10 Üst Sınır, Supremum ve Tamlık Aksiyomu
Buraya kadar reel sayılar için iki aksiyom grubu gördük: cebirsel aksiyomlar (Bölüm 6.2) toplama ve çarpmayı, sıralama aksiyomları (Bölüm 7.1) ise “küçüktür” bağıntısını yönetiyordu. Ne var ki bu iki grubun tamamını rasyonel sayılar kümesi \(\mathbb{Q}\) da sağlar. Yani şimdiye kadar yazdığımız hiçbir aksiyom, \(\mathbb{R}\)’yi \(\mathbb{Q}\)’dan ayırt etmez. Oysa aralarında büyük bir fark vardır: rasyonel sayı doğrusu “deliklidir” — karesi \(2\) olan bir rasyonel sayı yoktur — ama reel sayı doğrusunda böyle bir boşluk bulunmaz.
Bu bölümde işte bu farkı yakalayan üçüncü ve son aksiyomu, Tamlık Aksiyomu’nu yazacağız. Aksiyomu ifade edebilmek için önce “üst sınır” ve “en küçük üst sınır (supremum)” kavramlarına ihtiyacımız var. Bölümün sonunda aksiyomun ilk büyük sonuçlarını göreceğiz: doğal sayılar kümesi üstten sınırlı değildir ve iç içe geçmiş kapalı aralıkların ortak bir noktası daima vardır.
10.1 Üst Sınır ve Alt Sınır
Bir kümenin “nereye kadar uzandığını” ölçmenin en basit yolu, kümenin bütün elemanlarını geçen bir sayı bulmaktır. Böyle bir sayı varsa küme yukarıya doğru sonsuza kaçamıyor demektir.
Tanım 10.1 (Üst Sınır ve Alt Sınır) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.
- Bir \(M \in \mathbb{R}\) sayısı için her \(a \in A\) elemanında \(a \le M\) sağlanıyorsa, \(M\)’ye \(A\) kümesinin bir üst sınırı (upper bound) denir.
- Bir \(m \in \mathbb{R}\) sayısı için her \(a \in A\) elemanında \(m \le a\) sağlanıyorsa, \(m\)’ye \(A\) kümesinin bir alt sınırı (lower bound) denir.
İki noktaya dikkat edelim. Birincisi, üst sınır tek değildir: \(M\) bir üst sınırsa \(M\)’den büyük her sayı da üst sınırdır, çünkü \(a \le M \le M'\) olur. İkincisi, üst sınırın kümeye ait olması gerekmez; aşağıdaki örneklerde bunu göreceğiz.
Üst sınırı olan küme yukarıya, alt sınırı olan küme aşağıya doğru “kaçamaz”; bu durumları adlandıralım.
Tanım 10.2 (Sınırlı Küme) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.
- \(A\)’nın en az bir üst sınırı varsa \(A\)’ya üstten sınırlı (bounded above),
- \(A\)’nın en az bir alt sınırı varsa \(A\)’ya alttan sınırlı (bounded below),
- \(A\) hem üstten hem alttan sınırlıysa \(A\)’ya sınırlı (bounded) küme denir.
Üstten sınırlı olmayan kümeye üstten sınırsız, sınırlı olmayan kümeye sınırsız denir.
\(A\) kümesi sınırlıdır ancak ve ancak her \(a \in A\) için \(|a| \le K\) olacak biçimde bir \(K > 0\) sayısı vardır.
Gerçekten, \(m\) bir alt sınır ve \(M\) bir üst sınır olsun; \(K = \max\{|m|, |M|\} + 1\) alalım. Mutlak değerin özelliklerinden (Teorem 8.1) \(-|m| \le m\) ve \(M \le |M|\) olduğundan her \(a \in A\) için
\[-K < -|m| \le m \le a \le M \le |M| < K\]
yani \(|a| < K\) olur. Tersine, her \(a\) için \(|a| \le K\) ise \(-K \le a \le K\) olduğundan \(-K\) bir alt, \(K\) bir üst sınırdır. Bu ifade, sınırlılığı tek bir eşitsizlikle denetlemeyi sağladığı için ileride dizilerde sıkça kullanılacaktır.
Örnek 10.1 (Üst ve Alt Sınır Örnekleri) Aşağıdaki kümelerin üstten ve alttan sınırlı olup olmadıklarını inceleyelim; sınırlıysa birer üst ve alt sınır bulalım.
\(A = [0, 1) = \{x \in \mathbb{R} : 0 \le x < 1\}\)
\(B = \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{3}, \dots\right\}\)
\(C = (-\infty, 2] = \{x \in \mathbb{R} : x \le 2\}\)
\(D = \{2, 5, 7\}\)
Çözüm
a) Her \(x \in A\) için \(0 \le x\) olduğundan \(0\) bir alt sınırdır; her \(x \in A\) için \(x < 1\) olduğundan \(1\) bir üst sınırdır. Demek ki \(A\) sınırlıdır. \(1\) sayısı \(A\)’nın elemanı değildir; ama bu, üst sınır olmasına engel değildir. \(0\) ise hem alt sınır hem de \(A\)’nın elemanıdır. \(1{,}5\), \(2\), \(100\) sayıları da üst sınırdır; \(-3\) de bir alt sınırdır.
b) Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(n \ge 1\)’dir (Önerme 9.3); \(n = 1\) ise \(\dfrac{1}{n} = 1\), \(n > 1\) ise Önerme 7.10 gereği \(\dfrac{1}{n} < 1\) olur. Her iki hâlde \(\dfrac{1}{n} \le 1\)’dir; \(1 = \dfrac{1}{1} \in B\) olduğundan \(1\) hem üst sınır hem de kümenin elemanıdır. Her \(n\) için \(\dfrac{1}{n} > 0\) olduğundan (Önerme 7.9) \(0\) bir alt sınırdır; \(B\) sınırlıdır. \(0\) kümeye ait değildir, çünkü hiçbir \(n\) için \(\dfrac{1}{n} = 0\) olmaz.
c) \(2\) bir üst sınırdır ve \(2 \in C\)’dir. Alt sınır ise yoktur: \(m\) herhangi bir reel sayı olsun. \(m \le 2\) ise \(m - 1 < m \le 2\) olduğundan \(m - 1 \in C\) ve \(m - 1 < m\); \(m > 2\) ise \(2 \in C\) ve \(2 < m\). Her iki hâlde de \(C\)’nin \(m\)’den küçük bir elemanı vardır, yani \(m\) alt sınır değildir. Demek ki \(C\) üstten sınırlı ama alttan sınırsızdır; dolayısıyla sınırsız bir kümedir.
d) \(2 \le 5 \le 7\) olduğundan \(7\) bir üst, \(2\) bir alt sınırdır ve her ikisi de kümenin elemanıdır. \(D\) sınırlıdır.
