0^0\) ifadesinin genel olarak tanımsız olması bu yazımı bozmaz, çünkü söz konusu olan bir gösterim anlaşmasıdır.
Yakınsaklık sorusu. Seri \(x\)’e bağlı olduğundan, asıl amaç hangi \(x \in \mathbb{R}\) sayılarının seriyi yakınsak, hangilerinin ıraksak yaptığını belirlemektir. Hemen görülen bir şey vardır: yukarıdaki anlaşma gereği \(x = x_0\) için seri
\[a_0 + a_1 \cdot 0 + a_2 \cdot 0 + \cdots = a_0\]
olur; yani kuvvet serisi merkezinde her zaman yakınsar ve toplamı \(a_0\)’dır. Öyleyse yakınsaklık kümesi hiçbir zaman boş değildir; en kötü ihtimalle tek noktalı \(\{x_0\}\) kümesidir.
İndis anlaşması. Kuvvet serilerinde toplama indisi kural olarak \(n = 0\)’dan başlar. Bazı serilerde \(a_0 = 0\) olduğu için toplam \(n = 1\)’den başlatılır; bu, katsayı dizisinin başına bir sıfır eklemekten başka bir şey olmadığından hiçbir sonucu değiştirmez.
Bildiğimiz en eski seri, aynı zamanda en basit kuvvet serisidir.
Örnek 42.1 (Geometrik Seri Bir Kuvvet Serisidir) \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) serisinin bir kuvvet serisi olduğunu belirtiniz, katsayılarını ve merkezini yazınız; hangi \(x\) değerlerinde yakınsadığını ve toplamının ne olduğunu söyleyiniz.
Çözüm
Seri, Tanım 42.1’nde \(x_0 = 0\) ve her \(n\) için \(a_n = 1\) alınarak elde edilir; yani sıfır merkezli, bütün katsayıları \(1\) olan kuvvet serisidir.
Öte yandan bu seri, ortak çarpanı \(x\) olan geometrik seridir (Tanım 34.4). Geometrik serinin yakınsaklığı hakkındaki temel sonuç (Teorem 34.5) şunu söyler: seri ancak ve ancak \(|x| < 1\) iken yakınsar ve bu durumda
\[\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}\]
olur. \(|x| \ge 1\) iken \(|x^n| = |x|^n \ge 1\) olduğundan genel terim sıfıra gitmez ve Sonuç 34.1 gereği seri ıraksar.
Demek ki bu kuvvet serisinin yakınsaklık kümesi tam olarak \((-1, 1)\) açık aralığıdır. Merkez \(0\), aralığın ortasıdır; aralığın “yarıçapı” \(1\)’dir ve her iki uç noktada da seri ıraksamaktadır. Bu örnek, bu bölümde kuracağımız bütün kuramın minyatür bir modelidir.
\(\blacksquare\)
Geometrik serinin yakınsaklık kümesinin merkez etrafında simetrik bir aralık çıkması bir rastlantı değildir. Şimdi göstereceğimiz gibi, her kuvvet serisinin yakınsaklık kümesi, ortası merkez \(x_0\) olan bir aralıktır; iki uç nokta bir yana bırakılırsa bu aralık merkez etrafında simetriktir. Kümenin biçimi hakkında yalnızca üç seçenek vardır:
- Seri yalnızca merkezde yakınsar; yakınsaklık kümesi \(\{x_0\}\)’dır.
- Seri her \(x \in \mathbb{R}\) için yakınsar.
- Bir \(R > 0\) sayısı vardır; seri \(|x - x_0| < R\) olan her \(x\)’te yakınsar, \(|x - x_0| > R\) olan her \(x\)’te ıraksar. Uç noktalarda (\(x = x_0 \pm R\)) her iki şey de olabilir.
Başka bir seçenek yoktur. Örneğin bir kuvvet serisinin yakınsaklık kümesi \([0,1] \cup [3,4]\) ya da \(\mathbb{Q}\) olamaz. Bu iddiaların kanıtı, bölümün temel teoremine dayanır.
42.2 Yakınsaklık Kümesinin Yapısı
Temel teoremin fikri şudur: bir kuvvet serisinin uzak bir noktada yakınsaması, merkeze yakın noktalarda çok daha güçlü bir yakınsaklık üretir. Uzak noktada yakınsaklık, oradaki terimlerin sıfıra gitmesini, dolayısıyla sınırlı kalmasını sağlar; bu sınırlılık, daha yakın noktalarda terimlerin bir geometrik dizi hızıyla küçülmesini garanti eder. Böylece elimize karşılaştırma testiyle kullanılacak hazır bir geometrik üst sınır geçer.
Teorem 42.1 (Kuvvet Serilerinde Yakınsaklığın Taşınması) \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) kuvvet serisi belirli bir \(x = x_1\) sayısı için yakınsak olsun, yani \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x_1 - x_0)^n\) serisi yakınsasın. O hâlde seri,
\[|x - x_0| < |x_1 - x_0|\]
kesin eşitsizliğini sağlayan her \(x \in \mathbb{R}\) için mutlak yakınsaktır.
İspat
Adım 1: Terimlerin sınırlılığı. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x_1 - x_0)^n\) serisinin yakınsak olduğunu varsayıyoruz.
Önce \(x_1 = x_0\) durumunu ayıralım. Bu durumda \(|x_1 - x_0| = 0\) olduğundan \(|x - x_0| < 0\) eşitsizliğini sağlayan hiçbir \(x\) yoktur; iddia boş yere doğrudur, yani ispatlanacak bir şey kalmaz. Öyleyse bundan sonra \(x_1 \ne x_0\) kabul edelim.
Yakınsak bir serinin genel terimi sıfıra gider (Teorem 34.2):
\[\lim_{n \to \infty} a_n (x_1 - x_0)^n = 0.\]
Yakınsak her dizi sınırlıdır (bkz. Analiz 1). Dolayısıyla \(\big( a_n (x_1 - x_0)^n \big)_{n \ge 0}\) dizisi sınırlıdır: öyle bir \(M > 0\) sayısı vardır ki her \(n \in \mathbb{N}\) için
\[\big| a_n (x_1 - x_0)^n \big| \le M\]
olur.
Adım 2: Karşılaştırma testinin uygulanması. Şimdi \(|x - x_0| < |x_1 - x_0|\) koşulunu sağlayan bir \(x\) alalım ve
\[q = \left| \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \right|\]
diyelim. \(x_1 \ne x_0\) olduğundan bu bölme anlamlıdır ve varsayım gereği \(0 \le q < 1\)’dir.
Serimizin genel teriminin mutlak değerini, \((x_1-x_0)^n\) çarpanıyla yapay olarak çarpıp bölerek yeniden yazalım. Her \(n \ge 0\) için
\[\big| a_n (x - x_0)^n \big| = \big| a_n (x_1 - x_0)^n \big| \cdot \left| \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \right|^n \le M q^n\]
elde ederiz; son adımda Adım 1’deki sınırı kullandık.
\(0 \le q < 1\) olduğundan \(\sum_{n=0}^{\infty} M q^n\) geometrik serisi yakınsaktır (Teorem 34.5); toplamı \(\dfrac{M}{1-q}\)’dur. Negatif olmayan terimli seriler için karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği
\[\sum_{n=0}^{\infty} \big| a_n (x - x_0)^n \big|\]
serisi yakınsar. Bu ise tam olarak \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) serisinin mutlak yakınsak olması demektir. Mutlak yakınsak her seri yakınsak olduğundan, seri bu noktalarda ayrıca yakınsaktır.
\(\blacksquare\)
Teoremin verdiği sonucun sıradan yakınsaklıktan daha güçlü olduğuna dikkat edelim: \(x_1\)’de yalnızca yakınsaklık varsayıldı, ama daha içeride mutlak yakınsaklık elde edildi. Bu, kuvvet serilerinin en kullanışlı özelliklerinden biridir; örneğin serinin terimlerini yeniden düzenlemek ya da gruplamak, açık aralığın içindeki noktalarda hiçbir tehlike taşımaz.
Aynı teoremi ters çevirerek okuduğumuzda ıraksaklık hakkında bilgi elde ederiz. “Yakınsaklık içeri doğru taşınıyorsa, ıraksaklık dışarı doğru taşınmalıdır.”
Sonuç 42.1 (Iraksaklığın Dışarı Taşınması) \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) kuvvet serisi bir \(x = x_2\) sayısı için ıraksak olsun. O hâlde seri,
\[|x - x_0| > |x_2 - x_0|\]
eşitsizliğini sağlayan her \(x \in \mathbb{R}\) için ıraksaktır.
İspat
Olmayana ergi yöntemini kullanalım. \(|x - x_0| > |x_2 - x_0|\) koşulunu sağlayan bir \(x\) noktasında serinin yakınsak olduğunu varsayalım.
Bu durumda Teorem 42.1’i \(x_1 = x\) alarak uygulayabiliriz: seri \(x\)’te yakınsadığından, \(|y - x_0| < |x - x_0|\) olan her \(y\) noktasında mutlak yakınsaktır. Varsayımımız gereği \(|x_2 - x_0| < |x - x_0|\) olduğundan, \(y = x_2\) seçimi bu koşulu sağlar. Öyleyse seri \(x_2\)’de mutlak yakınsak, dolayısıyla yakınsaktır.
Bu ise serinin \(x_2\)’de ıraksak olduğu hipoteziyle çelişir. Demek ki varsayımımız yanlıştır ve seri, \(|x - x_0| > |x_2 - x_0|\) olan her \(x\)’te ıraksar.
\(\blacksquare\)
Bu iki sonuç bir arada şu resmi çizer: yakınsaklık noktaları merkeze yakın, ıraksaklık noktaları merkezden uzaktır ve ikisi birbirine karışamaz. Öyleyse ikisini ayıran bir “eşik uzaklık” olmalıdır. Bu eşik uzaklığa yarıçap diyeceğiz.
Tanım 42.2 (Yakınsaklık Aralığı ve Yakınsaklık Yarıçapı) Bir kuvvet serisinin yakınsak olduğu bütün \(x \in \mathbb{R}\) değerlerinin kümesine serinin yakınsaklık kümesi denir ve \(I\) ile gösterilir. Aşağıda göreceğimiz gibi bu küme her zaman bir aralıktır; bu yüzden ona yakınsaklık aralığı (interval of convergence) da denir.
\(R \ge 0\) bir reel sayı ya da \(R = +\infty\) olmak üzere
\[(x_0 - R,\ x_0 + R) \subseteq I \subseteq [x_0 - R,\ x_0 + R]\]
kapsamalarını sağlayan tek bir \(R\) vardır. Bu sayıya serinin yakınsaklık yarıçapı (radius of convergence) denir. Burada \(R = +\infty\) için her iki aralık da \(\mathbb{R}\) olarak, \(R = 0\) için ise sol taraf boş küme, sağ taraf \(\{x_0\}\) olarak okunur. Buna göre:
- \(R = 0\) ise seri yalnızca merkezde, \(x = x_0\) noktasında yakınsar.
- \(R = +\infty\) ise seri her \(x \in \mathbb{R}\) için yakınsar.
- \(0 < R < +\infty\) ise seri \(|x - x_0| < R\) olan her noktada (mutlak) yakınsar, \(|x - x_0| > R\) olan her noktada ıraksar; \(x = x_0 - R\) ve \(x = x_0 + R\) uç noktalarında yakınsaklık ayrıca incelenmelidir.
Tanımda iki iddia var: böyle bir \(R\)’nin var olduğu ve tek olduğu. İkisini de ispatlayalım; varlık ispatı, \(R\)’nin nasıl hesaplanabileceğine dair ilk formülü de verecek.
Önerme 42.1 (Yarıçapın Varlığı ve Tekliği) \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) bir kuvvet serisi ve
\[S = \Big\{ |x - x_0| \ :\ x \in \mathbb{R} \text{ ve seri } x \text{ noktasında yakınsak} \Big\}\]
olsun. \(S\) boş değildir. Ayrıca
\[R = \begin{cases} \sup S, & S \text{ üstten sınırlı ise} \\ +\infty, & S \text{ üstten sınırlı değilse} \end{cases}\]
biçiminde tanımlanan sayı, Tanım 42.2’ndaki kapsamaları sağlayan tek sayıdır. Dahası seri, \(|x - x_0| < R\) olan her noktada mutlak yakınsaktır.
İspat
Adım 1: \(S\) boş değildir. Seri merkezinde her zaman yakınsadığından (\(x = x_0\) için toplam \(a_0\)’dır) \(0 \in S\)’dir. Ayrıca \(S \subseteq [0, \infty)\) olduğundan \(S\) alttan sınırlıdır. Öyleyse \(S\) üstten sınırlıysa, supremumun varlık aksiyomu gereği \(\sup S\) vardır (bkz. Analiz 1) ve \(R = \sup S \ge 0\)’dır.
Adım 2: \(|x - x_0| < R\) ise seri \(x\)’te mutlak yakınsar. \(x\), \(|x-x_0| < R\) koşulunu sağlasın.
Durum (a): \(R\) sonlu. \(|x - x_0| < R = \sup S\) olduğundan, \(|x-x_0|\) sayısı \(S\) için bir üst sınır olamaz; supremumun karakterizasyonu (bkz. Analiz 1) gereği öyle bir \(s \in S\) vardır ki
\[|x - x_0| < s \le R\]
olur. \(s \in S\) demek, \(|x_1 - x_0| = s\) ve seri \(x_1\)’de yakınsak olacak biçimde bir \(x_1\) var demektir. O hâlde \(|x - x_0| < s = |x_1 - x_0|\) olduğundan Teorem 42.1 gereği seri \(x\)’te mutlak yakınsaktır.
Durum (b): \(R = +\infty\). Bu durumda \(S\) üstten sınırlı olmadığından, verilen \(x\) için \(s > |x - x_0|\) olacak biçimde bir \(s \in S\) bulunur ve yukarıdaki akıl yürütme aynen tekrarlanır.
Her iki durumda da \((x_0 - R, x_0 + R) \subseteq I\) elde ederiz ve bu aralıkta yakınsaklık mutlaktır.
Adım 3: \(|x - x_0| > R\) ise seri \(x\)’te ıraksar. Bu durumda \(R\) sonludur (aksi hâlde böyle bir \(x\) yoktur). Seri \(x\)’te yakınsasaydı, \(S\) kümesinin tanımı gereği \(|x - x_0| \in S\) olurdu; oysa \(R = \sup S\) bir üst sınırdır ve \(|x - x_0| > R\)’dir; çelişki. Öyleyse seri \(x\)’te ıraksar. Bu da \(I \subseteq [x_0 - R, x_0 + R]\) demektir.
Adım 4: Teklik. \(R_1 < R_2\) olmak üzere iki sayının da kapsamaları sağladığını varsayalım. \(R_1\) sonludur. \(R_1 < t < R_2\) olacak biçimde bir \(t\) reel sayısı seçelim (bu her zaman mümkündür; \(R_2 = +\infty\) ise \(t = R_1 + 1\) alınabilir) ve \(x = x_0 + t\) noktasına bakalım.
\(|x - x_0| = t < R_2\) olduğundan \(R_2\)’nin sağladığı soldaki kapsama gereği \(x \in I\)’dir. Öte yandan \(|x - x_0| = t > R_1\) olduğundan \(R_1\)’in sağladığı sağdaki kapsama gereği \(x \notin I\)’dir. Bu bir çelişkidir. Demek ki kapsamaları sağlayan sayı tektir.
\(\blacksquare\)
Bu önerme, girişte söylediğimiz “yalnızca üç seçenek vardır” iddiasını da ispatlamış olur: \(R = 0\) ise \(I = \{x_0\}\), \(R = +\infty\) ise \(I = \mathbb{R}\), \(0 < R < \infty\) ise \(I\), uçları \(x_0 \pm R\) olan bir aralıktır. Her üç durumda da \(I\) bir aralıktır (bkz. Analiz 1).