\(\blacksquare\)
10.2 Maksimum ve Minimum
Tanım 7.4’de iki sayının maksimumunu ve minimumunu tanımlamıştık. Şimdi aynı fikri kümelere taşıyalım: bir kümenin “en büyük elemanı”, hem kümeye ait olan hem de bütün elemanları geçen sayıdır.
Tanım 10.3 (Kümenin Maksimumu ve Minimumu) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.
- \(M \in A\) ve \(M\), \(A\)’nın bir üst sınırı ise \(M\)’ye \(A\)’nın maksimumu (en büyük elemanı) denir ve \(M = \max A\) yazılır.
- \(m \in A\) ve \(m\), \(A\)’nın bir alt sınırı ise \(m\)’ye \(A\)’nın minimumu (en küçük elemanı) denir ve \(m = \min A\) yazılır.
Maksimum varsa tektir: \(M_1\) ve \(M_2\) iki maksimum olsa, \(M_1 \in A\) ve \(M_2\) üst sınır olduğundan \(M_1 \le M_2\); simetrik biçimde \(M_2 \le M_1\); dolayısıyla \(M_1 = M_2\) olur. Aynı akıl yürütme minimum için de geçerlidir.
Örnek 10.1’ndeki kümelere dönelim. \(A = [0, 1)\) için \(\min A = 0\)’dır, ama \(\max A\) yoktur: \(1\) kümeye ait değildir ve kümeye ait hiçbir sayı üst sınır olamaz, çünkü \(x \in A\) ise Önerme 7.11 gereği \(x < \dfrac{x + 1}{2} < 1\) olur; \(x \ge 0\) nedeniyle \(\dfrac{x+1}{2} > 0\) olduğundan \(\dfrac{x+1}{2} \in A\)’dır ve \(x\)’i geçer. \(B\) kümesi için \(\max B = 1\)’dir; minimum yoktur, çünkü \(\dfrac{1}{n} \in B\) ise \(\dfrac{1}{n+1} \in B\) daha küçüktür. \(D = \{2, 5, 7\}\) için \(\max D = 7\), \(\min D = 2\)’dir.
Sonuncu örnek genel bir olgunun parçasıdır: elemanları \(a_1, \dots, a_n\) diye sonlu bir liste hâlinde yazılabilen, yani sonlu her küme için maksimum ve minimum vardır.
Önerme 10.1 (Sonlu Kümelerde Maksimum ve Minimum) \(n \in \mathbb{N}\) olsun. Elemanları \(a_1, a_2, \dots, a_n\) olan her \(A = \{a_1, \dots, a_n\} \subset \mathbb{R}\) kümesinin maksimumu ve minimumu vardır.
İspat
\(n\) üzerinden tümevarım yapalım (Teorem 9.1). \(n = 1\) için \(A = \{a_1\}\) ve \(\max A = \min A = a_1\)’dir.
İddia \(n\) elemanlı kümeler için doğru olsun; \(A = \{a_1, \dots, a_n, a_{n+1}\}\) alalım. \(A' = \{a_1, \dots, a_n\}\) kümesinin tümevarım varsayımıyla bir maksimumu vardır, buna \(M'\) diyelim. \(M = \max\{M', a_{n+1}\}\) olsun (Tanım 7.4). \(M\), \(A\)’nın elemanıdır, çünkü ya \(M'\) ya da \(a_{n+1}\)’e eşittir. Ayrıca \(M\) bir üst sınırdır: \(a_i \in A'\) için \(a_i \le M' \le M\) ve \(a_{n+1} \le M\). Demek ki \(M = \max A\). Minimum için aynı akıl yürütme \(\min\{m', a_{n+1}\}\) ile yapılır.
\(\blacksquare\)
10.3 Supremum ve İnfimum
\([0, 1)\) kümesinin maksimumu yoktur; ama \(1\) sayısı bu küme için “en büyük eleman” rolünü neredeyse üstlenir: bütün elemanları geçer ve ondan küçük hiçbir sayı bunu başaramaz. Bu gözlem, maksimum olmadığında da işe yarayan bir kavrama götürür: üst sınırların en küçüğü.
Tanım 10.4 (Supremum ve İnfimum) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.
Bir \(s \in \mathbb{R}\) sayısı şu iki koşulu sağlıyorsa \(s\)’ye \(A\)’nın supremumu (en küçük üst sınırı, least upper bound) denir ve \(s = \sup A\) yazılır:
(S1) \(s\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır: her \(a \in A\) için \(a \le s\).
(S2) \(s\), üst sınırların en küçüğüdür: \(M\), \(A\)’nın herhangi bir üst sınırı ise \(s \le M\).
Bir \(t \in \mathbb{R}\) sayısı şu iki koşulu sağlıyorsa \(t\)’ye \(A\)’nın infimumu (en büyük alt sınırı, greatest lower bound) denir ve \(t = \inf A\) yazılır:
(I1) \(t\), \(A\)’nın bir alt sınırıdır: her \(a \in A\) için \(t \le a\).
(I2) \(t\), alt sınırların en büyüğüdür: \(m\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı ise \(m \le t\).