\(R\) sayısının anlamı şudur: merkezden ölçüldüğünde, serinin yakınsadığı noktaların ulaşabildiği en uzak mesafe. “Yarıçap” adı buradan gelir; \(I\) kümesi, merkezi \(x_0\) ve yarıçapı \(R\) olan bir “top”tur — reel eksende bu top bir aralıktır.
Yarıçap kavramı yakınsaklık kümesini tam olarak belirlemez; yalnızca iki uç noktaya kadar belirler. \(R\)’yi bulmak işin kolay kısmıdır, uç noktaları incelemek ayrı bir iştir. Aşağıda önce yarıçapı hesaplamanın iki formülünü vereceğiz, sonra uç noktalara döneceğiz.
42.3 Cauchy–Hadamard Teoremi
Yarıçapı katsayılardan doğrudan okuyan formül, kök testinin kuvvet serisine uygulanmasından çıkar. Kök testinin (Teorem 37.1) en güçlü biçimi limit yerine üst limit kullanır; bu yüzden aşağıdaki formülde de \(\limsup\) görünür. Üst limit her dizi için (genişletilmiş anlamda) var olduğundan, formül istisnasız her kuvvet serisi için geçerlidir.
Teorem 42.2 (Cauchy–Hadamard Teoremi) \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) bir kuvvet serisi ve
\[r = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\]
olsun (bkz. Analiz 1). Burada \(r \in [0, +\infty]\)’dur. Serinin yakınsaklık yarıçapı
\[R = \begin{cases} \dfrac{1}{r}, & 0 < r < +\infty \\[2mm] +\infty, & r = 0 \\[2mm] 0, & r = +\infty \end{cases}\]
sayısıdır. Ayrıntılı olarak:
(i) \(0 < R < +\infty\) ise seri \(|x - x_0| < R\) olan her \(x\) için mutlak yakınsar, \(|x - x_0| > R\) olan her \(x\) için ıraksar.
(ii) \(R = 0\) ise seri yalnızca \(x = x_0\) noktasında yakınsar.
(iii) \(R = +\infty\) ise seri her \(x \in \mathbb{R}\) için mutlak yakınsar.
İspat
Serinin genel terimini \(b_n = a_n (x - x_0)^n\) ile gösterelim ve buna kök testini uygulayalım. Test için gereken büyüklük
\[\alpha = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|b_n|}\]
sayısıdır.
Adım 1: \(\alpha\)’nın hesabı. \(x = x_0\) noktasında seri zaten yakınsak olduğundan bu noktayı bir kenara koyup \(x \ne x_0\) alalım. Bu durumda \(c = |x - x_0|\) sayısı pozitif bir sabittir ve
\[\sqrt[n]{|b_n|} = \sqrt[n]{|a_n| \cdot |x-x_0|^n} = \sqrt[n]{|a_n|} \cdot |x - x_0| = c \cdot \sqrt[n]{|a_n|}\]
olur. Bir diziyi pozitif bir sabitle çarpmak üst limiti aynı sabitle çarpar; yani \(c > 0\) için \(\limsup (c\, t_n) = c \limsup t_n\)’dir (bu, \(\limsup t_n = +\infty\) hâlinde \(c \cdot (+\infty) = +\infty\) anlaşmasıyla birlikte geçerlidir). Öyleyse
\[\alpha = r \, |x - x_0|.\]
Adım 2: Durum \(0 < r < +\infty\), yani \(R = \dfrac{1}{r}\).
Eğer \(|x - x_0| < R\) ise \(\alpha = r|x - x_0| < r R = 1\) olur. Kök testi (Teorem 37.1) gereği \(\sum |b_n|\) yakınsar, yani seri mutlak yakınsaktır.
Eğer \(|x - x_0| > R\) ise \(\alpha = r |x - x_0| > rR = 1\) olur. Kök testinin ıraksaklık kısmı gereği seri ıraksar. Bu adımın nedenini hatırlatalım: \(\limsup \sqrt[n]{|b_n|} > 1\) olması, sonsuz çoklukta \(n\) için \(\sqrt[n]{|b_n|} > 1\), yani \(|b_n| > 1\) olması demektir; bu durumda \(b_n \to 0\) olamaz ve Sonuç 34.1 gereği seri ıraksar.
Böylece (i) ispatlanmış olur; bulunan \(R\) sayısı Tanım 42.2’ndaki kapsamaları sağladığından ve Önerme 42.1 gereği böyle bir sayı tek olduğundan, \(R = \dfrac{1}{r}\) gerçekten yakınsaklık yarıçapıdır.
Adım 3: Durum \(r = +\infty\), yani \(R = 0\). \(x \ne x_0\) olan her nokta için \(|x - x_0| > 0\) olduğundan \(\alpha = +\infty > 1\)’dir ve Adım 2’deki gerekçeyle seri ıraksar. Merkezde ise seri yakınsaktır. Demek ki \(I = \{x_0\}\)’dır ve yarıçap \(0\)’dır; bu da (ii)’dir.
Adım 4: Durum \(r = 0\), yani \(R = +\infty\). Her \(x \ne x_0\) için \(\alpha = 0 \cdot |x - x_0| = 0 < 1\) olur; kök testi gereği seri mutlak yakınsaktır. Merkezdeki yakınsaklıkla birlikte \(I = \mathbb{R}\) elde edilir; bu da (iii)’tür.
\(\blacksquare\)
Cauchy–Hadamard teoremi kuramsal olarak son sözü söyler: yarıçap, yalnızca katsayı dizisinin büyüme hızına bağlıdır ve \(r\) ile \(R\) arasındaki ilişki her zaman “ters orantı” biçimindedir. Formülü hemen bir örnekte çalıştıralım.
Örnek 42.2 (Yarıçapı Sıfır Olan Bir Seri) \(\sum_{n=1}^{\infty} n^n x^n\) kuvvet serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Seri sıfır merkezlidir ve katsayıları \(a_n = n^n\)’dir. Cauchy–Hadamard teoremi için gereken üst limiti hesaplayalım:
\[r = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^n} = \lim_{n \to \infty} n = +\infty.\]
(Burada dizi \(n \to \infty\) iken sonsuza ıraksadığından üst limit de \(+\infty\)’dur.)
Teorem 42.2 gereği yakınsaklık yarıçapı \(R = 0\)’dır: seri yalnızca merkezinde, \(x = 0\) noktasında yakınsar. Yakınsaklık kümesi tek noktalı \(I = \{0\}\) kümesidir.
Bu sonucu doğrudan da görebiliriz: \(x \ne 0\) sabitlense bile, \(n > \dfrac{1}{|x|}\) olan her \(n\) için \(|n^n x^n| = (n|x|)^n > 1\) olur; genel terim sıfıra gitmediğinden seri ıraksar (Sonuç 34.1). Katsayıların büyüme hızı öyle yüksektir ki hiçbir \(x \ne 0\) değeri bunu dengeleyemez.
\(\blacksquare\)
42.4 Katsayı Oranıyla Yarıçap
Uygulamada karşılaşılan katsayılar çoğu zaman faktöriyel, üstel ifade ya da polinom içerir; böyle dizilerde \(\sqrt[n]{|a_n|}\) hesabı yerine \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) oranını hesaplamak çok daha kolaydır. Aşağıdaki teorem, limit var olduğunda bu oranın doğrudan yarıçapı verdiğini söyler.
Teoremin ispatı, kök ve oran testleri arasındaki temel eşitsizliğe (Teorem 37.3) dayanır. Hatırlayalım: pozitif terimli bir \((c_n)\) dizisi için
\[\liminf_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \ \le\ \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \ \le\ \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \ \le\ \limsup_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n}\]
eşitsizlikleri geçerlidir. Bu zincir, oranın limiti var olduğunda kökün limitinin de var olup aynı değere eşit olmasını hemen verir.
Teorem 42.3 (Katsayı Oranıyla Yarıçap Formülü) \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x-x_0)^n\) kuvvet serisinde, yeterince büyük her \(n\) için \(a_n \ne 0\) olsun ve
\[L = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|\]
limiti (genişletilmiş anlamda, \(L \in [0, +\infty]\) olmak üzere) var olsun. O hâlde serinin yakınsaklık yarıçapı
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{1}{L}\]
sayısıdır; burada \(\dfrac{1}{0} = +\infty\) ve \(\dfrac{1}{+\infty} = 0\) anlaşmaları kullanılır.
İspat
\(c_n = |a_n|\) diyelim; hipotez gereği yeterince büyük \(n\)’ler için \(c_n > 0\)’dır ve sonlu sayıda terimi değiştirmek ne serinin yakınsaklığını ne de \(\limsup \sqrt[n]{c_n}\) değerini etkilediğinden, genelliği bozmadan her \(n\) için \(c_n > 0\) kabul edebiliriz. Amacımız
\[r = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} = L\]
olduğunu göstermektir; bunu gösterirsek Teorem 42.2 doğrudan \(R = \dfrac{1}{r} = \dfrac{1}{L}\) verir.
Durum 1: \(0 < L < +\infty\). Oranın limiti \(L\) olduğundan alt ve üst limiti de \(L\)’dir:
\[\liminf_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} = \limsup_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} = L.\]
Bunları Teorem 37.3’ndeki zincire yerleştirirsek
\[L \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \le L\]
olur. Sıkışan bütün terimler \(L\)’ye eşitlenir; özellikle \(\sqrt[n]{c_n}\) dizisinin limiti vardır ve \(r = L\)’dir. Teorem 42.2 gereği
\[R = \frac{1}{r} = \frac{1}{L} = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right|\]
bulunur (son eşitlik, \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) dizisinin \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) dizisinin çarpmaya göre tersi olmasından ve \(L \ne 0\) olmasından çıkar).
Durum 2: \(L = 0\). Zincirin sağ ucu
\[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \le \limsup_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} = 0\]
verir. \(\sqrt[n]{c_n} \ge 0\) olduğundan \(r = 0\)’dır ve Teorem 42.2 gereği \(R = +\infty\)’dur. Öte yandan \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right| \to 0\) olması \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| \to +\infty\) demektir; yani \(R = \lim \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| = +\infty\) eşitliği, \(\dfrac{1}{0} = +\infty\) anlaşmasıyla korunur.
Durum 3: \(L = +\infty\). Bu kez zincirin sol ucunu kullanırız:
\[+\infty = \liminf_{n \to \infty} \frac{c_{n+1}}{c_n} \le \liminf_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n} \le \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{c_n},\]
yani \(r = +\infty\)’dur ve Teorem 42.2 gereği \(R = 0\)’dır. Bu durumda \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right| \to 0\) olduğundan yine \(R = \lim \left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) eşitliği sağlanır.
Üç durum bütün olasılıkları kapsadığından ispat tamamlanmıştır.
\(\blacksquare\)
Formül iki koşula bağlıdır ve ikisi de gerçekten gereklidir.
Katsayılar sıfırdan farklı olmalıdır. Katsayı dizisinde sonsuz çoklukta sıfır varsa \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) oranı sonsuz çoklukta \(n\) için tanımsızdır ve formül anlamını yitirir. Bu, aşağıda göreceğimiz eksik terimli serilerin tam olarak durumudur.
Limit var olmalıdır. Örneğin katsayıları \(a_{2k} = 1\), \(a_{2k+1} = 2\) olan seride oran \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) dizisi \(2\) ile \(\dfrac{1}{2}\) arasında salınır ve limiti yoktur; oysa \(\sqrt[n]{|a_n|}\) dizisi \(1\)’e yakınsadığından Cauchy–Hadamard formülü sorunsuz çalışır ve \(R = 1\) verir.
Buna karşılık Cauchy–Hadamard formülü hiçbir koşul gerektirmez; üst limit her zaman vardır. Oran formülü yalnızca bir hesaplama kolaylığıdır; kuramsal son söz her zaman Teorem 42.2’dır.
Yarıçapı bulmak için formülü hiç kullanmadan, oran testini (Teorem 37.2) doğrudan serinin terimlerine uygulamak da mümkündür; hatta çoğu zaman daha güvenlidir. \(x\)’i sabit tutup \(b_n = a_n (x-x_0)^n\) diyelim ve
\[\lim_{n \to \infty} \left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \cdot |x - x_0| = L\,|x-x_0|\]
limitini hesaplayalım. Oran testi, bu limit \(1\)’den küçükken mutlak yakınsaklık, büyükken ıraksaklık verir; yani
\[L |x - x_0| < 1 \iff |x - x_0| < \frac{1}{L}\]
koşulu doğrudan yarıçapı okutur (buradaki denklik \(L > 0\) içindir; \(L = 0\) ise limit her \(x\) için \(0 < 1\) olur ve seri her noktada mutlak yakınsar, yani \(R = +\infty\)’dur; \(L = +\infty\) ise \(x \ne x_0\) olan her noktada limit \(+\infty\) olur ve \(R = 0\) çıkar). Bu yöntemin üstünlüğü, katsayılar arasında sıfırlar olduğunda ya da seri \(x\)’in kuvvetlerini atlayarak ilerlediğinde de çalışmasıdır: böyle bir seride \(b_n\) olarak serinin yazılan terimleri alınır, oran da ardışık iki yazılı terim arasında hesaplanır; sıfır katsayılar hesaba hiç girmediğinden \(\left| \dfrac{a_{n+1}}{a_n} \right|\) oranının tanımsız kalması bir sorun çıkarmaz.
Şimdi formülleri örneklerde çalıştıralım. Her örnekte iki adım vardır: önce yarıçap, sonra uç noktalar.
Örnek 42.3 (Merkezi Sıfırdan Farklı Bir Seri) \(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(x+1)^n}{2^n}\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Merkez ve katsayılar. Seriyi Tanım 42.1’ndeki biçime oturtalım: \((x+1)^n = \big(x - (-1)\big)^n\) olduğundan merkez \(x_0 = -1\)’dir ve katsayılar \(a_n = \dfrac{1}{2^n}\)’dir.
Adım 2: Yarıçap. Katsayılar sıfırdan farklıdır ve
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/2^n}{1/2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{2^n} = \lim_{n \to \infty} 2 = 2\]
olur (Teorem 42.3). Aynı sonuç Cauchy–Hadamard formülüyle de çıkar: \(\sqrt[n]{|a_n|} = \dfrac{1}{2}\) sabit dizisidir, dolayısıyla \(r = \dfrac{1}{2}\) ve \(R = 2\)’dir.
Demek ki seri \(|x + 1| < 2\), yani \(-3 < x < 1\) olan her noktada mutlak yakınsar; \(|x+1| > 2\) olan her noktada ıraksar.
Adım 3: Uç noktalar. İki uç nokta \(x = -3\) ve \(x = 1\)’dir; her birini seride yerine koyarak elde edilen sayı serisini inceleyeceğiz.
\(x = -3\) için: \((x+1)^n = (-2)^n\) olduğundan seri
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2)^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\]
serisine dönüşür. \((-1)^n\) dizisinin limiti olmadığından genel terim sıfıra gitmez ve Sonuç 34.1 gereği seri ıraksar.
\(x = 1\) için: \((x+1)^n = 2^n\) olduğundan seri
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{2^n} = \sum_{n=0}^{\infty} 1\]
serisine dönüşür. Genel terim \(1\)’dir, sıfıra gitmez; seri yine ıraksar (kısmi toplamlar \(s_n = n+1 \to +\infty\)).
Sonuç. Yakınsaklık aralığı açık aralıktır:
\[I = (-3, 1), \qquad R = 2.\]
Serinin toplamını da yazabiliriz: \(|x+1| < 2\) için ortak çarpanı \(\dfrac{x+1}{2}\) olan geometrik seri söz konusudur, dolayısıyla
\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+1)^n}{2^n} = \frac{1}{1 - \frac{x+1}{2}} = \frac{2}{1-x}.\]
\(\blacksquare\)
Örnek 42.4 (Yarı Açık Aralık Veren Seri) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\) kuvvet serisinin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık aralığını bulunuz.
Çözüm
Adım 1: Yarıçap. Merkez \(x_0 = 0\), katsayılar \(a_n = \dfrac{1}{n}\)’dir (\(n \ge 1\)). Hepsi sıfırdan farklıdır ve
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n}{1/(n+1)} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1\]
bulunur. Öyleyse seri \(|x| < 1\) için mutlak yakınsar, \(|x| > 1\) için ıraksar.