(S2) koşulunun karşıt tersi çoğu zaman daha kullanışlıdır: \(M < s\) ise \(M\) bir üst sınır değildir; yani \(s\)’den küçük her \(M\) için \(M < a\) olan bir \(a \in A\) vardır. Supremumu bulurken hep bu iki şeyi gösteririz: verilen sayı bir üst sınırdır ve ondan küçük hiçbir sayı üst sınır değildir.
Önerme 10.2 (Supremumun Tekliği) Bir kümenin supremumu varsa tektir; aynı şey infimum için de geçerlidir.
İspat
\(s_1\) ve \(s_2\), \(A\)’nın iki supremumu olsun. \(s_1\) bir üst sınırdır ve \(s_2\) bütün üst sınırlardan küçük ya da eşittir; dolayısıyla \(s_2 \le s_1\). Rolleri değiştirince \(s_1 \le s_2\). Hem \(s_2 \le s_1\) hem \(s_1 \le s_2\) olduğundan üçlem yasası (O1) ile \(s_1 = s_2\). İnfimum için ispat aynıdır.
\(\blacksquare\)
Önerme 10.3 (Maksimum ile Supremumun İlişkisi) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme olsun.
- \(\max A\) varsa \(\sup A\) da vardır ve \(\sup A = \max A\).
- \(\sup A\) var ve \(\sup A \in A\) ise \(\max A\) vardır ve \(\max A = \sup A\).
Aynı ifadeler \(\min\) ve \(\inf\) için de doğrudur.
İspat
1. \(M = \max A\) olsun. Tanım gereği \(M\) bir üst sınırdır; (S1) sağlanır. \(M'\) herhangi bir üst sınır olsun; \(M \in A\) olduğundan \(M \le M'\) olur; (S2) sağlanır. Demek ki \(M = \sup A\).
2. \(s = \sup A \in A\) olsun. \(s\) hem kümenin elemanı hem de üst sınırıdır; bu tam olarak maksimumun tanımıdır.
\(\blacksquare\)
Yani maksimum varsa supremumla çakışır; supremumun fazladan sunduğu şey, maksimum olmadığında da bir “üst uç” belirleyebilmesidir.
Örnek 10.2 (Yarı Açık Aralığın Supremumu) \(A = [0, 1)\) kümesi için \(\inf A = \min A = 0\) ve \(\sup A = 1\) olduğunu gösterelim; \(\max A\)’nın olmadığını görelim.
Çözüm
\(0 \in A\) ve \(0\) bir alt sınır olduğundan \(\min A = 0\); Önerme 10.3 gereği \(\inf A = 0\)’dır.
\(\sup A = 1\) için iki koşulu denetleyelim.
(S1) Her \(x \in A\) için \(x < 1\); dolayısıyla \(1\) bir üst sınırdır.
(S2) \(M < 1\) olan hiçbir \(M\)’nin üst sınır olmadığını gösterelim. \(M < 0\) ise \(0 \in A\) elemanı \(M\)’yi geçer. \(0 \le M < 1\) ise Önerme 7.11 gereği
\[M < \frac{M + 1}{2} < 1\]
olur; ayrıca \(\dfrac{M+1}{2} \ge \dfrac{0 + 1}{2} > 0\) olduğundan \(\dfrac{M+1}{2} \in A\)’dır ve \(M\)’yi geçer. Her iki hâlde de \(M\) üst sınır değildir. O hâlde \(1\) üst sınırların en küçüğüdür: \(\sup A = 1\).
\(1 \notin A\) olduğundan Önerme 10.3 gereği \(\max A\) yoktur (olsaydı \(1\)’e eşit olurdu).
\(\blacksquare\)
Bu örnekteki (S2) adımı, “supremumun hemen altına inince kümeye rastlarız” fikrine dayanıyordu. Bu fikri \(\varepsilon\) diliyle yazmak, supremum ispatlarının standart aracıdır.
Teorem 10.1 (Supremum için Epsilon Ölçütü) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \(s \in \mathbb{R}\) olsun. \(s = \sup A\) olması için gerek ve yeter koşul şudur:
- \(s\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır ve
- her \(\varepsilon > 0\) için \(s - \varepsilon < a\) olacak biçimde bir \(a \in A\) vardır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(s = \sup A\) olsun. (S1) gereği \(s\) üst sınırdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(s - \varepsilon < s\) olduğundan (S2)’nin karşıt tersiyle \(s - \varepsilon\) bir üst sınır değildir; yani \(s - \varepsilon < a\) olan bir \(a \in A\) vardır.
(\(\Leftarrow\) yönü) İki koşul sağlansın. (S1) zaten verilmiştir. (S2) için \(M < s\) olan bir \(M\)’nin üst sınır olamayacağını gösterelim: \(\varepsilon = s - M > 0\) alalım. İkinci koşuldan \(s - \varepsilon < a\) olan bir \(a \in A\) vardır; ama \(s - \varepsilon = M\)’dir, yani \(M < a\). Demek ki \(M\) üst sınır değildir. O hâlde her üst sınır \(M\) için \(s \le M\) olur ve \(s = \sup A\)’dır.
\(\blacksquare\)
Teorem şunu söyler: \(\sup A\), kümenin elemanlarının “istenildiği kadar yaklaştığı” üst sınırdır. \(s - \varepsilon\) ile \(s\) arasındaki aralık ne kadar dar olursa olsun, içinde kümeden bir eleman bulunur. İnfimum için ayna görüntüsü geçerlidir.
Teorem 10.2 (İnfimum için Epsilon Ölçütü) \(A \subset \mathbb{R}\) boş olmayan bir küme ve \(t \in \mathbb{R}\) olsun. \(t = \inf A\) olması için gerek ve yeter koşul şudur:
- \(t\), \(A\)’nın bir alt sınırıdır ve
- her \(\varepsilon > 0\) için \(a < t + \varepsilon\) olacak biçimde bir \(a \in A\) vardır.