Adım 2: Uç noktalar. Uç noktalar \(x = -1\) ve \(x = 1\)’dir.
\(x = -1\) için seri
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\]
alterne harmonik seri olur. \(\left( \dfrac{1}{n} \right)\) dizisi azalarak sıfıra gittiğinden Leibniz alterne seri testi (Sonuç 40.1) gereği bu seri yakınsaktır. (Yakınsaklık şartlıdır: terimlerin mutlak değerlerinden oluşan \(\sum \frac{1}{n}\) harmonik serisi ıraksar.)
\(x = 1\) için seri
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
harmonik seri olur; \(p = 1\) için \(p\)-serisi ıraksaktır (Teorem 36.2).
Sonuç. Bir uçta yakınsaklık, ötekinde ıraksaklık vardır:
\[I = [-1, 1), \qquad R = 1.\]
Bu örnek, yakınsaklık kümesinin merkez etrafında simetrik olmak zorunda olmadığını gösterir: simetri yalnızca açık aralık için geçerlidir, uç noktalar birbirinden bağımsız davranabilir.
\(\blacksquare\)
Örnek 42.5 (Yarıçapı Sonsuz Olan Seri) \(\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!}\) kuvvet serisinin yakınsaklığını inceleyiniz.
Çözüm
Merkez \(x_0 = 0\), katsayılar \(a_n = \dfrac{1}{n!}\)’dir. Katsayılar sıfırdan farklıdır ve
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/n!}{1/(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} (n+1) = +\infty\]
bulunur. Teorem 42.3 gereği yarıçap sonsuzdur: seri her reel sayı için mutlak yakınsar ve yakınsaklık aralığı
\[I = (-\infty, +\infty) = \mathbb{R}\]
olur. Uç nokta yoktur; incelenecek bir şey kalmaz.
Aynı sonuca oran testini doğrudan terimlere uygulayarak da varırız: sabit bir \(x \ne 0\) için
\[\left| \frac{x^{n+1}/(n+1)!}{x^n/n!} \right| = \frac{|x|}{n+1} \longrightarrow 0 < 1\]
olduğundan Teorem 37.2 seri için mutlak yakınsaklık verir.
Bu seri, Taylor Formülü bölümünden tanıdıktır: kısmi toplamları \(e^x\) fonksiyonunun Maclaurin polinomlarıdır ve toplamının gerçekten \(e^x\) olduğu, Lagrange kalan teriminin (Teorem 12.1) sıfıra gittiği gösterilerek elde edilmişti (Örnek 12.1). Şimdilik bizi ilgilendiren yalnızca yakınsaklığın her yerde olduğudur.
\(\blacksquare\)
42.5 Uç Noktalarda Ne Olur?
Yarıçap hesabı bittiğinde iş bitmez. \(|x - x_0| = R\) olan iki nokta, bütün testlerin sessiz kaldığı yerdir.
\(|x - x_0| = R\) alındığında kök testinde \(\alpha = r \cdot R = 1\), oran testinde \(L|x-x_0| = 1\) olur. Hem Teorem 37.1 hem de Teorem 37.2, ilgili limitin tam olarak \(1\) olduğu durumda sonuçsuzdur. Bu bir eksiklik değil, kaçınılmaz bir durumdur: aşağıda göreceğimiz gibi uç noktalarda dört farklı davranışın hepsi gerçekleşebilir.
Öyleyse yakınsaklık kümesini tam olarak belirlemek için tek yol vardır: \(x = x_0 - R\) ve \(x = x_0 + R\) değerlerini seride yerine koymak ve ortaya çıkan iki sayı serisini, sayı serileri için geliştirdiğimiz testlerle (karşılaştırma, \(p\)-serisi, Leibniz, Dirichlet, Raabe gibi) ayrı ayrı incelemek.
Dört olasılığın hepsinin gerçekten ortaya çıktığını, hepsi \(R = 1\) yarıçaplı ve sıfır merkezli dört seriyle gösterelim.
Önerme 42.2 (Uç Noktalarda Dört Olasılık) Aşağıdaki dört kuvvet serisinin de merkezi \(x_0 = 0\) ve yakınsaklık yarıçapı \(R = 1\)’dir; buna karşın yakınsaklık kümeleri birbirinden farklıdır:
| Seri | Yakınsaklık kümesi |
|---|---|
| \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n^2}\) | \([-1, 1]\) (kapalı) |
| \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{x^n}{n}\) | \([-1, 1)\) (soldan kapalı) |
| \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^n}{n}\) | \((-1, 1]\) (sağdan kapalı) |
| \(\sum_{n=0}^{\infty} x^n\) | \((-1, 1)\) (açık) |
Dolayısıyla yarıçap, yakınsaklık kümesini belirlemeye tek başına yetmez.
İspat
Yarıçapların hepsi \(1\)’dir. Dört serinin katsayıları sırasıyla \(\dfrac{1}{n^2}\), \(\dfrac{1}{n}\), \(\dfrac{(-1)^n}{n}\) ve \(1\)’dir. Katsayı oranları
\[\frac{(n+1)^2}{n^2} \to 1, \qquad \frac{n+1}{n} \to 1, \qquad \left| \frac{(-1)^n / n}{(-1)^{n+1}/(n+1)} \right| = \frac{n+1}{n} \to 1, \qquad \frac{1}{1} = 1\]
olduğundan Teorem 42.3 gereği dördünde de \(R = 1\)’dir. Öyleyse hepsi \((-1,1)\) üzerinde mutlak yakınsar, \(|x| > 1\) için ıraksar; geriye yalnızca \(x = \pm 1\) noktaları kalır.
Birinci seri: \(\sum \dfrac{x^n}{n^2}\). \(x = 1\) için seri \(\sum \dfrac{1}{n^2}\) olur; \(p = 2 > 1\) olduğundan Teorem 36.2 gereği yakınsar. \(x = -1\) için seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}\) olur; terimlerinin mutlak değerleri yine \(\dfrac{1}{n^2}\) olduğundan seri mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsaktır. Her iki uç da yakınsak: \(I = [-1,1]\).
İkinci seri: \(\sum \dfrac{x^n}{n}\). Örnek 42.4’de tamamen incelendi: \(x = 1\)’de harmonik seri ıraksar, \(x = -1\)’de alterne harmonik seri Leibniz testiyle (Sonuç 40.1) yakınsar. Öyleyse \(I = [-1,1)\).
Üçüncü seri: \(\sum \dfrac{(-1)^n x^n}{n}\). Bu seri, ikinci serideki \(x\) yerine \(-x\) konularak elde edilir; nitekim \(\dfrac{(-1)^n x^n}{n} = \dfrac{(-x)^n}{n}\)’dir. Bu yüzden yakınsaklık kümesi ikinci serininkinin sıfıra göre yansımasıdır. Doğrudan da görelim: \(x = 1\) için seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n}\), yani yakınsak alterne harmonik seridir; \(x = -1\) için
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n (-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
ıraksak harmonik seridir. Öyleyse \(I = (-1, 1]\).
Dördüncü seri: \(\sum x^n\). Örnek 42.1’nde görüldüğü gibi \(x = 1\) için \(\sum 1\), \(x = -1\) için \(\sum (-1)^n\) elde edilir; her ikisinde de genel terim sıfıra gitmediğinden seri ıraksar (Sonuç 34.1). Öyleyse \(I = (-1,1)\).
Dört olasılığın dördü de gerçekleşti; demek ki uç noktalardaki davranış yarıçaptan okunamaz.
\(\blacksquare\)
Bu dört serinin ortak yönü, katsayılarının “birbirine çok yakın” olmasıdır: \(\dfrac{1}{n^2}\), \(\dfrac{1}{n}\) ve \(1\) dizilerinin hepsinin \(n\)’inci kökü \(1\)’e gider. Yakınsaklık yarıçapı, katsayıların yalnızca üstel mertebesini görür; \(n\)’in kuvvetleri gibi “yavaş” çarpanları görmez. Uç noktalardaki fark tam da bu görülmeyen çarpanlardan doğar.