İspat
(\(\Rightarrow\) yönü) \(t = \inf A\) olsun; (I1) ilk koşulu verir. \(\varepsilon > 0\) için \(t < t + \varepsilon\) olduğundan (I2) gereği \(t + \varepsilon\) bir alt sınır olamaz (olsaydı \(t + \varepsilon \le t\) gerekirdi). Alt sınır olmaması, \(a < t + \varepsilon\) sağlayan bir \(a \in A\) bulunması demektir.
(\(\Leftarrow\) yönü) İki koşul sağlansın. (I1) ilk koşulun kendisidir. (I2) için \(m\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı olsun; \(m \le t\) göstermeliyiz. Tersini varsayalım: \(t < m\). \(\varepsilon = m - t > 0\) alınca ikinci koşuldan \(a < t + \varepsilon = m\) olan bir \(a \in A\) bulunur; bu, \(m\)’nin alt sınır olmasıyla çelişir. Demek ki \(m \le t\) ve \(t = \inf A\).
\(\blacksquare\)
10.4 Tamlık Aksiyomu
Şimdiye kadar supremumun ne olduğunu tanımladık, ama var olduğunu söylemedik. Var olmayabilir de: \(\mathbb{Q}\) içinde çalışsaydık, \(\{q \in \mathbb{Q} : q > 0,\ q^2 < 2\}\) kümesi üstten sınırlı olduğu hâlde rasyonel bir supremuma sahip olmazdı; bunu ileride kanıtlayacağız (Sonuç 13.1). Reel sayıları reel sayı yapan, bu durumun \(\mathbb{R}\)’de asla ortaya çıkmamasıdır. Bu bir aksiyomdur; ispatlanmaz, kabul edilir.
Reel sayıların üstten sınırlı ve boş olmayan her \(A\) alt kümesinin bir supremumu vardır. Yani \(A \ne \varnothing\) ve \(A\) üstten sınırlıysa \(\sup A \in \mathbb{R}\) vardır.
Aksiyomun iki hipotezi de gereklidir: boş kümenin her reel sayı üst sınırı olduğundan en küçük üst sınırı olamaz; üstten sınırsız kümenin ise hiç üst sınırı yoktur. Aksiyom yalnızca supremumdan söz eder; infimum için ayrı bir aksiyom gerekmez, çünkü kümeyi “aynalayarak” supremuma indirgeyebiliriz.
Bir \(A \subset \mathbb{R}\) kümesi için
\[-A = \{-a : a \in A\}\]
yazalım; \(-A\), \(A\)’nın elemanlarının toplamsal terslerinden oluşan kümedir.
Teorem 10.3 (İnfimumun Varlığı) Alttan sınırlı ve boş olmayan her \(A \subset \mathbb{R}\) kümesinin infimumu vardır ve
\[\inf A = -\sup(-A).\]
İspat
\(m\), \(A\)’nın bir alt sınırı olsun. Her \(a \in A\) için \(m \le a\); eksi almak eşitsizliğin yönünü çevirir: \(m < a\) hâlinde Önerme 7.3 gereği \(-a < -m\), \(m = a\) hâlinde ise \(-a = -m\) olur. Her iki hâlde \(-a \le -m\)’dir. Demek ki \(-m\), \(-A\) kümesinin bir üst sınırıdır. \(A \ne \varnothing\) olduğundan \(-A \ne \varnothing\)’dir. Tamlık Aksiyomu gereği \(s = \sup(-A)\) vardır. \(\inf A = -s\) olduğunu gösterelim.
(I1) \(a \in A\) olsun. \(-a \in -A\) ve \(s\) üst sınır olduğundan \(-a \le s\), yani \(-s \le a\). Demek ki \(-s\) bir alt sınırdır.
(I2) \(m'\), \(A\)’nın herhangi bir alt sınırı olsun. Yukarıdaki gibi \(-m'\), \(-A\)’nın bir üst sınırıdır; \(s\) en küçük üst sınır olduğundan \(s \le -m'\), yani \(m' \le -s\).
Her iki koşul sağlandığından \(\inf A = -s = -\sup(-A)\).
\(\blacksquare\)
Bu teorem sayesinde “alttan sınırlı, boş olmayan her kümenin infimumu vardır” ifadesi de elimizdedir; ileride ikisini birlikte “Tamlık Aksiyomu gereği” diyerek kullanacağız.
Doğal Sayılar Üstten Sınırlı Değildir
Tamlık Aksiyomu’nun ilk uygulaması, sezgisel olarak apaçık ama aksiyomlardan çıkarılması gereken bir olgudur: \(1, 2, 3, \dots\) sayılarının hepsini geçen bir reel sayı yoktur. Bu, cebirsel ve sıralama aksiyomlarından çıkmaz; ispatta tamlık gerçekten kullanılır.
Teorem 10.4 (Doğal Sayılar Kümesi Üstten Sınırlı Değildir) \(\mathbb{N}\) kümesi üstten sınırlı değildir. Başka bir deyişle, her \(x \in \mathbb{R}\) için \(n > x\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır.
İspat
Olmayana ergi yöntemini kullanalım: \(\mathbb{N}\) üstten sınırlı olsun. \(\mathbb{N} \ne \varnothing\) olduğundan Tamlık Aksiyomu gereği \(s = \sup \mathbb{N}\) vardır. Teorem 10.1’i \(\varepsilon = 1\) ile uygulayalım: \(s - 1 < n\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır. Her iki tarafa \(1\) ekleyince \(s < n + 1\) olur. Ama Önerme 9.2 gereği \(n + 1 \in \mathbb{N}\)’dir; yani \(\mathbb{N}\)’nin bir elemanı, üst sınır olan \(s\)’yi geçmiştir. Bu bir çelişkidir. O hâlde \(\mathbb{N}\) üstten sınırlı değildir.
İkinci ifade birincisinin yeniden yazılışıdır: \(x \in \mathbb{R}\) verilsin; \(\mathbb{N}\) üstten sınırlı olmadığından \(x\) bir üst sınır değildir, yani \(n > x\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır.