Şimdi merkezi sıfırdan farklı, uç noktaları farklı davranan tam bir örnek çözelim.
Örnek 42.6 (Uç Noktaların Ayrı Ayrı İncelenmesi) \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-2)^n}{n \cdot 3^n}\) kuvvet serisinin merkezini, yarıçapını ve yakınsaklık kümesini bulunuz; kümenin hangi noktalarında yakınsaklığın mutlak olduğunu belirtiniz.
Çözüm
Adım 1: Merkez ve yarıçap. Merkez \(x_0 = 2\), katsayılar \(a_n = \dfrac{1}{n \cdot 3^n}\)’dir. Bütün katsayılar pozitiftir ve
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(n 3^n)}{1/\big( (n+1) 3^{n+1} \big)} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1) 3^{n+1}}{n \cdot 3^n} = \lim_{n \to \infty} 3 \cdot \frac{n+1}{n} = 3\]
olur. Öyleyse seri \(|x - 2| < 3\), yani \(-1 < x < 5\) olan her noktada mutlak yakınsar; \(|x-2| > 3\) olan her noktada ıraksar.
Adım 2: Sağ uç, \(x = 5\). Serimizde \(x = 5\) koyarsak \((x-2)^n = 3^n\) olur ve
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
harmonik serisi elde edilir; bu seri ıraksaktır (Teorem 36.2, \(p=1\)). Demek ki \(5 \notin I\).
Adım 3: Sol uç, \(x = -1\). Bu kez \((x - 2)^n = (-3)^n\) olur ve
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{n \cdot 3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\]
alterne harmonik serisi elde edilir. \(\left( \dfrac{1}{n} \right)\) dizisi azalarak sıfıra gittiğinden Leibniz testi (Sonuç 40.1) gereği seri yakınsaktır. Demek ki \(-1 \in I\).
Sonuç.
\[I = [-1, 5), \qquad R = 3, \qquad x_0 = 2.\]
Yakınsaklık, açık aralık \((-1,5)\) üzerinde mutlaktır. Sol uç noktada, yani \(x = -1\)’de, yakınsaklık yalnızca şartlıdır: terimlerin mutlak değerlerinden oluşan seri harmonik seridir ve ıraksar. Bu, mutlak yakınsaklık bölgesinin \((-1,5)\), yakınsaklık bölgesinin ise \([-1,5)\) olması demektir; ikisi yalnızca uç noktalarda ayrılabilir.
\(\blacksquare\)
42.6 Eksik Terimli Seriler
Bazı serilerde \(x\)’in bütün kuvvetleri görünmez; yalnızca çift kuvvetler, yalnızca tek kuvvetler ya da daha seyrek bir alt küme görünür. Böyle serilere eksik terimli kuvvet serileri diyeceğiz. Bunlar da Tanım 42.1 anlamında kuvvet serileridir; eksik kuvvetlerin katsayısı sıfırdır. Ama katsayı dizisinde sonsuz çoklukta sıfır bulunduğundan Teorem 42.3 doğrudan uygulanamaz: \(\left| \dfrac{a_n}{a_{n+1}} \right|\) oranı sonsuz çoklukta \(n\) için tanımsızdır.
İki çıkış yolu vardır ve her ikisi de kullanışlıdır:
- Cauchy–Hadamard formülü her zaman çalışır: sıfır katsayılar \(\sqrt[n]{|a_n|}\) dizisine \(0\) değerini koyar, \(0\) ise üst limiti hiçbir zaman yukarı çekmez. Dolayısıyla \(\limsup\)’ı sıfırdan farklı katsayılar belirler; tek yapılması gereken, kökün derecesi olarak katsayının serideki gerçek indisini almaktır: \(x^{2n}\) teriminin katsayısı için \(2n\)’inci kök alınır, \(n\)’inci kök değil.
- Oran testini doğrudan serinin terimlerine uygulamak (Teorem 37.2) çoğu zaman en kısa yoldur: \(x\) sabit tutulur, ardışık iki terimin oranı hesaplanır ve bu oranın mutlak değerinin limitinin \(1\)’den küçük olması istenir. Bu yöntem sıfır katsayılardan hiç etkilenmez, çünkü seride görünmeyen terimler zaten yazılmaz.
Örnek 42.7 (Eksik Terimli İki Seri) Aşağıdaki serilerin yakınsaklık yarıçapını ve yakınsaklık kümesini bulunuz.
\(\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{4^n}\)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{3n}}{n}\)
Çözüm
a) Seriyi \(\sum_{m=0}^{\infty} a_m x^m\) biçiminde yazarsak katsayılar
\[a_m = \begin{cases} \dfrac{1}{2^m}, & m \text{ çift} \\[2mm] 0, & m \text{ tek} \end{cases}\]
olur; nitekim \(m = 2n\) için \(\dfrac{1}{4^n} = \dfrac{1}{2^{2n}} = \dfrac{1}{2^m}\)’dir. Tek indisli katsayılar sıfır olduğundan katsayı oranı formülü kullanılamaz.
Birinci yol: Cauchy–Hadamard. \(m\) tek iken \(\sqrt[m]{|a_m|} = 0\), \(m\) çift iken \(\sqrt[m]{|a_m|} = \dfrac{1}{2}\)’dir. Dizinin aldığı değerler yalnızca \(0\) ve \(\dfrac{1}{2}\) olduğundan üst limit, sonsuz çoklukta tekrarlanan en büyük değerdir:
\[r = \limsup_{m \to \infty} \sqrt[m]{|a_m|} = \frac{1}{2}.\]
Teorem 42.2 gereği \(R = \dfrac{1}{r} = 2\)’dir.
İkinci yol: oran testi doğrudan terimlere. \(x \ne 0\) sabit olsun, \(b_n = \dfrac{x^{2n}}{4^n}\) diyelim. O hâlde
\[\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \left| \frac{x^{2n+2}}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{x^{2n}} \right| = \frac{x^2}{4}.\]
Bu oran \(n\)’den bağımsızdır; limiti yine \(\dfrac{x^2}{4}\)’tür. Teorem 37.2 gereği \(\dfrac{x^2}{4} < 1\), yani \(|x| < 2\) iken seri mutlak yakınsar; \(\dfrac{x^2}{4} > 1\), yani \(|x| > 2\) iken ıraksar. Yarıçap yine \(R = 2\) çıkar.
Üçüncü yol: doğrudan geometrik seri. Aslında \(\sum_{n=0}^{\infty} \left( \dfrac{x^2}{4} \right)^n\) serisi, ortak çarpanı \(\dfrac{x^2}{4}\) olan bir geometrik seridir; Teorem 34.5 gereği ancak ve ancak \(\dfrac{x^2}{4} < 1\) iken yakınsar ve toplamı \(\dfrac{1}{1 - \frac{x^2}{4}} = \dfrac{4}{4-x^2}\)’dir.
Uç noktalar. \(x = 2\) ve \(x = -2\) için \(\dfrac{x^{2n}}{4^n} = \dfrac{4^n}{4^n} = 1\) olur; seri \(\sum 1\)’e dönüşür ve genel terim sıfıra gitmediğinden ıraksar (Sonuç 34.1). Öyleyse
\[I = (-2, 2), \qquad R = 2.\]
b) Merkez \(x_0 = 1\)’dir ve seride yalnızca \(3\)’ün katı olan kuvvetler görünür; katsayıların üçte ikisi sıfırdır. Oran testini doğrudan terimlere uygulayalım. \(x \ne 1\) sabit olsun ve \(b_n = \dfrac{(x-1)^{3n}}{n}\) diyelim:
\[\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \left| \frac{(x-1)^{3n+3}}{n+1} \cdot \frac{n}{(x-1)^{3n}} \right| = |x-1|^3 \cdot \frac{n}{n+1} \longrightarrow |x-1|^3.\]
Teorem 37.2 gereği seri \(|x-1|^3 < 1\), yani \(|x - 1| < 1\) iken mutlak yakınsar; \(|x-1|^3 > 1\), yani \(|x-1| > 1\) iken ıraksar. Demek ki \(R = 1\) ve açık yakınsaklık aralığı \((0,2)\)’dir.