\(\blacksquare\)
Bu teorem, “her pozitif \(\varepsilon\) için \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\) olacak kadar büyük bir \(n\) vardır” biçimindeki sayısız limit hesabının temelidir. Sonraki bölümlerde aynı olgu Arşimet özelliği adıyla genelleştirilecek (Teorem 12.1); burada teoremi doğrudan kullanarak iki temel kümenin supremum ve infimumunu bulalım.
Örnek 10.3 (Bir Eksi Bir Bölü n Kümesi) \(A = \left\{ 1 - \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\} = \left\{ 0, \dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dots \right\}\) kümesi için \(\inf A = \min A = 0\) ve \(\sup A = 1\) olduğunu gösterelim.
Çözüm
İnfimum. Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\dfrac{1}{n} \le 1\) olduğundan (\(n \ge 1\)’dir; \(n = 1\) ise eşitlik, \(n > 1\) ise Önerme 7.10) \(1 - \dfrac{1}{n} \ge 0\); yani \(0\) bir alt sınırdır. \(n = 1\) için \(1 - \dfrac{1}{1} = 0 \in A\). Kümeye ait bir alt sınır minimumdur: \(\min A = 0\) ve Önerme 10.3 gereği \(\inf A = 0\).
Supremum. Teorem 10.1’in iki koşulunu denetleyelim.
Üst sınır: Her \(n\) için \(\dfrac{1}{n} > 0\) olduğundan \(1 - \dfrac{1}{n} < 1\). Demek ki \(1\) bir üst sınırdır.
Epsilon koşulu: \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(1 - \varepsilon < 1 - \dfrac{1}{n}\) olacak bir \(n\) arıyoruz; bu eşitsizlik \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\) ile denktir. Teorem 10.4 gereği \(n > \dfrac{1}{\varepsilon}\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) vardır. \(n\) ve \(\varepsilon\) pozitif olduğundan her iki tarafı \(\dfrac{\varepsilon}{n} > 0\) ile çarpmak \(\varepsilon > \dfrac{1}{n}\) verir. Bu \(n\) için \(1 - \dfrac{1}{n} \in A\) ve \(1 - \varepsilon < 1 - \dfrac{1}{n}\) olur.
Her iki koşul sağlandığından \(\sup A = 1\). \(1 \notin A\)’dır, çünkü \(1 - \dfrac{1}{n} = 1\) olması \(\dfrac{1}{n} = 0\) gerektirir; dolayısıyla \(\max A\) yoktur.
Şekil, durumu özetliyor: kümenin elemanları \(1\)’e soldan yığılır, \(1\)’in sağındaki her sayı üst sınırdır ve \(1\)’in hemen solundaki her \((1 - \varepsilon, 1]\) penceresi kümeden en az bir eleman içerir.
\(\blacksquare\)
Örnek 10.4 (Bir Bölü n Kümesinin İnfimumu) \(B = \left\{ \dfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \right\}\) kümesi için \(\sup B = \max B = 1\) ve \(\inf B = 0\) olduğunu gösterelim.
Çözüm
Örnek 10.1’nde \(1\)’in kümeye ait bir üst sınır olduğunu görmüştük; dolayısıyla \(\max B = \sup B = 1\).
\(\inf B = 0\) için Teorem 10.2’i kullanalım. \(0\) bir alt sınırdır, çünkü her \(n\) için \(\dfrac{1}{n} > 0\). \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(\dfrac{1}{n} < 0 + \varepsilon\) olan bir \(n\) gerekiyor. Bir önceki örnekteki gibi Teorem 10.4 ile \(n > \dfrac{1}{\varepsilon}\) seçilir ve \(\dfrac{1}{n} < \varepsilon\) elde edilir. O hâlde \(\inf B = 0\); \(0 \notin B\) olduğundan \(\min B\) yoktur.
\(\blacksquare\)
10.5 Supremumun Özellikleri
Supremum, kümeler üzerindeki basit işlemlerle uyumludur. Aşağıdaki özellikler ileride dizilerin limitleriyle ilgili teoremlerde defalarca kullanılacaktır. Gösterimi sabitleyelim: \(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler ve \(c \in \mathbb{R}\) için
\[cA = \{ca : a \in A\}, \qquad A + B = \{a + b : a \in A,\ b \in B\}.\]
Önerme 10.4 (Supremumun Özellikleri) \(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler olsun.
- Alt küme. \(A \subset B\) ve \(B\) üstten sınırlıysa \(A\) da üstten sınırlıdır ve \(\sup A \le \sup B\). Benzer biçimde \(B\) alttan sınırlıysa \(\inf B \le \inf A\).
- Pozitif sabitle çarpma. \(c > 0\) ve \(A\) üstten sınırlıysa \(\sup(cA) = c \sup A\); \(A\) alttan sınırlıysa \(\inf(cA) = c \inf A\).
- Aynalama. \(A\) alttan sınırlıysa \(\sup(-A) = -\inf A\); \(A\) üstten sınırlıysa \(\inf(-A) = -\sup A\).
- Toplam. \(A\) ve \(B\) üstten sınırlıysa \(\sup(A + B) = \sup A + \sup B\); alttan sınırlıysa \(\inf(A + B) = \inf A + \inf B\).
İspat
1. \(\sup B\), \(B\)’nin bir üst sınırıdır; \(A \subset B\) olduğundan her \(a \in A\) aynı zamanda \(B\)’nin elemanıdır ve \(a \le \sup B\) sağlar. Demek ki \(\sup B\), \(A\)’nın da bir üst sınırıdır; \(A\) üstten sınırlıdır ve Tamlık Aksiyomu gereği \(\sup A\) vardır. (S2) koşuluyla \(\sup A \le \sup B\). İnfimum ifadesi aynı biçimde (I2) ile elde edilir.
2. \(s = \sup A\) olsun; \(cs = \sup(cA)\) olduğunu Teorem 10.1 ile gösterelim. Her \(a \in A\) için \(a \le s\) ve \(c > 0\) olduğundan \(ca \le cs\); yani \(cs\), \(cA\)’nın bir üst sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. \(\dfrac{\varepsilon}{c} > 0\) olduğundan Teorem 10.1 gereği \(s - \dfrac{\varepsilon}{c} < a\) olan bir \(a \in A\) vardır; \(c\) ile çarpınca \(cs - \varepsilon < ca\) olur ve \(ca \in cA\)’dır. Her iki koşul sağlandı: \(\sup(cA) = cs\). İnfimum için aynı ispat Teorem 10.2 ile tekrarlanır.
3. İlk eşitlik Teorem 10.3’ta kanıtlandı: \(\inf A = -\sup(-A)\), yani \(\sup(-A) = -\inf A\). İkincisi için bu eşitliği \(-A\) kümesine uygulayalım: \(A\) üstten sınırlıysa \(-A\) alttan sınırlıdır ve \(-(-A) = A\) olduğundan
\[\sup A = \sup\big(-(-A)\big) = -\inf(-A)\]
elde edilir; buradan \(\inf(-A) = -\sup A\).
4. \(s = \sup A\) ve \(t = \sup B\) olsun. Her \(a \in A\), \(b \in B\) için \(a \le s\) ve \(b \le t\); taraf tarafa toplayınca \(a + b \le s + t\). Demek ki \(s + t\), \(A + B\)’nin bir üst sınırıdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 10.1’i \(\dfrac{\varepsilon}{2}\) ile iki kez uygulayalım: \(s - \dfrac{\varepsilon}{2} < a\) olan bir \(a \in A\) ve \(t - \dfrac{\varepsilon}{2} < b\) olan bir \(b \in B\) vardır. Toplayınca
\[(s + t) - \varepsilon < a + b \in A + B\]
olur. Teorem 10.1 gereği \(\sup(A + B) = s + t\). İnfimum ifadesi, üçüncü özellik yardımıyla \(-(A + B) = (-A) + (-B)\) eşitliğinden ya da doğrudan Teorem 10.2 ile elde edilir.
\(\blacksquare\)
\(c < 0\) ise çarpma sıralamayı çevirdiği için roller değişir: \(\sup(cA) = c \inf A\) ve \(\inf(cA) = c \sup A\). Bunu görmek için \(cA = (-c)(-A)\) yazıp ikinci ve üçüncü özellikleri art arda uygulamak yeterlidir; \(-c > 0\) olduğundan \(\sup(cA) = (-c)\sup(-A) = (-c)(-\inf A) = c \inf A\).
10.6 İç İçe Aralıklar
Tamlık Aksiyomu’nun geometrik bir yüzü vardır: reel doğru üzerinde giderek daralan kapalı aralıklar alırsak, hepsinin içinde kalan en az bir nokta bulunur. Sezgi şöyledir: \([a_1, b_1] \supset [a_2, b_2] \supset [a_3, b_3] \supset \cdots\) aralıklarının sol uçları sağa, sağ uçları sola doğru ilerler; sol uçlar hiçbir sağ ucu geçemez. Sol uçların “ulaştığı en sağ nokta” olan \(\sup\{a_n\}\) bütün aralıklarda kalır.
Tanım 10.5 (İç İçe Aralıklar) Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(a_n \le b_n\) olmak üzere \(I_n = [a_n, b_n]\) kapalı ve sınırlı bir aralık olsun (Tanım 7.3). Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(I_{n+1} \subset I_n\) sağlanıyorsa \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\) indisli ailesine (Tanım 3.8) iç içe aralıklar (nested intervals) denir.
İç içe olma koşulu uç noktalar cinsinden şöyle okunur: \(a_{n+1} \in I_{n+1} \subset I_n\) olduğundan \(a_n \le a_{n+1}\); benzer biçimde \(b_{n+1} \le b_n\). Yani
\[a_1 \le a_2 \le a_3 \le \cdots \le b_3 \le b_2 \le b_1.\]
Teorem 10.5 (İç İçe Aralıklar Teoremi (Cantor)) \((I_n)_{n \in \mathbb{N}}\), \(I_n = [a_n, b_n]\) biçiminde iç içe kapalı aralıklar olsun.
Bu aralıkların kesişimi boş değildir. Daha kesin olarak \(a = \sup\{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) ve \(b = \inf\{b_n : n \in \mathbb{N}\}\) vardır, \(a \le b\)’dir ve
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = [a, b].\]
Ayrıca aralıkların uzunlukları istenildiği kadar küçülüyorsa — yani her \(\varepsilon > 0\) için \(b_n - a_n < \varepsilon\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) varsa — kesişim tek noktadan oluşur:
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} I_n = \{a\}.\]
İspat
Adım 1: Her sol uç, her sağ ucun solundadır. \(n, m \in \mathbb{N}\) için \(a_n \le b_m\) olduğunu gösterelim. Önce \(n \le m\) ise \(a_n \le a_m\) olduğunu görelim. \(n\) sabit olmak üzere \(k \in \mathbb{N}\) üzerinden tümevarımla (Teorem 9.1) \(a_n \le a_{n+k}\) elde edilir: \(k = 1\) için bu, \(a_n \le a_{n+1}\) eşitsizliğidir; \(a_n \le a_{n+k}\) ise \(a_{n+k} \le a_{n+k+1}\) ile birlikte (O2) \(a_n \le a_{n+k+1}\) verir. Şimdi \(n \le m\) olsun: \(n = m\) ise \(a_n \le a_m\) açıktır; \(n < m\) ise Önerme 9.3 (4) ile \(k = m - n \in \mathbb{N}\) ve \(a_n \le a_{n+k} = a_m\). Aynı biçimde \(n \le m\) için \(b_m \le b_n\). Şimdi:
- \(n \le m\) ise \(a_n \le a_m \le b_m\);
- \(m < n\) ise \(a_n \le b_n \le b_m\).
Her iki hâlde \(a_n \le b_m\).