Uç noktalar. \(x = 2\) için \((x-1)^{3n} = 1\) olur ve seri \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\) harmonik serisine dönüşür; ıraksar. \(x = 0\) için \((x-1)^{3n} = (-1)^{3n} = (-1)^n\) olur (çünkü \(3n\) ile \(n\) aynı pariteye sahiptir) ve seri
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}\]
alterne harmonik serisine dönüşür; Leibniz testi (Sonuç 40.1) gereği yakınsar. Öyleyse
\[I = [0, 2), \qquad R = 1.\]
\(\blacksquare\)
Eksik terimli serilerde bile yakınsaklık kümesinin merkez etrafında bir aralık olduğu değişmez; çünkü Teorem 42.1 ile Sonuç 42.1 hiçbir ek koşul istemez, katsayıların sıfır olup olmamasına bakmaz. Değişen tek şey, yarıçapı hesaplama yöntemidir.
Buna karşılık, (a) şıkkındaki gibi bir seride oran testini “katsayılara” uygulayıp \(\dfrac{1/4^n}{1/4^{n+1}} = 4\) bulmak ve \(R = 4\) demek yanlıştır: o hesap, \(\sum \dfrac{y^n}{4^n}\) serisinin \(y\) değişkenine göre yarıçapını verir. Doğru yorum şudur: \(y = x^2\) dönüşümüyle seri \(|y| < 4\) için yakınsar, bu da \(x^2 < 4\), yani \(|x| < 2\) demektir. Dönüşümü unutmak, yarıçapı ikiye katlar.
42.7 Alıştırmalar
Alıştırma 42.1 (Kuvvet Serileri ve Yakınsaklık Yarıçapı Üzerine)
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (x-3)^n}{n \cdot 2^n}\) serisinin yakınsaklık kümesini bulunuz.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^n}\) serisinin yakınsaklık yarıçapını bulunuz.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+1)^n}{n^2 \cdot 5^n}\) serisini önce standart biçime getirip yakınsaklık kümesini belirleyiniz.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^n}{n!} x^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapının \(\dfrac{1}{e}\) olduğunu gösteriniz ve serinin \(x = \dfrac{1}{e}\) noktasında ıraksadığını ispatlayınız.
\(\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n x^{2n}}{n}\) serisinin yakınsaklık kümesini bulunuz.
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n\) serisinin yakınsaklık yarıçapı \(R\) olsun. \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{2n}\) serisinin yarıçapının \(\sqrt{R}\), \(\sum_{n=0}^{\infty} a_n^2 x^n\) serisinin yarıçapının ise \(R^2\) olduğunu gösteriniz (\(R = 0\) ve \(R = +\infty\) durumlarını da yorumlayınız).
\(\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - x_0)^n\) serisi ile terim terim türetilerek elde edilen \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n (x-x_0)^{n-1}\) serisinin yakınsaklık yarıçaplarının aynı olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) Merkez \(x_0 = 3\), katsayılar \(a_n = \dfrac{(-1)^{n+1}}{n \cdot 2^n}\)’dir; hepsi sıfırdan farklıdır. Yarıçap:
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{1/(n 2^n)}{1/\big( (n+1) 2^{n+1} \big)} = \lim_{n \to \infty} 2 \cdot \frac{n+1}{n} = 2.\]
Öyleyse seri \(|x - 3| < 2\), yani \(1 < x < 5\) için mutlak yakınsar.
Uç noktalar: \(x = 5\) için \((x-3)^n = 2^n\) olur ve seri
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} 2^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\]
alterne harmonik serisidir; Leibniz testi (Sonuç 40.1) gereği yakınsar. \(x = 1\) için \((x-3)^n = (-2)^n\) olur ve
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (-2)^n}{n \cdot 2^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} (-1)^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n+1}}{n} = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\]
elde edilir; harmonik serinin negatifi ıraksar. Sonuç: \(I = (1, 5]\).
b) Katsayılar \(a_n = \dfrac{1}{n^n}\)’dir. Cauchy–Hadamard formülü çok kolay uygulanır:
\[r = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{1}{n^n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0.\]
Teorem 42.2 gereği \(R = +\infty\)’dur; seri her \(x \in \mathbb{R}\) için mutlak yakınsar ve \(I = \mathbb{R}\)’dir. (Oran formülü de aynı sonucu verir ama hesap daha zahmetlidir: \(\dfrac{a_n}{a_{n+1}} = \dfrac{(n+1)^{n+1}}{n^n} \to +\infty\).)
c) Önce standart biçime getirelim: \(2x + 1 = 2\left( x + \dfrac{1}{2} \right)\) olduğundan
\[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2x+1)^n}{n^2 5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n^2 5^n} \left( x + \frac{1}{2} \right)^n.\]
Demek ki merkez \(x_0 = -\dfrac{1}{2}\) ve \(a_n = \dfrac{2^n}{n^2 5^n}\)’dir. Yarıçap:
\[R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{n^2 5^n} \cdot \frac{(n+1)^2 5^{n+1}}{2^{n+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5}{2} \cdot \frac{(n+1)^2}{n^2} = \frac{5}{2}.\]
Açık yakınsaklık aralığı \(\left( -\dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{2},\ -\dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2} \right) = (-3, 2)\)’dir.
Uç noktalar: \(x = 2\) için \(2x + 1 = 5\) olur ve seri \(\sum \dfrac{5^n}{n^2 5^n} = \sum \dfrac{1}{n^2}\) olur; \(p = 2 > 1\) olduğundan yakınsar (Teorem 36.2). \(x = -3\) için \(2x+1 = -5\) olur ve seri \(\sum \dfrac{(-1)^n}{n^2}\) olur; mutlak yakınsaktır, dolayısıyla yakınsar. Sonuç: \(I = [-3, 2]\).
d) Katsayılar \(a_n = \dfrac{n^n}{n!}\)’dir ve hepsi pozitiftir. Katsayı oranını hesaplayalım:
\[\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{n^n} = \frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1) \, n^n} = \frac{(n+1)^n}{n^n} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n.\]
Bu dizinin limiti \(e\) sayısıdır (bkz. Analiz 1). Teorem 42.3 gereği
\[R = \frac{1}{L} = \frac{1}{e}.\]
Şimdi \(x = \dfrac{1}{e}\) noktasında ıraksaklığı gösterelim. Bu noktada seri, terimleri
\[b_n = \frac{n^n}{n! \, e^n} > 0\]
olan pozitif terimli seridir. Amacımız \(\sum b_n\)’in ıraksadığını göstermek. Bunun için \(b_n\) için alttan bir tahmin üreteceğiz.
Yardımcı eşitsizlik: her \(t > 0\) için
\[\ln(1+t) > \frac{2t}{2+t}.\]
Gerçekten, \(h(t) = \ln(1+t) - \dfrac{2t}{2+t}\) diyelim. \(h(0) = 0\)’dır ve \(t > 0\) için
\[h'(t) = \frac{1}{1+t} - \frac{2(2+t) - 2t}{(2+t)^2} = \frac{1}{1+t} - \frac{4}{(2+t)^2} = \frac{(2+t)^2 - 4(1+t)}{(1+t)(2+t)^2} = \frac{t^2}{(1+t)(2+t)^2} > 0\]
olur. Öyleyse \(h\), \([0,\infty)\) üzerinde kesin artandır ve \(t>0\) için \(h(t) > h(0) = 0\)’dır.