Adım 2: \(a\) ve \(b\) vardır ve \(a \le b\). \(A = \{a_n : n \in \mathbb{N}\}\) boş değildir ve Adım 1 gereği \(b_1\) (aslında her \(b_m\)) bir üst sınırıdır. Tamlık Aksiyomu ile \(a = \sup A\) vardır. Benzer biçimde \(B = \{b_n : n \in \mathbb{N}\}\) boş değildir ve her \(a_n\) bir alt sınırıdır; Teorem 10.3 ile \(b = \inf B\) vardır. Her \(m\) için \(b_m\), \(A\)’nın üst sınırı olduğundan (S2) ile \(a \le b_m\); yani \(a\), \(B\)’nin bir alt sınırıdır ve (I2) ile \(a \le b\).
Adım 3: Kesişim \([a, b]\)’dir. \(x \in \mathbb{R}\) olsun.
\[x \in \bigcap_{n=1}^{\infty} I_n \iff \text{her } n \text{ için } a_n \le x \le b_n.\]
“Her \(n\) için \(a_n \le x\)” demek, \(x\)’in \(A\)’nın bir üst sınırı olması demektir; bu da (S1)–(S2) gereği \(a \le x\) ile denktir (bir yönü: \(a\) en küçük üst sınırdır; diğer yönü: \(a_n \le a \le x\)). Aynı biçimde “her \(n\) için \(x \le b_n\)”, \(x \le b\) ile denktir. Dolayısıyla \(x\) kesişimdedir ancak ve ancak \(a \le x \le b\) ise; kesişim \([a, b]\)’dir ve \(a \le b\) olduğundan boş değildir (\(a\) bu kümededir).
Adım 4: Uzunluklar küçülüyorsa tek nokta. \(a < b\) olsa \(\varepsilon = b - a > 0\) alalım. Hipotez gereği \(b_n - a_n < \varepsilon\) olan bir \(n\) vardır. Ama Adım 3’e göre \(a_n \le a \le b \le b_n\), dolayısıyla
\[b - a \le b_n - a_n < \varepsilon = b - a\]
olur; bu bir çelişkidir. O hâlde \(a = b\) ve kesişim \([a, a] = \{a\}\)’dır.
\(\blacksquare\)
Teorem, “reel doğruda boşluk yoktur” cümlesinin en somut hâlidir: aralıkları daraltarak bir noktayı sıkıştırdığımızda o nokta gerçekten oradadır. İleride bu teoremle Bolzano–Weierstrass teoremini (Teorem 24.5) ve Heine–Borel teoremini (Teorem 18.5) kanıtlayacağız; dizilerin limitini öğrendikten sonra hipotezdeki “her \(\varepsilon\) için \(b_n - a_n < \varepsilon\) olan \(n\) var” koşulu, monoton yakınsaklık teoremi (Teorem 23.1) yardımıyla \(\lim (b_n - a_n) = 0\) biçiminde yeniden yazılacak ve teorem bu dille yeniden ispatlanacaktır (Teorem 24.7).
Teoremdeki “kapalı” sözcüğü süs değildir. \(J_n = \left(0, \dfrac{1}{n}\right)\) açık aralıkları da iç içedir (\(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\)) ve uzunlukları \(\dfrac{1}{n}\) küçülür; ama kesişimleri boştur. Gerçekten, bir \(x\) bütün \(J_n\)’lerde olsaydı \(x > 0\) ve her \(n\) için \(x < \dfrac{1}{n}\) olurdu. İkinci eşitsizliği \(\dfrac{n}{x} > 0\) ile çarpınca her \(n \in \mathbb{N}\) için \(n < \dfrac{1}{x}\) elde edilir; yani \(\dfrac{1}{x}\), \(\mathbb{N}\)’nin bir üst sınırı olurdu. Bu, Teorem 10.4 ile çelişir.
Sınırlılık da gereklidir: \([n, \infty)\) kapalı ama sınırsız aralıkları iç içedir ve kesişimleri yine boştur. Gerçekten, bir \(x\) bütün \([n, \infty)\) aralıklarında olsaydı her \(n \in \mathbb{N}\) için \(n \le x\) olur, yani \(x\), \(\mathbb{N}\)’nin bir üst sınırı olurdu; bu, Teorem 10.4 ile çelişir. Bu tür kesişim ve birleşimleri sonraki bölümlerde Arşimet özelliğiyle daha ayrıntılı inceleyeceğiz.
Örnek 10.5 (Sıfıra Daralan Aralıklar) \(I_n = \left[-\dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}\right]\) aralıklarının iç içe olduğunu gösterelim ve kesişimlerini bulalım.
Çözüm
\(n < n + 1\) olduğundan \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n}\) ve \(-\dfrac{1}{n} < -\dfrac{1}{n+1}\); dolayısıyla \(I_{n+1} \subset I_n\)’dir. Aralıklar kapalı ve sınırlıdır.
Uzunluk koşulunu denetleyelim: \(b_n - a_n = \dfrac{2}{n}\). \(\varepsilon > 0\) verilsin; Teorem 10.4 ile \(n > \dfrac{2}{\varepsilon}\) olan bir \(n\) seçersek \(\dfrac{2}{n} < \varepsilon\) olur. Teorem 10.5 gereği kesişim tek bir noktadır: \(\{a\}\), \(a = \sup\left\{-\dfrac{1}{n}\right\}\).
\(a\)’yı bulalım. Örnek 10.4’da \(\inf\left\{\dfrac{1}{n}\right\} = 0\) bulmuştuk; Önerme 10.4 (aynalama) ile \(\sup\left\{-\dfrac{1}{n}\right\} = -\inf\left\{\dfrac{1}{n}\right\} = 0\). O hâlde
\[\bigcap_{n=1}^{\infty} \left[-\frac{1}{n}, \frac{1}{n}\right] = \{0\}.\]
Doğrudan da görülebilir: \(0\) her aralıktadır; \(x \ne 0\) ise \(|x| > 0\) ve \(n > \dfrac{1}{|x|}\) seçildiğinde \(\dfrac{1}{n} < |x|\) olduğundan \(x \notin I_n\).
\(\blacksquare\)
10.7 Alıştırmalar
Alıştırma 10.1 (Supremum ve İnfimum Alıştırmaları)
\(A = \left\{ \dfrac{n}{n+1} : n \in \mathbb{N} \right\}\) kümesinin supremumunu ve infimumunu bulunuz; maksimum ve minimumunun olup olmadığını belirleyiniz.
\(B = \left\{ \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{m} : n, m \in \mathbb{N} \right\}\) kümesi için \(\sup B\) ve \(\inf B\) değerlerini ispatlayarak bulunuz.
\(A\) ve \(B\) üstten sınırlı, boş olmayan kümeler olsun. \(\sup(A \cup B) = \max\{\sup A, \sup B\}\) olduğunu gösteriniz.
\(A, B \subset \mathbb{R}\) boş olmayan kümeler ve her \(a \in A\), \(b \in B\) için \(a \le b\) olsun. \(\sup A\) ve \(\inf B\)’nin var olduğunu ve \(\sup A \le \inf B\) sağlandığını gösteriniz.
\(A\) sınırlı ve boş olmayan bir küme olsun. \(D = \{a - a' : a, a' \in A\}\) kümesi için \(\sup D = \sup A - \inf A\) olduğunu gösteriniz.
Çözüm
a) \(\dfrac{n}{n+1} = 1 - \dfrac{1}{n+1}\) yazalım.
İnfimum: \(n = 1\) için \(\dfrac{1}{2} \in A\). Her \(n \in \mathbb{N}\) için \(\dfrac{1}{2} \le \dfrac{n}{n+1}\) olduğunu görelim: paydalar pozitif olduğundan bu eşitsizlik \(n + 1 \le 2n\), yani \(1 \le n\) ile denktir ve doğrudur. Demek ki \(\dfrac{1}{2}\) kümeye ait bir alt sınırdır: \(\min A = \inf A = \dfrac{1}{2}\).
Supremum: \(\dfrac{1}{n+1} > 0\) olduğundan her eleman \(1\)’den küçüktür; \(1\) üst sınırdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin. Teorem 10.4 ile \(n > \dfrac{1}{\varepsilon}\) olan bir \(n\) seçelim; \(n + 1 > n\) olduğundan \(\dfrac{1}{n+1} < \dfrac{1}{n} < \varepsilon\) ve \(1 - \varepsilon < 1 - \dfrac{1}{n+1} \in A\). Teorem 10.1 gereği \(\sup A = 1\). \(\dfrac{n}{n+1} = 1\) olması \(n = n + 1\), yani \(0 = 1\) gerektirdiğinden \(1 \notin A\); maksimum yoktur.
b) Supremum: \(n, m \ge 1\) olduğundan \(\dfrac{1}{n} \le 1\) ve \(\dfrac{1}{m} \le 1\); toplam en çok \(2\)’dir. \(n = m = 1\) için \(2 \in B\). O hâlde \(\max B = \sup B = 2\).
İnfimum: Bütün elemanlar pozitif olduğundan \(0\) bir alt sınırdır. \(\varepsilon > 0\) verilsin; \(n > \dfrac{2}{\varepsilon}\) olan bir \(n \in \mathbb{N}\) alıp \(m = n\) seçelim:
\[\frac{1}{n} + \frac{1}{n} = \frac{2}{n} < \varepsilon = 0 + \varepsilon.\]
Teorem 10.2 gereği \(\inf B = 0\). Pozitif sayıların toplamı \(0\) olamayacağından \(0 \notin B\); minimum yoktur.
c) \(\alpha = \sup A\), \(\beta = \sup B\) ve \(s = \max\{\alpha, \beta\}\) olsun.
Üst sınır: \(x \in A \cup B\) ise ya \(x \in A\) ve \(x \le \alpha \le s\), ya da \(x \in B\) ve \(x \le \beta \le s\). Her hâlde \(x \le s\).
En küçük üst sınır: \(M\), \(A \cup B\)’nin herhangi bir üst sınırı olsun. \(A \subset A \cup B\) olduğundan \(M\), \(A\)’nın da üst sınırıdır; (S2) ile \(\alpha \le M\). Aynı biçimde \(\beta \le M\). İkisinin büyüğü de \(M\)’yi aşamaz: \(s \le M\). Demek ki \(s = \sup(A \cup B)\).
d) \(B \ne \varnothing\) olduğundan bir \(b_0 \in B\) seçelim; hipotez gereği her \(a \in A\) için \(a \le b_0\), yani \(A\) üstten sınırlıdır ve Tamlık Aksiyomu ile \(\sup A\) vardır. Benzer biçimde herhangi bir \(a_0 \in A\), \(B\)’nin alt sınırıdır; Teorem 10.3 ile \(\inf B\) vardır.
Şimdi keyfi bir \(b \in B\) alalım. Her \(a \in A\) için \(a \le b\) olduğundan \(b\), \(A\)’nın bir üst sınırıdır; (S2) ile \(\sup A \le b\). Bu her \(b \in B\) için doğru olduğundan \(\sup A\), \(B\)’nin bir alt sınırıdır; (I2) ile \(\sup A \le \inf B\).
e) \(D = A + (-A)\) olduğuna dikkat edelim: \(a - a' = a + (-a')\) ve \(-a' \in -A\). \(A\) sınırlı olduğundan \(-A\) da sınırlıdır. Önerme 10.4’nin dördüncü ve üçüncü maddeleriyle
\[\sup D = \sup A + \sup(-A) = \sup A + \big(-\inf A\big) = \sup A - \inf A.\]
\(\blacksquare\)
Tamlık Aksiyomu ile reel sayıların aksiyom listesi tamamlandı. Bundan sonraki bölümlerde bu aksiyomların içinde yaşayan tanıdık sayı kümelerini inceleyeceğiz: önce tam sayılar ve rasyonel sayılar — Tam Sayılar ve Rasyonel Sayılar.