Eşitsizlikte \(t = \dfrac{1}{n}\) alalım:
\[\ln\left( 1 + \frac{1}{n} \right) > \frac{2/n}{2 + 1/n} = \frac{2}{2n+1} = \frac{1}{n + \frac{1}{2}}.\]
Her iki tarafı \(n + \dfrac{1}{2} > 0\) ile çarparsak \(\left( n + \dfrac{1}{2} \right) \ln\left( 1 + \dfrac{1}{n} \right) > 1\), yani
\[\left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{n + \frac{1}{2}} > e\]
elde ederiz. Buradan
\[\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{(1 + 1/n)^n}{e} > \frac{(1+1/n)^n}{(1+1/n)^{n + 1/2}} = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{-1/2} = \sqrt{\frac{n}{n+1}}\]
çıkar. Şimdi \(c_n = b_n \sqrt{n}\) diyelim. Yukarıdaki eşitsizlik
\[b_{n+1} \sqrt{n+1} > b_n \sqrt{n}, \qquad \text{yani} \qquad c_{n+1} > c_n\]
demektir; \((c_n)\) kesin artandır. Öyleyse her \(n \ge 1\) için \(c_n \ge c_1 = b_1 = \dfrac{1}{e}\), yani
\[b_n \ge \frac{1}{e \sqrt{n}}.\]
\(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}}\) serisi \(p = \dfrac{1}{2} \le 1\) olan bir \(p\)-serisi olduğundan ıraksar (Teorem 36.2). Karşılaştırma testi (Teorem 35.2) gereği \(\sum b_n\) de ıraksar. Demek ki seri \(x = \dfrac{1}{e}\) noktasında ıraksaktır ve bu uç nokta yakınsaklık kümesine girmez.
e) Bu bir eksik terimli seridir; tek kuvvetlerin katsayıları sıfırdır. Oran testini doğrudan terimlere uygulayalım: \(x \ne 0\) için \(b_n = \dfrac{3^n x^{2n}}{n}\) olmak üzere
\[\left| \frac{b_{n+1}}{b_n} \right| = \frac{3^{n+1} |x|^{2n+2}}{n+1} \cdot \frac{n}{3^n |x|^{2n}} = 3 x^2 \cdot \frac{n}{n+1} \longrightarrow 3x^2.\]
Teorem 37.2 gereği \(3x^2 < 1\), yani \(|x| < \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) iken seri mutlak yakınsar; \(3x^2 > 1\) iken ıraksar. Öyleyse \(R = \dfrac{1}{\sqrt{3}}\)’tür.
Uç noktalar: \(x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}\) için \(x^2 = \dfrac{1}{3}\) olduğundan \(3^n x^{2n} = 3^n \cdot 3^{-n} = 1\) olur ve seri her iki uçta da \(\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}\) harmonik serisine dönüşür; ıraksar. Sonuç:
\[I = \left( -\frac{1}{\sqrt{3}},\ \frac{1}{\sqrt{3}} \right).\]
f) Cauchy–Hadamard formülünü kullanacağız; \(r = \limsup \sqrt[n]{|a_n|}\) olsun, böylece \(R = \dfrac{1}{r}\)’dir.
Birinci seri. \(\sum a_n x^{2n}\) serisinin katsayı dizisi \((A_m)\) ile gösterilirse \(A_{2n} = a_n\) ve tek indislerde \(A_m = 0\)’dır. Yarıçapı doğrudan bulmak yerine, yakınsaklık kümesini karşılaştırmak daha kolaydır: \(y = x^2\) dönüşümüyle \(\sum a_n x^{2n} = \sum a_n y^n\) olur ve bu seri \(|y| < R\) iken (mutlak) yakınsar, \(|y| > R\) iken ıraksar. \(|y| = x^2\) olduğundan koşul
\[x^2 < R \iff |x| < \sqrt{R}\]
biçimine gelir; benzer biçimde \(x^2 > R\) iken seri ıraksar. Öyleyse \(\sum a_n x^{2n}\) serisi \(|x| < \sqrt{R}\) için yakınsar, \(|x| > \sqrt{R}\) için ıraksar; Önerme 42.1’teki teklik gereği yarıçap \(\sqrt{R}\)’dir. \(R = 0\) ise \(\sqrt{R} = 0\): her iki seri de yalnızca \(0\)’da yakınsar. \(R = +\infty\) ise \(x^2 < +\infty\) koşulu her \(x\) için sağlandığından yeni serinin yarıçapı da \(+\infty\)’dur; \(\sqrt{+\infty} = +\infty\) anlaşması bu durumu doğru yansıtır.
İkinci seri. \(\sum a_n^2 x^n\) serisinin katsayıları \(a_n^2\)’dir ve
\[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n^2|} = \limsup_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{|a_n|} \right)^2 = \left( \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \right)^2 = r^2\]
olur. Ortadaki eşitlik şundan çıkar: \(t \mapsto t^2\) fonksiyonu \([0, \infty)\) üzerinde sürekli ve kesin artandır, dolayısıyla negatif olmayan bir dizinin karesinin üst limiti, üst limitin karesidir. (\(r = +\infty\) hâlinde \(r^2 = +\infty\) okunur.) Teorem 42.2 gereği yeni yarıçap
\[\frac{1}{r^2} = \left( \frac{1}{r} \right)^2 = R^2\]
olur. \(R = 0\) (\(r = +\infty\)) ise yeni yarıçap da \(0\)’dır; \(R = +\infty\) (\(r=0\)) ise yeni yarıçap da \(+\infty\)’dur.
g) Genelliği bozmadan \(x_0 = 0\) alabiliriz; \(u = x - x_0\) dönüşümü yakınsaklık kümesini yalnızca öteler, yarıçapı değiştirmez.
Türev serisinin katsayıları \(b_n = (n+1) a_{n+1}\)’dir (indis kaydırıldığında \(\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+1) a_{n+1} x^n\) olur). Ama üst limit hesabını kolaylaştırmak için önce şu gözlemi yapalım: \(x \ne 0\) için
\[\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \frac{1}{x} \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^n\]
olduğundan, \(\sum n a_n x^{n-1}\) ile \(\sum n a_n x^n\) serileri aynı \(x \ne 0\) değerlerinde yakınsar (sıfırdan farklı bir sabitle çarpmak yakınsaklığı değiştirmez, Teorem 34.4); \(x = 0\)’da ise ikisi de yakınsaktır. Öyleyse iki serinin yakınsaklık kümeleri, dolayısıyla yarıçapları aynıdır ve \(\sum n a_n x^n\) serisinin yarıçapını hesaplamak yeterlidir.
Bu serinin katsayıları \(n a_n\)’dir. Cauchy–Hadamard için
\[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{n |a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \left( \sqrt[n]{n} \cdot \sqrt[n]{|a_n|} \right)\]
hesaplanmalıdır. \(\sqrt[n]{n} \to 1\) olduğu bilinmektedir. Bir diziyi, limiti \(1\) olan pozitif bir diziyle çarpmak üst limiti değiştirmez; nitekim \(\varepsilon > 0\) verildiğinde yeterince büyük \(n\)’ler için \(1 - \varepsilon < \sqrt[n]{n} < 1 + \varepsilon\) olduğundan
\[(1-\varepsilon) \sqrt[n]{|a_n|} \le \sqrt[n]{n}\, \sqrt[n]{|a_n|} \le (1+\varepsilon) \sqrt[n]{|a_n|}\]
olur; üst limit alınıp \(\varepsilon \to 0^+\) yapılırsa
\[\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{n |a_n|} = \limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = r\]
bulunur. Demek ki türev serisinin yarıçapı da \(\dfrac{1}{r} = R\)’dir.
Bu sonuç, bir sonraki bölümün temel taşıdır: bir kuvvet serisini terim terim türetmek yakınsaklık yarıçapını bozmaz, dolayısıyla türev serisi de aynı açık aralıkta bir fonksiyon tanımlar. (Uç noktalarda durum değişebilir: örneğin \(\sum \dfrac{x^n}{n^2}\) serisinin yakınsaklık kümesi \([-1,1]\) iken türev serisi \(\sum \dfrac{x^{n-1}}{n}\)’nin yakınsaklık kümesi \([-1,1)\)’dir.)
\(\blacksquare\)
Bu bölümde bir kuvvet serisinin nerede yakınsadığını tam olarak belirlemeyi öğrendik: merkez etrafında bir yarıçap hesaplanır, uç noktalar ayrıca incelenir. Sıradaki adım, bu yakınsaklık aralığında serinin tanımladığı fonksiyonu incelemektir: bu fonksiyon sürekli midir, türevlenebilir midir, terim terim türetip integrallenebilir mi? Yanıtları bir sonraki bölümde bulacağız: Kuvvet Serilerinin Özellikleri.